BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP. BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP[r]
(1)BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM NGUYÊN HÀM
TÌM NGUYÊN HÀM
(2)03/20/21 1./
1./ PhươngPhương pháppháp đổiđổi biếnbiến sốsố
2./ Phương pháp tích phân phần
2./ Phương pháp tích phân phần
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM NGUYÊN HÀM
(3)Vậy
3 x x
f ( x ) sin 6 sin
3 3
3 sin 6
3 sin
8 )
(x x x
f
x x
x
sin 2
) 3 sin
4 3
sin 3
(
2
f (x)dx ( 2sin x)dx
C x
C x
cos 2
) cos
( 2 Ví dụ 3:
Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:
(4)03/20/21 • Định lý 1: Định lý 1: Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm
liên tục K hàm số y=f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F một nguyên hàm f, tức
thì:
Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm
theo x nhân với hàm lượng giác hàm thì đặt u = hàm theo x.
• Nếu biểu thức lấy ngun hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm log đặt u=hàm log
f ( u )du F( u ) C
f [ u( x )u'( x )dx F [ u( x )] C
1./ Phương pháp đổi biến số
1./ Phương pháp đổi biến số
x
(5)03/20/21 Một số cách đặt
Một số cách đặt Dấu hiệu
Dấu hiệu Cách đặtCách đặt Hàm số có mẫu số Đặt u mẫu số
Hàm có chứa thức Đặt u biểu thức tồn
Hàm có lũy thừa Đặt u lượng bên lũy thừa
Hàm • với x+a>0 x+b>0, đặt •Với x+a<0 x+b<0 đặt Hàm
f(x)=
Đặt (với )
1 f ( x )
( x a )( x b )
a sin x b cos x f ( x )
c sin x d cos x e
x
u tan
u x a x b
u x a x b
x
cos 0
B( MS )' C A
MS MS
(6)03/20/21
Dấu hiệu Cách đặt
x = asint x =a/cost x = atant
2 2
a x ( 2 t 2 )
2 2
x a
2 2
a x
( t [0; ] \ ) 2
( t )
2 2
Một số cách đặt
(7)Đặt u = – x => du = - dx Vậy
10
x( x ) dx
10 10
x( x ) dx u ( u )du
10
11 10
12 11
12 11
u ( u )du
( u u )du
u u
C
12 11
( x ) ( x )
C
12 11
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số: Giải
(8)03/20/21
Đặt u = – x4 => du = - 4x3dx Vậy
3
4
4 x
dx 3 x
3
4
4 x du
dx
u 3 x
1 2
4 u
C 2 u C
1 2
2 x C
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số: Giải
(9)Đặt u = + cos2x => du = ( - 2sinxcosx)dx Vậy
3 2
sin x cos x
dx 1 cos x
3 2
2 2
sin x cos x sin x cos x cos x
dx dx
1 cos x 1 cos x
2 2
2 2
cos x ( u )du 2 sin x cos xdx
2( cos x ) 2u
1 1
du du 2u 2
1 1
ln | u | u C
2 2
1 1
ln | cos x | ( cos x ) C
2 2
Ví dụ 3:
Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:
(10)03/20/21 10 Đặt
2 2 3
x
dx 1 x ( x )
2 2 3 2 2 2
x x
f ( x )
1 x ( x ) 1 x ( x ) x
2
2 2 2
x
x 1 x
( x )( 1 1 x ) 1 1 x
2
2
x
u 1 1 x du dx
1 x
2
2 x
du 1 x
f ( x )dx dx
u 1 1 x
2
2 u C 2 1 1 x C
Ví dụ 4:
Ví dụ 4: tìm ngun hàm tìm nguyên hàm của hàm số:
của hàm số:
(11)Đặt u = sinx – cosx => du = (sinx + cosx)dx Vậy
3
sin x cos x f ( x )
sin x cos x
3 3
sin x cos x du f ( x )dx dx
sin x cos x u
2 3
3 2
2 3
u 3
C u C
2 2
3 3
(sin x cos x ) C 2
Ví dụ 5:
Ví dụ 5: tìm ngun hàm tìm nguyên hàm của hàm số:
của hàm số:
(12)03/20/21 12
Đặt
2
4
x 1
f ( x )
x 1
2 2 2
4
2 2
2
1 1
1 1
x 1 x x
f ( x ) x 0
1 1
x 1 x ( x ) 2
x x
2
1 1
u x du ( 1 )dx
x x
2
du du
f ( x )dx
u 2 ( u 2 )( u 2 )
1 1 1
du 2 u 2 u 2
1 u 2
ln C
2 2 u 2
Ví dụ 6:
Ví dụ 6: tìm ngun hàm tìm nguyên hàm của hàm số:
của hàm số:
(13)• TH1:
Khi đó: Đặt
1 f ( x )
( x )( x )
x 0
x 1 x 0
u x 1 x 2
1 1 1
du dx
2 x 1 x 2
1 x 1 x 2
du dx
2 ( x )( x )
1 u
du dx
2 ( x )( x )
2du dx
u ( x )( x )
du
f ( x )dx 2 2 ln | u | C
2 ln | x 1 x | C
Ví dụ 4:
Ví dụ 4: tìm ngun hàm tìm ngun hàm của hàm số:
của hàm số:
(14)03/20/21 14
• TH2: • Đặt:
x 0
x 2 x 0
u ( x ) ( x )
1 1 1
du dx
2 ( x ) ( x )
1 u
du dx
2 ( x )( x )
2du dx
u ( x )( x )
2du
f ( x )dx 2 ln | u | C u
2 ln | ( x ) ( x ) | C
(15)Đặt x = sint => dx = costdt Ta có
2
1 x dx I
t t
t
x 1 sin cos cos
1
C x
C t
dt
I
arcsin
) 2
( t
) cos
] ; [
(t x Ví dụ 7:
Ví dụ 7: tìm nguyên hàm tìm nguyên hàm của hàm số:
của hàm số:
(16)03/20/21 16
Đặt x = 2sint => dx = 2costdt Ta có:
2
I 4 x dx
2 2 2
4 x 2 sin t 2 cos t 2 cos t
2
I 4 cos tdt ( cos 2t )dt 2t sin 2t C
2
2t sin t cos t C
x x
2 arcsin x 1 C
2 4
( t )
2 2
( t [ ; ] cos x ) 2 2
Ví dụ 8:
Ví dụ 8: tìm ngun hàm tìm nguyên hàm của hàm số:
của hàm số:
(17)Đặt x = tant => dx = (1+tan2t)dt
2
2
x
I dx
1 x
2 2
2 2
2
tan t( tan t )
I dt tan t tan tdt tan t 1
2 2
2 4
2 2
sin t 1 sin t
dt cos tdt cos t cos t cos t
sin t
cos tdt ( sin t )
( t )
2 2
( t [ ; ] cos x ) 2 2
2 2
sin t 1
dt cos t cos t
Ví dụ 9:
Ví dụ 9: tìm ngun hàm tìm nguyên hàm của hàm số:
của hàm số:
(18)03/20/21 18
Đặt u = sint => du = costdt
2 2
2 2 2 2
u u
I du du
( u ) ( u 1 )
2
2 2
1 1 1
du 4 u u 1
1 1 1 1 1
du 4 ( u ) ( u ) u u 1
1 1 1 u 1
( ln ) C
4 u u 1 u 1
1 1 1 sin t 1
( ln ) C
4 sin t sin t 1 sin t 1
1 1 1 sin(arctan x ) 1
( ln ) C
4 sin(arctan x ) sin(arctan x ) 1 sin(arctan x ) 1
(19)• Định lý 2:Định lý 2:
Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K
u )x )v'( x )dx u( x )v( x ) v( x )u'( x )dx
2./ Phương pháp tích phân phần
(20)03/20/21 20
Vd: tính nguyên hàm sau
Vd: tính nguyên hàm sau
Đặt
x ln xdx
(21)Đặt
2
x
dx cos x
Chọn
dx du
x u
x v
dx x
dv
tan cos
1
2
dx x x xdx
x x
tan tan
cos2
C x
x x
dx x
x x
x
| cos |
ln tan
(22)03/20/21 22
2
ln x
dx ( x )
(23)03/20/21 23
x
e cos xdx
Đặt Chọn dx e du e u x x x v xdx dv sin cos dx x e x e xdx e x x x
sin sin
cos Đặt Chọn dx e du e u x x x v xdx dv cos sin
e xdx e x e x xdx
x x cos 1 cos sin 1 2 C x e x e xdx e x x x
cos 2sin1 cos2 1
(24)03/20/21 24
cos(ln x )dx
Đặt
Chọn
dx x
x du
x u
) sin(ln 1
) cos(ln
x v
dx dv
cos(ln x)dx x cos(ln x) sin(ln x)dx
Đặt
Chọn
dx x
x du
x u
) cos(ln 1
) sin(ln
x v
dx dv
C x
x x
dx
x
[cos(ln ) sin(ln )]
2 1 )
cos(ln