2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.. 1 điểm Cho hình chóp S.ABCD có [r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2010 SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH - Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + 3m + (1) (m là tham số thực) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích Câu II (2 điểm) 3π π 1) Giải phương trình: cos 2x − cos x + sin 3x − = 4 2x y + y = 2x + x (x + 2) y + = (x + 1) 2) Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R) Câu III (1 điểm) π Tính tích phân I = sin 2x − cos x dx sin x + ∫ Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy góc 450 và tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 Biết độ dài cạnh AB = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Câu V (1 điểm) Giải bất phương trình: x +3 − + 2x + < x + 9.2 x +1 − (x ∈ R) PHẦN RIÊNG (Thí sinh làm hai phần: PHẦN A PHẦN B) PHẦN A Câu VIa (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1; − 1) , điểm E(−1; 2) là trung điểm cạnh AC và cạnh BC có phương trình 2x − y + = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC x −1 y +1 z −1 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : = = Viết phương trình mặt 2 cầu (S) có tâm là điểm I(1; 0; 3) và cắt đường thẳng ∆1 hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: (z − 1)( z + 2i) là số thực và z nhỏ PHẦN B Câu VIb (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2; 3) Viết phương trình đường thẳng cắt các trục Ox, Oy A và B cho MAB là tam giác vuông cân A x +1 y − z +1 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : = = Viết phương trình mặt 1 −1 phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ Câu VIIb (1 điểm) Tìm acgumen số phức z ≠ thỏa mãn z − z i = z Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh Lop12.net (2) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2010 SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH Môn thi: Toán NỘI DUNG ĐIỂM Câu I 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − 2mx + 3m + m = điểm điểm Khi m = thì y = x − 2x + * Tập xác định: R * Sự biến thiên: y ′ = 4x − 4x, y ′ = ⇔ x = 0; x = -1 x = * Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 4; đạt cực tiểu x = ±1 , yCT = * Bảng biến thiên x −∞ -1 +∞ y’ - + +∞ - + +∞ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ y 3 * Vẽ đúng đồ thị 2) Tìm các giá trị m để Ta có y ′ = 4x(x − m) = x = x = m Để hàm số có CĐ, CT thì m > 0,25đ điểm 0,25đ Khi đó, đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là A(0; 3m + 1); B(− m ; − m + 3m + 1) và C( m ; − m + 3m + 1) Vì A ∈ Oy; B, C đối xứng với qua Oy nên S ABC = y A − y B x B − x C = m m = ⇔ m = (thỏa mãn) Câu II 3π π 1) Giải phương trình cos 2x − cos x + sin 3x − = 4 π Phương trình ⇔ cos 2x − sin 4x + − sin (2x − π ) = 2 ⇔ cos 2x − cos 4x + sin 2x = ⇔ − sin 2x − + sin 2x + sin 2x = ⇔ sin 2x + sin 2x − = π ⇔ sin 2x = −2 (loại) sin 2x = ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) = 2x + x (1) 2x y + y 2) Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R ) (x + 2) y + = (x + 1) (2) PTrình (1) ⇔ 2x (y − x ) + (y − x ) = ⇔ (y − x )(2x + y + yx + x ) = 2 2 ⇔ y = x 2x + y + yx + x > ∀x, y Thay vào phương trình (2) ta (x + 2) x + = x + 2x + ⇔ (x x + − 2x) + [2 x + − (x + 1)] = ⇔ ( x + − 2)(x − x + 1) = Lop12.net 0,25đ 0,5đ điểm điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ -1 điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ (3) x + = x ⇒ vô nghiệm * * x + = ⇔ x = ± Vậy hệ có hai nghiệm (− 3; 3) và ( 3; 3) Câu III Tính tích phân I = 0,25đ điểm π sin 2x − cos x dx sin x + ∫ Đặt t = sinx thì dt = cosxdx và x = ⇒ t = 0; x = π ⇒t =1 0,25đ π 1 (2 sin x − 3) cos x 2t − Ta có: I = ∫ dx = ∫ dt = ∫ 1 − dt sin x + 2t + 0 2t + 1 = [t − ln( 2t + 1)] = − ln Câu IV Tính thể tích khối chóp S.ABCD S D 0,25đ 0,5đ điểm C O A a B ∧ ∧ Vì SA ⊥ (ABCD) nên SCA = 45 ; CB ⊥ (SAB ) nên CSB = 30 ∧ Tam giác SBC vuông B có CSB = 30 nên BC = ∧ có SCA = 45 nên SA = AC = Có AC = AB + BC ⇔ SC ; Tam giác SAC vuông A 0,25đ SC 2 SC = a + SC ⇔ SC = 2a ⇔ BC = a và SA = a 2 a3 Vậy VSABCD = SA.S ABCD = 3 Câu V Giải bất phương trình: Đặt u = x +3 x +3 − + 2x + < x u+v < x + 9.2 x +1 − 2x + 1 > ⇔ v = (4 x + 2.2 x + 1) 2 2u + v ⇔ ( u + v ) < 2u + v ⇔ ( u − v ) > ⇔ u ≠ v Ta có u = v ⇔ x+3 − = 0,25đ 0,25đ điểm − ≥ ⇔ u = 8.2 − và v = Khi đó bpt trở thành: 0,25đ 2x + ⇔ 2x − 14.2 x + = ⇔ x = log (7 ± 11) Lop12.net 0,5đ 0,25đ (4) x ≥ −2 x +3 − ≥ Vậy nghiệm bpt là ⇔ x ≠ log (7 ± 11) x ≠ log (7 ± 11) Câu VIa 1) Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Giả sử C(m; 2m + 1) Vì E(−1; 2) là trung điểm AC nên A có tọa độ A(−2 − m; − 2m) → 0,25đ điểm điểm 0,25đ → Có AH = (3 + m; − + 2m) ; u BC = (1; 2) Vì AH ⊥ BC nên → → AH u BC = + m + 2(−4 + 2m) = ⇔ m = Vậy A(−3; 1) và C(1; 3) → 0,5đ → Giả sử B ( n; n + 1) Có BH = (1 − n; − − n ); AC = (4; 2) Vì BH ⊥ AC nên → → BH AC = 4(1 − n ) + 2(−2 − n ) = ⇔ n = Vậy B (0; 1) 2) Lập phương trình mặt cầu (S) r Đường thẳng ∆1 qua M(1; -1; 1) và có vtcp u = (2; 1; 2) → r → 20 Ta có IM = (0; − 1; − 2); u, IM = (0; 4; − 2) ⇒ d( I, ∆1 ) = Gọi R là bán kính mặt cầu Để IAB là tam giác vuông cân I thì 40 R = IA = IB = d( I, ∆1 ) = 40 Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1) + y + (z − 3) = Câu VIIa Tìm số phức z thỏa mãn: (z − 1)( z + 2i) là số thực và z nhỏ Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ) thì (z − 1)( z + 2i) = [(a − 1) + bi ][a + (2 − b )i ] = [a(a − 1) − b(2 − b)] + [2a + b − 2]i ∈ R ⇔ 2a + b = Ta có z = a + b = a + (2 − 2a ) = 5a − 8a + Từ đó suy z nhỏ a = Câu VIb 1) Viết phương trình đường thẳng 0,25đ 0,25đ điểm 0,5đ 0,25đ điểm điểm → Giả sử A(a; 0) và B(0; b) Ta có MA = (a − 2; − 3); BA = (a; − b ) → → a(a − 2) + 3b = Cần có MA BA = ⇔ 2 (a − 2) + = a + b MA = BA a(2 − a ) b= a=3 a = −3 ⇔ ⇔ b = −1 b = −5 (a − 2) + = a + (2 − a ) Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là x − 3y − = và 5x + 3y + 15 = 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa [ → 0,25đ 0,25đ 4 ; b = Vậ y z = + i 5 5 → 0,25đ -1 điểm 0,25đ ] Giả sử n P = (a; b; c) ( a + b + c ≠ 0) r r r Vì (P) chứa ∆ có u ∆ = (1; 1;−1) nên n P u ∆ = ⇔ a + b − c = r Gọi α là góc (P) và (xOy) Vì n ( xOy ) = (0;Lop12.net 0; 1) nên 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ -1 điểm 0,25đ (5) cos α = c a + b + c2 = a+b a + b + (a + b ) = f (a, b ) Góc α nhỏ ⇔ f (a, b ) lớn Ta có f (a, b ) = a2 + b2 (a + b ) ≤ +1 nên f(a,b) lớn a = b Chọn a = b = thì c = Vì (P) qua M(−1; 2; − 1) ∈ ∆ nên (P) có phương trình 1(x + 1) + 1(y − 2) + 2(z + 1) = ⇔ x + y + 2z + = Câu VIIb 0,25đ 0,25đ 0,25đ điểm Tìm acgumen số phức z ≠ thỏa mãn z − z i = z Giả sử α là acgumen z thì z = z (cos α + i sin α) 0,25đ Khi đó z − z i = z [cos α + i(sin α − 1)] = z cos α + i(sin α − 1) = z 0,25đ ⇔ cos α + (sin α − 1) = ⇔ sin α = Vậy z có acgumen là π 5π 6 0,25đ 0,25đ Lop12.net (6)