introduction to basic pdes nguyenvantien0405

Khi đó chuỗi Fourier sine của hàm f có thể lấy đạo hàm theo từng thành phần và chuỗi kết quả chính là chuỗi Fourier cosine của f’. Chuỗi này hội tụ đến f’ tại nhưng điểm mà f’’ tồn tại[r]

NHẬP MƠN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

CHƯƠNG 0

Nhắc lại phương trình vi phân -Phương trình tách biến -Phương trình tuyến tính -Phương trình cấp hệ số -Phương trình cấp tổng quát

CHƯƠNG CHUỖI FOURIER Chuỗi Fourier đầy đủ

Chuỗi Fourier sin Chuỗi Fourier cosin Hội tụ khả vi Thực hành với Matlab

KHAI TRIỂN TAYLOR

Một hàm khả vi vô hạn lần khai triển thành dạng chuỗi Taylor quanh điểm x0 nằm khoảng xác định Dạng sau:

Trong đó:

 

 

 

0

) (

n

n n x x c x f

  

!

0

n x f c

n n

VÍ DỤ

Tìm khai triển Taylor, Maclaurin hàm số y=sinx lân cận điểm x0=0

ĐỊNH NGHĨA HÀM TUẦN HOÀN

Một hàm số xác định R gọi tuần hoàn tồn số T>0 cho:

Giá trị nhỏ T gọi chu kỳ hay đơn giản chu kỳ hàm f

Dễ thấy f hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì: x T f x x R

f    

x nT f x x R

VÍ DỤ

Hàm sinx cosx hàm tuần hoàn với chu kỳ𝜋

Hàms𝑖𝑛𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥𝐿 hàm tuần hoàn với chu kỳ 2L

Nhận xét Chuỗi hàm có tuần hồn khơng? Chu kỳ bao nhiêu?



 

 

 



0 cos sin

2 1

n

n n

L x n b L

x n a

a  

ĐỒ THỊ HÀM TUẦN HOÀN

BIỂU DIỄN HÀM TUẦN HỒN

Vì hàm cos(nx) sin(nx) có chu kỳ2𝜋nên tổ hợp tuyến tính hàm hàm tuần hoàn với chu kỳ2𝜋

Nhưng tổ hợp tuyến tính liên tục

Như hàm tuần hồn, khơng liên tục khó biểu diễn theo cách

VÍ DỤ

Hàm xung hay hàm sóng bình phương

Là hàm tuần hồn chu kỳ 2𝜋nhưng khơng liên tục R

x  f x f

x x x

f  

  

 

  

 

 

2 &

,

0 , ) (

FOURIER (1976 – 1830)

Bài báo “Lý thuyết giải tích nhiệt lượng” năm 1822 Mỗi hàm f(x) với chu kỳ2𝜋có thể biểu diễn chuỗi lượng giác vô hạn dạng:

Chuỗi gọi chuỗi Fourier

Biểu diễn hàm thành chuỗi Fourier ứng dụng nhiều toán đặc biệt phương trình đạo hàm riêng

 

 

 



1

0 cos sin

2 1 ) (

n

n

n nx b nx

a a x f

CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CĨ CHU KỲ2𝜋

Sinh viên cần nhớ tích phân sau:

Các hàm cos(nx) sin(mx) tạo thành tập trực giao tương hỗ hàm khoảng(−𝜋; 𝜋)

Hai hàm thực u v gọi trực giao khoảng [a,b] nếu:

0 sin cos

, , sin sin

, , cos cos

   

  

  

  

  

  



 

 

 

dx nx mx

m n L

m n dx

nx mx

m n

m n dx

nx mx

    0



b

BIỂU DIỄN FOURIER

Giả sử hàm f(x) liên tục khúc chu kỳ2𝜋biểu diễn chuỗi Fourier

Giả sử:

-Chuỗi bên phải hội tụ f với x

-Khi chuỗi nhân với hàm liên tục chuỗi nhận tích phân số hạng

      

0 cos sin

2 1 ) ( n n

n nx b nx

a a x f

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ a0 Lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số a0 xác định công thức:

 

  0

1 sin cos a dx a dx x f nxdx b nxdx a dx a dx x f n n n                                              

 f xdx

a0

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ ai Nhân hai vế với cosnx lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số xác định công thức:

 

 

  m m   n

n n n n n a nxdx x f a mxdx mx a mxdx x f mxdx nx a mxdx x f mxdx nx b mxdx nx a mxdx a mxdx x f                                                                 cos cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos 1

 cos  1,2,3, 

1     i nxdx x f an   

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ bi Nhân hai vế với sinmx lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số bi xác định công thức:

 

 

  m m   n

n n n n n b nxdx x f b mxdx mx b mxdx x f mxdx nx b mxdx x f mxdx nx b mxdx nx a mxdx a mxdx x f                                                                 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin sin 1

 sin  1,2,3, 

1     n nxdx x f bn   

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho f(x) hàm liên tục khúc chu kỳ 2𝜋xác định với x Khi chuỗi Fourier hàm f(x) chuỗi:

Trong đó:       

0 cos sin

2 1 ) ( n n

n nx b nx

a a x f

 cos  0,1,2,3, 

1     n nxdx x f an   

 sin  1,2,3, 

1     n nxdx x f bn    CHÚ Ý

Có thể chuỗi Fourier hàm không hội tụ hàm điểm xác định TXĐ hàm số Do thay viết dấu = ta sử dụng ký hiệu sau:

Phần sau (mục hội tụ) nói rõ vấn đề Ta xét chuỗi Fourier hàm liên tục khúc nhiều hàm ứng dụng liên tục khúc không liên tục       

0 cos sin

2 1 ) ( n n

n nx b nx

MỞ RỘNG HÀM

Nếu hàm ban đầu xác định khoảng [-𝜋,𝜋]và giả sử f(𝜋)=f(-𝜋)

Khi ta mở rộng hàm f đến miền xác định gồm tất số thực thỏa mãn điều kiện tuần hồn f(x+2𝜋)=f(x) với x

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hoàn chu kỳ2𝜋được xác định:

a) Sinh viên vẽ đồ thị b) Tìm chuỗi Fourier

                     t x x x x f 0 VÍ DỤ Ta có:                                              2 cos cos sin sin cos cos cos cos cos 2 0 0   n n n n n nx n a nxdx n n nx x nxdx x a nxdx dv x u TPTP nxdx x nxdx x f nxdx x f a n n n                      1 0               

 f xdx f xdx xdx

a VÍ DỤ Ta có:         1 1 cos cos cos sin sin sin sin sin 1 0 0                                          n n le n n chan n n n n b nxdx n n nx x nxdx x b nxdx dv x u TPTP nxdx x nxdx x f nxdx x f b n n n n              VÍ DỤ

Vậy chuỗi Fourier cần tìm:

           le n n n n nt n nt x f 1 sin 1 cos 2 ) (  

VÍ DỤ HÀM SĨNG BÌNH PHƯƠNG

x  f x f

x x x

f  

            & , , ) (       

 f x nxdx

bn sin

1       

 f xdx

a0

   

 



 f x nxdx

an cos

VÍ DỤ Ta có chuỗi Fourier hàm sóng bình phương

     

 , ,

1 sin 2 ~

0

  

  



x k

x k x

f

k

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋thì ta có:

Có nghĩa tích phân hàm f(x) khoảng có độ dài 2𝜋ln

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân khoảng [0, 2𝜋

] để có cơng thức thuận tiện

    

 

 

 



2 a

a f xdx

dx x f

   

   

 

 

2

sin

cos

nxdx x f b

nxdx x f a

n n

BÀI TẬP CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Xét hàm f(x) liên tục khúc có chu kỳ P=2L Ta muốn xây dựng chuỗi Fourier cho hàm Đặt hàm g sau:

Dễ thấy:

  

     

 Lu f u g

u  f Lu  f Lu L f Lu g u

g 

          

 

     

 

 

 

 

 2

2

CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ) Như hàm g(u) hàm tuần hồn với chu kỳ 2pi Giả sử có chuỗi Fourier tương ứng

Với:

 

 

 



1

0 cos sin

2 1 ) (

n

n

n nu b nu

a a u g

   cos  0,1,2,3, 

1 

 



n du nu u g an

 



   sin  1,2,3, 

1 

 



n du nu u g bn

 



BIẾN ĐỔI

Đặt: f x f Lu g u

L x u Lu

x 

         

 



 

  

  

   



  

 

 

  

 

       

 



1

1

1

sin cos

2 1

sin cos

2 1

sin cos

2 1 ) (

n

n n

n

n n

n

n n

L x n b L

x n a a x f

L x n b L

x n a a L

x g

nu b nu a a u g

 

 

BIẾN ĐỔI Ta có: Trong đó:           

0 cos sin

2 1 n n n L x n b L x n a a x

f  

   

 sin  1,2,3, 

1 , , , , cos                     n dx L x n x f L b n dx L x n x f L a L L n L L n  

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER Cho hàm f(x) liên tục khúc có chu kỳ 2L xác định với x Khi chuỗi Fourier hàm f(x) chuỗi

Trong đó:           

0 cos sin

2 n n n L x n b L x n a a x

f  

   

 sin  1,2,3,  , , , , cos                     n dx L x n x f L b n dx L x n x f L a L L n L L n   TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ 2𝐿thì ta có:

Có nghĩa tích phân hàm f(x) khoảng có độ dài 2𝐿 ln

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân khoảng [0, 2𝐿] để có cơng thức thuận tiện

         L a a L

Lf xdx f xdx

2         L n L n dx L x n x f L b dx L x n x f L a 2 sin cos   VÍ DỤ

Cho hàm tuần hồn với chu kỳ P=2L=4:

Đáp án                   , , 0 2 x x x x f               sin sin sin sin

4 n x t t t

n x f le n       VÍ DỤ Xét hàm số sau:

Đồ thị hàm số: Hàm tuần hồn mở rộng:

TÍNH TỐN HỆ SỐ FOURIER Ta có:

TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ Như vậy, theo định lý 2.5, [-2,2] ta có:

Chú ý hàm ban đầu có điểm nhảy x=0

F(0+)=2 F(0-)=0 nên giá trị trung bình

ĐỊNH LÝ HỘI TỤ

Giả sử f hàm tuần hồn, trơn khúc Khi chuỗi Fourier hội tụ:

a) Đến giá trị f(x) điểm mà f liên tục b) Đến giá trị12(𝑓 𝑥 + + 𝑓 𝑥 − )tại điểm mà

đó f khơng liên tục Chú ý.

      

x f x f

2

1 giá trị trung bình giới hạn trái phải hàm f điểm x Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn, trơn khúc hội tụ đến giá trị trung bình hàm số với x.

VÍ DỤ

Cho f(x) hàm chu kỳ với f(x)=x2nếu 0<x<2 Nếu x số nguyên chẵn giá trị f(x) xác định bởi:

Hãy tìm chuỗi Fourier hàm        

x f x f

2

VÍ DỤ Đáp án:

Nếu thay x=0 ta có:

Nếu thay x=1 ta có:

   

 



 



1

2

sin cos 4

n

n n

t n n

t n x

f 

  

 

6

1

1

6 1 4

2 2

2

2

2

  

   

  

  

 

 n

n n n

f

     

12

1

1

1

12 1 4

2 2

2

2

2

  

    

     

  

 

 n

n n

n

n n f

CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE Hàm chẵn hàm lẻ

Hàm số f(x) xác định với x gọi chẵn Hàm số f(x) xác định với x gọi lẻ Tính chất:

- Hàm chẵn đối xứng qua Oy - Hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O

 x f x x f   ,   x f x x f   , 

ĐỒ THỊ

Đồ thị chuỗi Fourier

ĐỒ THỊ HÀM CHẴN – LẺ Hàm chẵn: đối xứng qua Oy Hàm lẻ: đối xứng qua gốc tọa độ

VÍ DỤ

+ Tích hai hàm chẵnHàm chẵn + Tích hai hàm lẻHàm chẵn

+ Tích hàm chẵn hàm lẻHàm lẻ + Chuỗi Fourier hàm chẵn gồm phần tử cosine

+ Chuỗi Fourier hàm lẻ gồm phần tử sine

   

;

sin  

 n

x x g x x

f f x x g x x2n ;

cos 



TÍNH CHẤT

Nếu f(x) hàm chẵn tuần hồn với chu kỳ 2L thì: + Hàm: hàm chẵn

+ Hàm: hàm lẻ

+ Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ miền đối xứng

 

L x n x f cos 

 

L x n x f sin 

       

   

a

a

a a

af xdx f xdx 20 f xdx

TÍCH PHÂN HÀM CHẴN – LẺ Trên tập xác định đối xứng

Hàm chẵn có tích phân gấp lần nửa miền

Hàm lẻ có tích phân

ÁP DỤNG VỚI HỆ SỐ FOURIER Nếu f(x) hàm chẵn

Nếu f(x) hàm lẻ

Khai triển Fourier có chuỗi hàm sine cosine

 sin

1 

 

 L

L

n dx

L x n x f L

b 

 cos

1 

 

 L

L

n dx

L x n x f L

a 

MỞ RỘNG CHẴN VÀ LẺ

Nếu hàm số tuần hoàn với t chuỗi Fourier xác định

Tuy nhiên hàm số xác định khoảng 0<x<L ta muốn biểu diễn giá trị hàm dạng chuỗi hàm Fourier thì???

1 Mở rộng hàm số toàn khoảng (-L,L) tức mở rộng giá trị hàm số (-L,0)

2 Mở rộng tuần hoàn tồn trục số theo cơng thức Tìm chuỗi Fourier

CHÚ Ý

- Với cách mở rộng (-L,0) khác cho chuỗi Fourier khác

- Các chuỗi hội tụ hàm ban đầu (0,L) khác khoảng (-L,0)

- Ta thường đưa mở rộng tự nhiên: Mở rộng hàm chẵn

Mở rộng hàm lẻ

HAI CÁCH MỞ RỘNG Mở rộng chẵn

2 Mở rộng lẻ

    

  

   

  

0

x L t f

L x t f x fE

    

  

   



  

0

x L t

f

L x t

f x fO

KHAI TRIỂN FOURIER SINE - Mở rộng hàm lẻmở rộng tuần hồn - Tính hệ số khai triển

KHAI TRIỂN FOURIER COSINE - Mở rộng hàm chẵnmở rộng tuần hồn - Tính hệ số khai triển

VÍ DỤ

Khai triển hàm f(x)=x trên(0, 𝜋)theo cách a) Hàm chẵn

b) Hàm lẻ

Ta mở rộng f(x)=x (-𝜋,0) Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

    

   

  

0

x x

x x

x f

   , ,

)

Khai triển Fourier: VÍ DỤ - HÀM CHẴN

  



   



 

 

1

0 cos sin

2 n

n n

L x n b L

x n a a x

f  

  

n n

a a b

0

0

 

 



    

 

0

0

1 cos cos

2 , /

k n

n

k x k nxdx

x a b a

  



: Chuoãi

Ta mở rộng f(x)=x (-𝜋,0) Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM LẺ

    

  

  

0

x x

x x

x f

 

Khai triển Fourier: VÍ DỤ - HÀM LẺ

  



   



 

 

1

0 cos sin

2 n

n n

L x n b L

x n a a x

f  

  

n n

a a b

0

0

 



    

 

1

0

sin sin

2 , /

n n

n n

n nx nxdx

x b a

b Chuoãi:





CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) liên tục khúc trong khoảng [0,L] Khi đó:

Chuỗi Fourier cosine hàm f chuỗi:

Chuỗi Fourier sine hàm f chuỗi:

      



L n n

n dx

L x n x f L a L

x n a a x f

0

0 cos cos

2

 

      



L n n

n dx

L x n x f L b L

x n b a x f

0

0 sin sin

2

 

VI PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý Giả sử hàm số f liên tục với x, tuần hồn với chu kỳ 2L, có đạo hàm f’ đạo hàm trơn khúc với x

Khi đó, chuỗi Fourier f’ chuỗi:

Nhận việc lấy vi phân phần chuỗi:   



   



 



1

cos sin

' n

n n

L x n b L n L

x n a L n x

f    

  

 

 



 

 

1

0 cos sin

2 n

n n

L x n b L

x n a a x

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý Giả sử hàm số f liên tục với x, tuần hoàn với chu kỳ 2L chuỗi Fourier:

Có thể khơng hội tụ Khi đó:

và chuỗi bên vế phải hội tụ với x

  

 

 



 

 

1

sin cos

2 n

n n

L x n b L

x n a a x

f  

  

       

1

0 2 sin cos

n

n n

x

L x n b L

x n a n

L x a dt t

f  



ĐỊNH LÝ 2.13

i) Nếu f liên tục [-L,L] f(-L)=f(L) f’ trơn khúc [-L,L) Khi chuỗi Fourier đầy đủ hàm f lấy đạo hàm theo thành phần chuỗi kết chuỗi Fourier f’ Chuỗi hội tụ đến f’ điểm mà f’’ tồn

ĐỊNH LÝ 2.13

ii) Nếu f liên tục [0,L] f(0)=f(L)=0 f’ trơn khúc [0,L] Khi chuỗi Fourier sine hàm f lấy đạo hàm theo thành phần chuỗi kết chuỗi Fourier cosine f’ Chuỗi hội tụ đến f’ điểm mà f’’ tồn iii) Nếu f liên tục [0,L] f’ trơn khúc [0,L] Khi chuỗi Fourier cosine hàm f lấy đạo hàm theo thành phần chuỗi kết chuỗi Fourier sine f’ Chuỗi hội tụ đến f’ điểm mà f’’ tồn

VÍ DỤ

THỰC HÀNH MATLAB BÀI TẬP 1

BÀI TẬP 2