Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.. Rót gän c¸c biÓu thøc.[r]
(1)BÀI TẬP ƠN TẬP PHỊNG DỊCH COVID19 LẦN 1 MƠN: TỐN – LỚP: 8A,B
Chun đề phân thức đại số I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức bản:
a) nh ngha: Mt phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng
A B,
trong A, B đa thức, B đa thức khác đa thức A tử thức (tử)
B lµ mÉu thøc
Mỗi đa thức đợc coi đa thức có mẫu b) Hai phân tức bẳng nhau:
Với hai phân thức
A B
C
D, ta nãi A B =
C
D nÕu A.D = B.C
2) Bµi tËp:
Bài Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh đẳng thức sau:
a)
2 7
5 35
x y x y
xy
; b)
2
2
2
x x x
x x x
; c)
2
3
3
x x x
x x
; d)
3 4 2
10 5
x x x x
x
;
Bài Tìm tập xác định phân thức sau: a)
3
5x2; b)
2
3
6
x
x x
;
c)
x
x x; d)
2
3
x
x x
.
Bài Tìm giá trị nguyên biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: a)
3
x x ; b)
6
x ; c)
3
2
1
x x
;
II) Tính chất phân thức đại số: 1) Kiến thức bản:
a) TÝnh chÊt: - TÝnh chÊt 1:
A A M
B B M (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0).
- TÝnh chÊt 2:
: :
A A M
B B M (M nhân tử chung khác 0).
b) Quy tắc đổi dấu:
A A
B B
.
2) Bài tập áp dụng:
Bi Dựng tớnh cht phân thức, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau:
a) 2
5
x x x
x
; b)
2 8 3 24
2
x x x
x
;
c)
2
3
3
x xy
x y y x
; d)
2
2
2
x xy y
x y y x
;
e)
3 2
1
x x
x x
; f)
2
5 5
2
x y x y
y x
.
Bài Biến đổi phân thức sau thành phân thức có tử thức đa thức A cho trớc
a)
2
4
, A= 12x +9x
x x
; b)
2
8
,
4 15
x x
A x
x x
(2)a) 1
x
x ; b)
x
x ; c)
1 x x x .
Bài áp dụng quy tắc đổi dấu để viết phơng trình phân thức sau: a) 2 xy x x
; b)
2 1 x x ;
III) Rút gọn phân thức 1) Phơng pháp:
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung
2) Bài tập áp dụng:
Bài Rút gọn ph©n thøc sau: a)
5
2
14 (2 )
21 (2 )
xy x y
x y x y
; b)
3
8 (3 1) 12 (1 )
xy x x x ; c) 2 20 45 (2 3) x x
; d)
2 10 2(2 ) x xy y x ; e) 80 125
3( 3) ( 3)(8 )
x x
x x x
; f)
2
9 ( 5)
4 x x x ; g) 3
32
64
x x x
x
; h)
3 5 x x x ; i) 2
3
2
a a a
a
; k) 2 2
( )( )
( )( )
a b c d
b a d c
.
Bài Chứng minh đẳng thức sau: a)
2
2
2
2
x y xy y xy y
x xy y x y
; b)
2
3 2
3
2
x xy y
x x y xy y x y
.
Bài Đổi dấu tử mẫu rút gọn phân thøc:
a)
45 (3 ) 15 ( 3)
x x
x x
; b)
2
3 3 2 3
y x
x x y xy y
.
Bài Tính giá trị biểu thức sau: a)
4
2
ax a x
a ax x
víi a = 3, x =
1
3; b)
3
6
x x x
x x
víi x = 98
c) 3 3 x x x x
víi x =
1 ; d) 3 2 x x x x
víi x =
1
; Bµi Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > Tính giá trị biểu thức P =
a b a b
.
Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x a)
2
( )( )
x y
x y ay ax
; b)
2 3
4 6
ax x y ay
ax x y ay
;
Bµi tập nâng cao.
Bài Rút gọn biểu thøc a)
4
2 2
m m
m m
; b)
2
3
ab a a b
a b b
;
c)
1
xy x y
y z yz
; d)
ax ay bx by ax ay bx by
;
e)
2 2
2 2
2
a b c ab
a b c ac
; f)
2
2
a b
a a b b
; g)
2
a
a a
; h)
3 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
;
(3)a)
4
4
1
2
x x x
x x x x
; b)
4
4
5
10
x x
x x
.
Bµi ViÕt gọn biểu thức sau dới dạng phân thức
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ xuất biểu thức liên hợp nhau Bài 10 Rút gọn
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
x y z
y z z x x y
biÕt r»ng x + y + z = 0.
Bài 11 Tính giá trị phân thức A =
3
3
x y
x y
, biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0. HD
Ta cã A2 =
2
2
9 12 20 12
9 12 20 12 32
x y xy xy xy xy
x y xy xy xy xy
Do 2y < 3x < 3x 2y0,3x2y 0 A0 vËy A =
Bµi 12 Rót gän biĨu thøc: P =
4 4
4 4
(1 4)(5 4)(9 4) (21 4) (3 4)(7 4)(11 4) (23 4)
.
HD
Xét n4 + = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] Do P =
( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1
(1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 577
Bài 13 Cho phân số A =
1, 00 01 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) TÝnh giá trị A với 200 chữ số thập phân. HD
Ta cã A = 100 100 10
10 1 Nhân tử mẫu với 10100 - 1, ta đợc:
A=
100 100 100 100
200
100 100 200
10 (10 1) 99 00
0,99 900
10 99
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn phân số) Bài 14 Cho phân thức: M =
2 2 2
2
( )( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a) Tìm giá trị a, b, c để phân thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa mẫu thức kác
XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
a + b = b + c = c + a a = b = c.
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa a, b, c khơng đồng thời 0, tức a2 + b2 c2 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, dặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y Khi (a + b + c)2 = x + 2y.
Ta cã M =
2 2
2 2
( ) ( )
2
x x y y x xy y x y
x y a b c ab bc ca
x y y x y x y
(Điều kiện a2 + b2 c2 0) IV) Quy đồng mẫu thức.
1) T×m mÉu thøc chung cđa nhiỊu ph©n thøc: - Ph©n tÝch mẫu thành nhâ tử (nếu cần) - Lập tích nhân tử số chữ:
(4)2) Bài tập áp dụng
Các tập nâng cao.
Bi Quy ng mẫu thức phân thức sau:
a)
25 14
,
14x y 21xy ; b)
11
,
102x y 34xy ;
c)
3
,
12
x y
xy x y
; d) 2
1 1
, ,
6
x x
x y x y xy
;
e) 2
3
, ,
10
x
x y x y xy
; f)
4
, ;
2 ( 3) ( 1)
x x
x x x x
g)
2
,
( 2) ( 2)
x x
x x x
; h)
5
,
3x 12x (2x4)(x3). Bài Quy đông mẫu thức phân thức sau
a) 2
7
,
2
x x
x x x
; b) 2
1
,
2
x x
x x x x
;
c)
3
4
, ,
1 1
x x x
x x x x
; d) 2
7
, ,
5
x y
x x y y x
;
f) 2
2
, ,
3 2
x x x
x x x x x x
.
V) Phép cộng phân thức đai số.
1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tư víi tử giữ nguyên mẫu 2) Cộng hai phân thức cã mÉu thøc kh¸c nhau:
- Quy đồng mẫu thức phân thức
- Cộng hai phân thức mẫu (sau quy đồng) 3) Bài tập ỏp dng:
Bài Cộng phân thức mÉu thøc:
a) 3
1 2
6 6
x y x
x y x y x y
; b)
2
2
2
( 1) ( 1)
x x
x x x x
;
c)
2
2
3
3
x x x
x x x x
; d)
2
2
38 4
2 17 17
x x x x
x x x x
.
Bài Cộng phân thức khác mẫu thức:
a) 2
5 11
6x y12xy 18xy ; b) 3
4
15
x y x
x y x y xy
;
c)
3 3
2 2
x x
x x x x
; d)
3
3
2
1 1
x x x
x x x x
;
e) 2
4
2
y x
x xy y xy; f) 2
1 14
2 ( 4)( 2)
x
x x x x x
;
Bài Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung thực phép cộng
a)
4
2
x
x x x
; b)
1 3
2 2
x x x
x x x x
;
c) 2
1
6 9
x
x x x x x ; d)
2
3
2
1 1
x
x x x x
;
Bài Cộng phân thức: a)
1 1
(x y y z )( ) ( y z z x )( ) ( z x x y )( );
b)
4 3
(y x z x )( ) ( y x y z )( ) ( y z x z )( );
c)
1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
(5)Bµi Cho hai biÓu thøc: A =
1
5 ( 5)
x
x x x x
, B =
3
x
Chøng tá r»ng A = B
Bài Tính giá trị biÓu thøc : a) A = 2
2 1
1
x
x x xx x
víi x = 10;
b) B =
3 2
1
x
x x x
x
víi x = -99
Các tập nâng cao
Bài Tìm số a b cho phân thøc
5
3
x
x x
viết đợc thành ( 1)2
a b
x x
HD: Dùng hai phơng pháp (hệ số bất định xét giá trị riêng) để tìm a b sau quy đồng
Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuéc vµo x a)
x y y z z x
xy yz zx
; b) ( )( ) ( )( ) ( )( )
y z x
x y y z y z z x z x x y .
Bµi 10 Cộng phân thức :
2 2 2
1 1
(b c a )( ac b bc) ( c a b )( ab c ac) ( a b c )( bc a ab) .
(§Ị thi häc sinh giái líp toµn qc 1980)
Bµi 11 Rót gän biÓu thøc :
A =
1
1 x1x1x 1x 1x .
VI) Phép trừ phân thức đại số. 1) Phân thức đối:
- Hai phân thức đợc gọi đối tổng chúng - Công thức:
A A
B B
vµ
A A
B B
2) Phép trừ:
- Quy tắc: Muốn trừ phân thøc
A
B cho ph©n thøc C
D, ta céng A
B với phân thức đối C D
- C«ng thøc:
A C A C
B D B D
3) Bµi tập áp dụng:
Bài Làm tính trừ ph©n thøc: a)
3
2
x x
xy xy
; b)
3
3 5 15
4
x x
x y x y
; c)
4
2 2
x x
x x
; d) 2
9 5
2( 1)( 3) 2( 1)( 3)
x x
x x x x
;
e)
2
2 2
xy x
x y y x ; f)
2
2
5x y 5y x
x y xy
;
k)
1 (1 )
3
x x x x
x x x
; l) 2
3 1
( 1) 1
x x
x x x
;
Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: a)
1
(x1)(x 2) ( x 2)(x 3) ( x 3)(x1);
b)
1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
A
a a b a c b b a b c a c c b
.
Bài3 Tính giá trị biểu thức: a) A =
2
2
1
1
1
x
x x x
(6)b) B =
2 1 2
4 4
x x
x x x
víi x =
1 4. Các toán nâng cao
Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biÕn x, y, z
( )( ) ( )( ) ( )( )
x z x y y z
x y y z x z y z x y x z
.
Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh : a)
1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
A
a b a c b a b c c a c b
;
b)
1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
B
a a b a c b b a b c c c a c b
;
c) ( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ac ab
C
a b a c b a b c c a c b
;
d)
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
D
a b a c b a b c c a c b
;
Bài Xác định số hữu tỷ a, b, c cho:
a) 2
1
( 1)( 1) 1
ax b c
x x x x
;
Đáp số: Dùng phơng pháp đồng ta đợc a =
, c = 2, b =
1
b)
1
( 1)( 2)
a b c
x x x x x x ; (§S :
1
; 1;
2
a b c
)
c) 2
1
( 1) ( 2) ( 1)
a b c
x x x x x (§S: a = -1; b = 1; c = 1)
Bµi 10 Cho abc = (1)
1 1
a b c
a b c
(2) Chøng minh sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng
HD Tõ (2) :
bc ac ab a b c
abc
Do abc = nªn a + b + c = ab + bc + ca (3)
§Ĩ chøng minh sè a, b, c cã mét sè b»ng ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Từ (1) (3) suy biểu thức 0, tồn ba thừa số a - 1, b - 1, c - 0, tồn ba số a, b, c
Bµi 11 Cho 3y - x = Tính giá trị biểu thức : A =
2
2
x x y
y x
.
HD : A =
3 ( 6)
3
2
y x x
y x
.
Bài 12 Tìm x, y, z biết :
2 2 2
2
x y z x y z
HD:
Tõ
2 2 2
2
x y z x y z
suy :
2 2 2
0
2 5
x x y y z z
2 2
3
0
10x 15y 20z x y z
Bài 13 Tìm x, y biết:
2
2
1
4
x y
x y
(7)HD
Ta cã
2
2 2
2 2
1 1 1
4 2 0
x y x y x y
x y x y x y
2
2
1
1 1
x
x x
y y
y
Có bốn đáp số nh sau:
x 1 -1 -1
y -1 -1
Bµi 14 Cho biÕt :
1 1
a b c (1), 2
1 1
2
a b c (2) Chøng minh r»ng a + b + c = abc.
HD Tõ (1) suy :
2 2
1 1 1
2
a b c ab ac bc
Do (2) nªn :
1 1
1 a b c a b c abc
ab ac bc abc
Bµi 15 Cho
0
x y z
a b c (1) ,
a b c
x yz (2) TÝnh giá trị biểu thức:
2 2
2 2
a b c
x y z .
HD
Tõ (1) suy : bcx + acy + abz = (3) Tõ (2) suy :
2 2
2 2
a b c ab ac bc
x y z xy xz yz
Do :
2 2
2 2 4
a b c abz acy bcx
x y z xyz
Bµi 16 Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a, b, c khác CMR: 3
1 1
a b c abc.
HD
Từ giả thiết suy : ab + bc + ca = Do :
1 1
0
ab bc ca
abc a b c
Sau chứng minh x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3xyz. Bài 17 Cho
a b c b c a
b c a a b c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau.
HD
Tõ gi¶ thiÕt suy : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b
2( ) ( 2) ( ) 0
a c b a c b bc c b
2
(c b a)( ac ab bc) (c b a b a c)( )( )
Tóm lại thừa số c- b, a - b, a - c Do ba số a, b, c tồn hai số Bài 18 Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên :
a)
3
2
3
x x x
A
x
; (§S :
2
2
3
A x
x
x 2; 2;4;8 )
b)
4
2
2
2
x x x x
B
x x
; (§S :
2
2
4 0;
( 1)
B x x
x
)
c)
4
2
3
2
x x x x
C
x
(§S :
2
2
3
2
C x x x
x
Bµi 19 Rót gän biĨu thøc :
1
1 1 1
A
x x x x x
HD
(8)2 2 4
1 2 4
1 1 1 1 1 1
A
x x x x x x x x x x x x
= 8 16
8 16
1 x 1x 1 x
Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bài 20 Rút gọn biểu thức :
B =
2
2
3
(1.2) (2.3) ( 1)
n n n
HD
Ta tách phân thức thành hiệu phân thức dùng phơng pháp khử liên tiếp, ta đợc : 2
2 2 2
2 ( 1) 1
( 1) ( 1) ( 1)
k k k
k k k k k k
Do B = 2 2 2 2
1 1 1 1 ( 2)
1 2 ( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n n
VII) Phép nhân phân thức đại số.
1) Kiến thức bản:
A C A C
B D B D.
2) Tính chất bản: - Giao hoán:
A C C A
B D D B
- KÕt hỵp:
A C E A C E
B D F B D F
- Phân phối phép cộng:
A C E A C A E
B D F B D B F
.
3) Bài tập bản:
Bài Làm tính nh©n ph©n thøc : a)
2
3
2 20 50
3 4( 5)
x x x
x x
; b)
2 3
2 2
(x xy) x y
x y x y x y xy
;
c)
2
16
( 1)( 1)( 1)
1
x x x
x
. d)
2
2
6 27
3 9
x x x
x x x
;
Bài Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy đợc nhân tử chung) a)
2
3 12
4 27
x x x x
x x
; b)
2
2
6 25 10
5
x x x
x x x
;
c)
2
2
3
1 (1 )
x x x
x x
.
Bµi Rót gän biÓu thøc : a)
4
3
15 4
2 14 15
x x x x
x x x x
; b)
7 2
3
3
1
x x x x x
x x x x
.
c)
2
( )
x y
x y
x y x y
;
Bµi Rút gọn tính giá trị biểu thức :
2
2
1
x y x y
y x x xy y x y
víi x = 15, y = 5.
Bµi Chøng minh r»ng :
16 32 16
1
1 1
1
x x
x x x x x x x x
x x
(9)