Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiÒu cao b»ng h.. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABCD bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng ABC[r]
(1)së gd&®t vÜnh phóc -đề chính thức kú thi chän häc sinh giái líp 12 thpt n¨m häc 2007-2008 đề thi môn: toán Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 3 x y x y Bài Giải hệ phương trình: x y x y cos x ) log (cos x) Bài Giải phương trình: log ( sin x Bài Tìm tất các cặp số thực (a ; b) để với xR ta có: a(cos x 1) b cos(ax b ) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiÒu cao b»ng h Gäi C1(O; r) lµ h×nh cÇu t©m O b¸n kÝnh r néi tiÕp h×nh chãp; gäi C2(K; R) lµ hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) a) Chøng minh r»ng: r 1 h2 1 h b) Tính giá trị h, từ đó suy thể tích hình chóp Bµi Cho f lµ mét hµm liªn tôc trªn [0; 1] tháa m·n f (0) f (1) Chøng minh r»ng víi bÊt kú n số nguyên dương n nào tồn số c [0 ;1] cho f (c) f (c ) HÕt -(C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) Hä vµ tªn thÝ sinh SBD Lop12.net (2) së gd&®t vÜnh phóc kú thi häc sinh giái líp 12 thpt n¨m häc 2007-2008 hướng dẫn chấm môn: toán (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Bµi (2.0 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy §iÓm x y §K: x y 0.25 x y Lập phương hai vế PT đầu hệ có: x y ( x y ) x y x y y +Víi x y thay vµo PT thø hai cña hÖ cã: y 2( y 1) y 1 y y §èi chiÕu §K, suy ( x; y ) (1; 1) lµ mét nghiÖm cña hÖ +Víi x y thay vµo PT thø hai cña hÖ cã: y 2y 1 2y y x 2 2 y y §èi chiÕu §K, suy ( x; y ) ( ; ) lµ mét nghiÖm cña hÖ 2 Vậy hệ PT đã cho có nghiệm trên 0.50 0.50 0.50 0.25 Bµi (2.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy §iÓm sin x §K: cos x 0.25 cos x ) log cos x (1) PT đã cho log ( sin x 0.25 §Æt t log cos x cos x t (2) Tõ (1)&(2) suy ra: t 3t t 1 t t t 4 t §Æt f (t ) t t t t t 3 4 12 (3) Dễ thấy f (t ) đồng biến và f (1) (3) t 1 Thay t 1 vµo (2) cos x , kÕt hîp víi §K suy ra: x k 2 , k Z Vậy PT đã cho có họ nghiệm: x k 2 , k Z 0.50 0.50 0.50 0.25 0.25 Bµi (1.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy f ' ( x) x R Đặt f ( x) a (cos x 1) b cos(ax b ) Khi đó f ( x) x R f (0) a sin x a sin( ax b ) x R (1) Dễ thấy (2) b Khi đó: b cos b (2) a (1) a sin( ax) a sin x x R a Thö l¹i thÊy (a ; b) (0 ; 0) vµ (a ; b) (1; 0) tháa m·n yªu cÇu VËy cã hai cÆp sè (a ; b) cÇn t×m Lop12.net §iÓm 0.50 0.50 0.25 0.25 (3) Bµi (3.0 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy a) Gọi I là tâm ABCD; M, J, N tương ứng là trung điểm DA, AB, BC DÔ thÊy O vµ K cïng n»m trªn ®êng th¼ng SI §iÓm Trong SMN cã: IN = SN h nöa chu vi SMN: p h DÔ thÊy r chÝnh lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp SMN MÆt kh¸c cã: 1 h2 1 (1) h 1 h2 1 b) Hình cầu (C2) tiếp xúc cạnh AB J, khoảng cách từ K đến mp(ABCD) = r Suy ra: R KJ r AE AJ Gäi E lµ tiÕp ®iÓm cña (C2) víi SA SE SA (2) E SA Xét trường hợp: TH1: K ≡ O S SMN SI MN p.r 2h 2.(1 h 1).r r h 0.25 0.25 0.25 0.50 Từ (2) suy ra: SE SI IA h (3) MÆt kh¸c SE SO OE (h r ) R (h r ) r (4) 0.50 Tõ (1), (3), (4) cã: h h , dÔ thÊy kh«ng tån t¹i h tháa m·n TH2: K đối xứng O qua I 0.25 Khi đó có SE SK KE (h r ) R (h r ) r (5) 0.50 0.25 Tõ (1), (3), (5) cã: h h , gi¶i PT ®îc nhÊt h TÝnh ®îc thÓ tÝch cña h×nh chãp b»ng: 0.25 Bµi (1.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy §Æt g ( x) f ( x) f ( x ) g (x) lµ hµm liªn tôc trªn [0; 1] n n 1 ) f (0) f (1) (1) Với số nguyên dương n tính được: g (0) g ( ) g ( n n i j Do g liªn tôc, nªn tõ (1) tån t¹i i , j Z vµ i , j n cho g ( ) vµ g ( ) (2) n n k i j Tõ (2) vµ g liªn tôc tån t¹i c n»m gi÷a vµ (khi đó c [0;1] ) cho: g (c) n n n f (c) f (c ) (§pcm) n -Lop12.net §iÓm 0.50 0.25 0.25 0.50 (4)