tài liệu xstk 022019 nguyenvantien0405

Ước lượng sự gia tăng tỷ lệ phần trăm trung bình trong các giá trị tài khoản tiết kiệm trong 12 tháng qua ñối với những người gởi tiền trong cộng ñồng này. Hãy tính biên sai số ước l[r]

C L NG

ƯỚ ƯỢ

THAM SỐ

ƯỚC LƯỢNG • Ước lượng điểm

• Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai • Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch

hai tỷ lệ

Ước lượng • Tổng thể có tham số  chưa biết

• Ta muốn xác định tham số này. • Lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n.

• Từ mẫu tìm cách xác định gần giá trị

tham số  tổng thể

• Ước lượng điểm: dùng giá trị.

Thống kê mẫu Ước lượng điểm

• Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn)

tổng thể Một hàm biến ngẫu nhiên

X1, X2, , Xn gọi thống kê mẫu (statistic)

6.1 Ước lượng điểm

• Dùng giá trị để thay cho giá trị tham số

 chưa biết tổng thể

• Giá trị giá trị cụ thể thống kê T

đó mẫu ngẫu nhiên

• Cùng với mẫu ngẫu nhiên xây dựng

được nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số 

• Ta dựa vào tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu

Ước lượng khơng chệch (ƯLKC)

• Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi ước lượng không chệch tham số  nếu:

• Nếu E(T) ước lượng T gọi ước lượng

chệch (ƯLC) tham số 

• Độ chệch ước lượng:

E(T) 

Ví dụ 1 • Theo lý thuyết mẫu ta có:

             *2 2 2 2 E X E S n E S n E S

E F p

          

*2 2

2 2

la ULKC cua la ULKC cua

, la ULKC cua la UL chech cua

Ước lượng KC tốt hơn • Cho X, Y hai ULKC tham số 

• Có nghĩa là: • Nếu:

• Thì Y ước lượng tốt X (do phương sai nhỏ

hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số 

nhiều hơn)

   

E X  E Y 

   

Ví dụ 1. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).

a) CMR: thống kê sau:

đều ước lượng không chệch .

b) Trong ước lượng ước lượng tốt

1 2

1 2

   

 ; X X ; n X X Xn

Z X Z Z

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi ước lượng hiệu

của tham số  nếu:

• T ULKC 

• V(T) nhỏ so với ULKC khác xây

dựng mẫu ngẫu nhiên trên.

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để

BĐT Cramer-Rao

• Biến nn gốc X có hàm mật độ cơng thức tính

xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) thỏa mãn số điều kiện định

• Cho T ƯLKC θ Ta ln có:

• Vậy ULKC thỏa mãn dấu “=“ ULHQ

 

 

 

1

ln ,

V T

f X nE



   

 

  

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì

vọng  phương sai 2 Xét thống kê:

a) CMR: thống kê ước lượng

không chệch .

b) Trong hai ước lượng ước lượng tốt  

1 2

1

2

2 ;

1

n n

X X nX X X X

Z X

n n n

     

 

Ví dụ 3

Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2) CMR: ước

lượng hiệu tham số μ

Giải.

Dễ thấy, ước lượng không chệch và:

Hàm ppxs tổng thể:

•

 

Var X

n





   

 2

2 , , x

f x f x e

Ví dụ 3 • Ta có:

• Và:         2 2 2                            ln ln , x

f x x

 

2

2

2

1 1

X

E  E X 

Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê ƯLKC có phương sai nhỏ

các ước lượng không chệch tham số μ tổng thể •         2 ln ,

Var T Var X

Các ULHQ • Ta chứng minh được:

2 *2

, .

X la ULHQ cua

S S la ULHQ cua F la ULHQ cua p



6.2 Ước lượng khoảng

Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) cho:

P(a <  <b)=(1 - ) lớn

Khi ta nói, (a;b) khoảng ước lượng tham số

 với độ tin cậy (1 - )

Độ tin cậy thường cho trước lớn Dạng khoảng tin cậy:

• : khoảng tin cậy hai phía

• : khoảng tin cậy bên trái (tối đa) •

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng. • (1 - ): độ tin cậy ước lượng

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy. • ε : độ xác (sai số).

• Vấn đề: tìm a, b nào? (1 - ) phù hợp

Nguyên tắc ULK

• Với mẫu chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định

và chứa tham số cần ước lượng

• Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2

cho:

• Tìm giá trị tới hạn mức (1- α1) α2 • Ta có:

• Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số

cần tìm

1

  

 1  1

6.2.1 Ước lượng trung bình

• Tổng thể có phân phối chuẩn • Ước lượng điểm không chệch: • Độ tin cậy:

• Phân phối thống kê mẫu:

• Chú ý: t(n) hội tụ N(0;1) n>30

•

 

     

~ 0;1 ~

X n X n

Z N Z t n

S

 



 

Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn

• Ta có:

• Từ đó:

/



/

 1  

/2

z

/2

z



 /2 /2  1

P  z  Z  z   

 

/2 /2

                 X n

Khoảng tin cậy cho phân phối Student

• Ta có:

• Từ đó:

/



/

 1  

1;          t n

1; 1;

2                           

P t n Z t n

 

1; 1;

2                             X n

P t n t n

S   ???

Khoảng tin cậy • Khoảng tin cậy hai phía_ biết σ

• Khoảng tin cậy hai phía_ chưa biết σ

• Chú ý:

 

2

;  

  

  

X X z

n

 ;  1;

2               S

X X t n

n /2 1; 30           

Độ xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ xác:

• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:

1;

S

z hay t n

n n             2 /2 z

n  

        2 1;

6.2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán

• Sinh viên tự tính tốn

6.2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán

6.2.3 Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn

• Ước lượng điểm khơng chệch: S*2 hay S2 • Độ tin cậy:

• Phân phối thống kê mẫu:

• Chú ý: (n) hội tụ N(n;2n) n>30

•

     

2 *2

2

2

1

~ n S ~

nS

Z  n Z  n

 



Khoảng tin cậy • Khoảng tin cy hai phớa bit

ã Khong tin cậy hai phía – chưa biết µ

*2 *2 2 ; ; ;1 2 nS nS

n  n 

                          

   

2

1

;

1; 1;1

2

n S n S n  n 

6.2.5 Ước lượng xác suất p

• Bài tốn hai phía. Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về

tính chất A đó)

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30). • Tìm (a,b) cho:

  1

P a  p b   

 

1  ~  0;1

F p n

Z N

p p

 

Ước lượng hai phía cho p • B1 Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2

• B2 KƯL thống kê Z

• B3 KƯL tham số p sau biến đổi xấp xỉ

� ớ �� � √� (1− �)

  ~ 0;1 Z N /  /

 1  

/2

z

/2

z



 /2 /2  1

P  z  Z  z   

  1

Khoảng tin cậy cho p • Hai phía:

 F  ; F    

2

1

F F

z

n



Độ xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Khi ước lượng hai phía, độ dài khoảng ước lượng:

• Sai số (độ xác ước lượng): • Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:

 

2

1

2 2z F F

n



  

 

2

1

1

F F z

Bài 1

• Trong kho hàng xí nghiệp A có nhiều sản phẩm Lấy

nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên sp loại Ước lượng

trọng lượng trung bình sp loại với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)

Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

Bài 1

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại với độ tin cậy 98% độ xác 3% cần điều tra thêm sản phẩm

c) Giả sử kho để nhầm 1000sp xí nghiệp B 100 sp lấy có sp xí nghiệp B Hãy ước

Bài 2

• Mức hao phí nhiên liệu cho đơn vị sản phẩm

bnn có pp chuẩn Xét 25 sản phẩm ta có kết sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95%

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng 20? b) Không biết kỳ vọng?

X 19,

5

2 0

20, 5

n i

5 1

8

Bài 3

• Năng suất lúa vùng (tạ/ha) bnn có phân phối

chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ta có số liệu sau:

• Ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin

cậy 95%

• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương

sai suất

 

100 2

37,9; i 1059

i

x x x



Bài 4

• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột máy đóng bao

sản xuất ta có:

• Giả thiết trọng lượng bao bột bnn có phân

phối chuẩn Hãy ước lượng trọng lượng trung bình

 với độ tin cậy 95%

2

39,8; 0,144

Bài 5

• Một lơ hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên 400

sản phẩm từ lơ hàng thấy có 360 sản phẩm loại A a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A lô hàng với

độ tin cậy 96%?

Bài 6

• Để ước lượng số cá hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu thả xuống hồ Sau người ta đánh lên 400 thấy có 40 bị đánh dấu Với độ tin cậy 95%, số cá hồ khoảng bao

Bài tập • 4.2 – 4.13

Ví dụ

• Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị thuê để ước

lượng số trung bình lãi suất cho vay ngân hàng đặt vùng phía tây Hoa Kỳ

• Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng chọn

trong nội vùng này, lãi suất ghi nhận cho ngân hàng

• Trung bình độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất x =

1.8 % s = 0.24

• A) Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cho tồn

khu vực, tìm biên sai số với ước lượng

• B) Tìm khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ lệ

• Một gia tăng tỷ lệ tiết kiệm người tiêu dùng

thường ñược gắn chặt với thiếu tin tưởng vào kinh tế ñược cho báo xu hướng suy thoái kinh tế Chọn mẫu ngẫu nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm cộng ñồng ñịa phương cho thấy gia tăng trung bình

trong tài khoản tiết kiệm 7.2% vòng 12