Chính xác thì δ được gọi là một hàm phân bố (hàm tổng quát) và nội dung của nó nằm ngoài mục đích của tài liệu này.. Cũng giống như vi phân, phép tính tích phân vế trái phương trình t[r]
(1)96 CHƯƠNG
BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI Z
Biến đổi Fourier thường sử dụng chủ yếu với không gian biến số Trong vài trường hợp, lý cần thiết, ta loại bỏ biến thời gian biến hoạt động Phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace Các tốn có khơng gian tập xác định không bị chặn nghiệm bị phân rã nhanh cách không trông đợi so với điểm ban đầu giải phương pháp
9A Định nghĩa tính chất
9.1 Định nghĩa hàm Heaviside Hàm H định nghĩa bởi: ( 0,
1,
) t
H t
t
được gọi hàm Heaviside (bậc đơn vị) Rõ ràng với số thực t0ta có:
0
0
0
0, 0,
1,
( )
1,
t t t t
H t t
t t t t
9.2 Chú ý
Hàm Heaviside H hàm liên tục khúc Như ý 2.4, nội dung phân tích ta xét khơng bị ảnh hưởng giá trị hàm liên tục khúc điểm mà khơng liên tục Vì thế, giá trị hàm Heaviside 0, H(0)=1 chọn tính thuận tiện, chủ yếu để hàm H xác định hàm số toàn trục số, nhiên thực tế điều không quan trọng
Trong tốn mơ hình, ta thường tiếp xúc với loại liệu vật lý đặc biệt xung đơn vị nguồn điểm Chẳng hạn, ta giả thiết xung đơn vị tạo lực liên tục có cường độ 1/ε tác động khoảng thời gian ngắn
0 ; ,
2
t t
Ta diễn tả xung đơn vị dạng toán học sau:
0
0
,
0
1/ ,
2
0,
2 t
t t t
g t
t t
Và ta tính tổng xung là:
0
0
2 ,
2
1
t
t
t
g t dt dt
(2)97 thời điểm t t 0 ta xét giới hạn hàm
0,
t
g t tiến 0, ký hiệu
t t0
9.3 Định nghĩa
Cho hàm toán học t t 0 định nghĩa bởi:
i) t t 0 0, t t0 ii) t t dt0
Hàm gọi hàm Dirac Delta 9.4 Chú ý
i) Từ định nghĩa 9.3 dễ thấy hàm nhận giá trị hữu hạn t0, tích phân hàm tồn trục khơng phải Hệ khơng phải hàm số Chính xác δ gọi hàm phân bố (hàm tổng qt) nội dung nằm ngồi mục đích tài liệu
ii) Nếu t t 0 ta có: t t d0 t 0d
Nếu t t 0 ta tìm 0 đủ nhỏ cho 0
t t; sử dụng hàm
0,
t
g giới thiệu ta có:
0
0
/2
0 , /2
0
1
lim lim
t t t
t t
t d g d d
Do kết hợp kết ta viết:
0 0
t
t d H t t
Nói cách khác ta có:
0 0
H t t t t
iii) Nếu f hàm liên tục, theo định lý giá trị trung bình tồn t’ thỏa mãn / ' /
(3)98
/2 ,
0
/2
0
1
lim lim
1
lim / / '
t t
t
f t d f g d f d
f t d t t f t f t
Trong lý thuyết phân bố, δ, thực tế, xác định cách nghiêm ngặt công thức thuộc loại không Định nghĩa 9.3 Cũng giống vi phân, phép tính tích phân vế trái phương trình hiểu theo nghĩa rộng, theo nghĩa phân bố
iv) Hàm Dirac delta sử dụng toán thành lập khoảng hữu hạn hay khoảng hữu hạn Trong trường hợp đó, đại diện cho giới hạn phân bố khoảng tương ứng
9.5 Định nghĩa
Biến đổi Laplace hàm f t , 0 t xác định bởi:
st
f s F s f t e dt
với s gọi tham số biến đổi Phép biến đổi Laplace ngược tính tốn kỹ thuật biến phức là:
1
2 c i
st c i
F t f t F s e ds
i
Các toán tử , 1 gọi phép biến đổi Laplace phép biến đổi Laplace ngược
9.6 Chú ý Tốn tử áp dụng với lớp hàm rộng toán tử 9.7 Định lý (điều kiện đủ để tồn phép biến đổi Laplace)
Cho f hàm liên tục khúc [0, ) Giả sử tồn số C cho:
t,
f t Ce t f s F s tồn với s
9.8 Ví dụ
i) Hàm số f t 1,t 0 thỏa mãn điều kiện định lý 9.7 với C=1 0 Ta có:
0
1
1 st st ,
F s e dt e s
s s
(4)99 ii) Hàm số f t e2t,t0 thỏa mãn điều kiện định lý 9.7 với C=1 2 Ta có: 2
0
1
,
2 s t
t st
F s e e dt e dt s
s
iii) Tốc độ tăng hàm f t et2,t0 t nhanh hàm mũ mô tả Định lý 9.7 Do đó, hàm khơng có biến đổi Laplace
9.9 Định lý (các tính chất biến đổi Laplace) i) Tốn tử tốn tử tuyến tính
c f1 1c f2 2c1 f1 c2 f2
Với f f1, 2là hàm có biến đổi Laplace c c1, 2 số tùy ý ii) Nếu u u x t , u x s , U x s , thì:
, ( ) ( )
,
, ,0
, ,0 ,0
( ) ( ) ( )
t
t tt
u sU x s u x
s U x s su x s
u x s x u x
iii) Với hàm u trên, đạo hàm theo biến x biến đổi Laplace tính sau
x , , ( , ) x
u x s u x s U x s
iv) Biến đổi Laplace tích chập hai hàm số:
f g* f g
Trong đó:
0
* *
t t
f g t f g t d f t g d g f t 9.10 Chú ý
i) Giống biến đổi Fourier, nói chung f g f g ii) Toán tử 1 tốn tử tuyến tính
(5)(6)101 9.11 Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm
1 s s
Ta có (xem bảng A5)
s biến đổi Laplace hàm f t 1 hay 1 s
s
21
s biến đổi Laplace hàm g t sint hay
1 sin
1 t s
s
Vậy theo Định lý 9.9 tích chập ta có:
1 1
sin 1*sin
1
1 s s t t
s s
Do đó:
1
0
1
1*sin 1.sin sin cos
1
t t
t t dt dt t
s s
Cách khác Đưa
1
1
s s s
s s sử dụng biến đổi ngược Laplace cho số
hạng 9.12 Chú ý
Cách dễ để tìm biến đổi Laplace ngược hàm phân thức phân rã (tách) thành nhiều phân thức với bậc nhỏ đơn giản Chẳng hạn tìm biến đổi ngược hàm sau:
2
2
2
3 12
2
s s
s s
s s
Khi áp dụng công thức bảng phụ lục A5 ta có:
2
2
3 12
3 sin
s s
t s s
9.13 Một vài tính chất Nếu f s F s thì:
) ,
) ,
at
bs
i e f s F s a s a const
ii H t b f t b s e F s b const
(7)102 9.14 Ví dụ
Vì sin 2 22 , [ ( )]3 2 [ ]2 3
4
2 ,
9 s
cos t t
s s s
t
Nên theo định lý 9.13 ta có:
2 2
sin , [ cos 3( )] , [ ]
1 2
t t s
e t e t s t H t e
s s s Vậy
5
2
2
2
sin cos 3( ) 2
5
1
t e t t t H t s e s
s s e t s
9.15 Ví dụ Tương tự ta có:
1
2 2 2
1
2
1 1
2 10
1 1
cos3 sin
2
2 10
s s
s t
s s
e e
s s s s s
s
e e t H t t
s s s
9B ỨNG DỤNG
Bài tốn tín hiệu cho phương trình sóng
Xét sợi dây đàn hồi dài trọng lượng không đáng kể, ban đầu trạng thái nghỉ (trạng thái cân bằng), với độ chênh lệch theo phương ngang (tín hiệu) mơ tả điểm đầu gần hoạt động học giảm đáng kể điểm biên xa Một tốn mơ hình tốn học toán biên giá trị ban đầu dạng:
2 0 0
0
0
0 0 0
, , , , , , , ,
, bị chặn ,
( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , ) ) ( ( ) ( tt xx t
u x t c u x t x t
u t f t t
u x t x t
u x u x x
Ta sử dụng ký hiệu sau:
[ ](u x s, )U x s( , ,) [ ]( )f s F s( )
Áp dụng cho phương trình điều kiện, sử dụng tính chất biến đổi Laplace Định lý 9.9 ta có tốn biến đổi sau:
2 0
0 , , , , , ( ) ( ) ( ) ( )
( , bị chặn khi)
s U x s c U x s x
U s F s
(8)103 Phương trình vi phân thường ta viết lại dạng sau:
2
0
( , ) ( , )
U x s s U x s
c
Nghiệm tổng quát là:
1
( / ) ( / )
( , ) ( ) s c x ( ) s c x
U x s C s e C s e
Trong C1(s) C2(s) hàm ngẫu nhiên tham số biến đổi
Do U(x,s) cần bị chặn x → ∞, nên ta suy C1(s) = Khi từ điều kiện biên ta dẫn đến C2(s) = F(s)
( / ) ( / )
( , ) ( ) s c x ( ) x c s
U x s F s e F s e
Theo định lý 9.13 ý ii) nghiệm toán ban đầu là:
1
0
( ) ( / ) ( ) ( )
, /
/ ,
, /
,
/
/
x cs
u x t F s e H t x c f t x c
u t x c
f t x c t x c
x t
Nghiệm biểu diễn dạng:
0
,
/ ,
, x tc
f t x c x t
x t
c u
Khi hàm u(x,t) hàm x tc 0 Theo nghĩa vật lý điều có nghĩa nghiệm sóng có hình dạng cố định (được xác định điều kiện biên f) với tốc
độ biến đổi dx c
dt Công thức (9.3) cho thấy thời điểm t tín hiệu xuất phát
từ x= không chạm đến điểm x>ct, điểm trạng thái nghỉ ban đầu
9.16 Chú ý Kết ngược tương tự đạt cách sử dụng tích chập Theo cơng thức 12 bảng A5 ta có: e(x c s/ ) (t x c / ) ta viết:
( / )
( , ) ( ) x c s ( / ) * ( / )
U x s F s e f t x c f t x c
Từ ta có:
1
0
, , * ( / ) ( / )
t
(9)104 Nếu tx c/ t x c / ( t x c / )0 nên u x t , 0
x tc
Nếu t x c/ t x c / 0 t x c t/ theo cơng thức (9.1) ta có:
0
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
x x x
f t c d f t c d f t
u x t c
Kết tương tự kết (9.3) Truyền nhiệt nửa hữu hạn
Một dài khơng có nguồn nhiệt, với đầu gần giữ khơng khí mở với nhiệt độ 0, với hoạt động thermal bỏ qua đầu mút xa số phân bố nhiệt ban đầu mô tả toán IBVP sau đây:
0
0
0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
, , , , ,
, , , ,
, bị chặn , , )
(
, ,
t xx
x
u x t u x t x t
u t u t t
u
u const
x t x t
u x x
Đặt [ ](u x s, )U x s( , )và áp dụng cho phương trình điều kiện, ta có tốn biến đổi sau:
0
0 0
( , ) ( , , ,
, ,
,
) ( )
( )
U x s sU x s u x
U s U s
U x s bị chặn x
Nghiệm tổng qt toán dạng:
1
1
( , ) ( ) s x ( ) s x
U x s C s e C s e u
s
Trong C1(s) C2(s) hàm ngẫu nhiên tham số biến đổi
Do U(x,s) cần bị chặn x → ∞, nên ta suy C1(s) = Khi đạo hàm hai vế sử dụng điều kiện biên x=0 ta được:
2
1
0
C s s C s( ) ( ) u
s
Từ ta có:
2
1
( ) u
C s
(10)105
0
1 1
1
,
( ) u s x s x
U x s e u u e
s s
s s s s
Tính toán biến đổi Laplace ngược ta (kết hợp công thức bảng A5)
1
0
2
( ), [ ]( ), x x x t
u x t U x t u erfc erfc t e
t t
Các toán biên giá trị đầu nửa vơ hạn giải phương pháp
9C BIẾN ĐỔI Z
Trong phần ta mở rộng lý thuyết tín hiệu rời rạc thông qua biến đổi Laplace Ta xem xét hàm f(t) với t biến số thực, thể thời gian Ta giả sử t biến nhận giá trị 0,1,2,… có nghĩa t nhận giá trị nguyên dương Trong ứng dụng, ta xét trường hợp t biến liên tục, tương ứng với việc đo khoảng thời gian
Một hàm với biến số nguyên thường viết dạng dãy số Phần sau ta viết vậy, phần mở đầu,
Cho
1
n n
a dãy số Ta xây dựng chuỗi vô hạn
0
n n
n n
n n
a
A z a z
z
Nếu chuỗi số hội tụ hội tụ tuyệt đối bên ngồi đường trịn mặt phẳng phức (mặt phẳng z) Thông thường miền hội tụ (ROC) tập hợp mặt phẳng z có dạng z với 0 (đôi chuỗi hội tụ điểm đường tròn z trường hợp quan trọng) Chuỗi lũy thừa chuỗi dạng qua lũy thừa âm lũy thừa dương z, gọi chuỗi Laurent (một trường hợp riêng chuỗi Taylor không chứa lũy thừa âm z; trường hợp xét ta xét trường hợp ngược lại, khơng có lũy thừa dương)
Điều kiện cần đủ chuỗi hội tụ tồn M R cho: an MRn
(11)106 Hàm A(z) gọi biến đổi Z dãy
1
n n
a Nó sử dụng để giải toán liên quan đến chuỗi, tương tự sử dụng biến đổi Laplace sử dụng để giải tốn hàm thơng thường Ứng dụng quan trọng điện tử, hệ thống khí điều khiển tự động
Khi sử dụng biến đổi Z, ta phải có kiến thức chuỗi hình học Nhớ lại chuỗi hình học chuỗi dạng:
0
n n
w w số thực hay số phức
Chuỗi hội tụ |w| < tổng chuỗi 1/(1 -w) Ta sử dụng theo “2 hướng” ví dụ
9.17 Ví dụ Cho an 1, n Hãy tìm biến đổi Z dãy Giải
Ta có biến đổi Z là:
0
1 1
1
1
n n
n n
z
z z
z
z
Chuỗi hội tụ z 1 Mặt khác số phức khác ta viết:
0
1
,
n n
n
n n
z
B z
z z z
z
Điều có nghĩa B z biến đổi Z dãy n, 0
n
b n
9.18 Ví dụ Cho dãy số an xác định bởi: a0 ,1a1 an2 3an12an (3.9) Hãy tìm cơng thức tổng quát cho dãy số
Giải
Phương trình :an2 3an12an gọi phương trình sai phân, gần giống phương trình vi phân Nếu phương trình vi phân dùng để mơ tả q trình thời gian liên tục phương trình sai phân dùng để mơ tả q trình thời gian rời rạc
Đầu tiên ta nhân hai vế phương trình với zn lấy tổng Ta có:
2
0 0
3
n n n
n n n
n n n
(12)107 Ta xét biến đổi Z dãy số Ta có:
2
n
n n
a a
A z a z
z z z
Chú ý rằng:
1
1 0
0 1
1
n k k k
n k k k
n k k k
a z a z z a z z a z a z A z a z A z
Tương tự ta có:
2 2
2
0 2
1
n k k k
n k k k
n k k k
a z a z z a z z a z a a z z A z z
Từ ta có phương trình:
2 1 3 1 2
2
z z A z z A z A z A z
z z
Từ ví dụ ta thấy
2
z A z
z biến đổi Z dãy 2
n n
a
Vậy công thức dãy số cần tìm là: 2n, 0 2, , ,
n
a n
Sinh viên tự kiểm tra lại cơng thức 9.19 Ví dụ
a) Biến đổi Z : a{ }n n0
0
n n ,
n
z
a z z z
z
b) Biến đổi Z : 0
! { }n
a
n
1 0 / , ! n z n z
a z e z
n
c) Dãy số a{ }n! n0 khơng có biến đổi Z chuỗi
0
! n
n
n z phân kỳ với giá trị Z
Như phát biểu, điều kiện đủ để tồn biến đổi Z giá trị dãy số an tăng trưởng thấp hàm mũ (tăng trưởng tối đa theo hàm mũ), nghĩa
n
n
(13)108 Sau số tính chất biến đổi Z
Đặt a an ,b bn ,a b an bnvà a an
Ký hiệu biến đổi Z dãy là: A a B, b
Bán kính hội tụ biến đổi Z dãy a ký hiệu là: a Điều có nghĩa chuỗi hội tụ z a phân kỳ z a
9.20 Định lý
a) Biến đổi Z có tính chất tuyến tính:
b) Nếu số phức n , 0 2, , ,
n n
b a n thì:
/ , a
B z A z z
c) Nếu k số nguyên dương cố định bn an k ,n0 2, , , thì:
1
1
0
1
0 1
,
k k
k
k k k
k a
a
a a
B z z A z a
z z z
B z z A z a z a z a z z
d) Ngược lại k số nguyên dương bn an k ,n k bn 0,n k thì: k
B z z A z
e) Nếu bn na nn, 0 2, , , B z zA z , z a
9.21 Ví dụ Tìm biến đổi Z chuỗi , 0 2, , , !
n n
c n
n
Sử dụng ví dụ 9.19 b tính chất b) định lý 9.10 ta có: Ta có: C z e1/ / z e/z
9.22 Ví dụ Tìm cơng thức cho dãy số Fibonacci, định nghĩa bởi:
0
2
1
0
, ,
n n n
f f
f f f n
Giải
Đặt F f Áp dụng biến đổi Z cho dãy ta có:
2 ( ) ( ( ) ) ( )
(14)109 Từ ta giải được:
2
2 1 1
·
( ) z z
F z z
z z z z
Để tìm lại cơng thức cho dãy fn ta nên khai triển biểu thức thành phân số đơn giản sử dụng bảng biến đổi Z Chú ý phân số phải chứa z mẫu số Ta có:
2 1
( )
F z z A B
z z z z z
Bằng tính tốn ta được:
1 5 5
2 2 5 2 5
, - , A , B
Vậy ta có:
( ) Az Bz
F z
z z
Dùng bảng biến đổi Z ta được:
5 1 5 1
2
2 5
-
n n
n n
n
f A B
Ta viết lại công thức dạng:
1
1 5
0
2
5
- , , , ,
n n
n
f n
9.23 Tích chập hai dãy số:
0
0
n n , , ,
n n k k k n k
k k
c a b a b n
Ký hiệu: c a b b a * * hay n * *
n n
c a b b a
Tính chất: C z A z B z , miền hội tụ z max a, b
9.24 Ví dụ Tìm cơng thức x t t , 0 2, , , biết
0
3 2
t k t, , , ,
k
x t k t
Nhận xét: dễ thấy vế trái tích chập hai dãy số
t
x t Sử dụng biến đổi Z cho thành phần ta được:
1
3
z X z z
z z
(15)110 Từ ta tính tốn được: 1
1
2
z X z
z z
Từ định lý có:
1
1
1 2
3
, / (
, )
/
t t
t x t
t
Thu gọn ta được:
1
1 1
1
6
, ,
t
t
x t t hay x t t
Trong ví dụ cuối đây, ta biến đổi Z trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace Phần ta sử dụng biến đổi hàm Dirac delta
9.25 Ví dụ Cho dãy an có biến đổi Z A z hàm f xác định bởi:
0
n n n
n n
f t a t a t n
Biến đổi Laplace hàm là:
00 0
n st n ns n s n s
n n n
F s a t n e dt a e a e A e
Như ta đổi biến z e s hai phép biến đổi BÀI TẬP BIẾN ĐỔI Z
1 Xác định biến đổi Z dãy số sau:
3 2
2
· ·
n
n n
n n n
a a b a n c a n
2 Xác định dãy số an biết biến đổi Z là:
3
z
a A z b A z
z z
3 Xác định dãy số an , bn biết:
1
2
0
, , ,
n n
n n
a b n
n
a b
4 Xác định dãy số an , bn biết a0 0,b0 1
1
2
0
, , ,
n n
n n
a b
n
a b
(16)111 Xác định dãy số an biết a0 0,a10 an22an1an 1 n ,n n0 2, , , Xác định dãy số an biết a0 1,a1 3 an2an 2n4, n0
8 Xác định dãy số y t biết t0 3, , , , cho:
0
0
3
1
(
, , , )
t
t k k
t
t k y k