Lập phương trình mặt phẳng P song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S.. Tìm toạ độ điểm C..[r]
(1)Trung tâm BDVH & LTĐH THÀNH ĐẠT Đề số ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x + mx - m - (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = –2 2) Chứng minh m thay đổi thì (Cm) luôn luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến A và B vuông góc với Câu II (2 điểm): 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải phương trình: ìï x + x + y = í 2 ïî3 x + x y + xy + x = 18 sin x + sin x = + cos x + cos2 x Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= ò x -1 x +1 dx Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a Gọi K là trung điểm cạnh BC và I là tâm mặt bên CC¢D¢D Tính thể tích các hình đa diện mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương Câu V (1 điểm): Cho x, y là hai số thực thoả mãn x - xy + y = Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức: M = x + xy - 3y II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh AB, AC nằm trên hai đường thẳng d1: x + y - = và d2: x + y + = Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 - x - y - z + = và đường thẳng d: x -3 y -3 z = = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) 2 Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: ( z2 + 9)( z4 + z2 - 4) = Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: x - y - = Tìm toạ độ điểm C x -1 y +1 z x - y z -1 = = và d2: = = Lập 2 1 -2 phương trình đường thẳng d cắt d1 và d2 và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + 5z + = 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: Câu VII.b (1 điểm): Cho hàm số y = x + mx + m - (m là tham số) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên mx + khoảng xác định nó ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y¢ = x + mx é êm = - 2 · Các tiếp tuyến A và B vuông góc với Û y¢ (1).y¢ (-1) = -1 Û (4 + 2m ) = Û ê êm = - ë 2 ìy = - x - x é x = 1; y = ï ê x = -3; y = 15 ìï y = - x - x ïé x = ê Câu II: 1) Hệ PT Û í Û Û íê x = ê x = -1 - 7; y = + ïî x + x - x - 18 x+18 = ïê êë x = -1 + 7; y = - ïîë x = -1 ± 2) PT Û (sin x - 1)(sin x + cos x + 2) = Û sin x = Û x = ( Câu III: I = p + k2p ) æ x ö é ù ò çç - ÷÷dx = ë x + - ln x + x + û x +1 ø è x +1 = + ln ( + ) - ln ( + ) Câu IV: Gọi E = AK Ç DC, M = IE Ç CC¢, N = IE Ç DD¢ Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành hai đa diện: KMCAND và KBB¢C¢MAA¢D¢N Đặt V1 = VKMCAND, V2 = VKBB¢C¢MAA¢D¢N ED.SD ADN = a3 7 29 EK EM EC a = = Þ V1 = VKMCAND = VEAND = a3 = a3 , V2 = Vhlp – V1 = 8 36 36 EA EN ED · Vhlp = a3 , · VEKMC VEAND Þ VEAND = V1 = V2 29 Câu V: · Nếu y = thì M = x = x x + xy - 3y t + 2t - · Nếu y ¹ thì đặt t = , ta được: M = =2 y x - xy + y t2 - t + Xét phương trình: t + 2t - t - t +1 = m Û (m - 1)t - (m + 2)t + m + = (1) có nghiệm Û m = D = (m + 2)2 - 4(m - 1)(m + 3) ³ Û Kết luận: - (1) 2( 13 + 1) 2( 13 - 1) £m£ 3 4( 13 + 1) 4( 13 - 1) £M£ 3 II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn æ 15 ö ìx + y - = Þ Aç ;- ÷ è4 4ø î2 x + y + = Câu VI.a: 1) Toạ độ điểm A là nghiệm hệ: í -3 - 2c ö ÷ Î d2 ø ìb + c ì ï = -1 b = ï ï Þ B æç ; ö÷ , C æç - ; ö÷ M(–1; 1) là trung điểm BC Û í Û í -3 - c è4 4ø è 4ø ïc = - ï2 - b + = ï î î r 2) (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) r r r (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [u , i ] = (0;1; -2) Þ Phương trình (P) có dạng: y - z + D = æ è Giả sử: B(b; - b) Î d1, C ç c; Trần Sĩ Tùng Lop12.net (3) (P) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,( P )) = R Û Þ (P): y - z + + = 1- + D 12 + 22 éD = + = Û D -3 = Û ê ëD = - (P): y - z + - = é z = ±3i é z2 = -9 ê é z = ±3i Câu VII.a: PT Û ê Û Û êz = ± -1 ê z2 = ± - ë ë( z + 1) = ê z = ±i + ë Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB AB = Þ CH = 2SD ABC AB = ÞIK = 1 Giả sử I(a; 3a – 8) Î d CH = éa = Phương trình AB: x - y - = d ( I , AB) = IK Û - a = Û ê Þ I(2; –2) I(1; –5) ëa = · Với I(2; –2) Þ C(1; –1) · Với I(1; –5) Þ C(–2; –10) ì x = + 2t1 ì x = + t2 r ï ï 2) d1 : í y = -1 + t1 , d2 : í y = t2 (P) có VTPT n = (2;1;5) Gọi A = d Ç d1, B = d Ç d2 ï z = - 2t ï z = 2t î î uuur Giả sử: A(1 + 2t1; -1 + t1 ;2t1 ) , B((2 + 2t2 ; t2 ;1 - 2t2 ) Þ AB = (t2 - 2t1 + 1; t2 - t1 + 1; -2t2 - 2t1 + 1) uuur r t - 2t1 + t2 - t1 + -2t2 - 2t1 + ìt = -1 = = Û í1 Þ A(–1; –2; –2) · d ^ (P) Û AB, n cùng phương Û 2 ît2 = -1 x +1 y + z + Þ Phương trình đường thẳng d: = = mx + x + 2m - m ¢ Câu VII.b: y = (mx + 1)2 ìm > Để hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định thì í Û 1< m < îD¢ = m - m + < ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net 1+ (4)