Trong những năm gần đây, bản thân được phân công dạy chương trình nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy hầu hết học sinh thường khai thác dữ kiện bài toán một cách phiến diệ[r]
(1)Chyên đề tháng 11:Vận dụng toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải dạng tập khác
Người báo cáo:Võ Thị Thùy Dung. Ngày báo cáo: 11/2019
ĐẶT VẤN ĐỀ.
Rèn luyện kỹ tư sáng tạo, kích thích phát triển tư sáng tạo yêu cầu thiếu việc dạy học giải tập tất mơn học nói chung, có mơn Tốn học Vấn đề lại đặc biệt ý đối tượng học sinh giỏi; với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
Trong năm gần đây, thân phân cơng dạy chương trình nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy hầu hết học sinh thường khai thác kiện toán cách phiến diện chưa triệt để, sáng tạo mà phụ thuộc vào sách giáo khoa, hướng dẫn giáo viên cách rập khn, máy móc Vì vậy, gặp tốn dạng thay đổi kiên, cách hỏi,…thì em thường bí mà chưa biết sáng tạo, phát tìm từ biết
Làm để xố cách nhìn xơ cứng học sinh trước tốn? Đó câu hỏi thường trực đặt đầu tôi.Thực điều việc làm khó khăn, hai mà địi hỏi người thầy giáo phải có kiến thức vững vàng, có khả thâu tóm vấn đề tốt, phải ln ln chịu khó tích luỹ, có lịng ham mê khoa học truyền lịng ham mê tới học sinh Phát từ biết tạo cho em nhạy bén tư duy, hứng thú học tập điều quan trọng em học sinh giỏi Dưới hướng dẫn, gợi mở giáo viên em hái lượm kết thú vị từ toán đơn giản.Bằng cách phát tính chất tốn, cách diễn đạt tốn hình thức khác, nói tốn nào, ta thu kết nhiều bất ngờ Từ thực tế giảng dạy môn Tốn trường THCS nhiều năm, tơi nhận thấy việc kích thích sáng tạo, linh hoạt học sinh giải tập Toán việc làm cần thiết, để từ giúp học sinh tìm tịi, sáng tạo gây hứng thú học toán
II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Một số nguyên nhân thường gặp.
(2)- Do học sinh chưa khai thác đề cách triệt để, toàn diện - Chưa nắm chất số tốn
- Chưa chịu khó tìm tịi, sáng tạo làm
- Đặc biệt em chưa biết phát qua kiến thức biết vận dụng lúc, chỗ
Từ nguyên nhân trên, tơi thiết nghĩ:
Để kích thích phát huy khả tư học sinh, người thầy giáo phải giúp em nhìn nhận vấn đề góc độ khác Đặc biệt từ điều biết, hình thức diễn tả khác chọn hình thức phù hợp với trình độ học sinh, yêu cầu học sinh giải tập từ khai thác tri thức tìm tình áp dụng cụ thể việc giải tập tương ứng, nội dung lại từ tài liệu sách giáo khoa, tri thức khai thác sử dụng hiệu Điều làm sáng rõ qua số toán sau
2.Giải pháp.
Trước hết giúp học sinh khai thác kỹ, nắm rõ chất hai toán bản:
Bài toán 1: Phân tích đa thức: x3+y3+z3-3xyz thành nhân tử.
+ Tìm hiểu tốn: Đề địi hỏi ta phải phân tích đa thức cho thành nhân tử tức biến đổi tổng cho thành tích gồm hai hay nhiều thừa số
+ Hướng dẫn cách tìm lời giải: ta biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử Thơng thường phải phối hợp phương pháp cách linh hoạt để phân tích Ở tốn phương pháp chưa sử dụng Bởi ta phải sử dụng phương pháp khác thêm bớt hạng tử Vậy hạng tử cần thêm bớt để làm xuất đẳng thức lập phương tổng sau ta lại áp dụng tiếp đẳng thức tổng lập phương vào để phân tích? Bằng câu hỏi gợi mở, giáo viên học sinh thảo luận đưa lời giải
Có thể giáo viên hướng dẫn cho học sinh theo sơ sau: x3 +y3 +z3 – 3xyz
x3 +y3 + 3xy(x+y) +z3 – 3xy(x+y) – 3xyz
hoặc: x3 +z3 + 3xz(x+z) +y3 – 3xz(x+z) – 3xyz
hoặc: y3 +z3 + 3yz(y+z) +x3 – 3yz(y+z) – 3xyz
(x+y)3 +z3 – 3xy(x+y+z)
hoặc: (x+z)3 +y3 – 3xz(x+y+z)
hoặc: (y+z)3 +x3 – 3yz(x+y+z)
(3)(x+y+z) (x+y)2 – (x+y)z +z2 - 3xy(x+y+z)
hoặc: (x+y+z) (x+z)2 – (x+z)y + y2 - 3xz(x+y+z)
hoặc: (x+y+z) (y+z)2 – (y+z)x + x2 - 3yz(x+y+x)
(x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –yz –xz).
Bài toán 2: Chứng minh x3 +y3 +z3 = 3xyz x +y +z =0
hoặc x= y= z. Hướng dẫn giải:
Ta có: x3 +y3 +z3 =3xyz
x3 +y3 +z3 – 3xyz =0
(x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –xz –yz) = (kết toán 1)
1
(x+y+z)(2x2 +2y2 +2z2 –2xy –2xz –2yz) =0
1
(x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 = 0
x+y+z = (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 = x+y+z = x=y=z
Vận dụng hai toán trên, em dễ dàng giải số toán diễn đạt hình thức khác; số có u cầu mức độ cao kể khó em Chẳng hạn:
Bài tốn 3: Chứng minh x,y,z z x3 +y3 +z3 -3xyz chia hết cho
x+y+z.
Ở toán ta phân tích được:x3 +y3 +z3 – 3xyz = (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –
yz –xz), điều giúp học sinh chứng minh được:x3 +y3 +z3 – 3xyz chia hết
cho x+y+z
Bài toán Chứng minh x3 +y3 +z3 3xyz x+y+z
Hướng dẫn giải:
Từ x3 +y3 +z3 3xyz, chuyển vế ta có: x3 +y3 +z3 -3xyz < Khai triển vế trái
bằng cách áp dụng kết tốn 1, ta có:
1
(x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 0
x+y+z (vì (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 0).Từ cho học
sinh nêu lên lời giải toán
Bài toán 5: Chứng minh x3 +y3 +z3 3xyz x+y+z 0
(4)a. M=(1 +b) a
(1 +c b
) (1+ a c
)
b. N= (a b)(b c)(c a)
abc
Phân tích:
Để giải toán ta phải biết khai thác từ giả thiết : a3 + b3 + c3 = 3abc
a3 + b3 + c3 – 3abc = 0, đến áp dụng toán ta có :
a + b + c = a= b = c.Từ tơi hướng dẫn học sinh giải tốn theo trình tự sau:
Giải.
a.Từ giả thiết a3 +b3 +c3 – 3abc =0 a+b+c =0 a=b=c.(bài toán 2)
+ Nếu a+b+c =0 a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b
M=(1 +b) a
(1 +c b
) (1+ a c
) = b b a
c c b
a c a
= abc b a c).( ).( ) (
=-1
+ Nếu a=b=c M = (1+ b a
)(1+c b
)(1+ a c
)
Hay M = (1+1)(1+1)(1+1) = 2.2.2 = b.giải tương tự ta có:+Nếu a+b+c =0 N=-1
+Nếu a=b=c N=
Bài toán 7.a Cho x+y+z =0, tính: P = yz
x2
+ yz
y2
+
2
xy z
Với toán giả thiết cho biết; x+ y + z = 0, áp dụng kết tốn ta có: x3 +y3 +z3 = 3xyz
Khai triển biểu thức P để làm xuất điều toán cho sau thay vào ta tính giá trị P
Ta giải tốn sau:
Giải.
Từ giả thiết x+y+z = x3 +y3 +z3 = xyz(bài toán 2)
P = yz
x2
+ yz
y2
+xy
z2
= xyz
x3
+ xyz
y3
+ xyz
z3
= xyz
1
(x3 +y3 + z3) = xyz
1
(5)Q = 2 2 z y x x
+ 2
2 x z y y
+ 2
2 x y z z
Tương tự câu a, ta giải câu b: Từ x+y+z = x = -(y+z);
y = -(z+x); z = -(x+y);
x2 – y2 –z2 = 2yz; y2 –z2 – x2 = 2zx; z2 – x2 – y2 = 2xy.
x3 +y3 +z3 = 3xyz (bài toán 2)
Q = 2
2 z y x x
+ 2
2 x z y y
+ 2
2 x y z z
= yz
x
2
3
+ zx y
2
3
+ xy
z = 3 2xyz z y
x
= xyz
xyz
2
=
Bài tập Tính giá trị biểu thức. A = ( c
b a
+ a c b
+ b a c
) ( a b c
+ b c
a
+ c a
b
), biết rằng: a+b+c = 0 Giải.
Gọi B = c b a
+ a c b
+ b a c
Ta có: B a b c
= + a b
c
( a
c b
+ b a c
) = + a b
c 2 ab a ac bc b
= + a b c
ab
b a c c
b )( )
(
= + ab c2
2
= + abc c3
2
Tương tự: B b c a
= + abc
a3
2
B c a b
= + abc
b3
2
Vậy A = + abc c b
a )
(
2 3
= + abc abc
3
= + = ( a3 + b3 + c3 = 3abc)
(6)a3 +b3 +c3 +d3 = 3(c + d)(ab - cd) = 3(a + b)(cd - ab) = 3(a + c)(bd - ac). Phân tích:
Từ kiện tốn cho: a + b + c + d = 0, ta nhóm hai bốn hạng tử để làm xuất tổng ba hạng tử không (a + b + (c+d) = ), để từ áp dụng kết tốn ta có: a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d), khai triển
tiếp vế trái đẳng thức ta được: a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d) Nên
ta giải tốn sau:
Giải.
Thật vậy,từ giả thiết cho:
a + b + c +d = a + b + (c+d) = a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d)(bài toán 2)
a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d)
a3 +b3 +c3 +d3 = 3ab(c+d) – 3cd(c+d) = 3(c+d)(ab – cd).
Tương tự ta có đẳng thức Bài tốn 11 Giải phương trình:
a, (2x - 5)3 + (4 - 3x)3 + (x +1)3 = (1)
b, (x - 1)3 + (2x - 3)3 + (3x - 5)3 - 3(x - 1)(2x - 3)(3x - 5) = (2) Phân tích:
a.Khi ta đặt: a= 2x – b = 4- 3x c = x +
ta có: a + b + c = 2x- + – 3x + x + =0 Phương trình (1) trở thành: a3 +b3 + c3 = 0
Từ toán 2: a +b +c = a3 +b3 +c3 = 3abc,
Ta có: (1) 3(2x – 5)(3x – 4)(x + 1) =
Giải phương trình tích ta có tập nghiệm phương trình(1) là:S = -1;
4 ;
5 b Ta đặt: a = x –
b = 2x – c = 3x –
Phương trình (2) trở thành: a3 +b3 +c3 - 3abc = 0;
Từ toán 1; a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 +b2 + c2 –ab –bc –ca)
=2
(a+b+c)(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2
Ta được: (2)
1
(x-1+2x-3+3x-5) )(x-2)2 +(2x- 4)2 +(x- 2)2 = 0
(7) 9(x – 2)2(2x – 3) = 0
Giải phương trình tích ta có tập nghiệm phương trình(2) là:S = 2;
3
Bài tốn 11.Phân tích đa thức thành nhân tử: a, (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
b, (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 Hướng dẫn giải.
a, Đặt a = x-y b = y-z c = z-x
Thì a+b+c = Vận dụng tốn 1, ta có: (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)
b, Đặt a = x-y-z b = y-z-x c = z-x-y x+y+z = -a-b-c Áp dụng tốn 10 ta có:
(x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 = (-a-b-c)3 +a3 +b3 + c3
= 3(b+c)(-a-b-c)a – bc = 3(b+c)(-a2 – ab – ac – bc)
= -3(b+c)(a+b)(a+c) = 12 xyz
Vậy (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 = 12 xyz.
Bài toán 12 Cho a a + b b + c c - 3 abc = 0, tính P = (1 + b
a
) (1 + c
b
) (1 + a
c
) Hướng dẫn:
Từ a a + b b + c c = 3 abc
( a)3 + ( b)3 + ( c)3 - 3 a b c = 0.