Chuyên đề Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là m 2  1... Một số tính chất hình học của tiếp tuyến A.[r]

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Tiếp tuyến và tiếp xúc Mục lục Loại Tiếp tuyến điểm và tiếp tuyến qua điểm A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ .3 C Bài tập 10 D Hướng dẫn và đáp số 11 Loại Một số tính chất hình học tiếp tuyến 12 A Tóm tắt lý thuyết 12 B Một số ví dụ 13 C Bài tập 21 D Hướng dẫn và đáp số 22 Loại Điều kiện tiếp xúc 23 A Tóm tắt lý thuyết 23 B Một số ví dụ 24 C Bài tập 28 D Hướng dẫn và đáp số 29 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Tiếp tuyến điểm và tiếp tuyến qua điểm A Tóm tắt lý thuyết Cho y  f  x   C  y * Tiếp tuyến điểm (Hình 1):  (C)  Tiếp tuyến với  C  M x0 ;f  x0  là đường thẳng qua Δ M và có hệ số góc f '  x0  Như vậy, PTTT với  C  M là: Mx0;fx0  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  O Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến  C  M , ta phải hiểu x M   C  và M là nơi xảy tiếp xúc Hình * Tiếp tuyến qua điểm: Tiếp tuyến qua M  C  là tiếp tuyến với  C  điểm N nào đó Ta có ba trường hợp sau: +) Trường hợp (Hình 2): M   C +) Trường hợp (Hình 3): M   C , M không phải tiếp điểm +) Trường hợp 3(Hình 4): M   C , M là tiếp điểm Trong trường hợp này, tiếp tuyến qua M chính là tiếp tuyến M M M N (C) N (C) (C) Hình M≡N Hình Hình Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Cho f  x   x  x  3x   C  Viết PTTT  C  điểm M có hoành độ Giải Ta có f  1  , f '  x   3x  4x   f '  1    PTTT với  C  M là:  3x2 1  : y   18  x  1  14   : y   18 x  83 Ví dụ Cho f  x   x  4x2  5x   C Viết phương trình các tiếp tuyến  C giao điểm  C  với trục hoành Giải  y  x  4x  5x  M   C   Ox  M :   y   1  2 Thay   vào  1 ta x3  4x  5x     x   x  12   x  2    x  1 Vậy  C  có hai giao điểm với trục hoành là M1  2;0  và M  1;0  Ta có f '  x   3x  8x  +) f '  2    PTTT với  C  M1 là 1 : y   x     1 : y  x  +) f '  1   PTTT với  C  M là  : y   x  1    : y  Vậy phương trình các tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục hoành là 1 : y  x  ,  : y  Ví dụ Cho f  x   x  x  2x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc  C  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Giải PTTT  C  điểm có hoành độ x0 là  : y  f '  x0  x  x0   f  x0   có hệ số góc và  x  1 f '  x0    2x02  2x0    x20  x0     x   +) x0  1  f  x0     : y   x  1    : y  2x  13 3 +) x0   f  x0      : y   x      : y  2x  14 3 Vậy phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc  C  là: và  : y  2x  14  : y  2x  13 3 Ví dụ Cho f  x   x  3x  12x   C  Viết PTTT có hệ số góc nhỏ  C  Giải Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hoành độ x0  C  là: k  f '  x0   3x02  6x0  12   x0  1  15 Ta thấy k  15 , dấu “  ” xảy  x0  Do đó k nhỏ 15 , đạt  x0  f  1    tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  C  là:  : y  15  x  1    : y  15x  Ví dụ [ĐHB08] Cho f  x   4x3  6x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  1; 9   C  Giải PTTT  C  điểm có hoành độ x0 là:   : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  12x02  12x0   x  x0   4x03  6x02  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  qua M  1; 9   9  12x20  12x0 1  x0  4x03  6x02      8x30  6x20  12x0  10   +) x0   4x0   x0  1   154 f  x0    16 f '  x     x0     x0  1 0     : y  15 x     : y  15 x  21 4 16  f '  x0   24 +) x0  1     : y  24  x  1    : y  24x  15  f  x0   9 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  C  là  : y  15 x  21 ,  : y  24x  15 4 Ví dụ Cho f  x   1 x x1  C  Chứng minh qua điểm I  1; 1 không tồn tiếp tuyến  C Giải PTTT  C  điểm có hoành độ x0 là:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  d qua I  1; 1  1   x0  1  x  x0   x 01 1 x 2  x0  1 1 x 2  1  x0   x 01  1   1 x0 x 1 x 1  1   x0 x 1    x0  1   x0    x0   Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  x0   Vậy không tồn x0 để  qua I Nói cách khác qua I không tồn tiếp tuyến  C  Ví dụ Cho f  x   4x  3mx   C  Tìm m để  C  có tiếp tuyến qua A  1; 2  Giải PTTT với  C  điểm có hoành độ x0 là:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y   8x0  3m  x  x0   4x02  3mx0   C có tiếp tuyến qua A  1; 2   x0 :  qua A  phương trình: 2   8x0  3m   x   4x02  3mx0   *  có nghiệm x0 Ta có:  *   4x20  8x  3m   (  '  12m  48 ) Do đó  *  có nghiệm   '   12m  48   m  4 Vậy  C  có tiếp tuyến qua A  1; 2   m  4 Ví dụ Cho f  x   2x  x2  C  Tìm trên đường thẳng x  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến  C  Giải PTTT với  C  điểm có hoành độ x0 ( x0  ) là:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  5  x0    x  x0   2x0 1 x0  Điểm A nằm trên đường thẳng x   tọa độ A có dạng A  3;a  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Qua A có tiếp tuyến tới  C   tồn x0 cho  qua A  phương trình a  Ta thấy  1 5  x0     x0   2x0  x0   1 có nghiệm x0 a  x    5   x    2x  1 x     x    0 0    x0    a  x0    5   x0    2x0  1 x0     a   x20   2a  1 x0  4a  17    * a    a  Khi đó   trở thành 10x0  21   x0  21 Do đó trường 10 hợp này   có nghiệm   1 * a    a  Khi đó có nghiệm  2 trường hợp này  1 có nghiệm  là phương trình bậc hai có  '  5a  35 Do đó,  2 có nghiệm   '   5a  35   a    Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A  3;a  a  Ví dụ [ĐHD02] Cho f  x    2m 1 x  m x 1  C và d : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d Giải PTTT với  C  điểm có hoành độ x0 ( x0  ) là:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y   m 1   x0 1  2  x  x0    2m   x0  m x0   2m 1 x0  m   : y   m 1  x   m 1  x0  x0 1  x0    x0 1  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  C tiếp xúc với d  x :   d  m 1   x       hệ   *  có nghiệm x0  2m 1 x0  m   m 1  0    x0   x0  x0 1  m 1   x      Ta có  *      2m 1 x0  m2  x  0  x0   1  2  x0   x0     1    x0   m     x0  m x    m x   m   +) m   m   m    1 vô nghiệm   *  vô nghiệm  x0  m +) m  :  1    x0   m x0  m  VT     m   2m 1 m  m m 1   VP    x0  m là nghiệm  *    *  có nghiệm Vậy  C  tiếp xúc với d  m  Ví dụ 10 Cho f  x   x4  8x   C  Với m  C  Tìm m để đường thẳng d : y  60x  m tiếp xúc với tìm được, hãy hoành độ tiếp điểm d và  C  Giải PTTT với  C  điểm có hoành độ x0 là: Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  f '  x  x  x 0f '  x   f  x   C tiếp xúc với d  x :   d f '  x   60  hệ   *  có nghiệm x0   x0f '  x0   f  x0   m f '  x   60 Ta có  *    m  60x0  f  x0   1  1  2  4x30  16x  60  x0  Thay x0  vào   ta có: m  164 Vậy d tiếp xúc với  C   m  164 Khi đó hoành độ tiếp điểm là x0  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Viết PTTT  C  biết 1)  C  là ĐTHS f  x   x  2x2  và hoành độ tiếp điểm 2)  C  là ĐTHS f  x   x  3x  và tiếp điểm là giao điểm  C  với trục tung x 1   3)  C  là ĐTHS f  x   2x  3x  và tiếp tuyến qua A 19 ;4 12 Bài Viết PTTT  C  biết 1)  C  là ĐTHS f  x   x3  3x  5x  , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 2)  C  là ĐTHS f  x    x  x  5x  , tiếp tuyến có hệ số góc lớn 3)  C  là ĐTHS f  x   x5  5x4 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 4)  C  là ĐTHS f  x    x5  10x , tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài Cho y  x  mx  x  m   C  Tìm m để hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị là 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài Cho f  x   2x  3x  12x   C  Tìm điểm thuộc  C  mà tiếp tuyến đó qua gốc tọa độ Bài Cho f  x   x x 1  C  Chứng minh qua I  1;1  C  , không tồn tiếp tuyến nào  C  Bài Tìm m cho ĐTHS f  x   x  m có tiếp tuyến qua điểm A  0; 2  x  1 m 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Hướng dẫn và đáp số Bài 1) y  24x  43 2) y  7x  3) y  12x  15 , y   21 x  645 , y  32 128 Bài 1) y  2x  2) y  6x  3) f '  x0   5x04  20x03  5x03  x0   f '  x0   4  x0  Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương  x0 ,  x0 ,  x0 , 3x  12 ta có:   x     x0     x0    3x0  12     x0   x0   x0  3x0  12      81    f '  x0   135 Dấu “  ” xảy  x0  3  PTTT hệ số góc nhỏ  C  là: d : y  135x  243 4) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn  C  là: d : y  15x  Bài Ta có y '  x  2mx    x  m   m    m  Dấu “  ” xảy  x  m Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị là tiếp tuyến điểm có hoành độ m và hệ số góc tiếp tuyến này là m  Ta có m2   10  m  3 Với m  , tiếp tuyến cần tìm là d1 : y  10x  11 , Với m  3 , tiếp tuyến cần tìm là d : y  10x  13 Bài Trên  C  có điểm mà tiếp tuyến đó qua gốc tọa độ là M  1;12  Bài ĐTHS có tiếp tuyến qua A  0; 2    m  11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Một số tính chất hình học tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Phần này sử dụng số kiến thức sau: * Vị trí tương đối và góc hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc: Cho 1 : y  k 1x  m1 và  : y  k x  m Ta có: k  k +) 1     m  m  k  k +) 1     m1  m + ) 1    k 1k  1 k k +) 1 tạo với  góc  (   0 ;90 )  11k k2  tan  Đặc biệt k  ( d 2   vuông góc với trục tung) thì: 1 tạo với  góc  (   0 ;90 )  k  tan    * Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: cho điểm M  x0 ;y  và đường thẳng  : ax  by  c  ( a  b  ) Ta có công thức tính khoảng cách từ M đến  : d  M;    ax0  by  c a2  b * Giao điểm hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng là nghiệm hệ gồm các phương trình đường thẳng 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD10] f  x    x4  x2   C Viết PTTT vuông góc với đường thẳng d : y  16 x   C  Giải  là tiếp tuyến với  C  điểm có hoành độ x0   có hệ số góc là f '  x0    d  f '  x0   1  f '  x   6  4x 30  2x0  6  2x03  x0     x0  1  2x02  2x0  3  x0      2x0  2x0     '  5   voâ nghieäm   x0  x0   f  x0     : y  6  x  1    : y  6x  10 Vậy tiếp tuyến vuông góc với d  C  là  : y  6x  10 Ví dụ [ĐHD05] Cho f  x   x3  m x2  3  Cm  Gọi M là điểm thuộc  Cm  có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến M  Cm  song song với đường thẳng d : 5x  y  Giải  là tiếp tuyến M  Cm    : y  f '  1 x  1  f  1   : y   m  1 x  1  m 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   : y   m  1 x  m   m   Ta có d : y  5x Do đó   d   m  m     Vậy tiếp tuyến M  Cm  song song với đường thẳng d  m  Ví dụ Cho f  x   2x  4x  x  C Viết phương trình các tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 Giải Hệ số góc tiếp tuyến  điểm có hoành độ x0  C  là: k  f '  x0   6x02  8x0    ,Ox   45 k   k  tan 45    k  1  x0  * k   6x20  8x0      x0  +) x0   f  x0     : y  x   +) x0   f  x0    28   : y  x   28   : y  x  64 27 27 27  x0  * k  1  6x20  8x0   1    x0  +) x0   f  x   1   : y    x  1    : y   x   +) x0   f  x0      : y   x     : y   x  27 27 27 Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45  C  là: y  x ,  : y  x  64 , y   x , y   x  27 27 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ Cho f  x   mx4  3m  x2  Cm Gọi A và B là các điểm có 24     hoành độ 1 và  Cm  Tìm m để các tiếp tuyến  Cm  A và B vuông góc với Giải   Ta có f '  x   4mx  6m  x  hệ số góc các tiếp tuyến  Cm  A và B 12 là: f '  1  10m  và f '    44m  Do đó các tiếp tuyến  Cm  A và B 12 vuông góc với và f '  1 f '    1   10m  121   44m  61   1  440m  16 m  71  72 m  24    m   71 1320  Ví dụ Cho f  x   1 x 2x   C  Viết PTTT  C    biết tiếp tuyến cách I  ; khoảng 2 10 Giải PTTT  C  điểm có hoành độ x0 ( x0   ) là:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0   :y   :y  3  2x0  1 3  2x0  1 1 x  x  x0   2x0 01 1 x  x  x0   2x0 01 2   : 3x   2x0  1 y  2x02  4x0   15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44    2x0  1  2x02  4x0 1 2x0 1 2  d  I;      2x0  1    2x0  1 Do đó: d  A;   10  2x0    2x0     10  2x0  14  10  2x0  1     2x  1       2x0  1   x0  x0    x0   x0 0  1 1  2 f '  x0   3 +) x0      : y  3x  f  x0   f '  x0   3 +) x0  1     : y  3  x  1    : y  3x  f  x0   2 f '  x       :y   x 1   :y   x  +) x0      3 f  x0   f '  x       :y   x  1   :y   x  +) x0  2     3 f  x0    Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x  , y  3x  , y   x  , 3 y   13 x  35 16 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ Cho f  x   3 x  C  Viết PTTT  C  biết tiếp tuyến cách các điểm x 1 A  7;6  và B  3;10  Giải PTTT  C  điểm có hoành độ x0 ( x0  1 ) là:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0   :y    x0  1  x  x0    2x0 x0    : 5x   x0  1 y  2x02  6x0    cách các điểm A và B và khi: d  A,    d  B,    35  6 x0  1  2x 20  6x  25   x0  1  15 10  x    2x02  6x0  25   x0    8x20  6x  32  12x02  14x0   4x20  3x0  16  6x02  7x0   4x  3x  16  6x2  7x  0 0   2  4x  3x  16   6x  7x  0     x2  2x     '  5   voâ nghieäm  0    x2  x   0   x0     x  2 f '  x     +) x0      : y    x  1    : y   x  4 f  x0   17 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 f '  x0   5 +) x0  2     : y  5  x      : y  5x  17 f  x0   7 Vậy phương trình các tiếp tuyến cách A và B  C  là: y   x  , y  5x  17 4 Ví dụ Cho f  x   2x  x 1  C Tìm tọa độ điểm M   C  cho khoảng cách từ điểm I  1;2  tới tiếp tuyến  C  M đạt giá trị lớn Giải Giả sử x0 là hoành độ M  tiếp tuyến M (C) có phương trình:  : y  f '  x0  x  x0   f  x0   :y    x0    x  x0    x 1  3x   x0  1 y  2x02  x0    d  I,     2 x0 1   2x 20  2x0    x0   Theo bất đẳng thức Cô-si: và  x0  1   x  1     x0  1 2   x0  1   x  1   x  1   x  1  , đạt và x0  1   M 1  ;2  Ví dụ [ĐHD07] Cho f  x   2x x1  C    x0  1   , d  I,    Đẳng thức xảy Vậy khoảng cách d  I,   lớn M 1  ;2   x0   x0     C  Tìm tọa độ điểm M thuộc  C  biết tiếp tuyến M cắt hai trục Ox , Oy A , B cho OAB có diện tích Giải 18 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ta có f '  x   Xét điểm M   C  , M có hoành độ x0 Ta có PTTT với  C  x1  M:   : y  f   x0  x  x0   f  x0   :y   :y  2x  x0  1 2x  x  x0   x0 01 2x02   x    x0    2x02  y  2x  A    Ox  A :   x0 1  x0  12  A  x0 ;0 ,  y     2x02 2x  2x02  y   2  B    Oy  A :   x0 1  x0  1  B  0; 2 x       x  Ta có OA  x02 , OB  2x20 x0  S ABC  OA.OB   x0  12  x0   SOAB   x40  x0  1 1  4x40   x0  1  2x  x  0    2x    x     2x  x   0    2x02  x0      7   voâ nghieäm    x0     x0   19 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  M  1;1    M  ; 2    20 Lop12.net