(Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau). KÎ AH vu«ng gãc víi BC. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By.. Tõ A vµ B vÔ c¸c tiÕp tuyÕn Ax By víi nöa ®êng trßn.. Trªn tia ®èi cña tia CD lÊy ®iÓm [r]
(1)A Những công thức biến đổi thức:
1) √A2=|A|
2) √AB=√A.√B ( víi A vµ B )
3) √A
B=
√A
√B ( víi A vµ B > )
4) √A2B
=|A|√B (víi B )
5) A√B=√A2B ( víi A vµ B )
A√B=−√A2B ( víi A < vµ B )
6) √A
B=
√AB
|B| ( víi AB vµ B )
7) A
√B= A√B
B ( víi B > )
8) C
√A ± B=
C(√A∓B)
A − B2 ( Víi A vµ A B2 )
9) C
√A ±√B=
C(√A∓√B)
A − B ( víi A 0, B vµ A B )
B Bài tập bản:
Bài 1: Tìm §KX§ cđa c¸c biĨu thøc sau:
a) √2x+3 b) √−23x+1 c)
2
x d) √21x2
HD: a) x ≥ −3
2 b) x<
2 c)
¿ x ≥0
x ≠1
¿{
¿
d) x 0
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( víi x )
a) 2+√3+√6+√8 b) x2 – 5 c) x - 4 d) x
√x −1
HD: a) (2+√3) (√2+1) b) (x+√5)(x −√5) c) (√x+2) (√x −2) d) (√x −1) (x+√x+1)
Bµi 3: Đa biểu thức sau dạng bình phơng
a) 3+2√2 b) 3−√8 c) 9+4√5 d) 23−8√7
HD: a) (√2+1)2 b) (√2−1)2 c) (√5+2)2 d) (4−√7)2
Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc sau: a) √(4−√17)2 b) √6+√14
2√3+√28 c)
x2−5
x+√5 (víi x 5) d)
x√x −1
√x −1 ( víi
x ≥0, x ≠1 )
HD: a) √17−4 b) √2 c) x −√5 d) x+√x+1
(2)a)
√x+2 ( víi x 0) b)
√x+5
√x+1 ( víi x 0) c)
√x+2
√x −2 ( víi x
0 vµ x 4)
HD: a) x={1} b) x={0;1;9} c) x={0;1;9;16;36} Bài 6: Giải phơng trình, bất phơng trình sau:
a) x 5=3 b) 32x ≤√5 c) √x+3
√x −3=2 d)
√x −1>1
HD: a) x = 14 b) −1≤ x ≤3
2 c) x = 81 d) 1<x<16
C Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thøc: A = x√x+1
x −1 −
x 1
x+1
a)Tìm ĐKXĐ rút gọn A
b) Tính giá trị biểu thức A x =
4
c) Tìm tất giá trị x để A < HD: a) ĐKXĐ là:
¿ x ≥0
x ≠1
¿{
¿
, rót gän biĨu thøc ta cã: A = √x
√x −1
b) x =
4 th× A =
c) 0≤ x<1
Bµi 2: Cho biĨu thøc: B = √x+1
√x −2+ 2√x
√x+2−
2+5√x
x −4
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức B b) Tìm x để B =
HD: a) §iỊu kiƯn:
¿ x ≥0
x ≠4
¿{
¿
, rót gän biÓu thøc ta cã: B = 3√x
√x+2
c) B = ⇒ x = 16
Bµi 3: Cho biĨu thøc: C = (
√a−1−
√a):(
√a+1
√a −2−
√a+2
√a −1)
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a để C dơng
HD: a) §iỊu kiƯn:
¿ a>0
a ≠4
a≠1
¿{ {
¿
, rót gän biĨu thøc ta cã: C = √a −2
3√a
(3)Bµi 4: Cho biĨu thøc D = ( √x
√x −2+
√x
√x+2)
x −4
√4x
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = 6−2√5
HD: a) §iỊu kiƯn:
¿ x>0
x ≠4
¿{
¿
, rót gän biĨu thøc ta cã: D = √x
b) D = √5−1
Bµi 5: Cho biĨu thøc E = √x
√x+1−
√x
√x −1+ 3−√x
x −1
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = -1
HD: a) §iỊu kiƯn:
¿ x>0
x ≠1
¿{
¿
,rót gän biÓu thøc ta cã: E = −3
1+√x
c) x =
Bµi 6: Cho biÓu thøc: F = (
√x −2−
√x+2)
x+4√x+4
8
a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức F
b) Tính giá trị biểu thức F x=3 + √8 ;
c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức F có giá trị nguyên ?
HD: a) §KX§:
¿ x ≥0
x ≠4
¿{
¿
,rót gän biĨu thøc ta cã: F = √x+2
√x −2
b) x = 3+ √8=3+2√2=(√2+1)2
⇒ A = 2√2−1
c) BiĨu thøc A nguyªn khi: √x −2={±4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36}
D Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc : P=√a+2
√a+3−
5
a+√a −6+¿
1 2a
a) Tìn ĐKXĐ rút gọn P
b) Tính giá trị P khi: a = 7−4√3 c) Tìm giá trị a để P <
Bµi2 :Cho biĨu thøc: Q= (
√a−1−
√a):(
√a+1
√a −2−
√a+2
√a −1)
a Rót gän Q
(4)Bµi3:Cho biĨu thøc: A = 2√x −9
x −5√x+6−
√x+3
√x −2−
2√x+1
3−√x
a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A >
c, Tìm giá trị x Z để A Z
Bµi4 : Cho biĨu thøc: C =
√x+1−
3
x√x+1+
2
x −√x+1
a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức C b, Tìm giá trị x để C =
Bµi5: Cho biĨu thøc: M =
1− x¿2 ¿ ¿ (√x −x −12−
√x+2
x+2√x+1)⋅¿
a) Rót gän M
b) Tìm giá trị x để M dơng c) Tìm giá trị lớn M
Bµi6: Cho biĨu thøc: P = ( √x
√x −1−
x −√x):(
1
√x+1+
2
x −1)
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tìm x để P =
A Kiến thức hàm số - Đồ thị hàm số: Hàm số bËc nhÊt mét Èn
1) Hµm sè bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng: y = ax + b (a 0)
2) Hàm số đồng biến a > nghịch biến a <
3) Đồ thị hàm số đờng thẳng cắt trục tung điểm ( 0; b ) cắt trục hoành điểm ( - b
a ; ) Khi b = đồ thị hàm số qua gốc toạ độ
4) Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) (a; a’ 0)
(d) c¾t (d’) a a’
(5) (d) // (d’) a = a’ vµ b b’
(d) (d’) a = a’ vµ b = b’
Hµm sè bËc hai y = ax2 ( a 0)
1)Hµm sè y = ax2 (a 0)
Nếu a > hàm số đồng biến x > 0, nghịch biíen x < Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x >
2) Đồ thị hàm số đờng cong Parapol nhận trục tung làm trục đối xứng nhận gốc toạ độ làm đỉnh Khi a < đồ thị nằm phía dới trục hồnh a > đồ thị nằm phía trục hồnh
B Bài tập hàm số - Đồ thị hàm số:
Bi 1 : Cho hai hàm số: y = 2x - y = 32 x + 13 a)Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm chúng
HD : a) Xác định giao điểm đồ thị với hai trục toạ độ, sau kẻ đờng thẳng qua hai điểm
b) Toạ độ giao điểm (1 ; 1)
Bài 2 : Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b biết:
a) Đồ thị hàm số có tung độ gốc qua điểm A (-1 ; 2) b) Song song với đờng thẳng y = −2
3 x qua điểm B(3; -1)
HD : a) y = x + b) y = −23 x +1
Bµi 3 : Cho hai hµm sè : y = 2x2 vµ y = x – m
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ m = -1 tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số
b) Với giá trị m hai đồ thị hai hàm số cắt hai điểm HD : a) Vẽ hai đồ thị: y = 2x2 y = x +1.
b) 2x2 = x – m cã hai nghiƯm ph©n biƯt ⇒ m <
8 D Bµi tËp lun tËp:
Bài 1 : Cho hàm số y = ax + Hãy xác định hệ số a, biết :
a) Hàm số đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - 4x + b) Đồ thị hàm số qua điểm a( 2; -3)
c) Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -
Bài 2 : Cho đờng thẳng y = (m – 2)x + n (m 2) (d) Tìm giá trị m, n trờng hợp sau :
a) Đờng thẳng (d) qua hai điểm A(-1 ; 2) vµ B(3 ; - 4)
b) Song song với đờng thẳng 3y + 2x = cắt trục tung điểm có tung độ
(6)a) Vẽ hai đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ m =
2 Tìm toạ
giao điểm
b) Tìm m để hai đồ thị có điểm chung
A KiÕn thøc ph ơng trình bậc hai:
1) Công thức nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0) Δ = b2 – 4ac
NÕu Δ > ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1=
b+
2a ; x2=
− b −√Δ
2a
Nếu = phơng trình có nghiệm kÐp: x1=x2=− b
2a
NÕu Δ < phơng trình vô nghiệm
2) Công thức nghiệm thu gọn phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0)
Δ' = b’2 – ac ( b '=b
2 )
Nếu ' > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt :
x1=− b '+√Δ'
a ; x2=
− b ' −√Δ' a
Nếu ' = phơng trình có nghiệm kép : x1=x2=− b '
a
NÕu Δ' < phơng trình vô nghiệm 3) Hệ thức Viét øng dơng :
a) Gäi x1; x2 lµ hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0) th× :
¿ x1+x2=−b
a x1.x2=c
a ¿{
¿
(7)b) Cho phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0) nÕu :
a + b + c = phơng trình có nghiệm : x1=1; x2= c a
a – b + c = phơng trình có nghiệm : x1=1; x2= c a
c) Cho hai sè u vµ v cã:
¿ u+v=S
u.v=P
¿{
¿
thì u v nghiệm phơng trình X2 – SX + P = ( ĐK để phơng trình có nghiệm S2 4P)
4) §iỊu kiƯn nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0.
Phơng trình có hai nghiệm dấu :
¿ Δ≥0
x1.x2>0
¿{
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu : x1.x2<0
Phơng trình có hai nghiệm d¬ng khi:
¿ Δ≥0
x1.x2>0
x1+x2>0
{ {
Phơng trình có hai nghiƯm ©m :
¿ Δ≥0
x1.x2>0
x1+x2<0
¿{ {
¿
B Bµi tËp ph ơng trình bậc hai :
Bài 1 : Giải phơng trình sau :
a) x4 – 9x2 + 18 = 0 b) ( x2 + 3x - 2)(x -1) = 0 c) x
x+3+
2
x −1= 12
(x+3)(x −1)
HD : a) x1 = x2 = 1, x3 = -1 vµ x4 = b) x1,2 = −3±√17
2 ; x3 = c) x =
Bµi 2 : Cho phơng trình x2 (m + 2)x + 2m = 0 a) Giải phơng trình với m = -1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
c) Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình theo m
c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình, tìm m để (x1+ x2)2 - x1 x2 = 5. HD : a) x1= -1; x2 =
(8)c)
¿ x1+x2=m+2
x1.x2=2m ¿{
¿
d) m=−1±√2
Bµi 3 : Cho phơng trình: 2x2 (m + 3)x + m = 0 (1) a) Giải phơng trình(1) với m =
b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1+ x2 = 52 x1 x2
c) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P = |x1− x2|
HD : a) x1 = 12 ; x2 = b) m = c) m =
Bµi 4 : Cho phơng trình x2 + (m 2)x + m + = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -
b) Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 ; x2 phơng trình (1) thoả mãn x12+ x22 = 10.
HD : a) x1 =1 ; x2 = b)
¿
m2−8m −16≥0 m2−6m−16=0
⇒m=−2
{
Bài 5 : Cho phơng tr×nh: x2 – 2mx + m2 -1 = 0 (1) a) Giải phơng trình với m =
b) Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phơng trình có tổng bình phơng nghiệm d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm
e) Tìm m để phơng trình có nghiệm 2, tìm nghiệm lại
HD : a) x1 =1 ; x2 = b) Δ = > víi ∀ m c) x12+ x22 = 2m2 + = ⇒ m = ±
d)
¿
2m<0
m2−1
>0 ⇒m<−1
¿{
¿
e)
m=1
¿ m=3
¿
⇒
¿ x2=0
¿ x2=4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(9)a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm
HD: a)Phơng trình (1) có nghiệm ’ (m - 1)2 – m2 – 0 – 2m
0
m 2.
b) Víi m th× (1) cã nghiƯm Gäi mét nghiƯm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta
cã:
3 2
.3
a a m a a m
a=
1 m
3(
1 m
)2 = m2 – 3 m2 + 6m – 15 = 0 m = –32 ( thâa m·n ®iỊu kiƯn)
C Bµi tËp lun tËp:
Bµi 1 : Giải phơng trình sau : a) 2x −5
x −1 = 3x
x −2 b) (4x2 - 25)(2x2 – 7x - 9) = c) x4 + 5x2 + =
d) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24
Bµi 2 : Cho phơng trình x2 + (m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải phơng trình víi m = -2
b) Chứng minh phơng trình (1) ln có nghiệm Tìm nghiệm (1) c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình (1), tìm m để : x1
1
+
x2=2
d) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình (1), tìm m để biểu thức P = x12+ x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 3 : Cho phơng trình x2 – 2(m – 1)x + m2 - 3m = 0 a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12+ x22 = 8. d) Tìm m để phơng trình có nghim õm
e) Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m
A Các b ớc giải toán cách lập hệ ph ơng trình:
B
ớc 1 : Lập hệ phơng trình
1) Chn n v tìm điều kiện ẩn (thơng thờng ẩn đại lợng mà tốn u cầu tìm) 2) Biểu thị đại lợng cha biết theo ẩn đại lng ó bit
3) Lập hệ phơng trình biểu thị mối quan hệ lợng
B
ớc 2 : Giải hệ phơng trình
B
íc 3 : KÕt ln bµi toán
B Bài tập bản:
Bài 1 : Giải hệ phơng trình sau :
(10)a)
¿
2x −3y=5
x+2y=2
¿{ ¿ b) ¿ x+ y= x+ y= ¿{ ¿ c) ¿
(x −2)(y+3)=xy (x+1)(y −2)=xy+1
¿{
¿
HD : a)
¿ x=4
y=−1
{
b) Đặt
u=1
x v=1
y
⇒
¿u=1
6
v=
12
¿{
¿
⇒
¿ x=6
y=12
¿{
¿
c)
¿ x=−2
y=5
¿{
¿
Bài 2 : Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp tơ
HD : Gọi vận tốc xe đạp x (km/h), vận tốc ô tô y (km/h)
ta có hệ phơng trình:
3x+3y=156
y − x=28 ⇔
¿x=12
y=40
¿{
¿
Vậy vận tốc xe đạp 12 (km/h), vận tốc ô tô 40 (km/h)
Bài 3 : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB thời gian dự định từ A đến B
HD : Gọi quãng đờng AB x(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B y (giờ) (x > 0; y > 1)
Ta có hệ phơng trình:
x
35 −2=y
y − x
50=1
⇒
¿x=350
y=8
¿{
(11)Vậy quãng đờng AB 350(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B (giờ)
Bài 4 : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85 km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nơ, biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngợc dịng km/h vận tốc dòng nớc 3km/h
HD : Gọi vận tốc thật ca nô xuôi dòng x(km/h), vận tốc ca nô ngợc dòng y (km/h) (x,y > 3)
Theo ta có phơng trình:
x+3(y 3)=9
5
3(x+3)+
3(y −3)=85
⇒
¿x=27
y=24
¿{
¿
VËy vận tốc thật ca nô xuôi dòng 27(km/h), vận tốc ca nô ngợc dòng 24 (km/h)
Bài 5 : Hai đội công nhân làm cơng việc 16 ngày xong Nếu đội thứ làm ngày, đội thứ hai làm ngày hồn thành đợc
4 c«ng viƯc Hái
nếu làm đội hồn thành cơng việc ?
HD : Gọi thời gian đội thứ hồn thành cơng việc x ( ngày) Thời gian đội thứ hai hồn thành cơng việc y ( ngày)
⇒
1
x+
1
y=
1 16
x+
6
y=
1
⇒
¿x=24
y=48
¿{
Vậy thời gian đội thứ hồn thành cơng việc 24 ( ngày)
Thời gian đội thứ hai hồn thành cơng việc 48 ( ngày)
Bài 6 : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 10 phút, vịi thứ hai 12 phút đợc
15 bể nớc Hỏi chảy
mình vòi chảy đầy bể ?
(12)⇒
80
x +
80
y =1
10
x +
12
y =
2 15
⇒
¿x=120
y=240
¿{
VËy thêi gian vòi chảy đầy bể 120 (phút), thời gian vòi
chảy đầy bể lµ 240 (phót)
Bài 7 : Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lên lần chu vi ruộng khơng thay đổi
HD : Gäi chiỊu réng cđa thưa rng lµ x (m), chiỊu dµi cđa thưa rng lµ y (m) ( x> 0, y > 0)
⇒
y − x=45
2(x+y)=2(3x+ y
2)
⇒
¿x=15
y=60
¿{
⇒ DiÖn tÝch cđa thưa rng lµ : 900 m2.
Bài 8 : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho tăng thêm 27 đơn vị
HD : Gäi sè tù nhiªn cã hai chữ số ab ( 0<a9,0 b 9 ). ⇒
a+b=11
ba−ab=27 ⇒
¿a=4
b=7
{
Vậy số cần tìm 47
C Bµi tËp lun tËp:
Bài 1 : Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc định vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm giờ, vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng lên Tính vận tốc thời gian dự định ô tô
Bài 2 : Hai ngời hai địa điểm A B cách 3,6 km, khởi hành lúc , ngợc chiều gặp địa điểm cách A km Nếu hai giữ nguyên vận tốc, nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút họ sễ gặp quãng đờng Tính vận tốc ngời
(13)vµ xng dèc lóc ®i vµ lóc vỊ nh nhau) TÝnh vËn tèc lóc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc
Bi 4 : Hai đội lao động làm chung sau ngày sễ hồn thành cơng việc nhng lúc đầu, đội làm đợc ngày đội hai tới hai đội làm ngày cơng việc hồn thành Hỏi đội làm sau xong cơng việc ?
Bài 5 : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 30 phút đày bể Nếu vòi chảy riêng vịi I chảy băng nớc vịi II chảy vào bể Hỏi chảy vịi chảy đầy bể ?
Bài 6 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho giảm 27 đơn vị
Bài 7: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
A Các b ớc giải toán cách lập ph ơng trình:
B
ớc 1 : Lập phơng trình
1) Chn ẩn tìm điều kiện ẩn (thơng thờng ẩn đại lợng mà tốn u cầu tìm) 2) Biểu thị đại lợng cha biết theo ẩn cỏc i lng ó bit
3) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ lợng
B
ớc 2 : Giải phơng trình
B
íc 3 : KÕt ln bµi toán
B Bài tập bản:
Bi 1 : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô (vận tốc ca nô nớc yên lặng không đổi) biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngợc dịng 9km/h vận tốc dịng nớc 3km/h
HD : Gäi x (km/h) lµ vËn tốc ca nô xuôi dòng, x >
⇒
3 x +
3 (x – 9) = 85 ⇒ x = 30 VËy vận tốc thật ca nô xuôi dòng
là : 27 km/h Vận tốc thật ca nô ngợc dòng 24km/h
Bi 2 : Khoảng cách hai bến sông A B 45 km Một ca nô từ A đến B nghỉ B 30 phút quay trở lại A Thời gian kể từ lúc đến lúc trở đến bến A 30 phút Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h
HD : Gäi x(km/h) vận tốc ca nô nớc yên lặng (x > 6) Ta có phơng trình: 45x 6+45
x+6+
1 2=4
1 2⇒2x
2
45x 72=0 , phơng trình có nghiệm x
= 24 (TM) VËy vËn tèc cđa ca n« dòng nớc yên lặng 24 km/h
(14)Bài 3 : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm thời gian định Khi làm mối thêm sản phẩm nên ngời làm xong trớc dự định mà cịn làm thêm sản phẩm Hỏi ngời dự định làm đợc sản phẩm ?
HD : Gọi x số sản phẩm ngời dự định làm ( x > 0) ⇒120
x −
126
x+2=1⇒x
2
+8x −240=0 , phơng trình có nghiệm x = 12 (TM) Vậy dự định làm đợc 12 sản phẩm
B ià 4: Hai đội đào mơng Nếu đội làm mơng thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung cơng việc hồn thành Tính xem đội làm xong mơng bao lâu?
HD: Gọi thời gian đội I hồn thành cơng việc x (giờ) 25 > x > Thời gian đội hai hồn thành cơng việc 25 – x ngày
⇒1
x+
1 25− x=
1 6⇒x
2−25x
+150=0 ⇒x1=10; x2=15 Thời gian đội I hồn thành cơng việc 10 (giờ) Thời gian đội II hồn thành cơng việc 15 (giờ) Hoặc thời gian đội I hồn thành cơng việc 15 (giờ) Thời gian đội II hồn thành cơng việc l 10 (gi)
Bài 5: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55 phút đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy nhanh vòi thứ hai Nếu mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?
HD: Gọi x ( giờ) thời gian vòi I chảy đầy bể x + ( giờ) thời gian vòi II chảy đầy bể Ta có phơng trình:
x+
1
x+2=
12 35⇒6x
2−23x −35
=0
Bài 6: Trong phịng họp có 80 ngời, đợc xếp ngồi ghế Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế cịn lại phải xếp thêm ngời đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy đợc xếp chỗ ngồi?
HD: Gäi x lµ sè d·y ghế phòng họp, x N*, chỗ ngồi mét d·y lµ 80
x
+ Nếu bớt hai ghế số chỗ ngồi dÃy : 80x 2 + Theo ta có phơng trình: 80
x 2 - 80
x = ⇒ x1 = 9; x2 = - VËy sè d·y
ghế phòng họp 10 dãy, dãy đợc xếp chỗ ngồi
C Bµi tËp lun tËp:
Bài 1 : Quãng sông từ A đến B dài 36 km Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngợc dòng từ B trở A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dòng n-ớc km/h
Bài 2 : Lúc ô tô từ A đến B Lúc 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc tơ 24 km/h Ơ tơ đến B đợc 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 120 km
Bài 3: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h
(15)đúng , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa qng đờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng
Bài 5 : Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô
Bài 6 : Một đôi cơng nhân dự định hồn thành cơng việc với 500 ngày cơng thợ Hãy tín số ngời đội, biết bổ sung thêm cơng nhân số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày
Bài 7 : Hai đội công nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng
Bài 9: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể ?
Bµi 10: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?
A Những kiến thức bản:
(16)a
c b
h
C B
A
H
b' c'
c b
a A
B C
II tóm tắt số kiến thức đ ờng tròn: 1) Đờng kính dây:
+ Trong đờng trịn, đờng kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây
2) Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây.
+ Trong đờng tròn hai dây cách tâm, hai dây cách tâm
+ Trong đờng trịn dây gần tâm lớn hơn, dây lớn gần tâm
3) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn.
+ Một đờng thẳng qua điểm thuộc đờng trịn vng góc với bán kính đờng trịn qua điểm đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn
4) TÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t nhau.
+ Hai tiếp đờng tròn cắt điểm điểm cách hai tiếp điểm, tia kẻ từ điểm đến tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến, tia kẻ từ tâm đến điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua hai tiếp điểm
5) Góc với đờng trịn.
+ Góc tâm có số đo số đo cung bị chắn
+ Gúc ni tip cú s đo nửa số đo cung bị chắn + Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn có số đo 900.
+ Trong đờng trịn góc nội tiếp chắn cung hay cung
+ Trong đờng trịn góc nội tiếp chắn cung + Góc tạo tia tiếp tuyến nửa số đo cung bị chắn
+ Trong đờng tròn góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung
+ Góc có đỉnh nằm đờng trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn, góc có đỉnh nằm ngồi đờng trịn nửa hiệu hai cung bị chắn
6) Tứ giác nội tiếp đờng tròn.
+ Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện 1800. + Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
b2 = a.b’ ; c2 = a.c’ a.h = b.c
h2 = b’.c’
1
h2=
1
b2+
1
c2
(17)- Tứ giác có tổng số hai góc đối diện 1800.
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
- Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc
B Bµi tËp tỉng hỵp:
Bài 1: Cho đờng trịn (O;6cm) điểm A nằm ngồi đờng trịn, cho OA = 10cm, qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC đến đờng tròn O (B,C tiếp điểm )
a, Chøng minh OA BC
b, Tính độ dài cạnh tam giác ABC
c, Qua điểm D thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O), cắt tiếp tuyến AB, AC theo thức tự M N Tính chu vi tam giác AMN
HD: a) ABC cân A, có AI tia phân giác
AI l ng cao (Tính chất tam giác cân)
VËy AO BC
b) AB=AC=√AO2−OB2=√102−62=8 cm
Theo hÖ thøc ah = bc ta cã : AO.BI = AB.BO ⇒
10.BI = 8.5 ⇒ BI = cm ⇒ BC = cm c) Chu vi tam gi¸c AMN b»ng :AM+AN+MN = =AB+AC=2AB (Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) = 2.8 = 16 cm
Bài 2: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính BC điểm A nửa đờng trịn( A khác B,C) Kẻ AH vng góc với BC Trên nủa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ hai nửa đ -ờng trịn đ-ờng kính HB HC, chúng lần lợt cắt AB E AC F
a, C/m: AE.AB = AF.AC
b, C/m: EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng trịn đờng kính BH HC
c, Gọi I K lần lợt hai điểm đối xứng với H qua AB AC C/m: ba điểm I,A,K thẳng hàng
d, C/m: IK lµ tiÕp tun cđa (O) HD:
a) Theo hƯ thøc lỵng ta cã: AE.AB = AH2; AF.AC = AH2
⇒ AE.AB = AF.AC
b) E thuộc đờng trịn đờng kính BH, F thuộc đờng trịn đờng kính HC
∠ HEM + ∠ HEF = ∠ EHM + ∠ AEH
= 900 T¬ng tù ta cã:
∠ HFN + ∠ HFE = 900 ⇒ EF tiếp tuyến chung đờng trịn đờng kính BH
và đờng trịn đờng kính HC
c) AK // EF; AI // EF K, A, I thẳng hàng
d) IK qua điểm A thuộc đờng tròn (O) ∠ OAC = ∠ OCA; ∠ FAK = ∠ FAH ⇒
∠ OAC + ∠ FAK = ∠ OCA + ∠ FAH = 900 ⇒ IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O).
Bài 3: Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua M thuộc nửa đờng tròn , kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax By lần lợt E
N M
I O
A
B
C D
F
E
O C
K
I
B
A
H
(18)a, Chøng minh tø gi¸c AEMO nội tiếp
b, AM cắt OE P , BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? sao? c, Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB) Gọi K giao điểm cđa MH vµ EB Chøng minh: MK = KH
HD:
a) ∠ EAO + ∠ EMO = 1800
⇒ AEMO néi tiÕp
b) AM OE; BM OF ( TÝnh chÊt
tam giác cân) ⇒ ∠ OPM = ∠ OQM = 900 ∠ PMQ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn) ⇒ MPOQ hình chữ nhật
c) EMK EFB:
EM EF MK BF
MF = BF
EM EF MK MF
Mặt khác : ABE HBK:
EA AB HK HB
V× :
EF AB
MF HB(Talet)
EM EA
MK KH V× : EM = AE MK = KH.
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, vẽ tiếp tuyến B đờng kính MN khơng trùng với AB, AM AN cắt tiếp tuyến B theo thứ tự H K
a, Chøng minh MNKH lµ tø gi¸c néi tiÕp b, Chøng minh AM.AH = AN.AK
c, Xác định vị trí đờng kính MN để HK có độ dài ngắn HD: a) Xét tứ giác MNKH có
∠ MHK =
2 (s®ANB – s®MB)
=
2 sđBN (góc có đỉnh nằm ngồi
ng trũn)
Mặt khác ANM =
2 s®AM
=
2 s®BN ( v× ∠ AOM = ∠ BON)
⇒ ∠ MHK = ∠ ANM (1)
Mµ ∠ ANM + ∠ MNK = 1800
⇒ ∠ MHK + ∠ MNK = 1800 ⇒ Tø gi¸c MNKH néi tiÕp.
b) Xét hai tam giác vuông ABH ABK Theo hệ thøc b2=a.b’ ta cã: AB2 = AM.AH vµ AB2 = AN.AK ⇒ AM.AH=AN.AK (®pcm).
x y
K Q
P
O B
A E
F M
H
1
1
1 K
H
O N
A
(19)c) Ta có HK=BH+BK≥2√BH BK (bất đẳng thức Côsi) Mà Δ AHK vuông A nên theo hệ thức b2=a.b’ ta có:
2R¿2 ¿ ¿
√BH BK=√AB2=√¿
⇒ HK ng¾n nhÊt 4R BH=BK Tam giác AHK cân MN // HK
Bài 5: Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định CD đờng kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đờng tròn (O;R) B cắt đờng thẳng AC AD lần lợt E F
a) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn
c) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I nằm đờng tròn cố định
HD:
a) Δ AEF vuông A, EF AB, áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông ta có: BE.BF = AB2 BE.BF = 4R2.
b) ∠ADC=1
2sdAC=
2(sdACB−sdCB);∠AEAF=
2(sdADB−sdCB)=
2(sdACB−sdCB) ⇒
∠ ADC = ∠ AEF ⇒ ∠ CDF + ∠ CEF = 1800 ⇒ CEFD nội tiếp. c) Gọi K trung điểm EF, từ K kẻ đờng
thẳng Kt EF, từ O kẻ đờng thẳng Ox CD Khi CD khơng trùng, khơng vng góc với AB Kt cắt Ox I tâm đờng trịn ngoai tip t giỏc CEFD
Vì AK trung tuyến tam giác vuông AEF nên KAF = ∠ AFE, kÕt hỵp víi
∠ ADC = ∠ AEF ⇒ ∠ AFE + ∠ AEF = 1800
⇒ AK CD
AKIO hình bình hành, KI = AO = R khơng đổi I khác phía với điểm O so với đờng thẳng cố định EF ⇒ I nằm đờng thẳng d song song cách EF khoảng không đổi R
Khi CD AB I giao điểm AB d Vậy I nằm đờng thẳng cố định
Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, có cạnh đáy nhỏ hai cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến B C đờng tròn lần lợt cắt tia AC tia AB D E Chứng minh:
a) BD2 = AD.CD
b) Tứ giác BCDE tứ gi¸c néi tiÕp c) BC song song víi DE
HD:
a) Δ ADB Δ BDC (g.g) ⇒BDCD=AD
BD
⇒ BD2 = AD.CD.
Biªn tËp: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 19
x t
d E
I O
B A
C D
F K
C B
(20)b) Ta cã ∠ E1 = ∠ D1 ⇒ BCDE néi tiÕp c) ∠ ABC = ∠ BED ( cïng bï víi ∠ BCD)
⇒ BC // DE
Bài 7: Cho nửa đờng trịn (O;R) đờng kính AB Từ A B vễ tiếp tuyến Ax By với nửa đờng trịn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh cắt Ax By lần lợt C D Hai đờng thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng:
a) AC.BD = R2
b) Tam giác CDE tam giác cân
c) CD l tiếp tuyến nửa đờng tròn (O) HD:
a) Δ AOC Δ BDO (g.g) Do ACOB=OA
BD
⇒ AC.BD = OA.OB = R2
b) Δ AOE = Δ BOD (g.c.g) ⇒ OE = OD
Δ CDE có CO đờng cao, vừa đờng trung tuyến nên Δ CDE cân
c) Δ FOD vµ Δ AOE cã ∠ F = ∠ A = 900 OD = OE; ∠ D = ∠ E VËy Δ FOD = Δ AOE
⇒ OF = OA = R
Do CD tiếp đờng tròn (O)
Bài 8: Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đờng kính AOC AO’C Đờng thẳng AC cắt đờng tròn (O’) E Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) F Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng
b) T giác CDEF nội tiếp đợc đờng tròn c) A tâm đờng tròn nội tiếp Δ BEF HD:
a) ∠ ABC = ∠ ABD = 900
C, B, D thẳng hàng
b) E v F nhìn đoạn thẳng CD dới góc vng ⇒ CDEF nội tiếp đợc đờng tròn
c) ∠ F1= ∠ F2 = ∠ C1 ⇒ FA lµ tia phân giác F Chứng minh tơng tự ta
có EA tia phân giác E Do A tâm đờng trịn nội tiếp Δ BEF
Bài 9: Từ điểm A nằm đờng tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đờng tròn ( B nằm B C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng:
a) AT2 = AB.AC b) AB.AC = AH.AO
y x
O B
E A C
D F
1
21
B A
O O'
C
E
(21)c) Tứ giác OHBC nội tiếp đợc đờng tròn HD:
a) Δ ATB Δ ACT (g.g)
⇒ AT2 = AB.AC (1)
b) áp dụng hệ thức b2 = a.b vào tam giác vuông TAO ta có:
AT2 = AO.AH (2)
Tõ (1) vµ (2) suy AB.AC = AO.AH c) V× AB.AC = AO.AH ⇒AO
AB= AC AH
Suy ra: Δ AOC = Δ ABH (c.g.c)
∠ ACO = ∠ AHB
⇒ ∠ ACO + ∠ BHO = 1800
⇒ Tứ giác OHBC nội tiếp đợc đờng tròn
Bài 10: Cho hai đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung DE (D (O); E (O’)) Kẻ tiếp tuyến chung A, cắt DE I Gọi M giao điểm OI AD, N giao điểm O’I AE
a) Tứ giác AMIN hình gì? Vì sao? b) Chøng minh hÖ thøc: IM.IO = IN.IO’
c) Chứng minh OO’ tiếp tuyến đờng tròn có đờng kính DE d) Tính độ dài DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm
HD:
a) AMIN hình chữ nhật
b) Chng minh IM.IO IN.IO’ IA2 c) IA bán kính đờng trịn (I) có đờng kính DE Do OO’ vng góc với IA A nên OO’ tiếp tuyến đờng tròn (I) d) Theo hệ thức lợng tam giác vng OIO’ ta có: IA2 = OA.O’A = 5.3,2 = 16
⇒ IA = cm Do DE = 2.IA = cm
C Bµi tËp lun tËp:
Bài 1: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB, M điểm di chuyển nửa đờng trịn (M A B) Vẽ đờng tròn (M) tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến AC BD với (M) Chứng minh rằng:
a) ∠ MAH = ∠ MAC b) AC // BD c) Ba điểm C, M, D thẳng hàng d) CD tiếp tuyến đờng trịn (O) d) AC + BD khơng đổi
Bài 2: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến Ax By với (O) Một đờng thẳng qua O cắt Ax By M P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt By N
a) Chứng minh OM = OP tam giác MNP cân b) Chứng minh MN tiếp tuyến (O)
c) Chứng minh AM.BN không đổi
d) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB đạt giá trị nhỏ
B
O A
C T
H
N M
A
O O'
D
(22)Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O), đờng cao BH CK lần lợt cắt đ-ờng tròn E F
a) Chøng minh tø gi¸c BKHC néi tiÕp b) Chøng minh OA EF vµ EF // HK
c) Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác AIB bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIC
Bài 4: Cho Ax tiếp truyến đờng tròn (O;R) (A tiếp điểm) Lấy B Ax sau cho AB < 2R Gọi M trung điểm AB, đờng thẳng vng góc với AB M cắt đờng trịn (O) H K (H nằm M K) Chứng minh rằng:
a) Δ AMH Δ AMK
b) AB
2
4 MH MK
c) AH cắt KB D Chứng minh tứ gi¸c AMDK néi tiÕp
d) Gọi B’ điểm đối xứng với B qua AK Chứng minh B’ nằm đờng tròn (O;R)
Bài 5: Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ đờng kính AOC AO’D Một cát tuyến qua B cắt hai đờng tròn M N (M (O); N (O’)) MC cắt ND I
a) Chøng minh r»ng ba ®iĨm C, B, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp
c) Chứng minh góc MAC NAD, từ suy tứ giác ACID nội tiếp
d) Gäi E lµ giao cđa AM vµ CD, F lµ giao cđa MC vµ AB Chøng minh AC EF
Bài 6: Cho đờng tròn (O) với dây CD Trên tia đối tia CD lấy điểm M Kẻ tia tiếp tuyến MA, MB với (O) (A B (O)) H trung điểm CD, AB giao với OH P giao với OM E Chứng minh:
a) Tø gi¸c EHPM néi tiÕp b) OH.OP = OE.OM
c) Δ MED Δ MCO