Khảo sát chất lượng lớp 12 trung học phổ thông năm học 2015 - 2016 môn thi: Vật lí thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

V Phương pháp đồ thị : Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện các bước sau : * sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phư[r]

Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT Chuyên đề phương trình, Bất phương trình Phần I Phương trình có chứa thức A Một số phương pháp giải I.Phương pháp biến đổi tương đương 1.Kiến thức  a f  x  = g(x)   g(x)  f(x) = g(x) f (x)  0,(g(x)  0) b f (x)  g(x)    f (x)  g(x)   Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước biến đổi 2.Ví dụ minh hoạ  Ví dụ1: Giải phương trình sau: x2  x 1   x (1) 2 x   x    x 1  2  x  x   ( x  2)  x   Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3x   x 1  x  (2)  Pt (1)   3 x    ĐK :  x 1   x   x    Pt (2)  3x   x 1  x   3x   ( x 1  x  3)2  x  2  (2 x  1)( x  3)   x  x      x  (do x = -2 loại)  x   Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2(1  x) x  x 1  x  x 1 (3) Pt(3)  ( x2  x 1  x)(2  x2  x 1)   x2  x 1  x  (*) Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT x2  x 1  (**) Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm Giải phương trình(**) ta nghiệm phương trình là x   Vậy nghiệm phương trình(3)là : x    Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x( x 1)  x( x  2)  x (4)  x 1  x( x  1)    x0 ĐK    x( x  2)   x  2 Ta xét theo trường hợp sau: +)Trường hợp 1: Nếu x  thì pt(4) trở thành x 1  x   x    x 1  x   4x  x  x   2x 1 (t/m) +)Trường hợp 2: Nếu x  2 thì pt(4) trở thành  4(x  x  2)  (2x  1)2  x   x  x   x     x   x   4x  x  x   2x   4(x  x  2)  (2x  1)2  x  (loại) +)Trường hợp 3: Nếu x = pt(4) luôn thỏa mãn Vậy nghiệm pt(4) là x = , x  II) Phương pháp đặt ẩn phụ 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình không chứa ẩn ban đầu  Nếu có f(x) và f(x), đặt t = f (x)  Nếu có f (x), g(x) mà f (x) g(x)  a(h / s) thì đặt a t  f (x)  g(x)  t  Nếu có f (x)  g(x), f (x)g(x),f (x)  g(x)  a đặt t  f (x)  g(x)    Nếu có a  x đặt x  a sin t,   t  2 a   (   t  , t  0)  Nếu có x  a đặt x  sin t 2 * Bài tập áp dụng : Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT Bài1: Gpt 2(x2- 2x) + x  2x    đặt t = x  2x   Bài2: Gpt 5( 3x   x 1)  4x   3x  5x  đ/k x ≥ , đặt t = 3x   x 1 đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0 Bài3:Gpt:  x  4x  3x đ/k -1 ≤ x ≤ đặt x = cost t   0,   PT trở thành   cos t  4cos3 t  3cos t  sin t  cos3t  cos3t  cos(  t)  5 3 t , , 8  2 5    x1  cos  , x  cos  , 8 3 x  cos   Bài4: Gpt: (1  x)2   x  (1  x)2  (4) Do x  1 không là nghiệm phương trình (4) nên ta chia vế PT(4) cho  x 1 x 1 x 1 x    (5) đặt Pt  t (t  0) 1 x 1 x 1 x  t 1 Pt(5) tt 2t     2t  3t     t  t  x 35 Bài5: Gpt : x  đ/k x > đặt x   cos t x 1 12  t  (0 )  x 1  tan t 1/ cos t 35 1 35 Pt       cos t sin t / cos t 12 cos t sin t 12  12(sin t  cos t)  35sin t cos t Đặt u  sin t  cos t  u  (1; 2)  35u  24u  35   t  35     cos t  sin t  12  x     cos t    25    5 x   cos t sin t 12  cos t  Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT Dạng2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình còn chứa ẩn ban đầu **Bài tập áp dụng : Bài1: Gpt : x 1  2x x  2x (1) x  ĐK :  Đặt t  x  2x  x  Khi đó pt(1)tt x2 -2tx-1 = ,  ' = t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) và  x  2x   x  2x    x  x  2x  (x  1) x  1      2x 1     x  1/   x  x  2x  (x  1)   x  2x  (2x  1)2  3x  2x    x       Bài2: Gpt : (4x-1) 4x   8x2+2x+1  t  ( t  loại t  )  đặt t = 4x  ≥ ,pttt :  t  2x   1  x  x   với t =2x-1  4x   2x 1   2  PTvô nghiệm 4x   (2x  1)2  x   2t2-(4x-1)t+2x-1=0 Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình  u  m a  f (x) u m   a  b  m a  f (x)  n b  f (x)  c     u  v  c  v  n b  f (x) Trong đó m và n nguyên dương lớn ***Bài tập áp dụng : Bài1: Gpt:  x   x  u   x u  v  Đặt  PT   3 u  v   v   x Bài2:Gpt:  x   x 1 u   x Đặt   v  x   u0 x2  u  v     u 1   x 1 Pt   u  v     u  2  x  10 III) Phương pháp đánh giá Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT 1) Kiến thức bản: f (x)   1) f2(x) + g2(x) + h2(x) =  g(x)   h(x)   f (x)  g(x)  k f (x)  m  2)  f (x)  m ;g(x)  n   ( đó k là số)   g(x)  n  mn  k  f (x)  g(x)  f (x)  k 3)  (trong đó k là số)   f (x)  k;g(x)  k g(x)  k 2) Bài tập áp dụng : Bài1:Gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x x   2x 1 đ/k x ≥ 1/2 Phương trình tương đương  x   2x (2x  x  3)  (1  2x 1)2     2x    x  (t/m) Bài2: Gpt: 3x  6x   5x  10x  14 = – 2x – x2 Ta có VT = 3(x  1)2   5(x  1)2     VP = - 2x- x2 = – (x+1)2 ≤  VT   x  1 Vậy phương trình thỏa mãn và   VP  x2 Bài 3:Gpt: 5x  3x  3x    3x  (1) 2 ĐK : 5x3 + 3x2 +3x +    x  x  1  5x     x  BĐTCôsi x  6x 1 x   3x  Ta có 5x  3x  3x    x  x  1  5x    2 x   Do đó pt (1)  x2 + x + = 5x –   (thoả mãn)  x  IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết Dùng tính đơn điệu hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình 2) Bài tập áp dụng Bài1:Gpt : x  x   3x   Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT ĐK : x  1  Xét hàm số f(x) = x  x   3x  trên tập D   ;   Ta có f ' (x)  5x  3x    với x  D  h/s f(x) đồng biến  3x trên tập xác định D Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = Vậy pt có nghiệm là x = - Bài2 : Gpt :  x  x   x  x  Pt   x  x   x  x  (*) Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2) PT(*) trở thành  t    t (**) Xét h/s f(t) =  t trên tập D =  3; 2 Ta có f ' (t)   với x   3;2  3 t  h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D Mặt khác h/s g(t) = 1+  t  g ' (t)    với x   3;2   h/s g(t) 2t nghịch biến trên tập D ta thấy với t = thì f(1) = g(1) = Do Pt (**) có nghiệm t =1 1 Bài :Chứng minh với m > 0, phương trình sau luôn có nghiệm thực phân x  2x   m(x  2) (1) ( Khối B – 2007) biệt ĐK x  x2  Pt (1)   x    x  6x  32  m      x  6x  32  m  Ta c/m phương trình x  6x  32  m (2) có nghiệm x   2;   với m  Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với x  Ta có f ' (x)  3x  12x  với x  h/s f(x) đồng biến trên  2;  Bảng biến thiên x  + f ' (x) f(x)  Với t = thì x2- x =  x  x 1   x  Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT Dựa vào bảng biến thiên ta có với m  Pt(1) luôn có nghiệm x   2;   Vậy Pt(1) luôn có nghiệm thực phân biệt Phần Bất phương trình có chứa thức I)Phương pháp biến đổi tương đương : 1) Kiến thức : 1) 2) g(x)  f (x)  g(x)   0  f (x)  g (x)  g(x)   f (x)  f (x)  g(x)    g(x)   f (x)  g (x)  2) Bài tập áp dụng: Bài1: gbpt x  x   x   tương đương với đương với 2 x  x   x  tương  x     3  3 7  2 x  x   x    ,     3,   x20        x  2 x  x   ( x  2)    x  x  Bài3: gbpt: điều kiện   0  x  1  x   1  x  1 1) Với -  x  bpt tương đương  x   3x   -  x0 2 2 1  x  (1  x)   4x2 0 x 2) Với 0<x  bpt tương đương Vậy nghiệm bpt là 1  x   1  x   x   3x    0<x  2 1  x  (1  x) 1  x     1  ,0    0,  Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT II)Phương pháp đặt ẩn phụ 1) Dạng1: Đặt ẩn phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc Bài1 : Gbpt: x  x  3x  11  3x  đặt t = x  3x  11  dẫn tới bpt t2+2t-15 ≤ suy ≤ t ≤ suy x  3x  11  suy x2 -3x+11 ≤ suy nghiệm bpt 1≤x≤2 Bài2 Gbpt 3x x2 3x       đặt t = 2 1 x 1 x 1 x  x2 x  x2 có bất phương t2-3t+2 > suy t > t <  x   x 0  x  1) xét bpt >2     x 1 2 1  x  1 x 5 x    x   x   x x     x   1  x  2) xét bpt <1 1  x   x2  x  4(1  x )      nghiệm bpt là   1,    ,1 5     2x  4 Bài3: Gbpt: x  2x x điều kiện x > đặt t = x  ≥ 2 x x dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + > có nghiệm t > và x x >2  x  x    Pt có nghiệm 3 x  (0,  2)  (  2, ) 2 Bài4: Gbpt x 1 2 x 1 x 3 x x 1 Đặt t  0 x PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ Cho ta tập nghiệm bpt là  0,   8 2.Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t là tham số Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT Bài tập:Gbpt: x2-1  x x  x Đặt t = x  x  dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ Ta có  '  t   (x  1)2 PT dẫn tới ( và x  x  1)( x  x  x    2 x   x     x  2x  2x    x  2x    x0 x0   x  x  (2 x  1)    x  2 3.Dạng3: Đặt ẩn phụ dẫn tới hệ Bài1: gbpt x  x   x  x  điều kiện x ≥ biến đổi u  x   2( x  2)  2(2 x  1)  x   x  đặt   2u  2v  u  v v  x  u  v   uv 2 2u  2v  (u  v) x   2x   x     x  1, x  x  6x   Vậy để u  v  x   ,  x  1, x  2  u  x  Bài2:gbpt x  x   x  x  đặt  bất phương trình có v  x   Trường hợp u = v dạng u  v  u  v  2u  2v  u  v    uv0 2 2u  2v  u  v (u  v)  x     x  x   x  x4  x  x    III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình Bài tập áp dụng Bài1: gbpt: x   x   d / k x  2 xét hàm số f(x) = x   x  trên tập x ≥ -2 Có đạo hàm luôn dương với x thuộc tập xác định suy hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT nghiệm bpt là x > Bài2: gbpt: x  x   x x  11   x  x  dk  x  2 Tương đương x  x   x   x  x  11   x ( x  1)   x   (3  x)    x Xét hàm số f(t) = t   t Trên 1,3 có f’(t)hàm số đồng biến trên tập xác định ta có f(x-1)>f(3-x) và x-1>3-x cho ta x>2 nghiệm bất phương trình là 2<x≤3 Bài3: gbpt: 2x+ x  x   x  x  35 d / k x  xét hàm số trên tập xác định x≥ F(x) = x  x  x   x  x co f , ( x)   x  2x   0 x | x2  7x   29   Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì f(x) < 35 = f     nghiệm bpt 0< x   12    29  <       12   IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số Kiến thức Lập bảng biến thiên từ đó có kết bài toán Bài tập áp dụng Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - x   m  đặt t = x  t ≥ ta có m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với f , (t )  t 1 t 1  m xét hàm số f(t) = 2 t 2 t 2 trên tập t≥ có  t  2t  , f (t) = t =  (t  2) Ta có bảng biến thiên t f’ -1  -1  f ( t ) - -1  Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤ + 3 1 10 Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT V) Phương pháp đồ thị : Kiến thức : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực các bước sau : *) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho hệ *) xét trên hệ trục tọa độ Oxm +) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình hệ ,giả sử các tập đó là X1,X2, +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩… +) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im *) Khi đó: +) Để hệ vô nghiệm m  Im +) Để hệ có nghiệm m € Im +) Để hệ có nghiệm đường thẳng m =  giao với tập X đúng điểm Bài tập áp dụng: Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm  x  m  x đặt y =  x  x  y  đó bất phương trình tương đương với hệ  (2)  x  y  m  (3) Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ Vậy để bất phương trình có nghiệm và X  X  m  Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng x thuộc – ≤ x ≤ (4  x)(6  x)  x2 - 2x +m đặt y = (4  x)(6  x) ≥ suy y2 = 24 + 2x – x2 Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 vế trái bất phương trình là nửa trên đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = , còn vế phải bất phương trình y = x2 y nghiệm đúng – 2x + m là pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = để bài toán với x thuộc – ≤ x ≤ thì pảa bol luôn nằm phía trên nửa đường tròn và đỉnh pảabol tiếp xúc với đường tròn điểm M(1,5) tức là = m0 – suy m0 = M(1,5) 11 Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT giá trị m cần tìm là m ≥ x VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm bất phương trình ta có thể Suy đặc điểm nghiệm bất phương trình từ đó suy Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán là giá trị cần tìm Bài tập áp dụng Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm x  2m  mx (1) Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 là nghiệm , đó muốn có nghiệm thì phải có x0 = - x0 suy x0= thay vào (1) ta có m = Điều kiện đủ : với m = thay vào bất phương trình ta có nghiệm x = ,vậy m = là giá trị cần tìm Bài toán2: Tìm m để bất phương trình (2  x)(4  x)  x  x  m (1) nghiệm đúng với x   2,4 Điều kiện cần: để bất phương trình đúng x   2,4 thì x = là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ Điều kiện đủ : với m ≥ đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái = (2  x)(4  x)  2 x4 x 3 vế phải x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – ≥ suy vế phải ≤ vế trái , với m ≥ là giá trị cần tìm VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn để ý đặc điểm bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức ta có thể suy nghiệm bài toán Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau Ta có điều kiện x  x2 1  x  x2 1  x    x  x    x    x  x   Khi đó x  x   x  x   x  x  x  x   trình có nghiệm và Vế trái = và bát phương x  x2 1  x  x2 1  x  x = là nghiệm bất phương trình 12 Lop12.net Nguyễn Sỹ An – Chuyên đề PT – HPT – BPT 13 Lop12.net