CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số.[r]
(1)Trường : THCS §inh X¸ Phaàn I: SOÁ HOÏC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ a1 ,a2, a3 chia hết cho b Thì : a/ a1+ a2 + a3 +… chia heát cho b b/ a1n + a2.n + a3.n … chia heát cho b * HEÄ QUAÛ : a1 b a1 + a b Thì a2 b 2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 thì b1.b2 b3 \ a1.a2.a3 * HEÄ QUAÛ: b\ a thì bn \ an 3/ bc\ ac b \ a 4/ Neáu ab a c ( b,c) = và b.c \ a.c ( với n N, c , c Z ) ( c 0) a b.c 5/ Nhị thức Niu-Tơn: a/ an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2+…+a0bn-1) với n N, và a b b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…-abn-2 + a0bn-1) với n N, n leû vaø a -b c/ ( a+ b+ c)2 = a b c 2ab 2ac 2bc d/ (a b c) a b c 2ab 2ac 2bc 6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết đa thức ) Neáu f(x) coù nghieäm laø x0 thì f(x) = ( x-x0)g(x) hoïaêc f(x) ( x-x0) Noùi caùch khaùc f(x) (x- a) f(a) = [ c hệ số đa thức f(x) thì f(x) có CHUÙ YÙ:a/ Neáu toång caù [ nghieäm baèng Hay f(x) (x-1) Lop8.net (2) Trường : THCS §inh X¸ b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) coù nghieäm x = -1 Hay f(x) (x+1) 7/ CHIA HEÁT – CHIA COÙ DÖ : Ngòai các điều kiện chia hết học lớp , ta cần nhớ thêm các điều kieän sau: + Mọi số chẵn chia hết cho + ĐK chia hết cho ( họăc 25) : Số có chữ số tận cùng lập thành số có chữ số chia hết cho (hoặc 25) thì số chia hết cho (4 họăc 25) + ĐK chia hết cho ( họăc 125) : số có chữ số tận cùng lập thành số có chữ số chia hết cho (hoặc 125) thì số chia hết cho (hoặc 125) + Tích số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho + Với a,b Z ; b luôn tồn cặp số nguyên q, r cho a b.q r (0 r < b ) Ta goïi r laø soá dö , q laø thöông pheùp chia a cho b + Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư phép chia f(x) cho nhị thức g(x) = x-a laø moät haèng soá baèng giaù trò cuûa f(a) + Löôïc ñoă Hooc-Ne ( Tính heô soẩ cụa ña thöông vaø dö pheùp chia Đa thức f(x) = an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 cho nhị thức x an an-1 bn=an bn 1 bn an 1 an-2 … bn bn 1 an … a1 b1 b2 a1 a0 r b1 a0 ( Dòng thứ : giá trị ô cuối cùng là số dư, giá trị ô còn lại là hệ số đa thức thương) + Tam giaùc PASSCAN: 2 Lop8.net 1 (3) Trường : THCS §inh X¸ 1 1 6 10 15 21 10 20 35 15 35 21 1 28 56 70 56 28 ( Các số dòng tam giác ứng với các hệ số khai triển các lũy thừa tổng số hạng) 8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN : f(x) = a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an 1 x n a0 Nếu có nghiệm hữu tỷ p thì : p là ước an ( an p ) và q là ước a0 ( q a0 q ) Nếu có nghiệm nguyên x = a thì a là ước an Nếu f(x) có nghiệm x = a thì (x- a ) là nhân tử f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử +4 chia hết cho x2+x+2) +nghieäm nguyeân neáu coù cuûa f(x) thì x = 1;1; 2; 2 ( CMR : x3 – x2 + Thử lại ta có x = là nghiệm Vaäy f ( x) ( x 2)( x x 2) ( f ( x) x2 x ) x2 + x2+x+2 coù = -7 < ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên có đa thức thì x 1; 1; 5; 5 Nghiệm hữu tỷ có đa thức thì Thử lại ta có 9/ Phương 1 5 x ; ; ; 3 3 1 laø nghieäm f ( x) 3( x )( x x 5) x2-2x +5 3 trình bậc hai : ax bx c a Có biệt thức : b 4ac * < phương trình vô nghiệm b 2a b b , x2 * > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 2a 2a * = tphương trình có nghiệm kép x1 x2 Lop8.net VN (4) Trường VD- : THCS §inh X¸ 3x2 – 8x + = 10/ phương pháp chứng minh quy nạp: f(x) = a * CM f(x) đúng với x = * Giả sử f(x) đúng với x = n * Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A= 5 n2 a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên 2, Tìm x biết: a, x chia hết cho 12; 25; 30 và ≤ x ≤ 500 b, (3x – 24) 73= 74 c, x 16 2.(3) 3, Bạn Hương đánh số trang sách các số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số ? BÀI 2: 1, Cho S = + 52 + 53 + + 596 a, Chứng minh: S 126 b, Tìm chữ số tận cùng S 2, Chứng minh A = n(5n + 3) n với n Z 3,Tìm a, b N, biết: a + 2b = 48 ƯCLN (a, b) + BCNN (a, b) = 14 BÀI :a Chứng minh: 12n (n Z) tối giản 30n b.Bạn Hương đánh sách dày 284 trang dãy số chẵn c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết sách đó ? d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ? e, Tính: 2 2 1.3 3.5 5.7 99.101 14 27 21.36 BÀI 3: 1) Rót gän A 21.27 42.81 63.108 3 3 n N * 2) Cho S 1.4 4.7 7.10 n(n 3) Chøng minh: S 3) So s¸nh: 2003 2004 2004 2005 vµ 2003.2004 2004.2005 4) T×m sè nguyªn tè P cho c¸c sè P + vµ P +10 lµ sè nguyªn tè 5 Tìm giá trị nguyên dương nhỏ 10 x và y cho 3x - 4y = - 21 Lop8.net (5) Trường : THCS §inh X¸ Cho ph©n sè: A n 5 n1 (n Z ; n 1) a) Tìm n để A nguyên b) Tìm n để A tối giản BÀI 1) Tìm các giá trị a để số 123a5 a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45 2/ Chøng minh r»ng: A 10 n 18n chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn) 3/ Cho A n 3n 2n a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n b) Tìm giá trị nguyên dương n với n < 10 để A chia hết cho 15 4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia Sau chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm yÕu chiÕm 1 , đạt điểm khá chiếm , đạt điểm tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình 14 TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i BÀI 5: 1/ Cho A 32 33 32004 a) TÝnh tæng A b) Chøng minh r»ng A 130 c) A có phải là số chính phương không ? Vì ? 2) Tìm n Z để n 13n 13 n CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN Bài 1: a Cho n là số nguyên dương Hãy so sánh: 1 1 1 + và + 2 n n n+1 n+1 b Tính: 1 1+ + + 1+ 1 + + 1+ 1 + + + Bài 2: Chứng minh rằng: n 1 + + + + n n 2 -1 với n N và VÝ dô1(SGK-T8.Tr25) Lop8.net 1+ 1 + 2005 20062 (6) Trường : THCS §inh X¸ Chøng minh r»ng: n n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n Gi¶i: Ta cã n n =n.(n-1).(n+1) Trong ba sè nguyªn liªn tiÕp n,n-1,n+1 lu«n cómột số chia hết cho , số chia hết cho và (2,3)=1 Do đó n n Qua bài toán trên ta thấy n và n đồng dư chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta đề xuất số bài toán tương tự sau Bµi1: Chøng minh r»ng : n m n m 6(m, n Z ) Gi¶i: Tacã (n m ) (n m) (n n) (m m) 6, (theoVD1 ) Từ đó suy điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta bài toán sau Bµi2: Chøng minh r»ng: 3 3 x1 x x3 x n x1 x x3 x n 6, ( xi Z , i 1, n) Bµi3: Cho A= 13 33 98 99 Hái A cã chia hÕt cho kh«ng? Hướng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99 Theo bài ta có A-S chia hết cho 6,trong đó S= 99(99 1) 6.33.25 S Do đó A Bµi4:(Thi häc sinh giái T.P-HCM n¨m häc 2003-2004) Chøng minh r»ng: ( x y z ) x y z víi mäi sè nguyªn x,y,z Gi¶i: ( x y z ) x y z ( x y z ) ( x y z ) ( x x) ( y y ) ( z z ) Theo VD1 ta thấy các hạng tử VP chia hết cho 6, từ đó suy điều phải chøng minh Bµi5: ViÕt sè 2005 2004 thµnh tæng cña k sè tù nhiªn tuú ý a1 , a , a3 , , a k T×m sè d cña phÐp chia a13 a a3 a k cho3 Gi¶i: §Æt N= a13 a a3 a k vµ 2005 2004 a1 a a3 a k Ta cã N- 2005 2004 (a13 a1 ) (a a ) (a3 a3 ) (a k a k ) 3 ,(VD ) Mặt khác 2005 2004 chia cho dư 1, đó N chia cho dư Kết hợp với đẳng thức đã học VD1 phát triển thành các bài toán thú vị sau Bµi 6: Cho P (a ab 1) (b 3ab 1) (a b) Chøng minh r»ng P chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn a,b Gi¶i: Đặt x a ab 1; y b 3ab x y (a b) Khi đó ta có P= x y ( x y ) ( x x) ( y y ) Lop8.net (7) Trường : THCS §inh X¸ Bµi7: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x,y th×: ( x xy ) ( y x y ) 3 x y 3 Gîi ý: §Æt a x3 3xy ; b y 3x y a b ( x y)3 ,: Ta cã a b 3 a b 3( BT1 ) ( x y ) 3 x y 3 (v× lµ sè nguyªn tè) Bµi8: Cho c¸c sè nguyªn x, y , z tho¶ m·n : x+y+z= 3.2006 2007 Chøng minh r»ng: M= ( x xy yz ) ( y xy xz ) ( z yz xz ) chia hÕt cho Gi¶i: §Æt a x xy yz; b y xy xz; c z yz xz M a b c Ta cã: a b c x y z 2( xy yz zx) ( x y z ) 6(Theo gt ) Do đó M (theo-BT ) KÕt hîp vÝ dô víi bµi to¸n t×m nghiÖm nguyªn ta cã mét sè bµi to¸n sau Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương các phương trình sau: a) ( x y ) ( y z ) x y z 2005 (1) b) ( x y 1) (2 xy 1) 189 (2) Gi¶i: a) (1) ( x y ) ( x y ) ( y z ) ( y z ) 2005 (3) DÔ thÊy VT cña (3) chia hÕt cho (theo-VD1).Nhng 2005 kh«ng chia hÕt cho 6,do đó phương trình đã cho không có nghiệm nguyên b) Đặt p x y 1; q xy p q ( x y ) Khi đó phương trình (2) trở thành : p q 189 Vì 189 3 nên p q 3 p q 3(theo BT1 ) Từ đó suy p+q là số chính phương chia hết cho Mặt khác p q 189 ( p q)( p pq q ) 9.3.7 Do đó p+q có thể ( x y ) x y 3( x, y Z ) , từ đó suy phương trình có hai nghiÖm (x,y)=(1,2)hoÆc (2,1) Thö l¹i thÊy tho· m·n Bµi 10 trang 14 (S¸ch bµi tËp tãan tËp I ) chøng minh r»ng n 1 n n 1 n víi n lµ sè tù nhiªn Chøng minh : ( n n )( n n ) n n n 1 n n 1 n Ph¸t biÓu c¸ch kh¸c : Lop8.net (8) Trường : THCS §inh X¸ Chøng tá víi mäi sè tù nhiªn n th× ( n n ) vµ ( n n ) lµ hai sè nghịch đảo (víi n lµ sè tù nhiªn) n 1 n n 1 n Bµi 12: TÝnh a 2 1 b 2 1 3 3 4 4 100 99 n n 1 víi n Gi¶i : a = 2 1 3 4 100 99 100 99 100 b = 2 3 4 n n 1 víi n n n n Bµi 13: TÝnh a A = b B = 1 1 Định hướng : 2 2 1 1 3 3 20005 2006 2k 2k hay n n Lop8.net 1 n n 1 (9) Trường : THCS §inh X¸ Gi¶i : a A = 1 2 3 20005 2006 = ( ) ( ) ( ) ( 2005 2006 ) = 2005 2006 = ( 2006 ) b B = 1 2 3 2k 2k B = ( ) ( ) ( ) ( 2k 2k 1) = 2k 2k = ( 2k 1) ëBµi 71, thay = x N ta cã bµi to¸n Bµi 14 Chøng minh: Víi x>0,n Ta cã: n x n x n x n Bµi15 TÝnh a C = b D = 4 1 3 7 5 10 7 16 13 2k 2k Víi k lµ sè tù nhiªn Gi¶i a ¸p dông bµi vµo bµi bµi a ( ) - 12 = , ë ®©y x = Ta cã: Lop8.net (10) Trường : C = 4 THCS §inh X¸ 7 … + 10 16 13 = 10 16 13 = 16 b ¸p dông bµi3vµo bµi bµi 4b ( ) - ( ) = 2, ë ®©y x = Do đó ta đưa dạng bài toán 4a nào ? ( Nhân vào vế ) 2 2 3 5 7 2k 2k 2D = 2D = 2k 2k 2k 2D = 2k D = Bµi 16: TÝnh a E = 1 n n (n 1) n n = 1b.P = n n 1 = n 1 n 25 24 24 25 =? n 1 n n n 1 n 1 E= 22 n n (n 1) n 1 1 Định hướng : = 1 25 1 24 25 5 3 2 5 2006 2003 2003 2006 10 Lop8.net (11) Trường : THCS §inh X¸ 3(5 5) Ta cã (5 5)(5 5) 22 3(5 5) 5 2 1 = = = 30 10 10 10 1 1 1 5 2003 2006 1 P 2006 P Bµi 17: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh A = 2007 2006 vµ B = 2006 2005 Gi¶i : ap dông bµi 71 A= B= 2007 2006 2006 2005 A < B 2007 2005 2007 2006 2006 2005 Bµi 18: Tæng qu¸t tõ bµi ta cã : n n n n víi n ¸p dông bµi 71 (bµi tËp to¸n tËp I) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Bµi : Thay = x ë bµi ta cã : Víi n x >1 A = n x n B = n nx ta cã : A < B 11 Lop8.net (12) Trường : THCS §inh X¸ tõ bµi to¸n ta cã bµi to¸n sau: Bµi 19: So s¸nh C vµ D C = m p m D = n p n Víi m > n > ,p > Ta cã C= p m p m p D= n p n V× m > n C < D *ap dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức Bµi 20 : a b Chøng minh n n n (Víi n 1) n x n x n (víi n> x 0) Chøng minh a n 1 n 1 n n 1 n n n 1 Bất đẳng thức này đã chứng minh bài b n x nx n n x n n nx §· chøng minh ë bµi Bµi 21 : Chøng minh : 2m 2m 2m 12 Lop8.net víi m -1 (13) Trường : THCS §inh X¸ Chøng minh: Víi n = m +1, thay vµo bµi 10a th× ta ®îc : 2m 2m 2m Bµi 12:Kh«ng dïng m¸y tÝnh vµ b¶ng sè h·y chøng tá 101 99 0,1 Gi¶i 101 99 101 99 V× < 101 99 100 ( Suy tõ bµi 10a ) 101 99 100 99 0,1 100 Bµi 22: a Chøng minh r»ng víi mäi n N* n 1 n 1 n b Chøng minh: 2( n n ) 2( n n 1) n Gi¶i a n 1 n 1 n 1 n n 1 n n 1 > ( Ap dông bµi 71 trang 14 ) n + n (hiển nhiên đúng ) b 2( n n ) n 2( n n 1) * Chøng minh : ( n - n ) < 0< n 1 n n 1 + < n n n >2 n 13 Lop8.net (14) Trường : THCS §inh X¸ n 1 > n Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng * Chøng minh n 0< n 2( n n 1) < n n 1 n > n + n 1 n > n 1 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng Bất đẳng thức đã cho chứng minh Bµi 23 : Cho S = 1+ … + 100 Chøng minh 18 < S < 19 Chøng minh Áp dông bµi 13b ta cã : 2( n n ) n Thay n = 2,3,4, 100 ta cã: ( 3 2) < ( 3) < < ( 1) < ( 3 2) ( 4) 2( 3) ……………………… 14 Lop8.net 2( n n 1) (15) Trường : THCS §inh X¸ 2( 101 100 ) 100 2( 100 99 ) Céng vÕ víi vÕ ta cã + ( 101 100 )< S < + 2( + + + 100 99 ) 1+2 ( 100 ) < S < 1+2 ( 100 ) 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1) VËy ta cã : 18 < S < 19 Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này sau : C¸ch 1: Chøng minh S kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn C¸ch 2: T×m phÇn nguyªn cña S Bµi 24 So s¸nh A vµ B A = ( 2006 ) 2008 ; B = ( 2007 ) Áp dông bµi 11 2m 2m 2m víi m -1 Cho m = , 1, , …,1003 ta cã: 0 22 2 42 …………… …………… …………… 2006 2008 2007 Céng vÕ víi vÕ ta cã: 2( 2006 ) 2008 2( 2007 ) 15 Lop8.net (16) Trường : THCS §inh X¸ A < B Bµi 25 : Chøng minh r»ng : 1+ 2500 100 Chøng minh : Tõ bµi 13 b ta còng cã : n 1 2( n n) Lần lượt cho n = , , , 3…, 2499 ta có 1<2 2( 1) 2( ) ……………… 2500 2( 2500 2499 ) Céng vÕ víi vÕ ta cã: 1+ 1 1 2 3 4 2500 2(1 2500 2499 ) 2500 2500 2500 100 ( §iÒu ph¶i chøng minh ) C Khai thác ứng dụng bài 71 giải phương trình Bài 26 : Giải phương trình x3 x2 x x 1 x 1 x 16 Lop8.net víi x (17) Trường : THCS §inh X¸ Gi¶i: x3 x2 x x 1 x 1 x 1 ( x x ) ( x x 1) ( x x ) ( x x 1) ( x x x 3) x x x 3x x x 3x x x x 3x x Bài 27: Giải phương trình : x =9 x 2 2 ( 18 ) x 2 x 1 1 x ( Cã 2007 sè ) Gi¶i : Víi x -1 ta cã : x 1 1 x Ta cã : + x ( Tương tự bài ) x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 Phương trình (18) 17 Lop8.net (18) Trường : THCS §inh X¸ x 1 1 x 10 x 100 x 99 Bài 28 : Giải phương trình : ( 3)x ( 3)x ( 19 ) Gi¶i : §Æt y = ( 3)x ( 3)x y Phương trình (19) y 4 y y2 4y 1 / y1 y2 Thay l¹i Èn x ta cã : ( 3)x ( x2 2)2 ( 3)x ( 3)x ( 3)x ( ) x ( ) 2 x 2 Vậy phương trìmh đã cho có nghiệm x=±2 Bài 29 :Giải phương trình (20) (9 ) x ( ) x 18 18 Lop8.net (19) Trường : THCS §inh X¸ Gi¶i: §Æt y = (9 ) x => (9 ) x y Phương trình (20) y 18 y y2 - 18y + = Cã ' 81 80 y1 = + 80 = + y1 = - 80 = - Thay l¹i Èn x nÕu: y = + => (9 ) x = (9 ) NÕu y = - => x=-2 Vậy phương trình có hai nghiệm: x=±2 *.Bµi tËp : Bµi 1: TÝnh a A 2 2 3 7 11 11 15 15 19 2003 2007 b.B 4 4 13 13 17 17 21 221 225 c.C 1 11 11 2006 2001 2001 2006 19 Lop8.net (20) Trường : THCS §inh X¸ Bµi2:Chøng minh S = 1+ … + kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn 40000 Bài 3:Giải phương trình: 1 1 víi x -1 x 1 x x3 x5 x5 x7 x7 x9 III – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PhÇn CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số 1) Rút gọn các biểu thức sau: a) A 29 12 b) B 20 40 12 15 c) C ( 11) 3 1 2) Thu gọn P 2 3 6 84 2 3 3) Tính giá trị biểu thức A 4) Chứng minh 5) Rút gọn biểu thức A 6) A = 3- 2- 3+ 2 + 1 1 với a ,b a 1 b 1 2 2 84 84 1 là số nguyên 9 3 10 3 3+ 2+ - 2 10 20 Lop8.net (21)