a) Tính độ dài các đoạn thẳng AH và AE. Tia phân giác của góc B cắt AC tại E, tia phân giác của góc C cắt AB tại F. Goi O là giao điểm của BE và CF.. a) Tính độ dài các đoạn thẳng BE và [r]
(1)PHỊNG GD&ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8 NĂM HỌC: 2008 - 2009
Mơn thi:Giải tốn MTCT
Thời gian làm bài: 150 phút.
Viết quy trình ấn phím tính kết đến chữ số thập phân (nếu có) 1; 2; 3. Các cịn lại trình bày tóm tắt lời giải ghi kết đến chữ số thập phân (nếu có).
Bài 1(5đ): Tính giá trị biểu thức sau: a) A=
15024'39+ 51 rSup \{ size 8\{0\} \} 57
(
21 3−1,3)
2 ; b)
B=1975+ 2+
3+ 4+1
5
+
6+ 7+
8+1
Bài 2(5đ): Tìm số dư phép chia:
a) 20102010 : 2009; b) 193019301930 : 2009 Bài 3(5đ): Tính giá trị biểu thức:
C=
(
x−xy
y2+xy+
x2− y2 x2+xy
)
:(
y2 x3−xy2−
1
y − x
)
x=√
195+1890 ; y=√
304+1975 Bài 4(5đ): Tính S=100!99! +
101!
100!+
102!
101!+ +
2009!
2008!
Bài 5(5đ): Cho
20082009= a +
1
241 b +
1
c + 1
d + 1
e + 1
f + g Tính giá trị a; b; c; d; e; f; g
Bài 6(5đ): Tìm số tự nhiên a biết: 9605 < a2 + < 18770; a chia cho dư 1; a bội
Bài 7(5đ): Cho đa thức f(x) = – 5x2 + bx + c Biết x = nghiệm f(x); b c tỉ lệ với – 17 Tìm b c
Bài 8(5đ): Tìm số dư phép chia f(x) = x2009 + x2008 + x2007 + + x2 + x + 2010 cho g(x) = x +
Bài 9(5đ): Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, AD = 3cm Hai đường chéo AC BD cắt O Gọi H hình chiếu điểm A BD, tia AH cắt DC E
a) Tính độ dài đoạn thẳng AH AE b) Tính diện tích ΔOEC
Bài 10(5đ): Cho ΔABC vng A có AB = 5cm; AC = 7cm Tia phân giác góc B cắt AC E, tia phân giác góc C cắt AB F Goi O giao điểm BE CF
a) Tính độ dài đoạn thẳng BE CF
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến cạnh ΔABC
(2)c) Tính khoảng cách từ điểm O đến đỉnh ΔABC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8 NĂM HỌC: 2008 - 2009
Môn thi:Giải toán MTCT B
À I
C Â
U KẾT QUẢ ĐIỂM
1
a
15 24 39 51 57
1,3 kết quả: A ≈620 ¿
12'36,71 \} \{ ¿
2,5đ
b
1975
kết quả: B ≈1,97560
2,5đ
2
a
20102010 2009 máy thương số 10005,9781 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa lại
20102010 2009 10005 kết quả: 1965 2,5đ
b Ta tìm số dư phép chia 193019301 cho 2009 kết 608Tìm tiếp số dư phép chia 608930 cho 2009 kết cuối 203
kết quả: 203 2,5đ
3
Rút gọn C=
(
x2−xy y2+xy+x2− y2 x2+xy
)
:(
y2 x3−xy2−
1
y − x
)
=(x − y)2 y
Thay x=
√
195+1890 ; y=√
304+1975 bấm máy theo quy trình: 19 1890 30 1975kết quả: 502,74121
2,5đ
2,5đ
4
S=100!
99! +
101!
100!+
102!
101!+ +
2009!
2008!=100+101+102+ +2009 ¿(100+2009).(2009−100+1)
2 =2014095
kết quả: 2014095 5,0đ
5
0’’’ 0’’’ 0’’’ + 0’’’ 0’’’ 0’’’ =
: ¿
¿ a
b/c ab/c
–
) x =
+ ab/c = x-1 + = x-1 + = x-1 + Shift STO A
+ ab/c = x-1 + = x-1 + = x-1 + ANLPHA A =
: = –
=
√❑ ¿
¿ ^ + ) Shift STO A √❑ ¿
¿ ^ + ) Shift STO B ¿
¿ ANLPHA A
–
ANLPHA B ) x
: ANLPHA
(3)Dùng máy ấn tìm số dư viết :
20082009= 83327 +
1
241 1+
1
5 + 1
5 + 1
1+ 1
1+ Do : a = 83327; b = 1; c = 5; d = 5; e = 1; f = 1; g =
5,0đ
6
Từ 9605 < a2 + < 18770 suy 9604 < a2 < 18769 suy 98 < a < 137 suy 97 < a – < 136
Vì a chia cho dư ⇒a −1⋮5 nên a – 100; 105; 110; 115; 120; 125; 130; 135 a 101; 106; 111; 116; 121; 126; 131; 136
Kết hợp với điều kiện a bội ta tìm giá trị số tự nhiên a là: 111; 126.
2,0đ 2,0đ 1,0đ
7
Ta có x = nghiệm f(x) suy f(1) = Mà f(1) = –5.12 + b.1 + c = –5 + b + c.
Do –5 + b + c = suy b + c = b c tỉ lệ với – 17 ⇒ b
−2=
c
17 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có
⇒ b −2=
c
17=
b+c −2+17=
5 15=
1
b −2=
1
3⇒b=−
3 ;
c
17= 3⇒c=
17
1,0đ 1,0đ
3,0đ
8
Số dư phép chia
f(x) = x2009 + x2008 + x2007 + + x + 2010 cho g(x) = x +
f(-1) = (-1)2009 + (-1)2008 + (-1)2007 + + (-1)2 + (-1)1 + (-1)0 + 2009 = 2009
Vậy số dư cần tìm 2009 5,0đ
9
aÁp dụng định lý Pitago vào tam giác vng ABD ta có: BD2
=AB2+AD2⇒BD=
√
AB2+AD2=√
52+32=√34A B
O H
(4)ΔAHD ΔBAD (g.g) ⇒AH
BA = AD
BD ⇒AH=
AD BA
BD =
5
√34= 15
√34≈2,57248 (cm) ΔADE ΔBAD (g.g) ⇒AD
BA = AE
BD ⇒AE=
AD BD
BA =
3 √34
5 ≈3,49857 (cm)
0,5đ 1,0đ
1,0đ
b
Ta có OA = OC ⇒SΔOEC=SΔOEA Ta có AO=BD
2 =√ 34
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHO ta có: AO2
=OH2+AH2⇒OH2=AO2−AH2⇒OH=
√
AO2−AH2=√
(
√342
)
2 −
(
15√34
)
2
Do đó: SΔOEC=SΔOEA=1
2AE OH= 2⋅
3 √34 ⋅
√
(
√34
)
2 −
(
15√34
)
2
=2,4 (cm2)
2,5đ
10
a
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng ABC ta có: BC2=AB2+AC2⇒BC=
√
AB2+AC2=√
52+72=√74Ta có BE tia phân giác góc B ⇒EA
AB= EC BC ⇒
EA AB=
EC BC=
EA+EC
AB+BC=
AC
AB+BC ⇒EA=
AB AC AB+BC ⇒EA=
5+√74=
35 5+√74
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng EAB ta có: BE2
=AB2+EA2⇒BE=
√
AB2+EA2=√
25+(
355+√74
)
≈5,62324 (cm) Ta có CF tia phân giác góc C
⇒FA
AC= FB BC⇒
FA AC=
FB BC=
FA+FB
AC+BC=
AB
AC+BC⇒FA=
AB AC AC+BC
0,5đ
0,5đ
0,5đ C
E D
A B
C
E
F I
K
H O
(5)⇒FA=
7+√74=
35 7+√74
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng FAC ta có: CF2=AC2+FA2⇒CF=
√
AC2+FA2=√
49+(
357+√74
)
≈7,35066 (cm)
0,5đ
b
Gọi H; I; K chân đường vng góc kẻ từ O đến AB; AC; BC
O giao điểm hai đường phân giác BE CF tam giác ABC, suy OH = OI =OK = x
Ta có SΔOAB+SΔOAC+SΔOBC=SΔABC⇒1
2⋅x⋅AB+
2⋅x⋅AC+
2⋅x⋅BC=
2⋅AB⋅AC
⇒x=AB⋅AC
AB+AC+BC=
5 5+7+√74=
35
12+√74 ≈1,69884 (cm) 1,5đ
c
Ta có: Tứ giác OIAH hình chữ nhật có AO phân giác góc A, suy OIAH hình vng ⇒OA=√2⋅OH=√2⋅35
12+√74≈2,40252 (cm) Ta có
OH⊥AB AE⊥AB
} ⇒OH // AE⇒OH
AE = OB
BE ⇒OB=
OH BE AE
⇒OB=
35
12+√74⋅
√
25+(
355+√74
)
2
35 5+√74
≈3,71264 (cm)
Ta có
OI⊥AC FA⊥AC
} ⇒OI // FA⇒OI
FA= OC
CF ⇒OC= OI CF FA
⇒OC=
35
12+√74⋅
√
49+(
357+√74
)
2
35 7+√74
≈5,56672 (cm)
0,5đ
0,5đ
0,5đ