Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu phương pháp quĩ đạo đối với nhóm Heisenberg tổng quát H (m R , n) (trường hợp 3 chiều đã được trình bày trong [5]) theo cách chỉ ra các phân cực củ[r]
(1)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải
CÁC BIỂU DIỄN
CỦA NHÓM HEISENBERG TỔNG QUÁT H(m,n)
R
Nguyễn Việt Hải
1 Mở đầu
Năm 1960, A.A Kirillov [7] đưa phương pháp quĩ đạo nhóm Lie luỹ linh thực Cơng trình ơng tổng qt hố sang nhóm giải kiểu I L Auslander B Kostant [1] vào năm 1970 với cách làm độc đáo Phép chứng minh hai nhà toán học dựa tồn phân cực phức thoả mãn điều kiện
Cách làm Kirillov nhóm Lie luỹ linh thực mở rộng sang nhóm giải exponential đặc trưng ánh xạ exp từ đại số
g= Lie(G)sang nhóm LieG ứng với nó, vi phơi Đối với loại nhóm
ta có song ánh K-quĩ đạo biểu diễn, đồng thời sử dụng biểu diễn cảm sinh cách xây dựng tường minh phân cực nhóm Lie luỹ linh thực Trong [3], [4], [5], [6] thu kết đầy đủ tường minh loại nhóm Mặc dù lí thuyết Kirillov nhiều trường hợp cụ thể, trường hợp số chiều lớn, việc tính K-quĩ đạo biểu diễn tương ứng khó khăn Trong báo chúng tơi nghiên cứu phương pháp quĩ đạo nhóm Heisenberg tổng quát H(mR ,n) (trường hợp chiều trình bày [5]) theo cách phân cực nhóm để xây dựng biểu diễn unita bất khả qui
Bài báo xếp sau: $1 giới thiệu khái niệm phân cực tương ứng Kirillov ; $2 dành cho việc tính K-quĩ đạo nhóm Heisenberg H(m,n)
R Cuối cùng, $3, chúng tơi tìm phân cực, mô tả
biểu diễn unita, bất khả qui nhóm ứng với K-quĩ đạo qua tương ứng Kirillov
Kí hiệu.Như thơng thường,Sp(n,R)kí hiệu nhóm symplectic thực bậcn Chúng gọi R(m,n) là tập tất ma trận cỡ m×n với phần tử thuộc vành giao hốnR Với A∈R(m,m), Tr(A)kí hiệu vết củaA Ma trận đồng nhất cấp m kí hiệu Em
(2)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008
2 Phân cực tương ứng Kirillov
Chúng nhắc lại kết Kirillov biểu diễn unita nhóm Lie luỹ linh thực (xem [8],[2]) GọiG nhóm Lie liên thơng, đơn liên đại số Lie nó, g= Lie(G), không gian tiếp xúc đơn vị e Dễ thấy phần tử g ∈Gcó thể xác định ánh xạA(g) : G −→G, x7→gxg−1 cố định phần tử e∈G Từ tồn ánh xạ tiếp xúc tương ứng
A(g)∗ :g−→g
X ∈g7→ d
dtgexp(tX)g
−1|t
=0 ∈g
Ánh xạ xác định tác động, thường kí hiệu AdG, nhómGtrong đại số Lie(G) Đặt K = Ad∗G : G −→ GL(g∗) xác định hK(g)F, Xi := hF,AdG(g−1)Xi, với F ∈ g∗, X ∈ g, g ∈ G K gọi biểu diễn đối
phụ hợphayK-biểu diễncủa nhómG Ta kí hiệuquĩ đạo đối phụ hợphayK-quĩ đạo G g∗, qua F
ΩF =K(G)F :={K(g)F|g ∈G}
Dễ thấy, không gian đối ngẫu g∗ phân tích thành hợp rời rạc K-quĩ đạo Với F ∈g∗, ta xác định dạng song tuyến tínhBF g
BF(X, Y) =<[X, Y], F >, X, Y ∈g (1) Định nghĩa 2.1
(1) Đại số Lie conh g gọi phụ thuộc F ∈g∗ BF|h×h =
(2) Đại số Lie h g phụ thuộc F ∈g∗ gọi phân cực
g F h có tính chất: P không gian véc-tơ g chứa h
BF|P×P = h=P
(3) Cho F ∈g∗ h phân cực g F Gọi H nhóm đóng liên thông, đơn liên G mà Lie(H) = h Hàm χF,h xác định sau gọi
đặc trưng unita H:
χF,h(expH(X)) = e2πi<X,F>,X∈h (2)
(3)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải
Trong [7], Kirillov chứng minh định lí quan trọng sau:
Định lí 2.2 G nhóm Lie luỹ linh thực, đơn liên g= Lie(G) Nếu có biểu diễn unita bất khả qui π G tồn ` ∈g∗ phân cực h g
đối với F cho π∼= IndGHχF,h với χF,h đặc trưng unita H xác định
(2)
Định lí 2.3 G nhóm Lie luỹ linh thực, đơn liên vàg= Lie(G) Nếu F ∈g∗
thì tồn phân cựch g F cho biểu diễn đơn thứcIndGHχF,h
là biểu diễn bất khả qui Nếu F0 phần tử g∗ mà thuộc K-quĩ đạo
K(G) :=Ad∗G(G)F vàh0 phân cực gđối với F0 biểu diễn đơn
thức IndGHχF,h IndGH0χF0,h0 tương đương unita, kí hiệu H H0
các nhóm đóng đơn liên,h = Lie(H),h0 = Lie(H0) Ngược lại, nếuh h0 phân cực g F ∈g∗ F0 ∈g∗ tương ứng cho biểu diễn đơn thức IndGHχF,h IndGH0χF0,h0 G tương đương unita F F0 thuộc
cùng K-quĩ đạo G g∗
Cuối cùng, với biểu diễn unita bất khả qui τ G tồn K-quĩ đạoΩ Gtrong g∗ cho với dạng tuyến tính `∈Ωvà phân cựch g F, biểu diễnτ IndGHχ`,h tương đương unita
Định nghĩa 2.4 Song ánh từ không giang∗/G, cácK-quĩ đạo Gtrong g∗, lên đối ngẫu unita Gb G cho Định lí 2.3 gọi tương ứng Kirillov
của G
3 Nhóm Heisenberg tổng quát H(mR ,n)
Với hai số nguyên dương m n, ta xét nhóm Heisenberg (xem [9]) H(m,n)
R =
(A, B, C)| A, B ∈R(n,m), C ∈
R(n,n), C+BAt đối xứng
với qui tắc nhân
(A, B, C)◦(A0, B0, C0) = (A+A0, B+B0, C +C0 +AB0t−BA0t)
Nhóm nhúng vào nhóm symplectic Sp(m + n,R)nhờ ánh xạ
H(Rm,n) 3(A, B, C)7−→
Em 0 Bt
A En B C
0 Em −At
0 0 En
(4)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008
Ta tìm K-quĩ đạo nhóm Heisenberg H(mR ,n) mô tả mối liên hệ K-quĩ đạo đối ngẫu unita H(mR ,n) cách tường minh
Để cho gọn ta kí hiệuG := H(mR ,n),g= Lie(G) g∗ không gian đối ngẫu g Chú ý xem g đại số gồm tất ma trận thực cỡ (m+n)×(m+n)có dạng
X(α, β, γ) =
0 0 βt
α β γ
0 0 −αt
0 0
, α, β∈R(n,m), γ =γt∈
R(n,n)
của đại số Li sp(m+n,R) = Lie(Sp(m + n,R)) Với tính tốn đơn giản ta có:
[X(α, β, γ), X(δ, , ξ)] =X(α, β, γ)X(δ, , ξ)−X(δ, , ξ)X(α, β, γ) =
=X(0,0, αt+tα−βtδ−δtβ) (3)
Khơng gian đối ngẫu g∗ g đồng với không gian véc-tơ gồm ma trận thực cỡ (m+n)×(m+n) có dạng
F(a, b, c) =
0 at 0 0
0 0
0 bt 0 0
b c −a
, a, b∈R(n,m), c =ct∈
R(n,n), cho
< F(a, b, c), X(α, β, γ)>=Tr(F(a, b, c)X(α, β, γ)) = 2Tr(αta+btβ) +Tr(cγ)
(4) Biểu diễn phụ hợp Ad G cho AdG(g)X = gXg−1 với g ∈ G
X ∈ g Đối với g ∈ G F ∈ g∗, gF g−1 khơng có dạng F(a, b, c) Ta kí hiệu (gF g−1)∗ phận
0 ∗ 0
0 0
0 ∗ 0
∗ ∗ ∗
của ma trậngF g−1.Khi dễ thấy rằngK-biểu diễnK := Ad∗G : G−→GL(g∗) xác định K(g)F = (gF g−1)∗ với g ∈Gvà F ∈g∗ Cụ thể hơn,
(5)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải
với g = (A, B, C) ∈ G Như vậy, K-quĩ đạo Ωa,b G F(a, b,0) ∈ g∗ điểm đơn độc
Ωa,b=K(F(a, b,0)) ={F(a, b,0)} (6) K-quĩ đạo Ωc Gtại F(0,0, c)∈g∗ với c6=
Ωc =K(F(0,0, c)) ={F(a, b, c)|a, b∈R(n,m)} ∼=R(n,m)×R(n,m) (7)
Như thế, K-quĩ đạo Gtrong g∗ phân thành hai lớp:
i Điểm đơn độc {Ωa,b|a, b∈R(n,m)}={F(a, b,0)} phẳngc= ii Phẳng afin {Ωc|c= ct ∈ R(n,n), c 6= 0} song song với phẳng
c=
Vì G nhóm Li luỹ linh liên thơng đơn liên nên theo A Kirillov (xem [7] [8] trang 249), đối ngẫu unita Gb Gđược cho
b
G = R(n,m)×R(n,m) a
z ∈R(n,n) |z =zt, z6= , (8) đó, `
kí hiệu hợp rời rạc
A Kirillov khẳng định K-quĩ đạo đa tạp symplectic ông không đưa phép chứng minh Chúng chứng minh kiện nhóm Heisenberg tổng quátH(m,n)
R cách chi tiết Cố định phần tử
F g∗, ta xét dạng R-song tuyến tínhBF g xác đinh
BF(X, Y) =< F,[X, Y]>=< ad∗g(Y)F, X >, X, Y ∈g, (9)
với ad∗g :g−→End(g∗) kí hiệu vi phân củaK-biểu diễn K : G−→GL(g∗).Cụ thể hơn, nếuF =F(a, b, c), X =X(α, β, γ), Y =X(δ, , ξ),
BF(X, Y) = Tr(F.[X, Y]) =Tr{c(αt+tα−βtδ−δtβ)} (10) Cố định F ∈g∗, ta đặt
GF ={g ⊂G|K(g)F =F}
là nhóm ổn định tác độngK = Ad∗ Glên g∗ tạiF VìGF nhóm đóng G nên GF nhóm Li G Gọi gF = Lie(GF), dễ chứng minh
(6)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008
Trong đó,rad(BF)kí hiệu BF trongg.Ta gọiB˙F dạngR-song tuyến tính khơng suy biến khơng gian véc-tơ thươngg/rad(BF)cảm sinh từ dạng
BF Vì đồng không gian tiếp xúc ΩF ∼= G/GF với g/gF =g/ rad(BF)nên ta thấy không gian tiếp xúc củaΩF tạiF không gian véc-tơ symplectic với dạng symplectic B˙F
Ký hiệu Xe trường véc-tơ nhẵn g∗ kết hợp với X ∈g Điều nghĩa với ` ∈g∗,ta có:
e
X(`) =ad∗g(X)` (12) Chúng ta xác định 2-dạng BΩF ΩF
BΩF(X,e Ye) =BΩF(ad∗g(X)F, ad∗g(Y)F) := BF(X, Y), (13) với X, Y ∈g
Bổ đề 3.1 Dạng BΩF không suy biến
Chứng minh Giả sử Xe trường véc-tơ nhẵn g∗ kết hợp với X ∈ g cho
BΩF(X,e Ye) = với Ye ứng với Y ∈ g Vì BΩF(X,e Ye) =BF(X, Y) = với
mọi Y ∈g, X ∈gF nên Xe = Do đóBΩF khơng suy biến
Bổ đề 3.2 BΩF dạng đóng
Chứng minh Nếu Xf1, Xf2,Xf3 ∈ g∗ ba trường véc-tơ nhẵn kết hợp với
X1, X2, X3 ∈g
dBΩF(Xf1,Xf2,Xf3) =Xf1(BΩF(Xf2,Xf3))−Xf2(BΩF(Xf1,Xf3)) +Xf3(BΩF(Xf1,Xf2))
−BΩF([Xf1,Xf2],Xf3) +BΩF([Xf1,Xf3],Xf2)−BΩF([Xf2,Xf3],Xf1) =−< F,[[X1, X2], X3] + [[X2, X3], X1] + [[X3, X1], X2]>= (theo đồng thức Jacobi) Do BΩF dạng đóng
Tóm lại,(ΩF, BΩF)là đa tạp symplectic có chiều 2mn
4 Các biểu diễn unita bất khả qui H(m,n)
R
Để mô tả biểu diễn unita bất khả qui Gứng với K-quĩ đạo qua tương ứng Kirillov phải xác định cực g dạng tuyến tính
(7)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải
4.1 Trường hợp suy biến
Khi F = F(a, b,0) Theo (6), ΩF = {F(a, b,0)} điểm đơn độc Từ (10) ta suy BF(X, Y) = 0với X, Y ∈g Như g cực
g F Tương ứng Kirillov nói biểu diễn unita bất khả qui πa,b Gứng với K-quĩ đạo ΩF
πa,b(exp X(α, β, γ)) = e2πi<F,X(α,β,γ)> = e4πiTr(a
tα+btβ)
(14) Nghĩa là,πa,b biểu diễn suy biến chiều G
4.2 Trường hợp không suy biến Khi F = F(0,0, c), 6= c = ct ∈
R(n,n) Theo (7), ΩF = Ωc = {F(a, b, c)|a, b∈R(n,m)}.Từ (10) ta thấy
q={X(0, β, γ)|β ∈R(n,m), γ =γt ∈
R(n,n)} (15)
là phân cực g F, tức q đại số Li g phụ thuộc
F ∈ g∗ thoả mãn ý (2) định nghĩa 1.1 Gọi Q nhóm Li đơn liên G mà Lie(Q) = q Giả sử
χc,q :Q−→C×1 đặc trưng unita củaQ xác định theo công thức
χc,q(exp X(0, β, γ)) = e2πi<F,X(0,β,γ)> = e2πiTr(cγ), γ =γt∈R(n,n) (16)
Tương ứng Kirillov nói biểu diễn unita bất khả qui πc,q G ứng với
K-quĩ đạo ΩF = Ωc cho
πc,q = IndGQ χc,q (17)
Từ kết Kirillov (xem [7]) ta biết biểu diễn cảm sinh πc,q, sai khác
một tương đương, không phụ thuộc vào cách chọn cực củagđối vớiF.Như vậy, ta kí hiệu lớp tương đương πc,q πc Biểu diễn πc tác động không gian biểu diễn L2(R(n,m),dξ)theo cách sau:
(πc(g)f)(ξ) = e2πiTr{c(C+B
tA+2ξtB)}