Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiÒu cao b»ng h.. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABCD bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng ABC[r]
(1)së gd&®t vÜnh phóc -đề chính thức kú thi chän häc sinh giái líp 12 thpt n¨m häc 2007-2008 đề thi môn: toán Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 3 x y x y Bài Giải hệ phương trình: x y x y cos x ) log (cos x) Bài Giải phương trình: log ( sin x Bài Tìm tất các cặp số thực (a ; b) để với xR ta có: a(cos x 1) b cos(ax b ) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiÒu cao b»ng h Gäi C1(O; r) lµ h×nh cÇu t©m O b¸n kÝnh r néi tiÕp h×nh chãp; gäi C2(K; R) lµ hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) a) Chøng minh r»ng: r 1 h2 1 h b) Tính giá trị h, từ đó suy thể tích hình chóp Bµi Cho f lµ mét hµm liªn tôc trªn [0; 1] tháa m·n f (0) f (1) Chøng minh r»ng víi bÊt kú n số nguyên dương n nào tồn số c [0 ;1] cho f (c) f (c ) HÕt -(C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) Hä vµ tªn thÝ sinh SBD Lop12.net (2) së gd&®t vÜnh phóc kú thi häc sinh giái líp 12 thpt n¨m häc 2007-2008 hướng dẫn chấm môn: toán (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Bµi (2.0 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy §iÓm x y §K: x y 0.25 x y Lập phương hai vế PT đầu hệ có: x y ( x y ) x y x y y +Víi x y thay vµo PT thø hai cña hÖ cã: y 2( y 1) y 1 y y §èi chiÕu §K, suy ( x; y ) (1; 1) lµ mét nghiÖm cña hÖ +Víi x y thay vµo PT thø hai cña hÖ cã: y 2y 1 2y y x 2 2 y y §èi chiÕu §K, suy ( x; y ) ( ; ) lµ mét nghiÖm cña hÖ 2 Vậy hệ PT đã cho có nghiệm trên 0.50 0.50 0.50 0.25 Bµi (2.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy §iÓm sin x §K: cos x 0.25 cos x ) log cos x (1) PT đã cho log ( sin x 0.25 §Æt t log cos x cos x t (2) Tõ (1)&(2) suy ra: t 3t t 1 t t t 4 t §Æt f (t ) t t t t t 3 4 12 (3) Dễ thấy f (t ) đồng biến và f (1) (3) t 1 Thay t 1 vµo (2) cos x , kÕt hîp víi §K suy ra: x k 2 , k Z Vậy PT đã cho có họ nghiệm: x k 2 , k Z 0.50 0.50 0.50 0.25 0.25 Bµi (1.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy f ' ( x) x R Đặt f ( x) a (cos x 1) b cos(ax b ) Khi đó f ( x) x R f (0) a sin x a sin( ax b ) x R (1) Dễ thấy (2) b Khi đó: b cos b (2) a (1) a sin( ax) a sin x x R a Thö l¹i thÊy (a ; b) (0 ; 0) vµ (a ; b) (1; 0) tháa m·n yªu cÇu VËy cã hai cÆp sè (a ; b) cÇn t×m Lop12.net §iÓm 0.50 0.50 0.25 0.25 (3) Bµi (3.0 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy a) Gọi I là tâm ABCD; M, J, N tương ứng là trung điểm DA, AB, BC DÔ thÊy O vµ K cïng n»m trªn ®êng th¼ng SI §iÓm Trong SMN cã: IN = SN h nöa chu vi SMN: p h DÔ thÊy r chÝnh lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp SMN MÆt kh¸c cã: 1 h2 1 (1) h 1 h2 1 b) Hình cầu (C2) tiếp xúc cạnh AB J, khoảng cách từ K đến mp(ABCD) = r Suy ra: R KJ r AE AJ Gäi E lµ tiÕp ®iÓm cña (C2) víi SA SE SA (2) E SA Xét trường hợp: TH1: K ≡ O S SMN SI MN p.r 2h 2.(1 h 1).r r h 0.25 0.25 0.25 0.50 Từ (2) suy ra: SE SI IA h (3) MÆt kh¸c SE SO OE (h r ) R (h r ) r (4) 0.50 Tõ (1), (3), (4) cã: h h , dÔ thÊy kh«ng tån t¹i h tháa m·n TH2: K đối xứng O qua I 0.25 Khi đó có SE SK KE (h r ) R (h r ) r (5) 0.50 0.25 Tõ (1), (3), (5) cã: h h , gi¶i PT ®îc nhÊt h TÝnh ®îc thÓ tÝch cña h×nh chãp b»ng: 0.25 Bµi (1.5 ®iÓm): Néi dung tr×nh bµy §Æt g ( x) f ( x) f ( x ) g (x) lµ hµm liªn tôc trªn [0; 1] n n 1 ) f (0) f (1) (1) Với số nguyên dương n tính được: g (0) g ( ) g ( n n i j Do g liªn tôc, nªn tõ (1) tån t¹i i , j Z vµ i , j n cho g ( ) vµ g ( ) (2) n n k i j Tõ (2) vµ g liªn tôc tån t¹i c n»m gi÷a vµ (khi đó c [0;1] ) cho: g (c) n n n f (c) f (c ) (§pcm) n -Lop12.net §iÓm 0.50 0.25 0.25 0.50 (4)