NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN... NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN π..[r]
(1)Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN M TS Luy n thi K THU T TÍNH TÍCH PHÂN i h c 2013 C S C: π x cos x + sin x Bài t p 1: Tính tích phân I = H ng d n: π π π 4 x i I= = cos x + sin x Bi n x = 2 cos x + tan x cos x (1 + tan x ) x (1 + tan x ) + tan x 2 t t = tan x Bài t p 2: Tính tích phân I = ( 2x + x + 1) e x + x +1 x H ng d n: 1 ( 2x Ta có I = + x)e x + x +1 x+ e Tính I = e x + x +1 u=e t x + x) ex x = ( x + 1) e x x+ I/ + x +1 x ( x2 + x ) ex Lúc ó I / = e x + x +1 x = xe x + x +1 − + x +1 v=x 2 x + x +1 x= v + x +1 (x x = e3 − + x) ex + x +1 x ( 2x V y I= ( 2x x= / x + x +1 + x ) ex + x +1 (x x + e3 − + x) ex + x +1 x = e3 π Bài t p 3: Tính tích phân I = H x + sin x x + x sin 2 ng d n: π π π 2 x + sin x x sin x i I= x= x+ x = I1 + I + sin x + sin x + sin x 0 Bi n π Tính I = π sin x cos x x Xét thêm I 2/ = x + sin x + sin x 0 2 π I + I 2/ = Suy ra: x = + sin x π I − I 2/ = I2 −2cos x dx = + sin x Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (2) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN π π 2 x Tính I1 = x= + sin x 0 12 x=− x 20 x 2sin x+ π i h c 2013 π (t ng ph n) x + x + + x2 −1 cot x + Bài t p 4: Tính tích phân I = H Luy n thi π ng d n: t t = + x + + x2 t − (1 + x ) = + x ⇔ t − 2t = 2tx − x ⇔ x = t − 2t ( t + 1) π Bài t p 5: Tính tích phân I = π sin x sin x + H cot x x π ng d n: Bi n π π 3 π cot x cot x x= x= x π sin x ( sin x + cos x ) π sin x (1 + cot x ) cot x i I= sin x sin x + π π 6 t t = cot x π π T x ng t : Tính tích phân I = cos x sin x + x ; I= π π sin x sin x + π π Bài t p 6: Tính tích phân I = H ng d n:T tan x x cos x 4cos x − sin x ( ) ng t Bài t p 5 Bài t p 7: Tính tích phân I = H ng d n: t t = x2 + x x (x + 1) x + t = x2 + (2 + x Bài t p 8: Tính tích phân I = ng d n: t t = x+3 x+3 ) x x+3 H t t=x x t = x+3 2t t = x (t Suy I = − 3t + ) x (tích phân t ng ph n) Bài t p 9: Tính tích phân I = x x − x + x H ng d n: Bi n i I = x x2 − 2x + x = x Giáo viên: LÊ BÁ B O ( x − 1) +1 x t x − = tan x Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (3) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013 π Bài t p 10: Tính tích phân I = sin x sin x + π x π H ng d n: Bi n i I = sin x π − cos x x cos t t cos x = π Bài t p 11: Tính tích phân I = esin x sin x.cos3 x x H ng d n: t t = sin x π Bài t p 12: Tính tích phân I = x sin x cos x π H ng d n: Bi n π π 3 i I= π π x 1 = tan x cos x π tan x cos x cos x x= π (1 + tan x ) tan x ( tan x ) t t = tan x π Bài t p 13: Tính tích phân I = π x sin x + 4sin x H ng d n: Bi n i π π π 2 3 I= π π x x sin x x sin x x = = = sin x + 4sin x π sin x ( cos x + ) π sin x ( cos x + ) π (1 − cos x ) ( cos x + ) 3 t t = cos x π Bài t p 14: Tính tích phân I = sin x x cos x ( sin x + cos x ) π H ng d n: Bi n i I= Xác sin x x ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) nh A, B: sin x = A ( sin x + cos x ) + B ( cos x − sin x ) Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net A− B =1 ⇔ A+ B = T Toán Tr A= B=− ng THPT Phong i n (4) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN π Luy n thi π i h c 2013 π π 13 x 13 x 13 x 13 Suy I = − = − ( sin x + cos x )( cos x − sin x ) ( sin x + cos x )2 cos x x sin x + π Bài t p 15: Tính các tích phân sau: π π a) I = x 3sin x − 8sin x cos x + 5cos x b) I = sin x x 2cos x + 5sin x cos x H ng d n: a) D ng ng c p b c theo t = tan x Bi n i π π π ( tan x ) x x I= = = 3sin x − 8sin x cos x + 5cos x cos x ( 3tan x − tan x + ) 3tan x − tan x + 3 t t = tan x b) D ng ng c p b c theo t = cot x π Bi n i I= x ( sin x 2cot x (1 + cot x ) + 5cot x ) t t = cot x Bài t p 16: Tính các tích phân sau: π π 2 x a) I = 3cos x + 4sin x + π x b) I = cos x + 2sin x + c) I = π x sin x π π x cos x + sin x + d) I = π e) I = tan x x f) I = ng d n: 2t 2t 1− t2 x tan x = ; sin x = ; cos x = t t = tan L u ý: 1− t2 1+ t2 1+ t2 Bài t p 17: Tính các tích phân sau: π π π x sin x x I = x sin x cos x x a) I = x sin x cos x x b) I = c) + cos x 0 x + tan x H π d) I = x.sin x dx H ng d n: Cách 1: Ph ng pháp tích phân t ng ph n Cách 2: i bi n d ng t=− x t t =π −x Lúc ó: π I = − (π − t ) sin (π − t ) cos (π − t ) t = π π (π − t ) sin t cos2 π π t = π sin t cos t − t sin t cos t 0 π ý: t sin t cos t = x sin x cos x x 0 Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (5) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013 π π π π π π cos3 t π π Suy ra: I = π sin t cos t t ⇔ I = sin t cos t t = − cos t ( cos t ) = − = 2 3 π sin x x 6 sin x + cos x Bài t p 18: Tính tích phân I = H ng d n: tt= π −x t=− x Lúc ó: I = − π π sin π sin 2 π −t π − t + cos −t π 6 π x= π (2) π π 2 sin x x; I = ng t : Tính các tích phân sau I = sin x + cos x e Bài t p 19: Tính tích phân I = H sin x + cos x x= sin x + cos x T (1) và (2) suy ra: I = J = T cos t cos x t = x = J (1) 6 6 sin cos sin cos t + t x + x 0 t= π M t khác: I + J = π x ln x ( ln x + 1) sin x ( sin x + cos x ) x x ng d n: e Cách 1: I = Lúc ó: u = ( x ln x ) x ln x x ( ln x + 1) ( x ln x ) I =− e ln x + 1 e Cách 2: Bi n i I= x t x ( ln x + 1) u = x ln x ( ln x + 1) x x= v v=− ln x + e + x ln x x x ( ln x + − 1) ( ln x + 1) u= e x ( ln x − 1) Xét I1 = x ln x + 1 t e e x ( ln x − 1) x x= x+ x = I1 + I 2 ln x + 1 ( ln x + 1) ln x − ln x + u= x x= v x ( ln x + 1) v= x x2 e x ln x − e x 1 Lúc ó I1 = − x = − I Suy I = I1 + I = − I + I = 2 2 ln x + 1 ( ln x + 1) Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (6) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN e Bài t p 20: Tính tích phân I = x ln x ( x + 3ln x + 1 H Luy n thi ) −1 i h c 2013 x ng d n: e Bi n e ln x x − x ln x x x + 3ln x + 1 i I= x 2e x Bài t p 21: Tính tích phân I = ( x + 2) H ng d n: u = x 2e x t u = xe x ( + x ) x ( x + 2) x= v Lúc ó: I = − x v=− x+2 x 2e x + xe x x x+2 0 Bài t p 22: Tính tích phân I = x x ( x + 1) H ng d n: Cách 1: t x = tan t Cách 2: Bi n i I= 1 + x2 − x2 x= x ( x + 1) 1 x− x4 1 x+ x2 x x +1 x x 2− x + 2+ x Bài t p 23: Tính tích phân I = H ng d n: Cách 1: t − = − x ⇔ t ( t − ) t = −2 x x t t = 2− x + 2+ x Cách 2: Bi u di n x = ( 2+ x + 2− x )( 2+ x − 2− x ) Bài t p 24: Tính tích phân I = H x x + x +1 1+ ng d n: t t = x + x +1 t2 −1 x= 2t Bài t p 25: Tính tích phân I = H t4 −1 x=2 t t x − x3 x x4 ng d n: Bi u bi n: I = x − x3 x = x x Giáo viên: LÊ BÁ B O −1 x x2 tt= Lop12.net −1 x2 t3 = T Toán Tr − ⇔ 3t t = − x x x ng THPT Phong i n (7) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013 Bài t p 26: (THTT 2012)Tính các tích phân sau: e2 a) I1 = e H e2 1 − ln x ln x b) I = x ln x ln x + e x ng d n: e2 e2 1 − ln x ln x a) I1 = e e2 1 x= x− x = I / + I // ln x ln x e e ln x x= v e2 Tính I = x ln x e // 1 u=− x x ln x v=x u= t e2 e2 e2 x e − 2e x= + x = + I/ Suy ra: I = ln x ln x e e ln x e // e − 2e 2e − e + I/ = 2 Lúc ó: I1 = I / − e2 e2 ln x + ln x b) I = e Tính I = ln x x x = I / + I // ln x x = ln x x + e e2 / e2 t e 1 u= x x ln x v=x u = ln x e x= v e e2 Suy ra: I = x = x ln x − e ln x e e2 x = 2e − 2e − I / / ln x / ( Lúc ó: I1 = 2e − 2e − I // )+ I // e ( = 2e ) −1 e Bài t p 27: (THTT 2013) Tính tích phân I= H ( + ln x + ln x ) x x ng d n: e Ta có: I = t t = ln x 1 + ln x + ln x t= ) x e x= x ( ) + ln x + ln x x x x ( 1+ t + t) t ( 1+ t + t) I= t ( u= u= t= v I =t ( 1+ t2 + t ) 1 − 0 Giáo viên: LÊ BÁ B O 1+ t2 v=t t 1+ t2 t t = ln ( ) + − + t = ln Lop12.net ( T Toán Tr ) + − + ng THPT Phong i n (8) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Bài t p 28: Tính tích phân Luy n thi I= x (1 + e )(1 + x ) x −1 i h c 2013 H ng d n: 1 1 I= x= x+ x x x x −1 (1 + e )(1 + x ) −1 (1 + e )(1 + x ) (1 + e )(1 + x ) Xét J = −1 x (1 + e )(1 + x ) x Ta có: J = − t=− x 1 t= (1 + e )(1 + t ) −t t t = −x (1 + e )(1 + t ) t 1 et t= ex x x (1 + e )(1 + x ) ex 1 π Lúc ó: I = x+ x= x = = 2 x x 1+ x (1 + e )(1 + x ) (1 + e )(1 + x ) Bài t p 29: Xác f ( x ) = tan x.tan x + nh nguyên hàm c a hàm s .tan x − H ng d n: Bi n i sin x.sin x + f ( x) = − cos x sin x 2sin x − 3 = = cos x − cos x cos + cos x cos x 2cos x − 3 sin x =− = − tan x cos3 x sin x − cos x.cos x + 4sin x − 3sin x = 4cos3 x − 3cos x sin x cos Bài t p 30: Tính tích phân ln x + x x2 I= H ng d n: u = ln x + u= t x= v x2 ln x + Lúc ó: I = − x x 3 + 1 x + x2 v=− x 1 + x2 x = = 3−2 π ln + 2 π Bài t p 31: Tính tích phân I= H ng d n: π Bi n cos x − cos3 x x cos3 x i I= π π cos x − cos x cos x − cos x x = x = −1 x 3 cos x cos x cos x cos x cos x 0 Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (9) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN π Luy n thi i h c 2013 π ( tan x ) = / 6 tan x x = tan x tan x = = π Bài t p 32: Tính tích phân I= π sin x x sin x + cos x H ng d n:Dùng k thu t tích phân liên k t π π sin x cos x x và J = x Xét I = 4 4 π sin x + cos x π sin x + cos x 4 Ta có: I + J = x= (1) π π π 2 sin x − cos x − cos x −2cos x M t khác, ta xét: I − J = x = x = x 4 2 − x sin π sin x + cos x π 1− π sin x 4 2 π =− π sin x = = − ln − 2 2 − sin x 2 ( ) (2) T (1), (2) suy ra: I = π − ( ) ln − 2 Bài t p 33: Tính tích phân x2 + x x2 I= H ng d n: Cách 1: t x = tan t Cách 2: Tích phân t ng ph n x u = x2 + u= x + x t 1 x= v v=− x x x2 + x2 + x = − x2 x Lúc ó: I = ( ) = 2− + ln ( x + ý r ng: ln x + x + I= / Giáo viên: LÊ BÁ B O 3 + 1 x= 2− x2 + + 3 1 x2 + x x2 + x2 + ) = 2− + ln + 3 Lop12.net ( )( T Toán Tr ) −1 ng THPT Phong i n (10) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013 π Bài t p 34: Tính tích phân x cos x x sin x I= π H ng d n: u=x t cos x x= v sin x u= x v=− π x Lúc ó: I = − + 2sin x π 1 2sin x π π π x=− − + − cot x 2sin x 4 Bài t p 35: Tính tích phân π x e +1 I= ex + x ng d n: t t = e x ⇔ t = e x ⇔ 4t t = e x x = t x ⇔ x = e −1 Bài t p 36: Tính tích phân I= H t t t2 +1 Suy ra: I = t = 1+ − t t + 1) t t +1 ( t = ( t + ln t − 2ln t + ) = (1 + 3ln − 2ln 3) x ln ( x + 1) x x +1 ng d n: ( x + 1) − e −1 Bi n i I= ln ( x + 1) x +1 e −1 Bài t p 37: Tính tích phân e −1 ln ( x + 1) x − x= I= H = ln16 H x +1 (1 + + 2x ) ln ( x + 1) x x +1 x ng d n: t t = + + 2x x + 2x t= x = ( t − 1) t và x = t − 2t 2 4 ( t − 2t + ) ( t − 1) t − 3t + 4t − I= I = t= t= t −3+ − 2 22 t 22 t 22 t t t2 = − 3t + 4ln t + 2 t Bài t p 38: Xác H = 2ln − t nh nguyên hàm c a hàm s f ( x) = sin x.cos5 x ng d n: x x =8 3 sin x.cos x.cos x sin x.cos x x 2t t t = tan x t= ; sin x = cos x 1+ t2 Ta có: I = Giáo viên: LÊ BÁ B O 10 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (11) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN t I =8 (t = + 1) 3 Luy n thi t + 3t + 3t + t= t= t3 t 2t 1+ t = tan x + tan x + 3ln tan x − +C 2 tan x π π Bài t p 39: Tính tích phân t tan x − dx cos x I= H t + 3t + + t −3 t i h c 2013 ng d n: π π tan x − π tan x + dx = − dx cos x ( tan x + 1) I= t dx = ( tan x + 1) dx cos x π t = 0; x = t= t = tan x x=0 dt = Suy I =− dt ( t + 1) 1− = = t +1 π Bài t p 39: Tính tích phân I= − H π sin x + x2 + x dx ng d n: π π 4 I= − π sin x + x2 + x + x sin xdx + dx = − π π x sin xdx = I1 + I − π π + x sin xdx + Tính I1 = − π t x = −t ta có: − π π 4 π + x sin xdx = − I1 ⇔ I1 = + t sin tdt = − − 4 + t sin tdt = − I1 = π π − π π x sin xdx Tích phân t ng ph n + Tính I = − π Giáo viên: LÊ BÁ B O 11 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (12) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Bài t p 40: Tính tích phân x +1− I= H e x Luy n thi x+ x i h c 2013 dx ng d n: Bi n x +1− i: I = 2 Tính I1 = e x+ x dx t 2 2 x+ x + 1x x+ e dx = e x dx + x − e x dx = I1 + I x x 1 u=e x+ x x + 1x u = 1− e x x v=x x= v Lúc ó: I1 = xe x+ x − 2 x + 1x 52 x − e dx = e − I 2 x 52 52 V y I = e − I2 + I2 = e 2 ln Bài t p 41: Tính tích phân x I= (10e ln H −x − 1) e x − ng d n: ln Bi n i I= ln ln x (10e −x − 1) e x − = ex x (10 − e ) x ln ex −1 t t = e x − ⇔ t = e x − ⇔ 2t t = e x x 2 2t x x t −3 Suy ra: I = = = − ln 2 9−t t +3 (9 − t ) t π Bài t p 42: Tính tích phân I= H x− 1 1 = − ln + ln = ln π x − 3sin x ng d n: π Ta có: I = x− π π sin x + cos x x= x − 3sin x − 3sin x t t = sin x − cos x và t = − sin x t = ( sin x + cos x ) x sin x = − t Giáo viên: LÊ BÁ B O 12 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (13) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN t t = 2 −1 − (1 − t ) −1 3t + Lúc ó: I = Luy n thi tt= i h c 2013 tan u π sin x cos x − sin x cos x Bài t p 43: Tính tích phân I= π x H ng d n: sin x cos x ( sin x cos x − sin x cos3 x )( sin x cos x + sin x cos3 x ) i: − = sin x cos x sin x.cos x Bi n = 4sin x sin x = 8cos x sin 2 x π π Lúc ó: I = 8cos x x = 4sin x π3 = − π 4 e2 Bài t p 44: Tính tích phân I= H x + 2009 ln x x x ng d n: tt= x e2 I= t2 = x 2t t = x e x + 2009 t + 2009 ln x x = ( ln t ) 2t t = t x Ti p t c b ng ph (t + 2009 ) ln t t ng pháp tích phân t ng ph n Bài t p 45: Tìm nguyên hàm: H e x − x3 + 2012 x dx x4 ng d n: 3 x − x + 2012 x dx = x4 Tìm F1 ( x ) = −1 x2 dx x3 −1 2012 x2 dx + dx x x3 t t= −1 x2 −3 −3 −3 F1 ( x ) = t dt = t + C1 = −1 8 x2 Giáo viên: LÊ BÁ B O t3 = −1 x2 3t dt = dx −2dx ⇔ = − t dt x x + C1 13 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (14) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Do v y i h c 2013 2012dx −1006 = + C2 x3 x2 Tìm F2 ( x ) = Luy n thi x − x3 + 2012 x −3 −1 dx = x x2 − 1006 +C x2 L u ý: N u HS làm nh sau thì sai F1 ( x ) = −1 x2 dx = − x 1 − d −1 x x Bài t p 46: Tìm nguyên hàm: a) c) H 4sin x.cos x dx cos x + 4cos x − b) x ( 3cot 2 x − cos x ) + sin x ( cos x − x sin x ) 2cos x + dx ng d n: π π 4 sin x − x.cos x Bài t p 47: Tính tích phân a) I = x e x (1 + sin x ) H b) x ln ( x + 1) dx b) I = − π sin x + cos x x sin x + cos x + ng d n: π Cách 1: Ta có I = − π π sin x x+ sin x + cos x + 4 − π cos x x = A+ B sin x + cos x + π + Tính A = − π sin x x sin x + cos x + Ta có: sin x = ( sin x + 1) − = ( sin x + cos x ) − = ( sin x + cos x + 1)( sin x + cos x − 1) π ( sin x + cos x − 1) Suy ra: A = − π x= 2− π π + Tính B = − π cos x x sin x + cos x + Ta có: cos x = ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) t t = sin x + cos x + Giáo viên: LÊ BÁ B O t = ( cos x − sin x ) x 14 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (15) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN +1 t −1 x = − ln t Cách 2: K thu t bi n i Suy ra: B = ( Luy n thi ) +1 V y I = 2 − π − ln ( i h c 2013 ) +1 π I= − ( cos x + sin x ) − + cos x x sin x + cos x + π π π − ( cos x − sin x )( sin x + cos x + − 1) ( sin x + cos x − 1) = x+ π − π π 4 ( sin x + cos x − 1) x + = − x sin x + cos x + π cos x − sin x sin x + cos x + cos x − sin x − π − π x π = ( sin x − cos x − x ) + ( sin x + cos x ) − ln sin x + cos x + − π =2 2− π − ln ( ) +1 x ln x + x ln x + ( x + 1) I= x x ( x + ln x ) e Bài t p 48: Tính tích phân H ng d n: Ta có: x +1 e e e x ln x + x ln x e2 x I= x+3 x = x ln x x + 3ln ( x + ln x ) = = + 3ln ( e + 1) + x ( x + ln x ) x + ln x 4 1 e π Bài t p 49: Tính tích phân I= cos x + sin x dx + sin x H ng d n: Ta có: π π 4 cos x + sin x I= dx = + sin x t t = sin x − cos x Tính cos x + sin x − ( sin x − cos x ) dx dt = ( cos x + sin x ) dx c k t qu : I = π −3 Bài t p 50: Tính tích phân I= −4 H ( x + 1)( x + ) dx ng d n: Phân tích: ( x + 1)( x + ) = − ( x + 1) − ( x + ) = − ( x + 1) − − ( x + ) − ( x + 1) − ( x + ) Ho c: Giáo viên: LÊ BÁ B O 15 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (16) Chuyên NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luy n thi i h c 2013 t t = − ( x + 1) + − ( x + ) dt = − − ( x + 1) + − ( x + ) − ( x + 1) − ( x + ) −3 Suy ra: I = −4 dx ( x + 1)( x + ) +1 ( x + 1)( x + ) 2+ dx = 2ln t +1 dx = −2 2+ Bài t p 51: Tính tích phân I= − H −2dt = t dx − x2 − x + x x + dx x2 + 4x + ng d n: Ta có: I = − − 4x2 − 4x ( x + 1) − +4 + x x + dx = − − ( x + 1) + Tính: I1 = ( x + 1) ( x + 1) +4 dx +4 dx + x x + 1dx − π π t x + = 2sin t , t ∈ − ; 2 π 2 π Khi ó: I1 = − ( x + 1) π π 6 dx = cos tdt π 2cos t − − sin t dt π dt d t = d t = − d t + = − + 2 20 12 sin t + 4sin t + ( sin t + 1) sin t + π π 6 dt + Tính: I = = sin t + Suy ra: d ( tan t ) = ϕ tan t + t: tan t = tan y 2 d ( tan y ) = (1 + tan y ) dy , v i t = 2 y = 0, t = π y = ϕ π , <ϕ < cho tan ϕ = Khi ó: I = d(tan t ) 2 dy = ϕ 2 x x + 1dx + Tính: I = t: t = x + 2x = t −1 dx = t dt 2 − Khi ó: I = t −1 t dt = − 15 V y I = I1 + I + I = − π π − + ϕ v i tan ϕ = , 0<ϕ < 15 12 Giáo viên: LÊ BÁ B O 16 Lop12.net T Toán Tr ng THPT Phong i n (17)