Đề thi tốt nghiệp thpt học năm 2010 môn: toán

Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.. trong đó n là một số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1.[r]

Trường THPT Nguyễn Khuyễn ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT HỌC NĂM 2010 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề CAÂU I: (2 ñieåm) x2 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox CAÂU II: (2 ñieåm) Cho phöông trình: cos x  sin x cos x sin x cos x m(sin x cos x) (1) Với m là tham số 1) Giaûi phöông trình (1) m=2 Cho haøm soá: y  2) Tìm m để phương trình (1) có ít nghiệm thuộc 0;     CAÂU III: (2 ñieåm) 1) Tính tích phaân: I   x5  x3 dx 2) Chứng minh rằng: Cn1 3n   2Cn2 3n 3Cn3 3n nCnn n.4n đó n là số tự nhiên lớn hay CAÂU IV: (2 ñieåm) 1) Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm nhất: ( x  1) y a  1) x a ( y  log x log log x 2) Giaûi phöông trình: x 2.3 CAÂU V: (2 ñieåm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m;0;0) , N(0;n;0) thay đổi cho m+n=1 và m>0, n>0 1) Chứng minh thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m và n 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ đó suy mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định DAP AN CAÂU I: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: x2 y x 1  TXÑ: D=R\{1} 3 y,  Hàm số giảm trên khoảng xác định x 1   Lop12.net  TCD: x=1 vì lim y  x  TCN: y=1 vì lim y  x  BBT:  Đồ thị:   2) Xác định a để từ A(0,a) kẻ tiếp tuyến đến (C) cho tiếp điểm đến nằm phía 0x x 2 x 1 Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y  f ' ( x )( x x ) y 0 x 2 3  y (x x ) 0 x 1 ( x  1)2 0 Goïi M ( x ; y )  (C ) y 0 x 4 x  y x ( x 1) ( x 1)2 0 x 4 x 0 Tieáp tuyeán qua A(0,a) a ( x  1)2 3 Lop12.net  (a 1) x 2(a 2) x a (1) 0 (vì x =1 khoâng laø nghieäm) Điều kiện để có tiếp tuyến kẻ từ A là: a 1 a    , a   Khi đó (1) có nghiệm là x , x x 2 x 2 vaø y   Tung độ tiếp điểm y  0 x 1 x 1 Ñieàu kieän tieáp ñieåm naèm veà phía Ox x 2 x 2  y y 0 x 1 x 1 x x  2( x x )  x x  x x 01 a 2 4(a 2)  a  a  a 2 2(a 2)  a 1 a 9a 6  3a a 3 Toùm laïi: a 2, a 2  a vaø a  2  a    2 ÑS: a  , a CAÂU II: Cho 2cos2x + sinx2 cosx + sinxcos2 x = m(sinx + cosx) a) Giaûi (1) m=2: Ta coù: cos x sin x cos x sin x cos x   cos x sin x  (1) sin x cos x(sin x cos x)  2(cos x sin x)(cos x sin x) sin x cos x(sin x cos x)  (sin x cos x)  2(cos x sin x) sin x cos x  Vaäy: Phöông trình (1  (sin x cos x)  2(cos x sin x) sin x cos x m  sin x cos x 0(2)  sin x) sin x cos x m 0(3)  2(cos x  Lop12.net Ta coù: (2)  sin x cos x  tgx cos x sin x Ñaët t  x  cos( x k  ) Ñieàu kieän t  1 t2 Khi đó phương trình (3) trở thành : 2t  2  t 4t 2m (*) m Với m=2, phương trình (*) trở thành : t  4t  t=1 hay t=3 (loại)  t=1 Vaäy:  cos( x  ) cos( x  ) 2  x k 2 4  x  k 2   x  k 2  Toùm laïi: nghieäm cuûa phöông trình m=2 laø:  x  k , x k2 , x k (k )  b) Tìm m để (1) có ít nghiệm thuộc [0, ]  x x Ta coù:  4 Nhaän xeùt:  Nghieäm cuûa (2) khoâng thuoäc [0, ]  Do đó: Phương trình (1) có ít nghiệm thuộc [0, ]  Phöông trình (*) coù nghieäm thuoäc [-1;1] Ta coù: (*)  t 4t 2m Xem haøm soá f(t)= t  4t treân [-1;1]  f ' (t ) 2t 0, t [1, 1]  y=f(t) laø haøm soá giaûm treân [-1;1] Vaäy: YCBT Lop12.net  f (1) 2m f ( 1)  2m  m CAÂU III: 1) Tính  I  x5 x3 dx Ñaët t  x3 t x3 2tdt Đổi cận : x  t x  t  I  x3 x3 x dx 2  (1 t ).t  t dt  21   t t dt 30 t t  3 45   x dx   2C 3n n.C n n.4n 2) Chứng minh C1 3n  n n n Ta coù: (3  x)n C 3n C1 3n 1.x C 3n 1.x C n x n n n n n Lấy đạo hàm vế ta được: C1 3n 2C 3n x nC n x n n(3  x)n  n n n Cho x=1,ta điều phải chứng minh CAÂU IV: ( x  1)  y  a 1)  ( y  1)  x  a Ñieàu kieän caàn : Neáu heä coù nghieäm  x0 , y0  thì ( y0 , x0 ) cuõng laø nghieäm cuûa heä Neân heä coù nghieäm nhaát thì x0  y0 1)2 x a Thế vào hệ ta : ( x  0  x x a 0 x a coù nghieäm nhaát Ta coù x  0     4(1  a )  Lop12.net a Điều kiện đủ: Với a  Hệ trở thành:  12 y (1)  x   ( y  1)2 x (2)  Lấy (1) -(2) ta : (x - y)(x + y + 3)=0 y  x   y x Thế y=x vào (1) ta : 1 x  4x x y 2 Thế y= - x - vào (1) ta : x  12 x 13 ( voâ nghieäm )   x  Toùm laïi heä coù nghieäm nhaát   y   Vậy a  thỏa yêu cầu bài toán 2 2) Giaûi phöông trình : log 2 x  x log  2.3log x Ñieàu kieän: x > Ta coù: log x  log x log x 4 4.4 log log x x 6 log x 2  log x log x 3 9.9 Do đó phương trình trở thành: log x log x log x 4.4 6 18.9 log x log x    18 (*)  log x 3 Ñaët t   Ñieàu kieän: t > 2 Khi đó phương trình (*) trở thành: – t = 18t2  18t t Lop12.net  t   t  (lo )  log x log x 3 2 Vaäy phöông trình   2 Vaäy x  laø nghieäm cuûa phöông trình CAÂU V: S(0; 0; 1), A(1; 1; 0), M(m; 0; 0), N(0; n; 0) với m + n = và m > 0, n > 1) Theå tích hình choùp S.OMAN Hình choùp S.OMAN coù SO laø chieàu cao Diện tích tứ giác OMAN là tổng diện tích OMA và ONA 1 mn  S OMAN  OM ,OA  ON ,OA   2 2 1 1 SO.S Vaäy V (ñvtt) S OMAN OMAN 2) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SMN) Ta coù:   SM (m;0 1)     Veùctô phaùp cuûa (SMN) laø n  (n, m, mn) SN (0, n, 1)  Phöông trình maët phaúng (SMN) nx  my mnz mn n m mn Ta coù:d(A,(SMN))  n m2 m2 n  m.n  mn  1  mn 2 2mn m n Suy ra(SMN) tieáp xuùc maët caàu taâm A baùn kính R=1 coá ñònh     Lop12.net