(1 điểm) Giải và biện luận hệ phương trình sau theo
(1)ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA KỲ K58C Câu (2 điểm)
a) Tìm cực trị địa phương hàm hai biến sau:
2
, x y
f x y xy x
Giải
Tập xác định: D 2
ĐHR cấp 1, cấp 2: fx x y 2; fy y x f2 ; xx 1; fxy 1; fyy 2y Hệ phương trình tìm điểm dừng:
2
2
1
0 x
y
f x y x x
y y
f y x
Vậy có điểm dừng: M1 1 1; M2 4 2;
Tại M1 ta có: A 1; AC B 3 hàm số không đạt cực trị địa phương M1
Tại M2 ta có: A 1; AC B 0 hàm số không đạt cực tiểu địa phương M2 Giá trị cực tiểu: 4 16
3 ;
CT
f f
b) Dùng quy tắc dây chuyền tìm đạo hàm riêng hàm z theo s t biết rằng:
2
2ln , sin , cos
z x y x s t y s t
Giải
(2)
2 2
2 2
0
cos sin
sin cos
dz dz dx dz dy x s t y s t dt dx dt dy dt x y x y
dz dz dx dz dy x t y t ds dx ds dy ds x y x y s
Câu (1,5 điểm) Bạn muốn mua xe bán tải Ford Ranger 2019 Giá bán xe 25.200$ Có phương án sau:
i) Trả góp hàng tháng với lãi suất 0% vòng 48 tháng
ii) Trả tiền giảm giá 3000$ Phần tiền trả bạn vay với mức lãi suất 6%/năm trả vòng 48 tháng
Bạn chọn phương án nào? Hãy giải thích lý do?
Giải Cách
Theo phương án số tiền trả hàng tháng (trong 48 tháng) là: 25 200 525 48
$
Theo phương án số tiền trả hàng tháng là:
48 48
48 48
1 005 005
22 200
1 1 00
521 36
5
7
, ,
$
, ,
r r PMT PV
r
Vậy chọn phương án lợi
Cách
Giá trị tương lai khoản vay nợ theo phương án 1:
48 23 500 23 500 $
FV
(3) 48 22 200 005, 28 204 86 , $
FV
Vậy chọn phương án có lợi
Câu (2 điểm) Một kinh tế dựa nhóm ngành sau: nơng nghiệp (A), xây dựng (B) lượng (E) Giả sử ma trận hệ số kỹ thuật ma trận cầu cuối sau:
2
0 1 10
0 1 15
A B E
A
A B B
E
a) Cần đầu vào từ A, B E để tạo sản lượng đầu trị giá 1$ đô la cho B? b) Bao nhiêu số đô la đầu B yêu cầu làm đầu vào cho ba lĩnh vực?
c) Tìm đầu ngành để thỏa mãn nhu cầu cuối
Giải
a) Cần 0,2$ từ A; 0,1$ từ B 0,1$ từ E để tạo $ cho ngành B
b) Trong $ đầu B có 0,3$ yêu cầu làm đầu vào cho ngành khác (chỉ tổng cầu ngành nhau)
c) Ta có:
1
1
0 2 4 22 18 18 38 22
1 4 18 22 18 18 10 15 38 22 15 22
I A
X I A B
(4)
2
x y z x y z x y z
Giải
Ta có:
2
3
2 2
3 2 1 1
2 1
det det
det det
A A
A A
Biện luận:
Nếu
hpt có nghiệm
1 1
2 2
, , ; ;
x y x
Nếu 2 detA 0; detA2 0 nên hpt vơ nghiệm Nếu 1 ta có hệ phương trình:
1
1
1
,
x y z x t s
x y z x y z y t t s
x y z z s
Khi hệ có vơ số nghiệm
Câu (1,5 điểm) Dự án đầu tư xe chạy taxi gia đình trị giá 600 triệu đồng mang lại dòng thu ròng 180 triệu đồng hàng năm năm Dự kiến bán thành lý xe cũ giá 50 triệu sau năm hoạt động Nếu hội sinh lời đồng tiền ví dụ đo lãi suất tiền gửi ngân hàng mà bạn hưởng 12% dự án taxi
A) Có đáng giá khơng?
(5)Giải
a) Ta có: 600 180 180 180 180 50 21 50 12 12 12, , , 12, , $
NPV Vì NPV âm nên dự án khơng đáng giá Đầu tư vào bị lỗ
b) Để NPV=0 thì:
4
1 50
600 180 10 35
1 , %
r
r
r r
Vậy ta có IRR=10,35% (sinh viên tự tính gần ngoại suy) Suất sinh lời nội dự án 10%
Câu (2 điểm) Bộ phận nghiên cứu công ty sản xuất nhận thấy sản lượng loại sản phẩm áp dụng theo mơ hình hàm Cobb-Doglas sau:
, 10 4, ,
N x y x y
Trong x số đơn vị lao động y số đơn vị vốn Mỗi đơn vị lao động có giá 30$; đơn vị vốn có giá 60$
A) Nếu ngân sách cho sản xuất 300.000$ phân bổ để tối đa hóa sản xuất Hãy tìm sản lượng tối đa đó?
b) Tìm hiệu suất biên ngân sách trường Nếu ngân sách chi cho sản xuất tăng thêm 80.000 ($) lượng sản phẩm tăng thêm khoảng bao nhiêu?
Giải
a) Hàm sản lượng: N x y , 10x y0 4, ,
Ngân sách: B 300 000 30x 60y điều kiện 10 000 000
x y
(6)Hàm điều kiện ràng buộc: x y, 300 000 30 x 60y Hàm Lagrange: L x y , ,N x y , 300 000 30 x 60y Tọa độ điểm dừng M(x,y) nghiệm hệ:
0 0 4
0 4
0 6
0
5 5
6 30
4 60 15
300 000 30 60
2 10 000 10 000
5 . , , , , . . x y x x y y
L x y
x x
L x y
y y
L x y x y x y
x y x y
3 128879
6 000 000
2 10 000 000 000
,
x x
x y y y
Ta có: 4
0 6
0 30 60
30 4
60 4
, , , ,
, , , ,
, ,
, ,
D x y x y
x y x y
Tại M(6000; 2000) ta có:
0 30 60
30 00026 000773 60 00077
5 79954 0 232 , D
Vậy hàm số đạt cực đại có điều kiện M(6000; 2000) Giá trị cực đại: NCĐ=38.663,641
(7) x y, 30x 60y 300 000
b) Ta có: NCD 1289,
B
Như ngân sách tăng 1$ sản lượng cực đại tăng thêm 0,1289 sản phẩm
Do tăng ngân sách thêm 80.000$ sản lượng cực đại tương ứng tăng thêm 10.320 sản phẩm Khi NCĐ=48.983,641 sản phẩm
Chú ý Sinh viên cần ý đến dấu độ lớn nhân tử Lagrange Độ lớn nhân tử Lagrange thay đổi ta rút gọn hàm điều kiện dạng:
Hàm điều kiện Hàm Lagrange Lagrange Nhân tử
x y, 30x 60y 300 000
L x y , , N x y , 30x 60y 300 000 -0,1289 x y, 300 000 30 x 60y
L x y , , N x y , 300 000 30 x 60y 0,1289 x y, x 2y 10 000
L x y , , N x y , x 2y 10 000 ??? x y, 10 000 x 2y