Chú ý: Để giải tốt một số bài toán khác về số chính phương các bài này không thuộc một dạng cụ thể nào trong các dạng đã trình bầy, yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức tổng hợp về số[r]
(1)A Đặt vấn đề Trong toán học, “Đại số” nói chung “Số chính phương” nói riêng là mảng kiến thức khá khó, phức tạp và trừu tượng học lý thuyết và áp dụng vào gi¶i bµi tËp C¸c em häc sinh ®îc tiÕp cËn rÊt sím, ë bËc tiÓu häc c¸c em đã làm quen với các số 0, 1, 4, 9, 16, 25,… Khi các em lên bậc học THCS, từ lớp các em đã tiếp cận khá nhiều các dạng bài tập thể kiến thức số chính phương các lớp 7, 8, thì yêu cầu tính khoa học, chặt chẽ mảng kiến thức này ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải có các phương pháp học thật đa dạng, phong phú, tăng khả tư trừu tượng để tìm tòi, khai thác vấn đề trên góc độ, khía cạnh nhằm tìm “Sợi chỉ” liên hệ lí thuyÕt vµ bµi tËp, gi÷a c¸c yÕu tè ‘cho vµ hái’ Trong quá trình học tập đây đó đã có tài liệu để hỗ trợ học sinh thích nghi và học tốt số chính phương song cách viết và trình bầy tài liệu còn chưa sát thực vói thực tiễn học tập học sinh làm cho học sinh ngại đôi còn có cảm giác sợ học toán phần số chính phương Đặc biệt với học sinh lớp 8, lớp các em còn chưa tạo cho mình thói quen, phương pháp học phù hợp với nội dung liền trước thì đã phải gặp nhiều bài toán khó, lạ là bài toán “Mở” từ các bài toán Các em sau đọc kỹ đề bài mà không biết định hình mình phải làm gì và đâu §Ó gióp c¸c em häc sinh kh¾c phôc nh÷ng lo sî, øc chÕ häc sè chÝnh phương tôi sâu và nghiên cứu tìm hiểu “Phương pháp giải số dạng toán số chính phương” chương trình toán THCS Đồng thời thông qua đó giúp c¸c em biÕt ph©n tÝch, t×m tßi, ph¸t triÓn bµi to¸n ban ®Çu nhiÒu bµi to¸n kh¸c Lop8.net (2) B Nội dung và phương pháp I T×nh h×nh chung Như đã nêu trên giải toán số chính phương là dạng toán đa dạng vµ phong phó, häc sinh ®îc lµm quen sím Tuy nhiªn hiÖu qu¶ häc t©p cña c¸c em lại chưa cao Nếu học sinh nắm phương pháp, kỹ giải số dạng toán số chính phương thì các em tự tin hơn, sáng tạo hơn, nâng cao khả tư lôgíc tốt học tập nội dung số chính phương nói riêng môn toán nói chung ThÕ nhng s¸ch gi¸o khoa, gi¸o tr×nh vµ tµi liÖu tham kh¶o vÒ lo¹i toán này đã có song trình bầy còn tản mạn, rải rác, không cô đọng lí thuyết và phương pháp mà là đưa số bài tập cùng lời giải Vì lí đó tôi đã chọn chuyên đề này để nghiên cứu dạy thực nghiệm cho học sinh nhằm bổ sung cho các em phần nào kiến thức cần có quá trình học toán trường THCS II Những vấn đề giải Qua nghiên cứu và từ thực tế giảng dạy phần hàm số tôi đã chia thành các d¹ng bµi cô thÓ nh sau Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số là số chính phương Dạng 2: Xác định biểu thức số có là số chính phương không? Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức là số chính phương Dạng 4: Tìm số chính phương Dạng 5: Một số bài toán khác số chính phương III Phương pháp tiến hành 3.1 Lí thuyết số chính phương a Kh¸i niÖm: Số chính phương là bình phương số tự nhiên Ví dụ: Số 16 là số chính phương vì 16 = 42 Số 121 là số chính phương vì 121 = 112 b TÝnh chÊt: + Số chính phương có thể có chữ số tận cùng bởi: 0, 1, 4, 5, 6, không thÓ tËn cïng bëi: 2, 3, 7, V× Lop8.net (3) 1 1 0 4 3 9 6 5 5 6 9 8 4 1 2 2 2 2 2 3.2 Mét sè kiÕn thøc liªn quan a Các đẳng thức đáng nhớ + (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 + (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 + (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA + (A + B - C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB - 2BC - 2CA + (A - B - C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB + 2BC - 2CA b Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + §Æt nh©n tö chung + Sử dụng đẳng thức + Nhãm c¸c h¹ng tö + Phối hợp các phương pháp 3.3 C¸c kiÕn thøc bæ sung a Một số tính chất số chính phương + Một số chính phương có chữ số tận cùng là thì chữ số hàng chục là V× : XÐt sè A = m5 10m 100m 100m 25 m m 1100 25 2 Nh vËy: Sè m(m+1).100 cã hai ch÷ sè cuèi lµ Hay : Sè A cã ch÷ sè hµng chôc lµ + Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nã lµ sè lÎ CM: Giả sử số chính phương B = a2 có chữ số tận cùng là Suy ra: Chữ số hàng đơn vị a là Nếu : Chữ số hàng đơn vị a là hay số a có dạng m4 Do đó: a2 = m4 10m 100m 80m 16 2 Lop8.net (4) Ta cã : Sè 100m2 vµ sè 80m cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè ch½n, 16 cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè lÎ Suy ra: Sè B cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè lÎ Nếu : Chữ số hàng đơn vị a là ( chứng minh tương tự) + Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa các thừa số nguyªn tè víi sè mò ch½n, kh«ng chøa thõa sè nguyªn tè víi sè mò lÎ CM: Xét số m có dạng: m = ax by cz… Trong đó a, b, c… là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z,… là các số nguyên tố dương Khi đó: Số A = m2 = (ax by cz….)2 = a2x b2y c2z… Tõ tÝnh chÊt nµy, suy ra: Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 ………………………………… + Số chính phương chia cho có thể dư CM: NhËn thÊy mét sè bÊt kú chia cho chØ cã thÓ d 0, d 1, d Số chia cho dư luôn có dạng 3k đó k Z Suy ra: A = (3k)2 = 9k2 Số chia cho dư luôn có dạng 3k + đó k Z Suy ra: A = (3k + 1)2 = [(9k2 + 6k) + 1] chia cho d Số chia cho dư luôn có dạng 3k + đó k Z Suy ra: A = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + = [(9k2 + 12k + 3) + 1] chia cho d + CMTT: Số chính phương chia cho có thể dư b Mét sè nhËn xÐt qu¸ tr×nh gi¶i to¸n NhËn xÐt1: Khi gÆp c¸c sè cã nhiÒu ch÷ sè gièng nh 22 ; B = 5555 555 ; C = 9999 999 A = 222 thì ta thường đặt m = 111 11 nc / s nc / s nc / s Suy ra: A = 2m; B = 5m; C = 9m Nhận xét2: Khi gặp số có dạng 10n ta có thể biến đổi sau Lop8.net nc / s1 (5) 10n = ( 9999 999 + 1) = 9m + hoÆc nc / s 10n = ( 8888 888 ) + 1111 1112 ( n 1) c / s1 nc / s = ( 8888 888 + 1111 111 + 1) nc / s nc / s1 = …………… Néi dung Dạng 1: Chứng minh số, biểu thức số là số chính phương Phương pháp: + Căn vào cấu trúc số, biểu thức số mà đề bài cho để đưa số dạng sè cã n ch÷ sè gièng + §Æt sè cã d¹ng 1111 111 = a, sau đó biến đổi số, biểu thức số mà bài nc / s1 cho theo a (tương tự các nhận xét phần kiến thức bổ sung) + Biểu diễn số, biểu thức số đã cho theo a và đưa biểu thức chứa a dạng đẳng thức bình phương tổng, bình phương hiệu + Tr¶ l¹i gi¸ trÞ cô thÓ cña a vµ kÕt luËn bµi to¸n VÝ dô 1: Chøng minh r»ng sè A = 9999 99 0000 00 25 là số chính phương nc / s nc / s Có thể nói học sinh chưa tiếp cận chuyên đề này thì đây thực là bài toán khó vì với cấu trúc số có quá nhiều chữ số thường làm cho học sinh mÊt b×nh tÜnh, thiÕu tù tin kh«ng h×nh dung, nhËn d¹ng ®îc c¸ch biÕn đổi Nhưng sau tiếp xúc làm quen với chuyên đề, các em tự tin với việc tách, biển đổi số đã cho lí thuyết đã học Lêi gi¶i chi tiÕt Ta cã: A = 9999 99 0000 00 25 nc / s nc / s = 9999 99 0000 00 + 25 nc / s ( n 2) c / s n = 9999 999 10 10 + 25 nc / s = 1111 11 10 9999 99 1 + 25 nc / s1 nc / s Lop8.net (6) = 1111 11 10 1111 11 1 + 25 nc / s1 nc / s1 §Æt a = 1111 111 ta cã nc / s1 A = 9a.100.(9a + 1) + 25 = (90a)2 + 2.90a + 52 = (90a + 5)2 = ( 90 1111 111 + 5) nc / s1 = ( 9999 999 + 5) nc / s = 9999 9995 nc / s Vậy: A là số chính phương VÝ dô 2: Chøng minh r»ng B = 4444 444 + 2222 222 + 8888 888 + là số chính phương ( n 1) c / s (2 n ) c / s nc / s Đây là bài toán khó với nhiều học sinh đặc biệt là trước các em làm quen với chuyên đề này Với việc đã tiếp cận lý thuyết, phương pháp phân tích, cách giải thì nhiều em tự tin vì có định hướng biến đổi khá tối ưu để giải bài toán Tất nhiên có em biến đổi thành phần khá thành thạo lại không thật linh hoạt kết hợp để hoµn thiÖn lêi gi¶i Lêi gi¶i chi tiÕt Ta cã: B = 4444 444 + 2222 222 + 8888 888 + ( n 1) c / s (2 n ) c / s nc / s = 4444 444 0000 000 + 4444 444 + 2222 222 + + 8888 888 + (n)c/ s (n)c/ s (n)c/ s (n)c/ s nc / s n = 1111 111 + 1111 111 10 + 1111 111 + 10 + 1111 111 ( n ) c / s1 ( n ) c / s1 ( n ) c / s1 ( n ) c / s1 = 1111 111 + 1111 111 10 + 1111 111 + 1111 111 1 + 1111 111 ( n ) c / s1 ( n ) c / s1 ( n ) c / s1 §Æt a = 1111 111 ( n ) c / s1 Suy ra: B = 4a(9a + 1) + 4a + 2a.10 + 8a +9 = 36a2 + 4a + 4a + 20a + 8a + Lop8.net ( n ) c / s1 ( n ) c / s1 (7) = 36a2 + 36a + = (6a + 3)2 =(6 1111 111 + 3) ( n ) c / s1 =( 6666 666 + 3) (n)c/ s = 6666 669 ( n 1) c / s Bài tập tương tự: Chứng minh các số sau là số chính phương C = 1111 111555 5556 ( n ) c / s1 ( n 1) c / s D = 1111 1112222 2225 ( n ) c / s1 ( n 1) c / s E = 9999 99980000 0001 (n)c/ s9 (n)c/ s F = 4444 4448888 8889 (n)c/ s ( n 1) c / s G = 1111 111 - 2222 222 (2 n ) c / s1 (n)c/ s H = 2249999 99910000 0009 ( n 2) c / s n Dạng 2: Xác định biểu thức số có là số chính phương không? Phương pháp: + Cần nắm các đơn vị kiến thức trọng tâm có liên quan trực tiếp đến số chính phương ( đã trình bày phần lí thuyết) - Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, - Số chính phương chia cho có thể dư - Số chia cho dư không thể là số chính phương - Số chính phương chia cho có thể dư - Số chia cho dư dư không thể là số chính phương - Bình phương biểu thức có giá trị nguyên là số chính phương - DÊu hiÖu chia hÕt cho c¸c sè 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 25, 125 + Căn vào cấu trúc biểu thức số đã cho ta phân tích mối quan hệ các thành phần biểu thức để biến đổi, tách số đánh giá đưa biểu thức dạng cho thoả mãn các điều kiện đã trình bày trên Lop8.net (8) Ví dụ 1: Số sau có là số chính phương không? A = 5555 5556 52 c / s Bµi to¸n nµy lµm khã kh¨n cho kh¸ nhiÒu häc sinh v× c¸c em ph¶i ph©n tÝch nhiều chưa nhận định số đã cho là chính phương hay không, song với việc tiếp cận lí thuyết và phương pháp đã nêu thì đã có nhiều học sinh suy luËn nh sau Theo dạng học sinh nhanh chóng biến đổi A = 1111 111.10 +6 52 c / s1 = 5.m.10 + = 50m + ( víi m = 1111 111 ) 52 c / s1 Bước đầu nhìn nhận A không là số chính phương Học sinh suy luận số A không là số chính phương + Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định A không là số chính phương vì chữ số tận cùng A là + Không thể dựa vào các dấu hiệu số chính phương với phép chia cho v× A chia hÕt cho hay A chia cho d + Như có thể dựa vào các dấu hiệu số chính phương với phép chia cho và để khẳng định A không là số chính phương thì phải làm sáng tỏ A chia cho d Lóc nµy häc sinh tÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña A 52 + = 266 chia cho d Lêi gi¶i chi tiÕt XÐt sè m Z bÊt kú víi phÐp chia cho vµ B = m2 NhËn thÊy sè m bÊt kú chia cho chØ cã thÓ d 0, d 1, d Ta có : Số chia cho dư luôn có dạng 3k đó k Z Suy ra: B = (3k)2 = 9k2 Số chia cho dư luôn có dạng 3k + đó k Z Suy ra: B = (3k + 1)2 = [(9k2 + 6k) + 1] chia cho d Số chia cho dư luôn có dạng 3k + đó k Z Suy ra: B = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + = [(9k2 + 12k + 3) + 1] chia cho d L¹i cã: Tæng c¸c ch÷ sè cña sè A b»ng 52 + = 266 Mµ: 266 : d Lop8.net (9) Nªn : Sè A : d Nh vËy: A = 5555 5556 không phải là số chính phương 52 c / s VÝ dô 2: Sè B = 4444 444 00 có là số chính phương không? 100 c / s Bài toán này không còn là vấn đề với nhiều học sinh nữa, các em đã có công cụ giải tay và bước đầu cách suy luận không có gì khác nhiều so víi vÝ dô NhiÒu em suy luËn nh sau Theo ví dụ học sinh nhanh chóng biến đổi B = 1111 111.100 100 c / s1 = 4.m.100 = 400m = 202 m ( víi m = 1111 111 ) 100 c / s1 Bước đầu nhìn nhận B không là số chính phương Học sinh suy luận số B không là số chính phương + Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định B không là số chính phương vì chữ số tận cùng B là + Không thể dựa vào các dấu hiệu số chính phương với phép chia cho v× B chia cho d + Như có thể dựa vào các dấu hiệu số chính phương với phép chia cho và để khẳng định B không là số chính phương thì phải làm sáng tỏ B chia cho d hoÆc d Lêi gi¶i chi tiÕt Ta cã: B = 1111 111.100 100 c / s1 = 4.m.100 (víi m = 1111 111 ) 100 c / s1 = 400m = 202 m Để B là số chính phương thì m = 1111 111 phải là số chính phương 100 c / s1 Lại có: Số chính phương lẻ chia cho thì có số dư là 1( phần lí thuyết đã viết) Mµ: 11 chia cho d Nªn: m = 1111 111 chia cho cã d lµ 100 c / s1 Lop8.net (10) Hay: m = 1111 111 không là số chính phương 100 c / s1 V©y: B = 4444 444 00 không là số chính phương 100 c / s Ví dụ 3: Chứng minh C = + 92k + 772k + 19772k không là số chính phương víi mäi k N* Bài toán này mặt yêu cầu thì đã rõ ràng, cấu trúc biểu thức đã lµm cho häc sinh kh¸ ng¹i kh¸c h¼n víi hai vÝ dô trªn Song víi kiÕn thøc vÒ số chính phương mà các em tiếp từ chuyên đề này thì đã có nhiều em phân tÝch kü mèi quan hÖ gi÷a c¸c thµnh phÇn vµ suy luËn nh sau Phải dựa vào các tính chất, dấu hiệu số chính phương để phân tích Biểu thức có cấu trúc luỹ thừa tổng quát tức là liên quan đến các đẳng thức dạng tổng quát Theo d¹ng cña biÓu thøc víi luü thõa ch½n cña tõng sè h¹ng th× liªn quan đến đẳng thức a2n - b2n a2n - (- b)2n Cụ thể học sinh biến đổi sau Ta cã: C = + 92k + 772k + 19772k = (772k - 1) + 92k + 1997.19772k – + = [772k - (-1)2k] + 92k + 3.659.19772k – + = [77-(-1)][772k-1 + 772k-2.(-1) +.…+ (-1)2k-1] + 92k + 3.659.19772k – + 2] = 78.t + 34k + 3.659.19772k – +2 = 3(26t + 34k-1 + 659.19772k-1) + XÐt thÊy: 3(26t + 34k-1 + 659.19772k-1) víi mäi k N* Suy : C chia cho d Mà: Bất kỳ số chính phương nào chia cho có thể số dư là Vậy: C = + 92k + 772k + 19772k không là số chính phương Bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh các số sau không là số chính phương A = 14444 444 99 c / s B = 19947 + Bài 2: Tổng sau có là số chính phương không C = 12 + 22 + 32 + 42 +…… + 552 + 562 Lop8.net 10 (11) D = n2 + (n +1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 + (n + 4)2 víi n N E = n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) víi n N Bài 3: Chứng minh số tự nhiên D không là số chính phương D = 5555 555 k 999 c / s Bài 4: Chứng minh các số sau không là số chính phương A = 13n.2 + 7n.5 + 26 B = 9n + víi n N víi n N Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức là số chính phương Phương pháp: + Căn đề bài cho, tiến hành phân tích mối quan hệ các thành phần có bài tìm nhóm giá trị liên tục đó có giá trị thoả mãn, có giá trị không thoả mãn tất các giá trị không thoả mãn + Thay cô thÓ vµo bµi Gi¸ trÞ tho¶ m·n Gi¸ trÞ kh«ng tho¶ m·n Dù ®o¸n kho¶ng gi¸ trÞ kh«ng tho¶ m·n + Chứng minh khoảng giá trị không thoả mãn là luôn đúng dựa vào các kiến thức Dấu hiệu nhận biết số chính phương đã trình bầy phần lý thuyết n A n 12 Dùng bất đẳng thức kép víi n Z n 12 A n + Cã thÓ ta gÆp bµi to¸n mµ kh«ng t×m, kh«ng dù ®o¸n ®îc c¸c gi¸ trÞ tho¶ m·n, các giá trị không thoả mãn thì lúc đó cần biến đổi đưa phương trình dạng phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên và kết hợp với các dấu hiệu số chính phương để biện luận T×m gi¸ trÞ tho¶ m·n Chøng minh ®îc kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n + KÕt luËn bµi to¸n Ví dụ 1: Tìm a Z để biểu thức sau là số chính phương S = a4 – a + Lop8.net 11 (12) Trước tiếp cận chuyên đề bài toán này là khá khó với học sinh vì học sinh quen với toán tìm x, giải phương trình Song có học sinh làm và nghĩ có nhiều giá trị a để S là số chính phương không định hình đường để tìm hết các giá trị thoả mãn, biện luận các giá trị không thoả m·n Sau tiÕp cËn lÝ thuyÕt th× bµi to¸n kh«ng cßn lµ thö th¸ch víi c¸c em n÷a, c¸c em gi¶i nh sau XÐt víi a = suy S = ( kh«ng tho¶ m·n) XÐt víi a = suy S = 16 ( tho¶ m·n) XÐt víi a = suy S = 80 ( kh«ng tho¶ m·n) XÐt víi a = suy S = 255 ( kh«ng tho¶ m·n) XÐt víi a = suy S = 622 ( kh«ng tho¶ m·n) Víi a > ta cã 2a2 - > a - a4 - ( 2a2 - 1) < a4 - ( a - 2) a4 - 2a2 + < a4 - a + (a2 -1)2 < S L¹i cã: a4 - ( a - 2) < a4 a4 - a + < (a2)2 S < (a2)2 Suy ra: (a2 -1)2 < S < (a2)2 Mµ : a2 - vµ a2 lµ hai sè liªn tiÕp Do đó: Với a > thì S không là số chính phương Vậy : Với a = thì S là số chính phương Ví dụ 2: Tìm a Z để biểu thức sau là số chính phương M = a5 – a + Bài này thoáng nhìn thì học sinh áp dụng làm tương tự bài 1, lµm th× c¸c em thÊy thö nhiÒu gi¸ trÞ mµ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo tho¶ m·n, kh«ng xuất bất đẳng thức kép hai số chính phương liên tiếp M là đa thức bậc lẻ Khi đó các em nghĩ đến các tính chất, dấu hiệu số chính phương và đã có mét sè häc sinh nhËn thÊy a5 - a chia hÕt cho a5 – a + chia cho d M cã ch÷ sè tËn cïng lµ hoÆc M không là số chính phương Lêi gi¶i chi tiÕt Lop8.net 12 (13) Ta cã: a5- a = a(a4-1) = a(a2- 1)(a2 + 1) = (a- 1)a(a + 1)(a2 + 1) XÐt thÊy sè a bÊt kú chia cho chØ cã thÓ x¶y Chia hÕt cho Chia cho d Chia cho d Chia cho d Chia cho d NÕu a chia cho d th× a = 5k víi k Z Suy ra: a5- a = (a- 1)a(a + 1)(a2 + 1) NÕu a chia cho d th× a = 5k + víi k Z Suy ra: a- = 5k + 1-1 = 5k hay a5- a NÕu a chia cho d th× a = 5k + víi k Z Suy ra: a2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + 5) hay a5- a NÕu a chia cho d th× a = 5k + víi k Z Suy ra: a2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + 10) hay a5- a NÕu a chia cho d th× a = 5k + víi k Z Suy ra: a + = 5k + + = 5k + hay a5- a Nh vËy víi mäi a Z th× a5- a Do đó: a5- a + chia cho dư Nªn : M = a5- a + ph¶i cã ch÷ sè tËn cïng lµ hoÆc Mµ : Theo lí thuyết, số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, Vậy : Không có giá trị a để M là số chính phương Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n > để C là số chính phương C = 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! Bµi nµy lóc ®Çu lµ khã víi c¸c em v× sù xuÊt hiÖn cña giai thõa, cña quy luật n số Nhưng sau tiếp cận phương pháp giải thì phần nào bài toán đã th¸o gì, song c¸c em cßn lóng tóng mét chót vÒ c¸ch gi¶i quyÕt giai thõa cña c¸c số lớn Lúc đó tôi gợi ý các em quan tâm sâu đến vấn đề chữ số tận cùng số chính phương để giải bài toán Lêi gi¶i chi tiÕt Lop8.net 13 (14) Víi n = th× 1! = = 12 ( tho¶ m·n) Víi n = th× 1! + 2! = + 1.2 = (kh«ng tho¶ m·n) Víi n = th× 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 ( tho¶ m·n) Víi n = th× 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 ( kh«ng tho¶ m·n) Víi n = th× 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1+ 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 + 1.2.3.4.5 = 153(L) Víi n = th× 1!+ 2!+ 3!+ 4!+ 5!+ 6!= 1+ 1.2+ 1.2.3+ 1.2.3.4+ 1.2.3.4.5+ 1.2.3.4.5.6 = 753 ( L) Ta cã: 5! = 1.2.3.4.5 = 120 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040 cã ch÷ sè tËn cïng lµ …………………………… n! = …………………… cã ch÷ sè tËn cïng lµ Suy ra: 5! + 6! + 7! + …… + n! = ……… cã ch÷ sè tËn cïng lµ Do đó: Với n thì C = (1!+ 2!+ 3!+ 4!) + 5!+ 6! + …… + n! = 33 + sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ = sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ Vì : số chính phương không thể có chữ số tận cùng là Vậy: Với n 1;3 thì C là số chính phương Bài tập tương tự Bài 1: Tìm số tự nhiên n để các số sau là số chính phương A = n2 + 31n + 1984 B = n3- n + C = n6- n4 + 2n3 + 2n2 D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + Bài 2: Có hay không số tự nhiên n để E = 2002 + n2 là số chính phương Bài 3: Tìm các chữ số a, b cho số 1980ab là số chính phương Bài 4: Tìm các chữ số c, d cho số 1978cd là số chính phương Bài 5: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để hai số 2n + và 3n + đồng thời là các số chính phương Lop8.net 14 (15) Dạng 4: Tìm số chính phương Phương pháp + Đọc kỹ đề bài và tóm tắt đề bài theo sơ đồ + §Æt sè ph¶i t×m theo hai cÊu tróc Đầy đủ các chữ số Dưới dạng số tổng quát + Lập mối quan hệ các thành phần bài toán ( toán cho dạng lời văn) theo các kiến thức số chính phương đã trình bầy phần lý thuyết + Biện luận theo đặc điểm cấu trúc số để tìm số chính phương đó, thường sử dụng Các kiến thức chữ số tận cùng số chính phương Tách số theo chữ số hàng, số hàng để thu gọn Dùng điều kiện chặn số, chữ số sau đó thử với khoảng giá trị số đó, chữ số số đó + KÕt luËn sè tho¶ m·n Ví dụ 1: Tìm số chính phương có chữ số, biết chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bµi to¸n nµy lóc ®Çu cã thÓ lµm nhiÒu häc sinh thÊy b¨n khu¨n, lóng tóng, đọc kỹ đề bài thì các em tự tin vì đã viết dạng số phải tìm, cụ thÓ sè ph¶i t×m cã d¹ng (m 1)m(m 2)(m 3) = a2 song c«ng viÖc tiÕp theo lµ t×m m thì đã làm cho hầu hết học sinh “ bí” Khi các em chưa tiếp cận chuyên đề này chủ yếu các em biến đổi sau Dïng m¸y tÝnh thö c¸c sè T¸ch (m 1)m(m 2)(m 3) = 1000(m + 1) + 100m + 10(m + 2) + (m + 3) = 1111m + 1023 Thö c¸c gi¸ trÞ cña m ( m 9) KiÓm tra xem c¸c sè t×m ®îc sè nµo tho¶ m·n Còn với các em đã tiếp cận chuyên đề thì suy luận sau NhËn xÐt ch÷ sè tËn cïng cña a2 chØ cã thÓ lµ 0, 1, 4, 5, 6, m + 4;5;6;9 m 1; 2;3;6 T×m ®îc sè tho¶ m·n Lop8.net 15 (16) Lêi gi¶i chi tiÕt Theo bµi sè ph¶i t×m cã d¹ng a2 = (m 1)m(m 2)(m 3) ( víi m 9) Vì : Số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, Nªn: m + 4;5;6;9 Hay: m 1; 2;3;6 Suy ra: a2 2134;3245; 4356;7689 XÐt thÊy: 4356 = 662 (t/m) Vậy: Số chính phương cần tìm là 4356 Ví dụ 2: Tìm số chính phương có chữ số biết chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm giống nhau, chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị giống Tương tự ví dụ chưa tiếp cận với chuyên đề này các em chủ yếu biến đổi bài toán sau Theo bµi cã a2 = bbcc = 1100b + 11c = 11(100b + c) BiÖn luËn sè a2 theo gi¸ trÞ cña b, c có quá nhiều trường hợp Với học sinh sau nhận thức chuyên đề này thì các em chñ yÕu suy luËn nh sau a2 = bbcc bbcc 11 (dÊu hiÖu chia hÕt cho 11) 11(100b + c) 11 ( t¸ch theo cÊu tróc sè) Muốn số 11(100b + c) là số chính phương thì (100b + c) 11 Ta cã: 100b + c = [99b + (b + c)] 11 vµ chØ (b + c) 11 XÐt thÊy: b + c 18 b + c = 11 a2 = 112(9b + c) Khi đó: 9b + phải là số chính phương sö dông c¸c kiÕn thøc ch÷ sè tËn cùng số chính phương tìm b Lêi gi¶i chi tiÕt Theo bài số chính phương phải tìm có dạng a2 = bbcc Ta cã: bbcc = 1100b + 11c = 11(100b + c) 11 Nªn : §Ó sè 11(100b + c) lµ sè chÝnh th× 100b + c 11 [99b + (b + c)] 11 Lop8.net 16 (17) b + c 11 Mµ : b + c 18 Suy ra: b + c = 11 Nªn : bbcc = 11.[99b + (b + c)] = 11.11(9b + 1) = 112.(9b + 1) Khi đó: 9b + phải là số chính phương V× : Số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, Suy ra: 9b ph¶i cã ch÷ sè tËn cïng lµ 9, 0, 3, 4, 5, Hay : b 1;0;7;6;5; 2 Do đó: (9b + 1) 10;1;64;55; 46;19 Nh vËy: 9b + = 64 (t/m) b = suy c = Vậy: Số chính phương cần tìm là 7744 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm số chính phương có chữ số, biết bớt chữ số đơn vị thì số có chữ số và là số chính phương Bài 2: Tìm số chính phương có chữ số biết thêm vào chữ số số đó ta số chính phương Bài 3: Tìm số chính phương có chữ số khác nhau, biết viết số đó theo thứ tự ngược lại thì số có chữ số là số chính phương và chia hết cho sè ban ®Çu (§¸p sè: 1089) Dạng 5: Một số bài toán khác số chính phương Chú ý: Để giải tốt số bài toán khác số chính phương (các bài này không thuộc dạng cụ thể nào các dạng đã trình bầy), yêu cầu học sinh nắm các kiến thức tổng hợp số chính phương đã trình bầy lý thuyết, đồng thời biết tổng hợp linh hoạt các kỹ giải dạng, các kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, các đẳng thức đáng nhớ… để áp dông vµo gi¶i Ví dụ 1: Cho m + và 2m + (m N) đồng thời là hai số chính phương Chứng minh r»ng m chia hÕt cho 24 Lop8.net 17 (18) Với bài này bước đầu học sinh phân tích sâu giả thiết cho m + và 2m + đồng thời là hai số chính phương m + = a2 vµ 2m + = b2 víi a, b N 2m + lµ sè lÎ nªn b2 lµ sè lÎ hay b lµ sè lÎ b = 2t + ( t N) 2m + = ( 2t + 1)2 = 4t2 + 4t + m + lµ sè lÎ m = 2t(t + 1) lµ sè ch½n hay a2 lµ sè lÎ hay a lµ sè lÎ L¹i cã: m = a2 - = (a- 1)(a + 1) lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp Nªn: m chia hÕt cho Tiếp theo học sinh nhận định để m 24 thì m phải chia hết cho và nhận thÊy (m + 1) + ( 2m + 1) = 3m + = a2 + b2 chia cho d Mà: số chính phương chia cho có thể dư Hay: a2 chia cho ph¶i d 1, b2 chia cho ph¶i d Xét: (2m + 1) - (m + 1) = a2 - b2 hay m đó m 24 Lêi gi¶i chi tiÕt Ta có: m + và 2m + là số chính phương Nªn : m + = a2, 2m + = b2 víi mäi a, b N V× : 2m + lµ sè lÎ Hay : b2 là số lẻ, đó b là số lẻ tức là b = 2t + với t N Suy ra: 2m + = ( 2t + 1)2 = 4t2 + 4t + Do đó: m = 2t(t + 1) là số chẵn hay m + là số lẻ Nên : a2 = m + là số lẻ đó a2 là số lẻ hay a là số lẻ XÐt thÊy: m + = a2 m = a2- = ( a- 1)(a + 1) lµ tÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp Hay: m (*) L¹i cã: a2 + b2 = (m + 1) + ( 2m + 1) = 3m + chia cho d Mµ : Số chính phương chia cho có thể dư Suy ra: a2 chia cho ph¶i d 1, b2 chia cho ph¶i d XÐt : (2m + 1) - (m + 1) = a2 - b2 hay m (**) Tõ (*) vµ (**) suy m 24 ( v× vµ nguyªn tè cïng nhau) Ví dụ 2: Chứng minh số lẻ viết dạng hiệu hai số chính phương Lop8.net 18 (19) Sau lµm bµi to¸n th× bµi to¸n nµy còng ®îc kh¸ nhiÒu häc sinh ph©n tÝch mét c¸ch tù nhiªn nh sau ? Sè lÎ lµ g×, cÊu tróc vµ c¸c c¸ch viÕt tæng qu¸t nh thÕ nµo Số lẻ có thể viết dạng 2n + với n N Số lẻ có thể viết dạng 4n + 4n + với n N…… Tuỳ theo đề bài mà việc lựa chọn cấu trúc viết cho phù hợp Trong bµi nµy ta cã thÓ thÊy + Nếu viết dạng 2n + thì 2n + = n2 + 2n + - n2 = ( n + 1)2- n2 ( víi mçi gi¸ trÞ cña n cho ta mét sè lÎ bÊt kú) Nếu viết dạng 4n + thì + 4n + = 4n2 + 4n + - 4n2 = (2n + 1)2 - (2n)2 Nếu viết dạng 4n + thì 4n + = (4n2 + 8n + 4) – (4n2 + 4n + 1)= (2n + 2)2 - (2n + 1)2 ( víi mçi gi¸ trÞ cña n cho ta hai sè lÎ liªn tiÕp bÊt kú) Nh vËy bµi nµy theo häc sinh cã thÓ viÕt b»ng mét hai c¸ch trªn ta giải được, song thực tế cho thấy viết theo cách chưa thực chặt chẽ (theo phương pháp quy nạp) không thể liên tục cùng thời ®iÓm, mét gi¸ trÞ cña n chØ ®a ®îc mét sè tho¶ m·n cßn c¸ch hai ®É thÓ hiÖn ®îc tÝnh liªn tôc Học sinh thường điểm chi tiết này Lêi gi¶i chi tiÕt Ta có: Mọi số lẻ có dạng 4n + 4n + với n N + NÕu a = 4n + th× 4n + = (4n2 + 4n + 1) - 4n2 = (2n + 1)2- (2n)2 là hiệu hai số chính phương + NÕu a = 4n + th× 4n + = (4n2 + 8n + 4) – (4n2 + 4n + 1) = (2n + 2)2 - (2n + 1)2 là hiệu hai số chính phương Vậy: Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số chính phương Lop8.net 19 (20) Ví dụ 3: Cho số chính phương có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Cã thÓ nãi ®©y lµ mét bµi to¸n kh¸ khã víi nhiÒu häc sinh v× cã qu¸ nhiÒu số chính phương có chữ số hàng đơn vị là và không biết số chính phương cã bao nhiªu ch÷ sè…., lµm c¸c em “ bÝ” viÖc t×m ch÷ sè hµng chôc cña số chính phương Song sau học sinh tiếp cận với chuyên đề thì bài toán này thật đơn giản, các em dựa vào kiến thức số chính phương có chữ số tận cùng là để giải Lêi gi¶i chi tiÕt C¸ch 1: Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nã lµ sè lÎ CM : Giả sử số chính phương B = a2 có chữ số tận cùng là Suy ra: Chữ số hàng đơn vị a là Nếu : Chữ số hàng đơn vị a là hay số a có dạng m4 Do đó: a2 = m4 10m 100m 80m 16 2 Ta cã: Sè 100m2 vµ sè 80m cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè ch½n, 16 cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè lÎ Suy ra: Sè B cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè lÎ Nếu : Chữ số hàng đơn vị a là ( chứng minh tương tự) Suy ra: Chữ số hàng chục số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, Mµ : + + + + = 25 = 52 là số chính phương C¸ch 2: Ta có: Một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số tận cùng cña a lµ sè ch½n Do đó: a Nên : a2 ( t/c số chính phương) Lại có: Theo dấu hiệu chia hết cho ( hai chữ số cuối chia hết cho tì số đó chia hÕt cho 4) Suy ra: Hai ch÷ sè cuèi cña sè M chØ cã thÓ lµ 16, 36, 56, 76, 96 Lop8.net 20 (21)