Bài giảng chuyên đề : Bài toán liệt kê; Cấu trúc dữ liệu và giải thuật; Quy hoạch động; Lý thuyết đồ thị

Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun của số phức... Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: .[r]

SỐ PHỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm số phức Một biểu thức dạng z = a + bi, đó a và b là số thực và i thỏa mãn i2 = -1 gọi là số phức a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo Tập hợp số phức kí hiệu là C Số phức có phần ảo gọi là số thực nên R  C Số phức có phần thực gọi là số ảo = + 0i là số vừa thực vừa ảo Biểu diễn hình học  Số phức z = a + bi  a, b  R  biểu diễn điểm M(a; b) hay u   a, b  mp(Oxy) (mặt phẳng phức) y M (a,b) b Trục thực O a x Trục ảo Hai số phức a  a ' a  bi  a ' b ' i    a, b, a ', b '  R  b  b ' Cộng và trừ hai số phức  a  bi   a ' b ' i    a  a '   b  b ' i  a  bi   a ' b ' i    a  a '   b  b ' i  Số đối z = a + bi là –z = -a – bi Nhân hai số phức   a  bi    a ' b ' i    aa ' bb '   ab ' ba ' i  k  a  bi   ka  kbi  k  R  Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a + bi là z  a  bi zz z z' z z' z z z z '  z z ' ;     z' z' z z  a  b z là số thực  z  z z là số ảo  z   z Modul số phức Cho số phức z = a + bi  z  a  b  z.z  OM z  0, z  C ; z 0 z0 Lop12.net z z '  z z ' z z  z' z' z  z'  z z'  z  z' Chia hai số phức  z 1  z z  z  0 z' z ' z z ' z ' 1  z z    z z z z Căn bậc hai số phức x  y  a 2 xy  b  z = x + yi là bậc hai số phức w = a + bi  z  w    w = có đúng bậc hai là z =  w  có đúng hai bậc hai đối  Hai bậc hai a > là  a  Hai bậc hai a < là  a.i 10 Phương trình bậc hai Az  Bz  C  * (A, B, C là các số phức cho trước, A  0) Công thức nghiệm giống phương trình bậc trên tập số thực Nếu z0  C là nghiệm (*) thì z0 là nghiệm (*) 11 Dạng lượng giác số phức  z  r  cos  i sin    r   là dạng lượng giác số phức z = a + bi  r  a  b  a  z    cos  r  b  sin   r   là acgumen z,    Ox, OM   z   z  cos  isin II CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI Dạng tìm phần thực, phần ảo số phức Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i) Giải: Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo số phức  1  i    2i  3 Giải:  1  i    1   1 Ta có:  2i   23  i  8i 3 i   1 i  i   2i Lop12.net   1  i    2i    10i 3 Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10 Bài 3: (A10) Tìm phần ảo số phức z, biết z   i  1  2i  Giải:    Ta có: z   2i  2i   2i  z   2i Phần ảo số phức z bằng:  Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   3i  z    i  z   1  3i  Tìm phần thực và phần ảo z Giải: Gọi z = a + bi  a  R, b  R  Đẳng thức đã cho trở thành 6a  4b - 2(a  b)i  - 6i 6a  4b  a  2   2a  2b  b  Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn 1  i    i  z   i  1  2i  z Tìm phần thực và phần ảo z 1  i    i  z   i  1  2i  z Ta có:  z 1  i    i   1  2i     i    z  2i   i    2i    i z  i   i 1  2i     3i 2i  Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun số phức 1  3i  Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn z  1 i Giải:   Tìm môđun số phức z  iz Ta có:  3i  8 8  4  4i  z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i Do đó z  Vậy z  iz  Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: z  và z là số ảo Giải: Gọi z = a + bi  a  R, b  R  , ta có: z  a  b và z  a  b  2abi Lop12.net a  b  a  a  1    2 a  b  b  b  1 Yêu cầu bài toán tỏa mãn và khi:  Vậy các số phức cần tìm là: + i; – i; -1 + i; -1 – i Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: z    i   10 và z.z  25 Giải: Gọi z = a + bi  a  R, b  R  , Ta có: z    i    a     b  1 i; Từ giả thiết ta có: z    i   10   a     b  1  10 2 1  2 và z.z  25  a  b  25 a  a   b  b  Giải hệ (1) và (2) ta  Vậy các số phức cần tìm là: z   4i z  Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z  z  Giải: Gọi z = x + yi  x  R, y  R  , đó z  z    x  yi   x  y     x  y  x  y  xyi   x  y  x  y   2 xy   x    x    x     x  0, y     y    x  0, y   y 1  y     y  y   y          x  0, y  1   y    y    y     x 1  x     x  x     x  0, y        x   x    Vậy các số phức cần tìm là: z  0; z  i; z  i Giải phương trình trên tập hợp các số phức Bài 1: (CD10) Giải phương trình z  1  i  z   3i  trên tập hợp các số phức Giải: Phương trình có biệt thức   1  i     3i   24  10i  1  5i  2 Phương trình có hai nghiệm là: z   2i và z  3i Bài 2: (A09) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Tính giá trị 2 biểu thức A  z1  z2 Lop12.net Giải: Ta có:   22  4.10  36  36i Phương trình có hai nghiệm là: z1  1  3i và z2  1  3i z1   1  32  10 và z1   1   3 2  10 Vậy A  z1  z2  20 Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: z   7i  z  2i z i Giải: Điều kiện: z  1 Phương trình đã cho tương đương với z    3i  z   7i  Phương trình có biệt thức     3i   1  7i    4i    i  2 Phương trình có hai nghiệm là: z   2i và z   i Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích) Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện z    4i   Giải: Gọi z = x + yi  x  R, y  R  , ta có: z   4i   x  3   y   i Từ giả thiết ta có:  x  3   y   2    x  3   y    2 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  i  1  i  z Giải: Gọi z = x + yi  x  R, y  R  , ta có: z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i  x   y  1   x  y    x  y  2  x2  y  y 1   x   y  1  2 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = Lop12.net