Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC , khi đó O là giao điểm HA và trung trực AB vẽ trong mặt phẳng ABC ... Gọi I là trung điểm AB , khi đó tứ giác OIBH nội tiếp được nên:.[r]
(1)Bộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi : TOÁN, khối A Ngày thi : 08.03.2009 (Chủ Nhật ) Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần cho hs tỉnh Lâm Đồng ĐỀ 03 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) ( ) Cho hàm số : y = x − − (1) Câu I : ( điểm ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) ( ) ( ) Viết phương trình đường tròn C mặt phẳng Oxy , qua điểm cực trị hàm số (1) Câu II: ( điểm ) Giải phương trình : 2x 3x − 3x − 2x − = Giải phương trình : cos2009 x + sin2008 x = Câu III: ( điểm ) ( ) ( ) ( ) Cho hai hàm số g x = − x , f x = x − Tính tích phân ∫ {f (x ) , g (x )}dx −2 Câu IV: ( điểm ) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân A, AB = AC = a, (SBC ) ⊥ (ABC ) và SA = SB = a Tính độ dài cạnh SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a Câu V: ( điểm ) Cho x , y là hai số thực dương và thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 1 + + xy x + y xy II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Trong không gian Oxyz cho A 0;1; , B 2;2;2 ,C −2; 3;1 và đường thẳng ( (d ) : x 2− = y −+12 = z −2 Tìm điểm M trên (d ) để thể tích tứ diện MABC Tìm điểm N trên (d ) để diện tích tam giác NAB ) ( ) ( ) nhỏ Câu VII.a ( điểm ) Cho tập hợp A gồm n phần tử , n > Tìm n biết số các phần tử A có đúng 16n tập có số phần tử là lẻ Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A , biết phương trình cạnh AB : 7x − y − = ; điểm B ,C thuộc trục hoành và A thuộc góc phần tư thứ Tìm toạ độ điểm M thuộc AB , N thuộc BC cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích tam giác ABC x = t x = t ' Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : y = + t , d2 : y = 3t ' − Gọi K là hình chiếu vuông z = + 2t z = t ' − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) góc I 1; −1;1 lên d2 Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K cắt d1 và vuông góc d2 Câu VII.b ( điểm ) x − y + = Giải hệ phương trình : log x = log2 y GV đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt Lop12.net (2) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) ( ) Cho hàm số : y = x − − (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Học sinh tự làm ( ) ( ) Các điểm cực trị hàm số (1) là O ( 0; ) , A ( −1; −1) , B (1; −1) Giả sử đường tròn (C ) cần tìm có dạng : x + y + ax + by + c = , có tâm I ( −a ; −b ) và bán kính Viết phương trình đường tròn C mặt phẳng Oxy , qua điểm cực trị hàm số (1) R = a + b2 − c, R > ( ) ( ) ( ) Đường tròn qua điểm cực trị O 0; , A −1; −1 , B 1; −1 , nên ta có hệ phương trình : c = a = 2 2 − a − b + c = ⇔ b = ⇒ C : x + y + 2y = hay C : x + y + = 2 + a − b + c = c = Câu II: ( điểm ) Giải phương trình : 2x 3x − 3x − 2x − = Chú ý : Cách giải đây không đúng , cần thận trọng Cẩn thận với kiểu “ Nhìn đồ thị ta thấy !!!.” ( ) ( ) ( ) Phương trình 2x 3x − 3x − 2x − = ⇔ 3x 2x − = 2x + ( ) (1) không là nghiệm phương trình 2x + • x ≠ phương trình viết lại 3x = 2 2x − 2x + Xét hàm số f x = 3x , g x = 2x − 1 1 Dễ thấy hàm số f x = 3x liên tục trên −∞; , ; +∞ và có f ' x = 3x ln > ⇒ f x liên tục và đơn điệu 2 2 () • x = () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 tăng trên −∞; , ; +∞ 2 2 1 1 −4 2x + Hàm số g x = liên tục trên khoảng −∞; , ; +∞ và có g ' x = 2x − 2 2 2x − ( ) ( ) ( ) < 0, x ≠ ⇒ g x liên ( ) 1 1 tục và đơn điệu giảm trên khoảng −∞; , ; +∞ 2 2 1 1 Do đó ta xét hàm số f x , g x giao trên khoảng −∞; , ; +∞ , nghĩa là số nghiệm phương trình 2 2 1 1 thỏa điều kiện −∞; , ; +∞ 2 2 ( ) ( ) () 1 Trên khoảng −∞; hàm số f x liên tục và đơn điệu tăng ,g x liên tục và đơn điệu giảm , đó phương trình 2 1 có nghiệm trên khoảng −∞; và f −1 = g −1 = − Vậy phương trình có nghiệm x = −1 2 ( ) () ( ) ( ) ( ) Lop12.net () (3) 1 Trên khoảng ; +∞ hàm số f x liên tục và đơn điệu tăng ,g x liên tục và đơn điệu giảm , đó phương trình 2 1 có nghiệm trên khoảng ; +∞ và f = g = Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x = −1 , x = ( ) ( ) () () () () ( ) ( ) Cách giải đúng : Bài toán này cần chia đến trường hợp Ta cần xét tính liên tục hàm số f x , g x Đó là lý vì bài trình bày tôi thường xuyên nhấn mạnh hàm số liên tục … • x = • x ∈ −∞; −1 ( ) 1 • x ∈ −1; 2 1 • x ∈ ;1 2 ( • x ∈ 1; +∞ • x = −1 • x =1 ) Giải phương trình : cos2009 x + sin2008 x = Vì −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ nên cos2009 x ≤ cos2 x , sin2008 x ≤ sin2 x ⇒ cos2009 x + sin2008 x ≤ sin2 x + cos2 x = Vậy phương trình cho tương đương với hệ : cos x = x = k 2π cos2009 x = cos2 x cos x = cos x = π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = l ,l ∈ ¢ 2008 π cos x = sin x = sin x x = + k 2π sin x = 2 sin x = ( ) {( ( ) ( )) − f (x ) − g (x ) } ∫−2 f x , g x dx = −∫2 f x + g x { ( ) ( )} ) Cho hai hàm số g x = − x , f x = x − Tính tích phân Câu III: ( điểm ) ( ) ( −1 3 ∫ {f (x ) , g (x )}dx −2 dx = ∫ x − 3x + − x − x − dx −2 {( ) 1 x − 3x + dx − ∫ x − x − dx + ∫ x − x − dx − ∫ x − x − dx = ??? ∫ −2 −2 −1 Cách : = ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )( ) min { f ( x ) , g ( x )} = − x x ∈ −2; −1 ∪ 2; Suy x ∈ −1;2 min { f ( x ) , g ( x )} = ( x − 1) Xét f x − g x = x − − − x = x − x − = x − x + Bài toán đến đây đã đơn giản nhiều a +b − a −b a;b = Câu IV: ( điểm ) { } Lop12.net ) } (4) ( ) ( ) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân A, AB = AC = a, SBC ⊥ ABC và SA = SB = a Tính độ dài cạnh SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a Giả sử H là trung điểm BC , ta có AH ⊥ BC Vì SBC ⊥ ABC nên AH ⊥ SBC ⇒ AH ⊥ SH ( ) ( ) ( ) ∆SHA, ∆BHA có HA chung và SA = BA = a nên ∆SHA = ∆BHA Suy : HA = HB = HC , ∆SBC vuông S Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , đó O là giao điểm HA và trung trực AB vẽ mặt phẳng ABC ( Giả sử SC = x ) Gọi I là trung điểm AB , đó tứ giác OIBH nội tiếp nên: AB AO.AH = AI AB ⇒ R = AO = 2.AH ∆SBC vuông ,nên có : BC = SB + SC = a + x ⇒ BH = ∆BHA vuông, nên có : a2 + x a + x 3a − x AH = AB − BH = a − = 4 2 2 3a − x , (0 < x < a 3) ⇒ AH = a2 a2 a2 Vậy R = = ,(0 < x < a 3) 2 2 3a − x 3a − x a2 3a − x = a =a 2 R = a ⇔ 3a − x ⇔ ⇔ x =a < x < a 0 < x < a Vậy : SC = a Câu V: ( điểm ) Cho x , y là hai số thực dương và thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1 + + xy xy x +y 1 1 P = + + xy = ( + ) + ( + xy ) + 16xy 16xy x + y xy x + y 2xy 1 + ≥ ≥4 2 2 xy x + y ( x + y ) 1 1 1 25 + xy ≥ = ⇒P = + + xy ≥ + + = 16 xy 4 x +y 16xy 7 ≥ 16xy 4(x + y )2 ≥ P = Lop12.net (5) Dấu đẳng thức xảy và x = y = 25 Vậy x = y = , P = II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Trong không gian Oxyz cho A 0;1; , B 2;2;2 ,C −2; 3;1 và đường thẳng ( (d ) : x 2− = y −+12 = z −2 Tìm điểm M trên (d ) để thể tích tứ diện MABC x = + 2t d : y = −2 − t , M ∈ d z = + 2t () ( ) ) ( ) ( ) ( ⇒ M + 2t; − − t; + 2t ) uuur uuuur uuur uuuur r r AB = (2; 1; 2), AC = (−2; 2;1) ⇒ [AB ; AC ] = (−3; − 6; 6) = −3(1; 2; − 2) = −3.n, n = (1; 2; − 2) Phương r trình mặt phẳng ( ABC ) qua A ( 0;1; ) và có vecto pháp tuyến n = (1; 2; − 2) là : x + 2y − 2z − = uuur uuuur S ABC = [AB; AC ] = (−3)2 + (−6)2 + 62 = 2 ( ) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC : d(M (ABC )) = Thể tích tứ diện MABC ⇔ V = 1+4 + = −4t − 11 4t + 11 17 = ⇔ 4t + 11 = ⇔ t = − hay t = − 3 4 Vậy có hai điểm M cầb tìm là M − ; − ( ) + 2t + 2(−2 − t ) − 2(3 + 2t ) − 15 11 1 ; hay M − ; ; 2 2 Tìm điểm N trên d để diện tích tam giác NAB nhỏ () N∈ d S ABN = ( ⇒ M + 2t; − − t; + 2t ) uuur uuur [NA; NB ] = 32t + 128t + 146 = (4t + 8)2 + ≥ 2 2 ⇒ max S ABN = ⇔ 4t + = ⇔ t = −2 ⇒ N −3; 0;1 ( ) Câu VII.a ( điểm ) Cho tập hợp A gồm n phần tử , n > Tìm n biết số các phần tử A có đúng 16n tập có số phần tử là lẻ C n1 ,C n2 ,C n3 là số các tập hợp A gồm 1, 3, phần tử Ta luôn có C n0 + C n1 + C n2 + + C nn = 2n ⇒ C n1 + C n2 + C n3 + = 2n −1 () Từ giả thiết , ta có phương trình : 2n −1 = 16n ⇔ 2n −5 = n * () Vì n > 4, n ∈ ¢ nên ta xét n = thấy không thỏa * , đó ta xét n ≥ 6, n ∈ ¢ ( ) Xét hàm số f x = 2x −5 − x liên tục trên nửa khoảng 6; +∞ ) , x ∈ ¢ Lop12.net (6) ( ) ( ) Ta có f ' x = 2x −5 ln − > 0, ∀x ≥ ⇒ f x liên tục và đồng biến trên nửa khoảng 6; +∞ ) , x ∈ ¢ và () f = ⇒ x = là nghiệm phương trình 2x −5 − x = 0, x ≥ 6, x ∈ ¢ Vậy n = thỏa mãn đề bài Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A , biết phương trình cạnh AB : 7x − y − = ; điểm B ,C thuộc trục hoành và A thuộc góc phần tư thứ Tìm toạ độ điểm M thuộc AB , N thuộc BC cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích tam giác ABC Cách 1: B ∈ Ox ⇒ B (1; ) , A ∈ ( AB ) ⇒ A a ; 7a − ,C ( 2a − 1; ) B ∈ AB ( ) a ≥ ⇔a ≥1 A thuộc góc phần tư thứ nên a − ≥ Cách 2: B ∈ Ox ⇒ B (1; ) và M ( x ; y ) ∈ ( AB ) ⇔ 7x − y − = ⇔ y = 7x − B AB ∈ ( ) ) ( Giả sử : AB = AC = a , phương trình AB : 7x − y − = có hệ số góc t a n ABC = ⇒ cos ABC = Theo định lý cosin , ta có AC = AB + BC − 2AB BC c os ABC ⇒ BC = a MN chia đôi chu vi tam giác ABC , nên có BM + BN = AM + CN + BC 9a ⇔ ( BM + BN ) = AB + BC + CA ⇔ BM + BN = (1 ) S BM BN a2 MN chia đôi diện tích tam giác ABC , nên ta có BMN = ⇔ = ⇔ BM BN = S ABC AB.BC a 9a a2 x = , BM , BN là nghiệm phương trình x − =0⇔ x+ 8 x = a 2 a2 a2 x − + y0 = x − + 7x − = ⇔ 64 ⇔ 64 ⇔ ()() Kết hợp , BM • BN BN • BM a =a = (2) ( ) ( ) ( ) ( ) a x = +1 168 a lúc này M ≡ A, N là trung điểm BC =a = x = t x = t ' Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : y = + t , d2 : y = 3t ' − Gọi K là hình chiếu vuông z = + 2t z = t ' − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) góc I 1; −1;1 lên d2 Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K cắt d1 và vuông góc d2 (d ) r r có vtcp : u = (1; 1; 2) , (d2 ) có vtcp u = (1; 3; 1) Lop12.net (7) uuur K ∈(d2 ) ⇒ K (t / ; 3t / − 6; t / − 1) ⇒ IK = (t / − 1; 3t / − 5; t / − 2) uuur r 18 18 12 IK ⊥ u ⇔ t / − + 9t / − 15 + t / − = ⇔ t / = ⇒K ; − ; 11 11 11 11 ( ) Giả sử đường thẳng cần tìm cắt d1 H thì uuuur 18 56 59 (H ∈ (d1 )) ⇒ H (t; + t ; + 2t ) ⇒ HK = − t ; − − t; − − 2t 11 11 11 uuuur r 18 56 118 26 HK ⊥ u ⇔ −t − −t − − 4t = ⇔ t = − 11 11 11 11 uuuur 30 7 ⇒ HK = 4; − ; − = (44; − 30; − 7) 11 11 11 18 + 44m x = 11 12 Phương trình cần tìm là : y = − − 30m , m ∈ R 11 z = − 7m 11 Câu VII.b ( điểm ) x − y + = Giải hệ phương trình : log x = log2 y x ≥ Điều kiện : y ≥ x − y + = x − y + = x − y + = x − y + = ⇔ log x = log2 y ⇔ log2 x = log2 y ⇔ x = y log x = log2 y x ≥ 1, y ≥ x ≥ 1, y ≥ x ≥ 1, y ≥ x = x = y y = ⇔ y − 4y + = ⇔ ⇔ x ; y = 1;1 , 9; x = x ≥ 1, y ≥ y = ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : x ; y = 1;1 , 9; Lop12.net (8)