Nếu a không song song với d và d’ thì a là đường thẳng cần tìm.. _Tìm B a -Viết phương trình của đường thẳng qua B và vuông góc P.[r]
(1)BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG I.Viết phương trình đường thẳng: –Tìm vec tơ phương đường thẳng a a1 ; a ; a3 –Tìm điểm M(x0;y0;z0) đường thẳng x x0 ta1 –Phương trình tham số đường thẳng : y y ta với t R z z ta x x0 y y z z Nếu a1 ; a ; a3 Phương trình chính tắc : a1 a2 a3 1.Viết phương trình giao tuyến (c) mp cắt nhau: (P): A1x +B1y +C1z+D = (Q): A2x +B2y +C2 z+D = Phương pháp : –Tìm vec tơ pháp tuyến n1 ( A1 ; B1 ; C1 ) (P) – Tìm vec tơ pháp tuyến n ( A2 ; B2 ; C ) (Q) –Tính n1 ; n2 –Tìm điểm chung M (P) và (Q) cách cho biến x ; y ; z giá trị tùy ý , thay vào (P) và (Q) tính giá trị biến còn lại Thí dụ : Trong không gian Oxy z cho mp(P):2x–y+z+2 = và mp(Q):x+y+2z–1 = Viết phương trình giao tuyến (c) (P) và (Q) GIẢI n1 ( ;1;1 ) là vec tơ pháp tuyến (P) n2 (1 ;1; ) là vec tơ pháp tuyến (Q) n ; n 1;1 ; 1 x 2 x y 2 A( x ; y ; 0) ( P) (Q) x y y A ; ;0 (c) 3 z z x t x y 3 z (c) : y t t R hay (c) : 1 1 z t BÀI TẬP: Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến mặt phẳng (P) và (Q) sau: a)(P):2x–y+3z +1 = (Q)x-y+z+5=0 ĐS:x=4 -2t ; y=9-t z = t b)(P): x–3y +z = (Q):x+y-z +4 = ĐS:x = -2+2t ; y = 2t ; z= 2+4t c)(P): 3y-z-7=0 (Q):3x+3y-2z -17 = ĐS: x= 1+t ; y= t ;z = -7 +3t d)(P) : 3x-y+2z-7 = (Q):x+3y-2z +3 = ĐS: x= -2t ; y= +4t ; z = 9/2 +5t Lop12.net (2) 2.Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ; z0) N (x1 ; y1 ; z1) Phương pháp : _tính vec tơ MN x1 x0 ; y1 y ; z1 z x x0 ( x1 x0 )t ( MN ) : y y ( y1 y )t _ ( MN ) vec to chi phuong a MN z z ( z z )t qua M (t R) Thí dụ ;Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1 ; ;-3) N(3;-1 ;0) GIẢI: x 2t Qua M (1; ;3 ) MN (2 ; 1; 3) ( MN ) ( MN ) : y t vec to cp a (2 ; 1; ) z 3 3t BÀI TẬP: Viết phương trình đương thẳng (d) qua điểm sau đây: a)M(1 ;-2 ;1 ) N(3 ; ;-1 ) DS:x=1+2t ; y =-2+3t ;z =1 – 2t b)M( ; ;-1) N(1 ; 2; 4) DS:x=2-t ; y = – t ; z = -1 +5t c)M(1 ; -2 ; 3) N(3 ; ; 4) DS: x= 1+2t ;y = -2 +3t ; z=3 +t d)M(2 ;-1 ; -2) N(4 ;-1 ; 1) DS: x= +2t ; y =-1 z = -2+3t 3.Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng x x0 y y z z a1 a2 a3 _Tìm vecto phương a (a1 ; a ; a3 ) _Lập luận (d) //(a)=>(d) nhận a (a1 ; a ; a3 ) là vec tơ phương _Viết phương trình tham số (d) :x=x0 +ta1 ; y =y0 +ta2 ; z=z0 +ta3 Thí dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;2;2) và song song với đường thẳng :(a): x y 1 z 1 Vec tơ phương (a) a (3;2;1) (d)//(a)=>(d) nhận a (3;2;11) là vec tơ phương =>(d): x=1+3t ; y = 2+2t ; z= 2-t Bài tập : Viết phương trình đường thẳng(d) qua A và song song với giao tuyến mặt phẳng : a)A(2 ; ;- 1) (P):x-2y-3z-3=0 (Q): 2x+y –z =5 = DS: x=2+t ; y=3-t ; z= -1 +t b)A(2 ; ;-5) (P):3x – y +2z – = (Q): x+3y -2z +3 = DS: x=2-2t ;y=3+4t ;z=-5+5t c)A(2 ; ; -1 ) (P):x+y-z+3=0 (Q):2x-y+5z-4 = DS:x=1+4t ; y = 2-7t ;z = -1-3t d)A(1;2;-1) (P):x+y-z+3=0 (Q):2x-y+5z-4=0 DS: x = 1+4t ; y= 2-7t ; z = -1-3t 4)Viết phương trình mặt phẳng qua M(x0; y0 ; z0) và vuông góc với (P) :Ax+By +Cz +D=0 Phương pháp : -Tìm vec tơ pháp tuyến (P): n ( A ; B ; C ) -Lập luận (d) vuông góc với (P) =>(d) nhận n ( A ; B ; C ) là vec tơ phương -(d) : x=x0+tA ; y = y0 +tB ; z =z0 +tC Thí dụ :Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1 ;-2 ;3) và vuông góc với mp(P):3x-2y+4z-1=0 Vec tơ pháp tuyến (P) là : n (3 ; ;4) Lop12.net (3) (d) vuông góc với (P) => (d) nhận n (3 ; ;4) là vec tơ phương => Phương trình tham số (d) : x= +3t ; y= -2-2t ; z = +4t Bài tập : Viết phương trình (d) qua M(x0;y0;z0) và vuông góc với mặt phẳng (P) a)M(-2 ;0 ;1 ) (P) x-2y+2z-1=0 DS:x=-2+t ; y= -2t ; z= 1+2t b)M(0 ; 2;3) (P) : 3y +2z -4 = DS: x = ;y =2+3t ; z= 3+2t c)M(1;2;3) (P)(Oxy) DS: x= ; y= ;z = 3+t d)O (P) :7x +4y -3z +1=0 DS: x=7t ;y =4t ;z= -3t 5.Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0 ) và vuông góc với đường thăng (d) và cắt đường thẳng (d):x=x0 +ta1 ; y = y0+ta2; z = z0 +ta3 Phương pháp : -Tìm vec tơ phương (d) a (a1 ; a ; a3 ) -Viết phương trình mp(P) qua M và vuông góc với (d) {(P) qua M và có vec tơ pháp tuyến n a (a1 ; a ; a3 ) _Tìm giao điểm B (d) và (P) -Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và B Thí dụ :Trong không gian Oxyz cho điểm A (-4 ; -2 ; 4) và đường thẳng (d): x=-3+2t ; y = 1-t ;z= -1+4t Giải: Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với (d) => (P) qua A và có vec tơ pháp tuyến là vec tơ phương (d) => (P) qua A (-4 ; -2 ; 4) và có vec tơ pháp tuyến n (2;1;4) =>(P):2(x+4)-1(y+2)+4(z-4)=0 =>(P):2x-y+4z-10=0 x 3 2t x 1 y 1 t y Gọi M là giao điểm (d) và (P) , tọa độ M là : M (1; ; 3) z t z 2 x y z 10 t ()qua điểm AM Vậy ():x=-4+3t ; y = -2+2t ; z= – t Bài tập : Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với đường thẳng (a): a)A(2 ;-1 ; 1) (a):x=3 ; y =2t ; z= 4-2t DS : x=2-t ; y= -1+2t ; z=1+2t b)A(3 ;-2;1) (a):x = -2+t ; y = 1+2t ; z = -2t DS:x = 3+16t ;y= -2-7t ; z = 1-t c)A(0 ; ;2) (a): x=1+2t ; y = t z= -1 – t DS : x= ; y = + t ;y=2+t; 1 t d)A(0 ;1 ;-1) (a): x= t ; y= ;z=-t DS:x=13t ; y = 1-28t ; z= -1 +20t 6.Viết phương trình đường thẳng nằm mp(P):Ax +By +Cz +D = và cắt đường thẳng (d): x=x0 +ta1 ; y = y0 +ta2 ; z =z0 +ta3 và (d’): x=x1 +t’b1 ; y = y1 +t’b2 ; z =z1 +t’b3 Phương pháp : -Tìm giao điểm A và B (d) và (d’) với (P) -Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ; B Thí dụ: Trong không gian Oxyz cho mp(P):y+2z = và đường thẳng (d): x=1+2t ; y = t ; z= 4t và (d’): x= 2-t’ ; y = 4+2t’ ; z= 1.Viết phương trình (a) nằm (P) và cắt đường thẳng (d) và (d’) GIẢI: A (d ) A(1;0;0) B (d ' ) ( P) B(5;2;1) AB (4;2;1) (a ) : x 4t ; y 2t ; z t Bài Tập: Viết phương trình đường thẳng (a) năm mp(P) và cắt đường thẳng (d) ; và (d’) a)(P):6x+3y-13z+39 = (d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t (d’):x = 2; y= -3+t’ ; z= 5+2t’ b) (P):2x – 3y +6z -11 = (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2 + 2t’; Lop12.net (4) c)(P):5x – 4y +2z = (d):x = 2t ; a n y= 1+t ;z= -2t (d’) : x= 2+t’ ;y = – 3t’ ; z= 1; x 1 y z d)(P):x – 9y +2z +11 = (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’): 2 7.Cho 2đường thẳng (d): x=x0 +ta1 ; y = y0 +ta2 ; z =z0 +ta3 và (d’): x=x1 +t’b1 ; y = y1 +t’b2 ; z =z1 +t’b3 và điểm M(x3 ;y3 ;z3 ) Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt đường thẳng Phương pháp: _Viết phương trình mp(P) qua M và đường thẳng (d) _Viết phương trình mp(Q) qua M và đường thẳng (d’) _Tìm vec tơ pháp tuyến n và n (P) và (Q) _Tính a n ; n _Viết phương trình đường thẳng (a) qua M và có vec tơ phương a n ; n _Thử lại Nếu (a) song song (d) (d’) bài toán vô nghiệm Nếu (a) không song song với (d) và (d’) thì (a) là đường thẳng cần tìm Thí dụ :trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):x=t ;y=-t ;z = -4 -2t và (d’):x=1-3t’ ;y =t’ ; z =2-t’ và điểm M (2 ; ; 1) Viết phương trình đường thẳng (a) qua M và cắt đường thẳng (d) và (d’) GIẢI: Gọi (P) là mp qua M và (d) t = 0=>A(0 ; ;- 4)(d) AM (2 ; ; 5) [a ; AM ] (1; ; 5) ( P) : x y z 20 Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và (d’) t ‘ = =>B(1;0;2)(d’) và b (3 ;1;1) là vec tơ phương (d’) BM (1;3 ; 1) b ; BM (2;4;10) (Q) : x y z =>(a) là giao tuyến (P) và (Q)=> x y z 1 c n ; n (55 ;10 ;7) (a ) : 55 10 Bài Tập Viết phương trình đường thẳng (a) qua điểm M và cắt hai đường thẳng (d) và (d’) 1)M(1;1;-2) (d):x=-2+t ;y = -t ;z=-1 +3t (d’):x = -1-2t’ ; y= 1+5t’ ; z = t’ DS: (a) x=1-23t ;y=1-15t;z=-2+26t x 1 y z 1 x y 1 z 1 x4 y 5 z 3 2)M(-4 ; -5 ; 3) (d ) : (d ' ) : DS : (a ) : 2 1 5 1 x7 y 3 z 9 x y 1 z 1 x5 y 2 z 5 3)M(5 ; ; 5) (d ) : (d ' ) : DS : (a ) : 1 7 4)M(1 ; -1 ; 1) (d):x=1+2t ; y =t ; z= 3-t (d’):x = -2+t’ ; y= – 2t’ ; z =t’ DS:x = 1-6t ; y = -1 – t ;z=1 +7t 8.Viết phương trình đường thẳng (a’) là hình chiếu vuông góc (a): x=x0 +ta1 ; y = y0 +ta2 ; z =z0 +ta3 lên mp(P):Ax+By +Cz +D = Phương pháp: -Tìm giao điểm A (a) và (P) _Tìm B (a) -Viết phương trình đường thẳng qua B và vuông góc (P) _tìm giao điểm B’ (d) và (P) _viết phương trình đường thẳng AB’ x 1 y 1 z Thí dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (a): ’Viết phương trình hình chiếu vuông góc 1 (a’) (a) lên: a)mpOxy b)mp(P):2x-3y+z-2=0 Lop12.net (5) GIẢI: z a ) A (a ) Oxy x A(1;1;0) B(3;2;1) (b) B' (3;1;0) là hình chiếu B lên mpOxy y 1 AB' (2;1;0) (a ' ) : x 2t ; y 1 t ; z b)Gọi A là giao điểm (a) và mp(P).Tọa độ A là : x 1 y 1 1 x y y 1 z 1 3 y z 1 A ; ; 2 2 2 x y z 2 x y z B(1;-1;0)(a) Gọi (d) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) =>(d):x=1+2t ; y=-1-3t ; z = t; x 2t y 1 3t 3 4 B’ là giao điểm (d) và (P)=>tọa độ B’ là nghiệm hệ : B' ; ; 14 14 z t 2 x y z x 15t 15 12 (a’) là đường thẳng qua A;B’=> AB' ; ; (a ' ) : y 2t 14 7 z 24t Bài tập: Viết phương trình đường thẳng (a’) là hình chiếu (a) lên mp(P) x 12 y z 1)(a): (P):3x+5y-z-2 = DS:x=8t ; y = -7t ; z =-2-11t 2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t (P)mp(Oyz) DS: (a’) :x = 0;y = =2+3t ; z = 3+t 3)(a): x ==2+t ; y = 7-9t ; z =-2 –t (P):2x – 3y +z – = 0DSa’):x = 2+t ;y = 1+t ; z = t 4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0 DS: x=2t ; y = -6 +5t ; z= -2+t 9)Cho đường thẳng (d): x=x0 +ta1 y = y0 +ta2 ;z =z0 +ta3 và (d’): x=x1 +t’b1 y = y1 +t’b2 ; z =z1 +t’b chéo Viết phương trình đường vuông góc chung (d) và (d’) Phương pháp: -Tìm vec tơ phương a a1 ; a ; a3 ; b b1 ; b2 ; bb (a) và b - Gọi M,N là điểm thuộc (a) và thuộc (b) =>M(x0+ta1;y0+ta2 ;z0+ta3) và N(x1+t’b1;y1+t’b2 ;z1 +t’b3 ) MN a _MN là đường vuông góc chung (a) và (b) Giải hệ pt tìm t và t’ MN b _Tìm M và N ,Viết phương trình đường thẳng MN x Thí dụ:Cho đường thẳng (d) và (d’) chéo (d ) : y 4 2t z t đường vuông góc chung (d) và (d’) Lop12.net x 3u (d ' ) : y 2u Viết phương trình z 2 (6) GIẢI : Gọi a (0;2;1) b (3;2;0) là vec tơ phương (d) và (d’) M(d)=>M(1 ; -4+2t ; 3+t) N (d)=>N(-3u ; 3+2u ; -2)=> MN ( 3u 1;7 2u 2t ;5 t ) a MN 4u 5t 9 u 1 MN là đường vuông góc chung (d) và (d;) b MN 13u 4t 17 t =M((1;-2;4) và N(3 ; ; -2)=>(MN)x=1+2t ; y= -2 +3t ; z=4-6t BÀI TẬP: Viết phương trình đường vuông góc chung (a) đường thẳng chéo (d) và (d’) x t x 2u x2 y 3 z (d ' ) : y DS : (a ) : 1) (d ) : y t z 2t z t x 1 3u x2 y 3 z 4 x y z 1 (d ' ) : y 2u DS : (a ) : 2) (d ) : 5 1 z u x t x x4 y z2 (d ' ) : y 2u DS : (a ) : 3) (d ) : y z 5 t z 3u x 8t x y 1 z 1 x 1 y z 4) : (d ) : (d ' ) : ĐS : (a ) : y 2t 2 3 z t x x0 y y z z 10.Cho đường thẳng (a): và (P):Ax +By +Cz +D=0 Viết phương trình (a’) đối a1 a2 a3 xứng (a) qua (P) Phương pháp: -Tìm giao điểm A (a) và (P) -Lấy điểm B trên (a).Viết phương trình đường thẳng (d) qua B và vuông góc với (P) -Tìm giao điểm H (d) và (P) -Tìm B’ cho H là trung điểm BB’ _Viết phương trình đường thẳng AB’ x y 1 z 1 Thí dụ 1: Cho đường thẳng (a): Viết phương trình đường thẳng (a’) đối xứng (a) 2 qua mpOyz GIẢI Gọi A là giao điểm (a) và mpOyz=>A(0;-5;7) Xét B(-2;-1;1) H là hình chiếu vuông góc B lên mpOyz =>H(0;-1;1).Gọi B’ là đối xứng B qua mpOyz =>H là trung điểm BB’=>B’(2;-1;1) Phương trình (a’) :x=4t ; y= -5 +4t ;z=7-6t Thí dụ 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):x = 5+3t ;y = 5+2t ; z = 2+ t và (P):5x + 3y +4z + = 0.Viết phương trình đường thẳng (a) đối xứng đường thẳng (d) qua mpP GIẢI Lop12.net (7) Gọi A là giao điểm (d) và (P) =>A(-1 ; ;0).Cho t = 0=>B(5 ; ;2) (d) Gọi (d’) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) => (d’):x = +5t ; y = +3t ;z = 2+4t; Gọi H là giao điểm (d) và (P) =>H(0 ; ;-2) B’ là điểm đối xứng B qua (P)=>H là trung điểm BB’ =>B’(-5 ; -1 ;-6)=>(a):x=-1 – 4t ; y= -2t ; z = -6t BÀI TẬP : Viết phương đường thẳng (a) là đường thẳng đối xứng (d) qua mp(P) biết: 1)(d):x= 2-t ; y =1+2t ;z = -2t (P)Oxy ĐS:x=2 – t ; y=1 +2t ; z = 2t 2)(d):x =-2 +t ; y = 7-9t ; z = -2 –t (P):2x – 3y +z -1 = DS: x = -1+7t ; y = -2 -3t ; z = -3 +5t Lop12.net (8)