phương pháp 5: Phương pháp quy nạp I.Phương pháp chung : Có 2 cách cơ bản để chưngs minh bằng quy nạp: cách 1:tiến hành theo các bước sau: 1.chưng tỏ BĐT đúng với n = n0với n0 là một số [r]
(1)Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức (thường dùng phổ thông) Phương pháp :Phương pháp dùng quy ước A > B A – B > (dùng định nghĩa để chứng mimh) A.Phương pháp: muốn chứng minh A>B ta xét hiệu A-B>0 và phân tích hiệu thành tổng hoậc là tích các dương I.¸p dông vÝ dô 1: cho a,b,c lµ sè cïng dÊu vµ a > b > c Chøng minh: a3b2 + b3a2+c3a2 a3 c 2+c 3b 2+b 3a2 Gi¶i : XÐt hiÖu : A= a3b2 + b3a2+c3a2- a3 c 2+c 3b 2+b 3a2 =(c-a)(b-a)(c+a)(ab+bc+ca) v× a,b,c cïng dÊu nªn ab+bc+ca > a>b>c nen c-a<0; b-a>0 A a3b2 + b3a2+c3a2 a3 c 2+c 3b 2+b 3a2 Vd2: Cho a,b c lµ sè thùc ma a+b+c CM: a b3 c3 3abc abc abc XÐt hiÖu : a b3 c3 3abc a b c 3abc = = abc abc abc (a b) (b c) (c a ) a b3 c3 3abc vËy : abc abc Vd3: CMR nÕu <x y z th× ta cã: Lop10.com (2) 1 1 y( ) ( x z) ( )( x z) x z y x z Vd4: CTR: a , b th× (ax by)(bx ay) (a b) xy Vd5: Cho a,b,c là số dương tuỳ ý [0;1].CMR : a b c2 a b b 2c c2a Vd6: Cho ab>1.CMR: 1 2 1 a b ab phương pháp :Sử dụng bất đẳng thức đã biết và các phép to¸n A.KiÕn thøc : a.Bất đẳng thức cauchy: Cho n số không âm : a1 ,….,an ta có bất đẳng thức : a1 an n a1 a n n dÊu b»ng x¶y vµ chØ a1 =…….=an b.Bất đẳng thức bunhiacôpski: cho cÆp sè (a,b)vµ (c,d) ta cã bÊt ®Èng thøc: ( ac +bd ) ( a2+c2)(b2+d2) DÊu ’’ =’’ vµ chØ c: Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối |x| - |y| |x+y| |x| +|y| |x| - |y| |x-y| |x| + |y| | a+ | a d.§¼ng thøc tam gi¸c: a-c<b<a+c Lop10.com a c = b d (3) a–b<c<a+b b – c < a < b + c B.¸p dông: Vd1: Cho a,b, c > chøng minh r»ng : a 3b a c b a b c c a c 3b 6abc c b c a b b Gi¶i: ¸p dông B§T Cauchy cho sè khong ©m ta ®îc : a b a c b a b c c a c b 66 a b c 6abc c b c a b a dÊu “=” x¶y vµ chØ a=b=c vd2 : Chøng minh c¸c B§T sau : a , (sin x a cos x )(sin x b cos x ) [1 ab (1 a )(1 b ) a b b, ((sin x a cos x )(sin x b cos x ) ( ) HD: a) sử dụng cong thức lượng giác và áp công thức bunhiacôpski cho cËp sè(a+b;ab-1)vµ (sin2x;cos2x) b)áp dụng BĐT Cauchy cho số dương 1+a2,1+b2 vd3: Cho tam gi¸c ABC.CMR: 1 1 1 2( ) pa pc pb a b c (HD: ¸p dông B§T Cau chy ) vd4: Chøng minh tg A B C tg tg víi mäi tam gi¸c 2 (HD:¸p dômg B§T Cauchy) Vd5: Lop10.com (4) Cho a,b,c là độ cạnh tam giác.CMR: a , )a b c 2(ab bc ca ) b, ) abc (a b c)(b c a )(c a b) c)a (b c ) b (c a ) c (a b ) 0; víi a<b<c (HD: ¸p dông B§T tam gi¸c) Phương pháp 3: áp dụng tam thức bậc 1.Phương pháp: +tính chất thường áp dụng là f ( x) ax bx c(a 0) af(x) x R b 4ac +) ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña tam thøc bËc 2: xÐt b 4ac 0( 0; ) 2.VÝ dô ¸p dông: vd1: Cho ABC lµ mét tam gi¸c bÊt kú CMR 1 x ta có: x cos A x(cos B cos C )(1) gi¶i tacã 1 x 2(cos B cos C ) x 2(1 cos A) 0(2) ' (cos B cos C ) 2(1 cos a ) BC BC A A BC cos cos sin sin (cos 1) 2 2 BC v× cos 1 (2) đúng x nên (1) đúng Vd2: CMR: Lop10.com (5) nÕu a c (a b c) < th× (b c ) > 4a (a b c) Gi¶i: XÐt tam thøc bËc : f(x) = ax (b c) x a b c Ta cã f (0) f (1) 2(a b c)(a c) < (gt) Vậy f(x) có hai nghiệm ,do đó > nghĩa là : (b c) 4a (a b c) > (b c) > 4a (a b c) ®pcm.3 Vd3: Cho a3 > 36 vµ abc = CMR: a3 b c > ab bc ca (1) Vd4: cho sè a,b,c,d thùc CMR: (a b )(c d d ) (ac bd ) vd5: x R ta có: CMR sin x cos x sin x vd5: CMR : NÕu sè a,b,c tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: ab +bc +ca >0; abc > 0; a +b+c>0; th× a>0 ; b >0 ; c >0 vd5: cho số a.b,c là độ dài ba cạnh tam giác CMR: a b b c c a > (a b c ) vd 6: CMR: nÕu sè a,b,c tho¶ m·n ®k: a th× b c =2 (1) ab bc ca =1 (2) 4 4 4 a ; b ; c ; 3 3 3 Lop10.com (6) phương pháp Dùng phép chứng minh phản chứng 1,pp chung : giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng ta giả sử bđt đó sai và kết hợp với gt để suy đièu vô lý: +,®iÒu tr¸i víi gt’ +trái vưói điều đúng +sai vô lý là hai điều trái ngược 2.c¸c vÝ dô ¸p dông: vd1: nÕu a + b < th× mét sè a vµ b nhá h¬n Gi¶i Giả sử số a và b lớn tức là a và b a+b 2(tr¸i víi gt) vËy a<1 hoÆc b < Vd2: CMR a1a2 2(b1 b2 ) thì ít hai phương tr×nh x a1 x b1 0; x a2 x b2 cã nghiÖm Gi¶i: Giả sử hai pt đã cho vô nghiệm ,khi đó : 1 a12 4b1 < ; a 22 4b2 < 1 < a12 a22 4(b1 b2 ) < a12 a22 < 4(b1 b2 ) 2a1a2 ( gt ) (a1 a2 ) < 0.(v« lý) Vậy có ít hai pt đã cho có nghiệm 3.bµi tËp ¸p dông: bµi 1:cho a,b,c (0;2) CMR cã Ýt nhÊt mét c¸c B§T sau lµ sai: 9 ; b(3 c) > ; c(3 a) > 4 Bµi 2: cho a,b,c 0.chøng minh cã Ýt nhÊt c¸c pt sau cã a (3 b) > nghiÖm: ax 2bx c =0; Lop10.com (7) bx 2cx a =0; cx 2ax b =0 bµi 3: cho a,b,c (0;1) CMR có ít các bất đẳng sau la sai: 1 a (1 b) > ; b(1 c) > ; c(1 a ) > 4 Bµi 4: Cho a,b,c.CMR cã Ýt nhÊt mmét c¸c B§T sau lµ sai: a ( 2-b)>1;b(1-c)>1;c(1-a)>1; bai5: CMR BĐT sau đây có ít BĐT sau là đúng: (b c) 2 (c a ) 2 ( a b) 2 a b ;b c ;c a ; 2 2 phương pháp 5: Phương pháp quy nạp I.Phương pháp chung : Có cách để chưngs minh quy nạp: cách 1:tiến hành theo các bước sau: 1.chưng tỏ BĐT đúng với n = n0(với n0 là số tự nhiên bé từa nhận yêu cầu đề bài) 2.giả sử BĐT đúng với n = k 3.từ đó suy BĐt đúng với n= k +1 NÕu thùc hiÖn ®îc c¸c ®iÒu kiÖn trªn th× theo nguyªn lý quy n¹p kÕt luËn B§T đúng với số tụ nhiên n n0 C¸ch2: quy n¹p theo kiÓu cauchy: gi¶ sö cÇn chøng minh B§ T đúng số tự nhiên n ta cã tiÕn hµnh nh sau: 1,CM BĐT đúng với n = Lop10.com (8) 2,giả sử BĐT đúng với n=k ta chứng minh BĐT đúng với n = 2k 3,giả sử BĐT đúng với n=k (k 4) ta chứng minhBĐT đúng với n=k-1 II,C¸c bµi to¸n minh ho¹: a b n a n bn Bµi 1: cho a,b n lµ sè tù nhiªn n 1.CM: ( ) (*) 2 Gi¶i : ab ab (đúng) 2 +) n=1 B§T trë thµnh Vậy (*) đúng với n=1; a b k a k bk +)giả sử BĐT (*) đúng với n=k ta có: ( ) (1) 2 +) ta chứng minh BĐT đúng với n=k+1 nghĩa là chứng minh a b k 1 a k ! b k 1 (2) ( ) 2 ab a b k 1 a k 1 b k 1 a b tõ (1) ta cã ( ) nªn suy ( ) ( )( )(3) 2 2 để CM (2) ta cần chứng minh: a k bK a b a k 1 b k 1 ( )( ) (4) 2 (a k b k )(a b) 2(a k 1 b k 1 ) a k 1 b k 1 a k b ab k (a b)(a k b k ) (a b) (a k 1 a k b ab k b k 1 ) 0(5) a 0; b (5) (4) đúng theo nguyên lý quy nạp suy BĐT (*) đung với số nguyên dương n đẳng thức xảy khi: Lop10.com (9) + n=1 thì đẳng thức xảy a , b + nÕu n>1 th× d¼ng thøc x¶y a=b bµi tËp 2: CMR víi n nguyªn ,n>1 th× 1 > n n (*) gi¶i : +n=2 ta cã 1 =1+ >2 2 BĐT đúng với n=2 +giả sử BĐT đúng với n=k tức là: 1 > k (1) 2 k +ta CM BDT đúng với n=k+1 nghĩa là : 1 1 + > k (2) k k 1 tõ (1) ta cã : 1 > k k 1 k (2)dung k k 1 1 k 1 = > = k 1 k 1 k 1 k chứng tỏ BĐT đúng với n =k+1 theo nguyên lý quy nạp BĐT đúng vơi số nguyên lớn Bµi tËp 3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : 1 n n (*) 2 n 1 HD: đặt S = ta sÏ CM: S n n 2 n phương pháp quy nạp Bµi tËp CMR: a) a , b CMR 1 2 1 a 1 b ab Lop10.com (10) b) a,b c .CMR 1 a b c abc bµi tËp 5: cho a , a , , a n 1.CMR : 1 n a1 a a n n a a n HD CM BĐT trên phương pháp quy nạp Cau chy Bµi tËp 6: CMR víi mäi sè nguyen ®¬ng n>1 ta cã: 1 13 > n 1 n 2n 24 bµi tËp CMR với số nguyên dương n ta có: 2n! 4n (n!) n 1 bµi tËp 8: x , x , , x n cho CMR (1-x1)……(1-xn) x x n phương pháp 6: Phương pháp hình học I Phương pháp chung: -¸p dônh cho c¸c bµi to¸n chøa c¨n thøcvµ biÓu thøc c¨n cã thểbiến đổi thành tổng các bình phương.Sau đó ta đặtchung vào tam giác,tứ giác… áp dụngcác bất đẳng tam giác để chứng minh bất đẳng thức II.Bµi tËp minh ho¹: Bµi t¹p 1:CMR: x 6x 34 x 6x 10 gi¶i: đặt:S = ( x 3) ( x 3) +) nÕu x=3 th× S =4 +) nÕu x ta dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã 10 Lop10.com (11) AC = 5; AB = x trªn AC lÊy ®iÓm D cho AD =1 ta thÊy r»ng BC= AD AC = ( x 3) BD = AB2 AD = ( x 3) mà theo bất đẳng thức tam giác ta có: BC BD DC =AC-AD=5-1=4 S <4 (2) ( x 3) ( x 3) tõ (1) (2) ta cã S < 4suy ®iÒu ph¶i chng minh Bài tập 2:CMR với x,y,z ,tdương thì: ( x z )( y z ) ( x t )( y t ) ( x y)(z t ) HD: x,y,z,t >0 nªn tån t¹i mét tø gi¸c ABCD cho AC vu«ng gãc BD t¹i O đặt OA =x;OB=y;OC=z;OD=t sau đó ta áp dụng các tính chất tam giác để chứng minh Bài tập 3: gọi a,b,c là cạnh tam giác có đương tương øng la CMR: (a b c) h h 2b h c2 a HD: qua C kÎ Cx//AB.lÊy ®iÓm D ®x víi A qua Cx(AC=CD).trong tam gi¸c vu«ng Ta xét tính chất: AD AB2 =BD2< (BC+CD)2 từ đó suy phải chng minh Bai tËp 4:CMR: m n p q ( m p) ( n q ) bµi tËp 5: x,,y,z lµ sè tuú ý.CMR: ( x xy y ) ( x xz z ) ( y yz z ) 11 Lop10.com (12) Phương pháp 7:áp dụng giá trị lớn ,nhỏ hàm sè I PP chung: B1:tìm hàm số để xét cho thuận lợi việc chưng minh B2:lËp BBT cña hµm sè vµ tÝnh gi¸ trÞ cùc trÞ B3.dựa vào BBT để chứng minh II C¸c vÝ dô ¸p dông : Vd1: cho ba sè x,y,z tho¶ m·n x y z =1.CMR: x y z 3 (1) 2 y z z x x y 2 Gi¶i: Từ gt ta có < x,y,z <1.khi đó (1) x2 y2 z2 3 (2) 2 x (1 x ) y(1 y ) z(1 z ) XÐt hµm sè f(t)=t(1-t2) = -t3+t víi t (0;1) f ' (t) =-3t2+1; f ' (t) = 0; t= v× t > ta cã BBT sau: T F’(t) F(t) + -2 Tõ BBT ta cã: f(t) 3 3 t (0;1) đó 0<x(1-x2) 12 Lop10.com 3 (1) (13) x2 (1) tương tự: x (1 x ) 3 y2 2 y(1 y ) 3 z2 (3) z(1 z ) 3 céng (1) (2) (3) tõng vÕ ta ®îc §pcm CMR: Vd2: + ln(x+ x ) x vd3: vd4: cho a,b 0.CMR : ( a b a n bn ) 2 cho sè nguyªn n>1.CMR: Vd5: (1 x ) n (1 x ) n cho x,y,z [o;1] CM: 2( x y z ) ( x y y z z x ) Phương pháp 8: BĐT tích phân I.phương pháp chung: Ta thươngf sử dụng các tích chất sau: b 1)nÕu f ( x ) 0, x a , b f ( x )dx DÊu “=” vµ chØ a f(x)= x a , b b b .A A 2)nếu f ( x ) g( x ), x a , b f ( x )dx g( x )dx đấu “=” và f(x) = g(x) x a , b b b a a 3) ta cã f ( x )dx f ( x )dx b 4) nÕu m f ( x ) M, x a , b m(b a ) f ( x )dx M(b a ) A 13 Lop10.com (14) giải các bài tập dạng này chúng ta thường dùng các BĐT,khảo sát hàm số,tính bị chặn hàm sinx,cosx ,để chặn hàm dấu tích phân.Sau đó dùng các tính chất trên dể giải II.bµi tËp: Bµi tËp 1:chng minh c¸c B§t tÝch ph©n sau: a ) x (1 x )dx x b) dx x (cos .x dx ln 1 x dx c) 16 cos x 10 d HD: a) v×: x (1 x ) ; .x 0,1 ¸p dông B§t Cauchy ta cã: x (1 x ) 1 1 vËy x (1 x )dx dx 4 b)áp dụng tính đơn điệu hàm sốvà sử dụng tính chất b m f ( x ) M, x a , b m(b a ) f ( x )dx M (b a ) A c,tong tù c©u b d,sö dông tÝnh chÊt bÞ chÆn cña hµm cosx vµ sö dông tÝnh chÊt Bµi tËp 2: Cho f(x) ,g(x) lµ hai hµm sè liªn tôc ,x® trªn [a,b].CMR: 1 2 f ( x )g ( x )dx f ( x )dx g ( x )dx 0 0 HD: Víi mäi sè thùc y ta cã y.f ( x ) g ( x ) y f ( x ) yf ( x )g ( x ) g ( x ) Khi đó b b b .a a a x b y f ( x )dx y f ( x )g ( x )dx g ( x )dx 2 .a 14 Lop10.com (15) Sau đó ta áp dụng địng lý dấu tam thức bậc y Bµi tËp 3:cho hµm sè liªn tôc x® trªn [0,1] va f(x) 1, x 0,1 1 CMR: f ( x )dx ( f ( x )dx ) 0 Bµi tËp 4:CMR: e sin x dx 3 Phương pháp 9: Sử dụng lượng giác I,phương pháp chung: +) ta có thể áp dụng pp lượng giác để CM bài toán ĐT đặc biệt BĐT có chứa số hạng nằm trong[-1,1](ta đặt thành sin , cos ) có hệ thức xy=1 thì ta có thể đặt x tg, y cot g II.bµi tËp: Bµi 1: Cho sè thùc x,y,u,v tho¶ m·n x2+y2=u2+v2= 1.CMR: u ( x y) v( x y) HD: u cos b .x cos a vµ y sin a v sin b Có thể đặt Khi đó : u ( x y) v( x y) cos b(cos a sin a ) sin b(cos a sin a ) cos(b a 450 ) Do đó u ( x y) v( x y) 2vi cos(b a 450 ) suy dpcm Bµi tËp 2: CMR với số dương a,b,c,d ta có: ab cd (a d )(c d )(1) HD: ta cã (1) d c (1 )(1 ) a b 15 Lop10.com (2) d c ab(1 )(1 ) a b (16) a tg x 0 d để CM (2) ta có lấy x,y là góc nhọn đặt : tg y c b đó (2) có:cos(x-y) ta có điều phải CM Bµi tËp 3:CMR: (1 x ) sin y x cos y 1 1 x2 HD:đặt x= tga sin a víi a [ ; ] 2 cos a Bµi tËp 4:cho a,b,c,d thùc v¬i a c d ; b d c CMR: a b HD:đặt d cos a; c cos b với a , b Bài tập 5:CMR từ số cho trước luôn có thể chọn ta số x,y cho: 0 Hd:¸p dông c«ng thøc tg (a b) xy 1 xy tga tgb tga.tgb Phương pháp 10: áp dụng tính đơn điệu hàm số: I.Phương pháp chung: Ta áp dụng dấu đạo hàm để biết tính tăng hay giảm hàm sè vµ suy kÐt qu¶ cña B§T )f ' ( x ) 0, x D f t¨ng D +) f’(x) 0, .x D f gi¶m D (dÊu “=” chØ x¶y t¹i c¸c ®iÓm rêi r¹c) II.bµi tËp ¸p dông: Bµi tËp1: 16 Lop10.com (17) CMR: 1+xln(x+ x ) x víi mäi x Gi¶i : §Æt f(x) =1+ xln( x x ) x lµ biÓu thøc hµm sè liªn tôc [o, + ] có đạo hàm f’(x) = ln( x (1 x ) 0, x Vậy hàm số tăng trªn [o, + ] vËy ta cã: f ( x ) f (0) x ln(x x ) x 0, x x ln(x x ) x , x x=0 th× f(0)= nªn ta ®îc: 1+xln(x+ x ) x víi mäi x bài tập 2: cho số dương a,b,c,d.Đặt a+b+c+d= e CMR: a) 4 4 3 4 a b c d e 4 b) a b c d e gi¶i: HD: a e 4 b e c e d e tõ a+b+c+d =e ta cã : vµ v× a,b,c,d >0 nªn < a b c d 1 e e e e Xét hàm số mũ số dương nhỏ là nghịch biến có d¹ng: 4 a a a 3 Khi đó ta có điều phải CM e e e Bµi tËp 3: cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C CMR víi mäi sè tù nhiªn n>2 ta cã B§T: n <c với x>0 ta có : Bµi tËp 4: chøng minh r»ng 17 Lop10.com an +bn (18) x3 sin x x x HD: đặt f(x ) = sinx-x bµi tËp 5: chøng minh r»ng víi 0<a<1 vµ mäi x>0 ta cã: 1 x a ax Hd: đặt f(x)= 1 x a ax và chứng tỏ giảm trong[0;+) với 0<a<1 Phương pháp 11: áp dụng định lý Lagrange I.Phương pháp : Hµm sè f: y=f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trong(a,b) c(a , b) : f ' (c) f (a ) f ( b ) ba II.bµi tËp ¸p dông” ab ab víi <a b tga tgb 2 cos b cos b HD: f(x) = tgx liªn tôc (0; ) đạo hàm f ' ( x ) tồn (0; ) Theo định lý Lagrange cos x tga tgb cho hµm sè [b,a] (0; ) Ta cã : víi cosa cos c ab Bµi1: Chng minh r»ng: <cosc < cosb nªnta cã : ab ab tga tgb cos b cos a Bµi 2: Chng minh r»ng nÕu 0<a<b th×: Bµi 3: 18 Lop10.com ab a ab ln a b b (19) Chứng minh với hai số a,b ta có : arctga arctgb a b HD: Dặt f(x)=arctgx là hàm số liên tục R và có đạo hàm f ' (x) sau đó áp dụng định Lagrange 1 x2 Phương pháp 12: Biến đổi tương đương I.Phương pháp : Giả sử cần chứngminh bất đẳng thức A B ta dùng tính chất và các phép toán BĐT ta biến đổi tương đương A B C D NÕu B§T C D đúng thì BĐT A B đúng Ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh II.Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: chứng minh với số thực a,b ta có: a b ab a b (1) HD: Biến đổi (1) dạng: (a-b)2 +(b-1)2 +(a-1)2 (2).luôn đúng a,b VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Bµi 2: chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a,b,x,y ta cã: ax by (a b )( x y ) HD: ®a vÒ d¹ng (ax + by)2 Bµi 3: Chứng minh a,b là các số thực dương thì ta có B§T: 1 a b ab Bµi 4: 19 Lop10.com (20) Cho a,b,c là ba số dương Chứng minh: a b c2 abc bc ca ab 2 Bµi 5: Chøng tá r»ng mäi a,b kh«ng ©m th×: (ax by)(bx ay) (a b) xy Bµi 6: chøng minh r»ng nÕu a+b th× a b a b 20 Lop10.com (21)