Đề thi học sinh giỏi vòng cụm lớp 8 - Năm học 2008 - 2009 môn: Toán

Câu 1: 2 đ Chứng minh rằng: Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì lu«n chia hÕt cho 9.. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4015 Lop7.net..[r]

phßng GD - §T H¹ Hoµ Côm thi THCS H¹ Hßa §Ò thi häc sinh giái vßng côm líp - N¨m häc 2008-2009 M«n: To¸n Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngµy thi : 20.05.2009 C©u 1: Chøng minh r»ng: Tổng các lập phương số nguyên liên tiếp thì luôn chia hết cho C©u Cho biÓu thøc:    4a  2b  a2  A  :     2a  b a 2a  b  2a  a b a b  ab    a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 3a2 + 3b2 = 10ab vµ a > b > Câu Giải phương trình: a, x-2005 x-2007 x-2009   3 2010 2008 2006  b, x    12x  C©u Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD cho CM=AN Các đường thẳng AM,BN cắt CD theo thứ tự E,F a)Chứng minh CE.DF=a2 b)Gọi I là giao điểm FA và EB.Chứng minh tam giác CEB đồng dạng với tam giác DAF và góc EIF=900 c) Các điểm M và N có vị trí nào thì EF có độ dài nhỏ C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Lop7.net Hướng dẫn chấm môn Toán Lêi gi¶i §iÓm Câu 1: (2 đ) Chứng minh rằng: Tổng các lập phương số nguyên liên tiếp thì lu«n chia hÕt cho XÐt A=n3+(n+1)3+(n+2)3 Víi n lµ sè nguyªn tïy ý 0,25 Ta cã A= =3n3+9n2+15n+9 =(3n3-3n)+9(n2+2n+1) =3n(n-1)(n+1)+9(n+1)2 0,75 Cã 9(n+1)2 chia hÕt cho L¹i cã n;n-1;n+1 lµ sè nguyªn liªn tiÕp nªn cã sè chia hÕt cho 3, đó: 3(n(n-1)(n+1)chia hết cho    4a  2b  a2  A  :      2a  b 2a  b  2a  a b   a b  ab a     4a  2b a2   :     2a  b  2a  b  a    ab a  a         2a(2  ab)  2a(2  ab)  : 2  (2a  b)(2a  b)(a  1)   ab a        0,5 0,25 VËy A chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n C©u (2 ®) a) Rót gän:  0,25 0,25   ab a  2a(2  ab)  x (2a  b)(2a  b)(a  1) 2a(2  ab) ab ab A  (2a  b)(2a  b) 4a  b b   DK : ab  0;ab  2;a    2  b)Từ 3a2 + 3b2 = 10ab biến đổi ta có: (3a-b)(a-3b)=0 vì a > b > nên 3a-b>0 đó: a-3b=0  a=3b Thay a=3b vµo biÓu thøc A ta cã: A=3/35 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu Giải phương trình: x-2005 x-2007 x-2009   3 2010 2008 2006 1  (x  4015)(   )0 2010 2008 2006  x  4015 a, Vậy phương trình có nghiệm x=4015 Lop7.net 0,5 0,5 b) Ta cã: (x2-9)2=12x+1 (x2-9)2+36x2=36x2+12x+1(x2-9)2+36(x2-9) +182=36x2+12x+1 0,25 (x2-9+18)2=(6x+1)2 (x2+9)2=(6x+1)2 0,25 (x2-6x+8)(x2-6x+10)=0(x-2)(x-4) [(x-3)2+1]=0 0,25  x=2 hoÆc x=4 Vậy Phương trình có tập nghiệm là S={2;4} 0,25 0,5 C©u 4: VÏ h×nh: a) V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn ta cã AB//EF I Theo hệ định lý Thalets ta có: A AB MB ND FD = = = CE MC AN AB Þ CE.FD = AB hay : CE.FD = a 0,75 B 0,5 M N b)Ta cã: F D CE BC CE.FD = a = BC AD Þ = Þ D CEB¥ D DAF(c.g.c) AD FD C E 0,75 Do đó:CEB=DAF CEB+AFD=DAF+AFD=900IFE vuông IEIF=900 0,75 c) Ta cã (CE-DF)2>0  (CE+DF)2 > 4CE.DF DÊu b»ng x¶y  CE=DF 0,25 Theo a) CE.DF=a2 nªn(CE+DF)2 > 4CE.DF=4a2 DÊu b»ng x¶y  CE=DF=a 0,5 Nên EF>3a Giá trị nhỏ là EF=3a đạt CE=DF=a  M;N là trung 0,25 ®iÓm cña BC;AD Lop7.net