Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân , cạnh huyền bằng a 2 a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b Tính thể tích [r]
(1)BÁO CÁO ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THI TỐT NGHIỆP THPT 2010 – 2011 GV: Võ thành Nhung HĐBM Toán ĐỒNG THÁP CHỦ ĐỀ : KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY =============== A Khối đa diện ( tiết) I Hình lăng trụ ( tiết) êKiến thức cần nhớ : 1) Định nghĩa và các tính chất hình lăng trụ 2) Phân loại :lăng trụ xiên ,lăng trụ đứng và lăng trụ : · Định nghĩa và các tính chất 3) Hình hộp : định nghĩa và các tính chất · Hình hộp chữ nhật : định nghĩa và tính chất · Hình lập phương : định nghĩa và tính chất 4) Thể tích lăng trụ : V = Bh ( B: diện tích đáy, h : chiều cao ) · Thể tích hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a,b,c : kích thước) · Thể tích lập phương : V = a3 ( a :cạnh lập phương ) 5) Ôn bổ sung : + Tổng diện tích các mặt bên hình lăng trụ ( Sxq ) + Tổng diện tích các mặt bên và diện tích đáy lăng trụ (Stp ) + Góc hợp đường thẳng chéo ,góc hợp đường thẳng và mặt phẳng , góc hợp mặt phẳng ) D’ A’ C’ B’ D A C B Lop12.net (2) ê Các bài toán áp dụng Chuẩn : Kiến thức và kĩ + Biết tính chất và cấu tạo khối lăng trụ đứng tam giác + Biết dưng hình lăng trụ đứng tam giác Kiến thức Lưu ý + Cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc với đáy + Độ dài cạnh bên là chiều cao lăng trụ đứng + Thể tích V=B.h + Biết tính thể tích lăng trụ đứng + Biết tính chất và cấu tạo khối lăng trụ đứng tam giác + Biết dựng hình lăng trụ đứng tam giác + Biết xác định góc hợp đường thẳng và mặt phẳng + Biết tính thể tích lăng trụ đứng Hướng dẩn thực ôn tập Các dạng toán Lưu ý Ví dụ Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: C' A' Ta có B' VABC vuông cân A nên AB = AC = a 3a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng Þ AA ' ^ AB VAA ' B Þ AA '2 = A 'B2 - AB2 C A a = 8a2 B Þ AA ' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 + Cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc với đáy + Góc hợp đường thẳng và mặt phẳng + Hệ thức lương giác tam giác vuông Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ Lời giải: + Ta có A 'A ^ (ABC) Þ A 'A ^ AB& AB là hình chiếu A'B trên đáy ABC ¼' = 60 o Vậy góc[A ' B, (ABC)] = ABA + VABA ' Þ AA ' AB.tan = 600 a = SABC = a2 BA.BC = 2 Vậy V = SABC.AA' = + Diện tích tam giác vuông C' A' a3 B' C A + Thể tích V=B.h 60o B Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' + Biết tính chất và cấu tạo khối lăng trụ tứ giác + Biết dựng hình lăng trụ tứ giác + Biết xác định góc hợp mặt + Lăng trụ là lăng trục đứng có đáy đa giác có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật + Cạnh bên lăng trụ vuông góc với đáy và là chiều cao lăng trụ + Góc hợp mặt phẳng và mặt phẳng + Gọi O là tâm ABCD Ta cóABCD là hình vuông nên OC ^ BD và CC' ^ (ABCD) Nên OC' ^ BD(đl ^ ) ¼ = 60o Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuôngnên SABCD = a2 Lời giải: Lop12.net (3) phẳng và mặt phẳng + Biết tính thể tích lăng trụ + Hệ thức lương giác tam giác vuông + Thể tích V=B.h VOCC' vuông nên D' C' a CC' = OC.tan60 = Vậy V = a3 A' B' o C D 60 O B + Biết tính chất và cấu tạo hộp chữ nhật + Biết dựng hình hộp chữ nhật + Biết xác định góc hợp đường thẳng và mặt phẳng + Biết xác định góc hợp mặt phẳng và mặt phẳng + Biết tính thể tích hộp chử nhật + Biết tính chất và cấu tạo khối lăng trụ xiên tam giác + Biết dưng hình lăng trụ xiên tam giác + Biết xác định góc hợp đường thẳng và mặt phẳng + Biết cách chứng minh đường thẳng vuông góc với A a Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật + Góc hợp đường Lời giải: Ta có AA' ^ (ABCD) Þ D' A' thẳng và mặt phẳng AC là hình chiếu A'C C' B' trên (ABCD)Vậy + Góc hợp mặt 2a góc[A'C,(ABCD)] phẳng và mặt phẳng ¼ =A 'CA = 30o D A o o 60 + Hệ thức lương giác BC ^ AB C 30 tam giác vuông Þ BC ^ A'B (đl ^ ) B Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼ A 'BA = 60o +Thể tích V=abc=B.h VA'AC Þ AC = AA'.cot30o= 2a + Hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có cạnh bên là chiều cao VA'AB Þ AB = AA'.cot60o = 2a 3 4a 16a Vậy V = AB.BC.AA' = Ví dụ 5: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có + Cạnh bên lăng trụ đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu xiên không vuông A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp góc với đáy D ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật + Khoảng cách 2) Tính thể tích lăng trụ A' đáy là chiều cao C' Lời giải: lăng trụ xiên 1) Ta có A 'O ^ (ABC) Þ OA là hình chiếu AA' trên (ABC) + Mặt bên lăng tru ¼' = 60 o B' Vậy góc[AA ', (ABC)] = OAA xiên là hình bình Ta có BB'CC' là hình bình hành hành ( vì mặt bên lăng trụ) 60o A trung điểm H AO ^ BC + Điều kiện để C BC nên BC ^ A'H (đl ^ ) đường thẳng vuông O a Þ BC ^ (AA 'H) Þ BC ^ AA ' H góc mà AA'//BB' nên BC ^ BB' B Vậy BB'CC' là hình chữ nhật + Hệ thức lương giác tam giác vuông 2a a 2) VABC nên AO = AH = = 3 VABC Þ BC = AC - AB2 = Lop12.net (4) + Biết tính thể tích lăng trụ xiên AO t =an60o a3 Vậy V = SABC.A'O = VAOA ' Þ A ' O + Thể tích V=B.h = a LUYỆN TẬP + Hướng dẫn học sinh tự rèn luyện cố chuẩn kiến thức và các kĩ đã giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ trên + Học sinh tự ôn tập , tự rèn luyện và cố các kiến thức Bài 1:Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác cạnh a biết BD ' = a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: a3 V= Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3aTính thể tích khối hộp các trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đs: 1) V = 8a ; 2) V = 5a 11 ; V = 16a Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật 3a 3 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs: V = S II Hình Chóp ( tiết) êKiến thức cần nhớ : 1) Định nghĩa và các tính chất hình chóp 2) Phân loại chóp n giác · Chóp : Định nghĩa và các tính chất D A 3) Thể tích chóp : V = Bh ( B: diện tích đáy, h : chiều cao ) H B C 4) Tỷ số thể tích : Cho khối chóp S.ABC.A'ÎSA, B'ÎSB, C'ÎSC S · VS ABC SA SB SC = VS A' B ' C ' SA '.SB '.SC ' V SA.SB.SM SM MÎSC, ta có: S ABM = = VS ABC SA.SB.SC SC B' A' M C' C C 4) Ôn bổ sung : + Tổng diện tích các mặt bên hình chóp ( Sxq ) Lop12.net A S A B B (5) + Tổng diện tích các mặt bên và diện tích đáy chóp ( Stp ) + Góc hợp đường thẳng chéo ,góc hợp đường thẳng và mặt phẳng , góc hợp mặt phẳng ) ê Các bài toán áp dụng Chuẩn : Kiến thức và kĩ + Biết tính chất và cấu tạo khối chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy + Biết dựng hình Hướng dẩn thực ôn tập Kiến thức Các dạng toán ( ví dụ) Lưu ý Lưu ý + Hình chóp có cạnh Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là bên vuông góc với tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy đáy là chiều cao ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o.Tính thể tích hình chóp + Góc hợp mặt Lời giải: M là trung điểm BC, phẳng và mặt phẳng vì tam giác ABC nên AM ^ BC Þ SA ^ BC (đl3 ^ ) S ¼ = 60 o + Hệ thức lương giác Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA tam giác vuông + Biết xác định 1 Ta có V = B.h = SABC SA góc hợp mặt 3 + Diện tích tam giác phẳng và mặt C A 3a phẳng VSAM Þ SA AM tan= 60o = o 60 M a 1 a3 + Biết tính thể Vậy V = B.h = SABC SA = +Thể tích V= B.h B tích khối 3 chóp Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc + Biết tính chất với đáy ABC và SB hợp với đáy góc 60o + Hình chóp có cạnh và cấu tạo 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông bên vuông góc với hình chóp tam Xác định tâmmặt cầu ngoại tiếp SABC đáy là chiều cao giác có cạnh bên 2)Tính thể tích hình chóp vuông góc với Lời giải: + Góc hợp đường đáy thẳng và mặt phẳng 1) SA ^ (ABC) Þ SA ^ AB &SA ^ AC mà + Biết dựng hình BC ^ AB Þ BC ^ SB (đl ^ ).Vậy các mặt bên chóp + Điều kiện để là tam giác vuông + Biết xác định đường thẳng vuông ¼ = SBC ¼ = 90o Þ SABC có mặt cầu ngoại Ta có SAC góc hợp góc tiếp có đường kính SC , tâm là trung điểm SC đường thẳng và 2) Ta có SA ^ (ABC) Þ AB là hình chiếu SB mặt phẳng + Tập hợp các điểm S trên (ABC) nhìn đoạn thẳng + Biết cách chứng góc vuông Vậy góc[SB,(ABC)] ¼ = 60o = SAB minh đường VABC vuông cân nên thẳng vuông góc + Mặt cầu ngoại tiếp C a hình chóp a A BA = BC = + Biết xác định 60o tâm mặt cầu + Hệ thức lương giác a2 ngoại tiếp hình tam giác vuông SABC = BA.BC = B chóp a + Diện tích tam giác VSAB Þ SA AB.t an60 = o = + Biết tính thể vuông tích khối 1 a2 a a3 Vậy V = S SA = = ABC chóp 3 24 +Thể tích V= B.h Lop12.net (6) + Biết tính chất và cấu tạo khối chóp tam giác có mặt bên vuông góc với đáy + Biết dựng hình chóp tam giác có mặt vuông góc + Biết xác định góc hợp đường thẳng và mặt phẳng + Biết tính thể tích khối chóp tam giác + Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy + (P) ^ (Q) theo gt d và d ' Ì (P) & d ' ^ d thì d ' ^ (Q) + Góc hợp đường thẳng và mặt phẳng + Hệ thức lương giác tam giác vuông + Diện tích tam giác vuông +Thể tích V= B.h + Định nghĩa và tính + Biết chứng minh chất , cấu tạo chóp tứ giác có các khối chóp tứ giác cạnh là chóp tứ giác + Biết dựng hình chóp tứ giác + Đường cao chóp + Biết xác định đường cao tứ giác + Tính chất đường trung tuyến và cạnh huyền tam giác vuông + Biết tính thể tích khối chóp tứ giác +Thể tích V= + Biết tính chất và cấu tạo khối chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy + Biết dựng hình B.h + Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là chiều cao + Hệ thức lương giác tam giác vuông + Diện tích tam giác vuông + Biết xác định tỉ số đoạn thẳng +Thể tích V= B.h cho định lý + Định lý Thalès Thalès Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác ,BCD là tam giác vuông cân D , (ABC) ^ (BCD) và AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: Gọi H là trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH ^ (BCD) , mà (ABC) ^ (BCD) Þ AH ^ (BCD) A Ta có AH ^ HD o Þ AH = AD.tan60 = a a 3 2a VBCD Þ BC = 2HD= a & HD = AD.cot60o = B H 60 o D C suy 1 a3 V = SBCD AH = BC.HD.AH = 3 Ví dụ 4:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất các cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD là chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: Dựng SO ^ (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên S OA = OB = OC = OD Þ ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông Ta có SA2 + SB2 =AB2 +BC2 = AC2 D C V ASC nên vuông S O a A Þ OS = Vậy a B 1 a a3 V = S ABCD SO= a = 3 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a , SA vuông góc với đáy ABC , SA = a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng( a ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: a)Ta có: VS ABC = S ABC SA và SA = a + DABC=cân có : AC a Þ AB = a Þ S ABC = a 2 1 a Vậy: VSABC = a a = 6 Lop12.net (7) + Tỉ số thể tích khối chóp tam giác + Biết cách lập tỉ số thể tích chóp tam giác + Biết tính thể tích khối chóp b) Gọi I là trung điểm BC G là trọng tâm,ta có : S SG = SI a // BC Þ Þ MN// BC N SM SN SG = = = SB SC SI V Þ SAMN VSABC SM SN = SB SC Vậy: VSAMN = VSABC = C G A = M I 2a 27 B LUYỆN TẬP + Hướng dẫn học sinh tự rèn luyện cố chuẩn kiến thức và các kĩ đã giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ trên Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SC hợp với (SAB) góc 30o + Học sinh tự ôn tập , Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC tự rèn luyện và a3 cố các kiến thức Tính thể tích hình chóp Đs: V = thông qua các Bài 2: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bài luyện tập thang vuông A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ^ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy góc 60o a3 Tính thể thích khối chóp SABCD Đs: V = Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) Chứng minh chân đường cao chóp là trung điểm BC.Tính thể tích khối a3 Đs: V = 24 chóp SABC Bài 4: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên là 45o 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC 2) Tính thể tích hình chóp SABC a3 a Đs: SH = và Đs: V = Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A và AB = a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F và cắt AD E 1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD 2) Chứng minh CE ^ ( ABD) 3) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Đs : V ABCD = Lop12.net a3 a3 ; VDCEF = VABCD = 6 36 (8) B Khối tròn xoay ( tiết) I Kiến thức cần nhớ : Định nghĩa và các tính chất : Khối trụ ; khối nón và khối cầu 2.Các công thức : a) Diện tích xung quanh hình nón : Sxq = pRl (R: bk đường tròn đáy; l: đường sinh) Bh (B diện tích đáy, h là đường cao) c)Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = pRl (R: bk đường tròn đáy ; l: đường sinh) d) Thể tích khối trụ tròn xoay: V = Bh = pR h (R bk đường tròn đáy, h: chiều cao ) e) Diện tích mặt cầu: S = pR (R: bk mặt cầu ) f)Thể tích khốicầu : V = pR (R: bán kính mặt cầu) II Các bài toán áp dụng b) Thể tích khối nón : Chuẩn : Kiến thức và kĩ + Biết tính chất thiết diện qua trục hình trụ để tìm chiều cao , đường sinh và bán kính đáy hình trụ + Biết dựng hình trụ +Biết tính Sxq ; Sxq và V hình trụ + Biết tính chất cấu tạo hình trụ để tìm chiều cao , đường sinh và bán kính đáy hình trụ V= Kiến thức Lưu ý + Tính chất thiết diện qua trục hình trụ + Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = p Rl + Diện tích toàn phần hình trụ : Stp = Sxq + 2Sđáy + Thể tích khối trụ V = pR h + Tính chất cấu tạo hình trụ + Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = p Rl + Biết dựng hình trụ + Diện tích toàn phần hình trụ : Stp = Sxq + 2Sđáy +Biết tính Sxq ; Sxq và V hình trụ + Thể tích khối trụ V = pR h Hướng dẩn thực ôn tập Các dạng toán ( ví dụ) Lưu ý Khối Trụ Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụTính thể tích khối trụ HD: B a) * Sxq = p Rl = p OA.AA’ O = p R.2R = p R2 A * OA =R; AA’ = 2R h * Stp = Sxq + 2Sđáy l 2 = 4pR + pR = 5pR b) * V = pR h B' O' = p.OA OO¢ = p.R=2 2R 2pR3 A' Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 1)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ 2)Tính thể tích khối trụ HD a) * Sxq = p Rl O R A = p OA.AA’ = p R R = 2 p R2 * Stp = Sxq + 2Sđáy R2 = 2 p R2 + p R2 = ( + 1) p R2 O' A' b) * V = pR h = p.OA OO¢ = p.R = R pR3 Lop12.net (9) + Biết tính chất cấu tạo hình trụ để tìm chiều cao , đường sinh và bán kính đáy hình trụ + Biết dựng hình trụ +Biết tính Sxq ; Sxq và V hình trụ + Biết xác định góc đường thẳng chéo + Biết cách tính khoảng cách đường thẳng chéo + Tính chất cấu tạo hình trụ + Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = p Rl + Diện tích toàn phần hình trụ : Stp = Sxq + 2Sđáy + Thể tích khối trụ V = pR h + Góc hợp đường thẳng chéo + Khoảng cách đường thẳng chéo Bài3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 1)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ 2)Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ đã cho 3) Cho hai điểm A và B nằm trên hai đường tròn đáy cho góc đường thẳng AB và trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB và trục hình trụ : HD a) * Sxq = p Rl = p OA.AA’ A = p r r r O = p r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = p r2 + p r2 = ( + 1) p r2 b) * V = pR h = p.OA OO¢ = p.r=2 r pr 3 Ù r3 A' O' H B c) * OO //AA Þ BA A¢ = 30 * Kẻ O’H ^ A’B Þ O’H là khoảng cách đường thẳng AB và trục OO’ hình trụ ’ ’ * Tính: O’H = r (vì D BA’O’ cạnh r) * C/m: D BA’O’ cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r ( D Ú AA’B A’) + Tính chất thiết diện qua trục hình nón + Biết tính chất thiết diện qua trục hình nón để + Diện tích xung tìm chiều cao , quanh hình nón: đường sinh và Sxq = p Rl bán kính đáy hình nón + Diện tích toàn phần hình nón : + Biết dựng Stp = Sxq + Sđáy hình nón + Thể tích khối nón +Biết tính Sxq ; V = pR h Sxq và V hình nón Khối Nón Bài 1: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD S a) * Sxq = p Rl = p OB.SB = p a2 * Stp = Sxq + Sđáy = p a2 + p a2 = 23 p a2 2a 1 b) V = pR h = p.OB2 SO 3 = p.a a = 2a pa3 A O =a (vì SO là đường cao D SAB cạnh 2a) Tính: SO = Lop12.net B (10) + Biết tính chất thiết diện qua trục hình nón để tìm chiều cao , đường sinh và bán kính đáy hình nón + Biết dựng hình nón +Biết tính Sxq ; Sxq và V hình nón + Tính chất thiết diện qua trục hình nón + Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = p Rl + Diện tích toàn phần hình nón : Stp = Sxq + Sđáy + Thể tích khối nón V = pR h Bài 2: Một hình nón có đường cao a, thiết diện qua trục có góc đỉnh 1200 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD Ù a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân S nên A = Ù Ù * Stp = Sxq + Sđáy = pa2 + p a2 ( ) + Tính chất cấu tạo hình nón +Biết tính Sxq ; Sxq và V hình nón + Biết tính chất thiết diện qua trục hình nón để xác định chiều cao , đường sinh và bán kính đáy hình A B O 1 pR h = p.OA SO = p.= 3a2 a pa3 3 Bài 3: Một hình nón có độ dài đường sinh l và góc đường sinh và mặt đáy a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần + Góc hợp hình nón đường thẳng và mặt b) Tính thể tích khối nón phẳng HD Ù + Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = p Rl + Biết cách xác định góc hợp đường + Diện tích toàn sinh và đáy phần hình nón : nón Stp = Sxq + Sđáy + Biết dựng hình nón a = + pa2 b) V = + Biết tính chất cấu tạo hình nón để xác định chiều cao , đường sinh và bán kính đáy hình nón Ù B = 300 hay A SO = BSO = 600 * Sxq = p Rl = p OA.SA = p a 2aS= pa2 Tính: OA = a ; SA 120 = 2a ( D Ú SOA O) + Thể tích khối nón V = pR h * Stp = Sxq + Sđáy = pl2 cos a + p l2cos2 a S = (1 + cos a ) pl cos a b) V = = = + Tính chất thiết diện qua trục hình nón + Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = p Rl Ù a) * Góc đường sinh và mặt đáy là A = B = a * Sxq = p Rl = p OA.SA = p lcos a l = pl2 cos a Tính: OA = lcos a ( D Ú SOA O) pR h = 1 p.OA SO l p.l cos2 a l sin a pl3 cos2a sin a A a O B Tính: SO = lsin a ( D Ú SOA O) Bài 4: Thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông a a)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b)Tính thể tích khối nó c)Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này HD a) * Thiết diện qua trục là tam giácSAB vuông cân S nên 10 Lop12.net A (11) Ù nón + Biết dựng hình nón +Biết tính Sxq ; Sxq và V hình nón + Biết cách xác định góc hợp thiết diện qua đỉnh nón và mặt đáy nón + Biết tính diện tích thiết diện mặt phẳng qua đỉnh với hình nón Ù A = B = 450 + Diện tích toàn phần hình nón : Stp = Sxq + Sđáy * Sxq = p Rl = p OA.SA = p a Tính: OA = + Thể tích khối nón V = pR h + xác định góc hợp thiết diện qua đỉnh nón và mặt đáy nón + Hệ thức lượng giác tam giác vuông + Diện tích tam giác cân a .a = pa2 ( D Ú SOA O) pa2 æ 1 ö pa2 * Stp = Sxq + Sđáy = + = + pa çè 2 ÷ø c) V = = p a 2 pR h = a pa = Tính: SO = S p.OA SO a a ( D Ú SOA O) c) * Thiết diện (SAC) qua A 45 Ù M trục tạo với đáy góc 60 : SM O = 600 * Tính: SM = a * Tính: OM = 2a 3 OA - OM = a 6 C ( D Ú SMO O) * Tính: AC = 2AM = * Tính: AM = B O a 3 ( D Ú SMO O) 1 a 2a a2 * SSAC = SM.AC = = 2 3 Khối Cầu + Biết cách xác định tâm và bán kính mặt cầu qua đỉnh tứ diện + Biết tính thể tích và diện tích hình cầu Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), D ABC vuông B, AB=3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D + Tập hợp các điểm b) Tính bán kính mặt cầu nói trên Tính diện tích và cách điểm thể tích mặt cầu cố định độ dài HD: không đổi a) * Gọi O là trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; + Diện tích mặt * Chứng minh: D DAC vuông A cầu : OA = OC = OD = CD Þ S = pR + Thể tích khối cầu: * Chứng minh: D DBC 11 Lop12.net (12) V= pR vuông B Þ OB = CD * OA = OB = OC = OD = D CD Û A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; CD ) O b) Bán kính R = CD = AD + AC = AD + AB + BC 5a = 25a2 + 9a2 + 16a2 = 2 2 æ ö * S = 4p ç 5a= ÷ è ø C A B 50pa ; 4 æ 5a ö 125 2pa * V = p R3 = p ç ÷ = 3 çè ÷ø + Biết cách xác định tâm và bán kính mặt cầu qua đỉnh chóp tứ giác + Biết tính thể tích và diện tích hình cầu + Biết cách xác định tâm và bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp + Biết tính thể tích và diện tích hình cầu Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a + Tập hợp các điểm a)Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S cách điểm b)Tính bán kính mặt cầu nói trên Tính diện tích và cố định độ dài thể tích mặt cầu không đổi HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy) + Diện tích mặt Chứng minh: cầu : OA = OB = OC = OD = OS S = pR a ; + Thể tích khối cầu: b) R = OA = V = pR 3 a3 p 2 S = 2a p ; V = Bài 3: Cho chóp S ABCD có ABCD là hính vuông cạnh a SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S + Tập hợp các điểm b) Tính bán kính mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích mặt cầu nhìn đoạn S HD: thẳng cố định a) * Gọi O là trung điểm SC góc vuông * Chứng minh: Các D SAC, D SCD, D SBC + Diện tích mặt vuông A, D, B cầu : O 2a * OA = OB = OC = OD S = pR A SC SC + Thể tích khối cầu: = OS = S(O; ) D Û 2 V = pR B 12 Lop12.net a C (13) SC b) * R = = 2 SA + AB + BC = 2 a 2 æa ö æa ö * S = 4p ç = 6pa ; * V = p ç ÷÷ = pa ÷ ç ç ÷ è ø è ø Bài 4: Cho chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và ba + Biết cách cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Tính diện tích mặt xác định tâm cầu và thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó + Tập hợp các điểm HD: * Gọi I là trung điểm AB Kẻ D vuông góc với và bán kính mặt cầu qua cách điểm mp(SAB) I C cố định độ dài đỉnh tứ * Dựng mp trung trực không đổi diện SC cắt D O Þ OC = OS (1) + Biết áp dụng + Trục đường tròn * I là tâm đường tròn ngoại tiếp ngoại tiếp D SAB trục đường c tam giác tròn và mặt (vì D SAB vuông S) + Mặt phẳng trung phẳng trung O Þ OA = OB = OS (2) trực đoạn trực để tìm S * Từ (1) và (2) Þ B b thẳng tâm hình cầu OA = OB = OC = OS ngoại tiếp hình I Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) a + Diện tích mặt chóp * R = OA A cầu : æ SC ö æ AB ö = a + b + c + Biết tính thể S = pR = OI + AI ç =2 ÷ + ç ÷ tích và diện è ø è ø + Thể tích khối cầu: tích hình cầu æ a +b +c ö V = pR * S = 4p ç = ÷÷ p(a + b + c ) ç è ø 2 2 2 2 2 2 æ a2 + b2 + c2 V= p ç = çè 2 ö p(a + b + c2 ) a2 + b + c2 ÷÷ ø Bài 5: Cho lăng trụ tam giác có đáy là tam giác + Tập hợp các điểm các cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt + Biết cách cách điểm cầu qua các đỉnh lăng trụ xác định tâm C cố định độ dài HD: và bán kính O không đổi -Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và mặt cầu qua A ∆A’B’C’ thí OO’ là trục B đỉnh + Trục đường tròn đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và lăng trụ ngoại tiếp ∆A’B’C’ I tam giác -Gọi I là trung điểm OO’ thì + Biết áp dụng + Mặt phẳng trung IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ A' trục đường C' trực đoạn hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp a O' A' tròn và mặt thẳng lăng trụ phẳng trung B' -Bán kính mặt cầu là R = IA trực để tìm + Diện tích mặt a 2a tâm hình cầu Tam giác AOI có: AO = AA1 = = cầu : ngoại tiếp hình S = pR 1 b chóp OI = OO ' = AA ' = 1 13 Lop12.net (14) + Thể tích khối cầu: + Biết tính thể tích và diện tích hình cầu V= pR a2 ⇒AI2=OA2+OI2= V= 43 pR AI2 = + b4 = 7a12 = 34 p a8 73 4a +3b2 12 Þ AI = a ⇒ AI = p.28 = a 72 4a +3b2 pa = 718 = 21.a 54 =R V = 43 pR = 43 p 8.31 (4a + 3b ) = 181 (4a + 3b ) 3 LUYỆN TẬP Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục và + Hướng dẫn cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện học sinh tự rèn + Học sinh tự ôn tạo nên luyện cố tập , tự rèn luyện và Đs: Sxq = 70 p (cm2); Stp = 120 p (cm2) , chuẩn kiến cố các kiến thức và các kĩ thức thông V= 175 p (cm3) , Std = 56 (cm2) đã qua các bài luyện Bài2: Hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r giáo viên tập a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hướng dẫn qua hình trụ các ví dụ trên b) Tính thể tích khối trụ c) Cho hai điểm A và B nằm trên hai đường tròn đáy cho góc đường thẳng AB và trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB và trục hình trụ Đs: Sxq = p r2 ; Stp = ( + 1) p r2 ; V = pr 3 ; O’H = r Bài 3: Một hình nón có đường sinh l và thiết diện qua trục là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần nón b) Tính thể tích khối nón pl pl3 æ 1ö Đs: Sxq = ;Stp= ç + ÷ pl ; V = = è 2ø Bài 4: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện đó Đs:Sxq= 25 p 1025 (cm2) ; Stp= 25 p 1025 + 625 p V = p.252.202 (cm3) ; SSAB = 500(cm2) 14 Lop12.net (15) Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân , cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC Đs : Sxq = pa 2 V= = pa ; Stp= 12 ( + 1)pa ; ; SSBC = a 2 Bài :Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có các cạnh bên a và mặt chéo SAC là tam giác a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Qua A, dựng mặt phẳng (a) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (a) và hình chóp a a2 Đáp số: R = SAMNP = Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên hợp với mặt đáy góc j Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp Đáp số: R = 3a(4 + tan j) 12 tan j Bài : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc và có ÐBDC = 900 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b Đáp số: R = a2 4a - b2 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đs : V = a Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R Gọi I là điểm trên AB cho AI=h Một mặt phẳng vuông góc với AB I cắt mặt cầu theo đường tròn (C) a) Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C) b)Định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn ph Đs V= pr h = (2r - h) với 0<h<2R ;Vmax Û h = 4R 15 Lop12.net 3 (16) CÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABCcó cạnh đáy a khoảng cách cạnh bên và cạnh đáy đối diện b tính thể tích khối chóp theo a và b Bài :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc o mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (TN-THPT2010) Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (TN-THPT 2009) Bài :Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm cạnh BC 1) Chứng minh SA vuông góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a (TN-THPT 2008) Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC (TN THPT 2007) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB Tính thể tích khối chóp S.ABCD Chứng minh trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD (TN-THPT 2006) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy,SA=SB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD (Khối A-CĐ 2010) Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có Gọi M,N và P là trung điểm các cạnh SA,SB và CD Chứng minh đường thẳngMN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP (Khối A- CĐ 2009) 16 Lop12.net (17)