bài hát nhớ ơn thầy cô

BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP. BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP[r]

(1)

BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM NGUYÊN HÀM

(2)

03/20/21 1./

1./ PhươngPhương pháppháp đổiđổi biếnbiến sốsố

2./ Phương pháp tích phân phần

BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM NGUYÊN HÀM

(3)

Vậy

3 x x

f ( x ) sin 6 sin

3 3

 

3 sin 6

3 sin

8 )

(x x x

f  

x x

x

sin 2

) 3 sin

4 3

sin 3

(

2  

 

f (x)dx ( 2sin x)dx

C x

 

 

 

cos 2

) cos

( 2 Ví dụ 3:

Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

(4)

03/20/21 • Định lý 1: Định lý 1: Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm

liên tục K hàm số y=f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F một nguyên hàm f, tức

thì:

Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm

theo x nhân với hàm lượng giác hàm thì đặt u = hàm theo x.

• Nếu biểu thức lấy ngun hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm log đặt u=hàm log

f ( u )du F( u ) C 

 f [ u( x )u'( x )dx F [ u( x )] C 

1./ Phương pháp đổi biến số

x

(5)

03/20/21 Một số cách đặt

Một số cách đặt Dấu hiệu

Dấu hiệu Cách đặtCách đặt Hàm số có mẫu số Đặt u mẫu số

Hàm có chứa thức Đặt u biểu thức tồn

Hàm có lũy thừa Đặt u lượng bên lũy thừa

Hàm • với x+a>0 x+b>0, đặt •Với x+a<0 x+b<0 đặt Hàm

f(x)=

Đặt (với )

1 f ( x )

( x a )( x b )



 

a sin x b cos x f ( x )

c sin x d cos x e

 

  x

u tan

u  x a  x b

u   x a   x b

x

cos 0

B( MS )' C A

MS MS

(6)

03/20/21

Dấu hiệu Cách đặt

x = asint x =a/cost x = atant

2 2

a  x ( 2 t 2 )

 

  

2 2

x  a

2 2

a  x

( t [0; ] \ ) 2

 



( t )

2 2

 

  

Một số cách đặt

(7)

Đặt u = – x => du = - dx Vậy

10

x( x ) dx



10 10

x( x ) dx   u ( u )du

 

10

11 10

12 11

u ( u )du

( u u )du

u u

C

12 11

( x ) ( x )

C

12 11

 

  

 

  

  Ví dụ 1:

Ví dụ 1: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số: Giải

(8)

03/20/21

Đặt u = – x4 => du = - 4x3dx Vậy

3

4

4 x

dx 3 x



3

4

4 x du

dx

u 3 x

  

 

1 2

4 u

C 2 u C

1 2

2 x C



   

  

Ví dụ 2:

Ví dụ 2: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số: Giải

(9)

Đặt u = + cos2x => du = ( - 2sinxcosx)dx Vậy

3 2

sin x cos x

dx 1 cos x



3 2

2 2

sin x cos x sin x cos x cos x

dx dx

1 cos x  1 cos x

 

2 2

cos x ( u )du 2 sin x cos xdx

2( cos x ) 2u

1 1

du du 2u 2

1 1

ln | u | u C

2 2

1 1

ln | cos x | ( cos x ) C

2 2



 



 

  

    

 

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

(10)

03/20/21 10 Đặt

2 2 3

x

dx 1 x  ( x )



2 2 3 2 2 2

x x

f ( x )

1 x ( x ) 1 x ( x ) x

 

      

2

2 2 2

x

x 1 x

( x )( 1 1 x ) 1 1 x



 

    

2

x

u 1 1 x du dx

1 x

    



2

2 x

du 1 x

f ( x )dx dx

u 1 1 x



 

 

  

2

2 u C 2 1 1 x C

     

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: tìm ngun hàm tìm nguyên hàm của hàm số:

của hàm số:

(11)

Đặt u = sinx – cosx => du = (sinx + cosx)dx Vậy

3

sin x cos x f ( x )

sin x cos x

 



3 3

sin x cos x du f ( x )dx dx

sin x cos x u



 



  

2 3

3 2

2 3

u 3

C u C

2 2

3 3

(sin x cos x ) C 2

   

  

Ví dụ 5:

(12)

03/20/21 12

Đặt

2

4

x 1

f ( x )

x 1

 



2 2 2

4

2 2

2

1 1

x 1 x x

f ( x ) x 0

1 1

x 1 x ( x ) 2

x x

 



    



  

2

1 1

u x du ( 1 )dx

x x

    

2

du du

f ( x )dx

u 2 ( u 2 )( u 2 )

 

  

  

1 1 1

du 2 u 2 u 2

1 u 2

ln C

2 2 u 2

 

   

 

 



 





Ví dụ 6:

(13)

• TH1:

Khi đó: Đặt

1 f ( x )

( x )( x )



 

x 0

x 1 x 0

  

  



 



u x 1 x 2

1 1 1

du dx

2 x 1 x 2

1 x 1 x 2

du dx

2 ( x )( x )

1 u

du dx

2 ( x )( x )

2du dx

u ( x )( x )

   

 

    

 

 

    

   

   

 

 

 

 

 

du

f ( x )dx 2 2 ln | u | C

  2 ln | x 1  x | C 

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: tìm ngun hàm tìm ngun hàm của hàm số:

(14)

03/20/21 14

• TH2: • Đặt:

x 0

x 2 x 0

  

   

  

u ( x ) ( x )

1 1 1

du dx

2 ( x ) ( x )

1 u

du dx

2 ( x )( x )

2du dx

u ( x )( x )

     

 



    

   

 

 

 



   

 

 

 



 

 

2du

f ( x )dx 2 ln | u | C u



  

 

2 ln | ( x ) ( x ) | C

(15)

Đặt x = sint => dx = costdt Ta có



 

2

1 x dx I

t t

t

x 1 sin cos cos

1    

C x

C t

dt

I     

  arcsin

) 2

(  t 

) cos

] ; [

(t      x  Ví dụ 7:

Ví dụ 7: tìm nguyên hàm tìm nguyên hàm của hàm số:

(16)

03/20/21 16

Đặt x = 2sint => dx = 2costdt Ta có:

2

I  4 x dx

2 2 2

4 x 2 sin t 2 cos t 2 cos t

2

I 4 cos tdt ( cos 2t )dt 2t sin 2t C

       

2

2t sin t cos t C

x x

2 arcsin x 1 C

2 4

  

   

( t )

2 2

 

  

( t [ ; ] cos x ) 2 2

 

   

Ví dụ 8:

(17)

Đặt x = tant => dx = (1+tan2t)dt

2

x

I dx

1 x







2 2

2

tan t( tan t )

I dt tan t tan tdt tan t 1



   



 

2 2

2 4

2 2

sin t 1 sin t

dt cos tdt cos t cos t cos t

sin t

cos tdt ( sin t )

   





 



( t )

2 2

 

  

( t [ ; ] cos x ) 2 2

 

   

2 2

sin t 1

dt cos t cos t

 

Ví dụ 9:

(18)

03/20/21 18

Đặt u = sint => du = costdt

2 2

2 2 2 2

u u

I du du

( u ) ( u 1 )

  

 

 

2

2 2

1 1 1

du 4 u u 1

1 1 1 1 1

du 4 ( u ) ( u ) u u 1

1 1 1 u 1

( ln ) C

4 u u 1 u 1

 

   

 

 

 

     

   

 

 

   

  



1 1 1 sin t 1

( ln ) C

4 sin t sin t 1 sin t 1

1 1 1 sin(arctan x ) 1

( ln ) C

4 sin(arctan x ) sin(arctan x ) 1 sin(arctan x ) 1

 

   

  

 

   

(19)

• Định lý 2:Định lý 2:

Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K

u )x )v'( x )dx u( x )v( x )  v( x )u'( x )dx

 

2./ Phương pháp tích phân phần

(20)

03/20/21 20

Vd: tính nguyên hàm sau

Đặt

x ln xdx

(21)

Đặt

2

x

dx cos x



Chọn

dx du

x u

 



x v

dx x

dv

tan cos

1

2

 



  

 dx x x xdx

x x

tan tan

cos2

C x

x x

dx x

x x

x

 





 

| cos |

ln tan

(22)

03/20/21 22

2

ln x

dx ( x )

(23)

03/20/21 23

x

e cos xdx 

 Đặt Chọn dx e du e u x x          x v xdx dv sin cos   dx x e x e xdx e x x x            

 sin sin

cos Đặt Chọn dx e du e u x x          x v xdx dv cos sin           

 e xdx e x e x xdx

x x       cos 1 cos sin 1 2 C x e x e xdx e x x x       

 cos 2sin1 cos2 1

 

(24)

03/20/21 24

cos(ln x )dx



Đặt

Chọn

dx x

x du

x u

) sin(ln 1

) cos(ln

  



x v

dx dv

 



  

 cos(ln x)dx x cos(ln x) sin(ln x)dx

Đặt

Chọn

dx x

x du

x u

) cos(ln 1

) sin(ln

 



x v

dx dv

 

C x

x x

dx

x   

  [cos(ln ) sin(ln )]

2 1 )

cos(ln



  