Xemtailieu ly thuyet ve thuat toan dijkstra tim duong di ngan nhat (1)

Đồ án sở GVHD: Đồn Văn Thắng LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu đờivà có nhiều ứng dụng đại.Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đươc đề xuất từ năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler.Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thàng phố Konigsberg Đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn , đồ thị sử dụng để xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện.Chúng ta phân biệt hợp chất hoá học hữu khác với công thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị.Chúng ta xác định xem hai máy tính mạng trao đổi thơng tin với hay khơng nhờ mơ hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải tốn : tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta sử dụng đồ thị để giải toán lập lịch,thời khoá biểu,và phân bố tần số cho trạm phát truyền hình Mục đích ta tìm hiểu nhằm giới thiệu khái niệm bản,các toán ứng dụng quan trọng lý thuyết đồ thị toán khung nhỏ , tốn tìm đường ngắn thuật toán để giải chúng trình bày chi tiết với việc phân tích hướng dẫn cài đặt chương trình máy tính Củng cố rèn luyện kỹ lập trình, nhớ lại thuật toán mà đặc biệt thuật toán Dijkstra Chương : Lý thuyết thuật tốn tìm đường ngắn Chương : Xây dựng thuật toán Chương : Cài đặt thuật toán SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Chương I : LÝ THUYẾT VỀ THUẬT TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT I.1 Các khái niệm lý thuyết đồ thị I.1.1 Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh này.Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Để hình dung lại cần đến loại đồ thị khác ,chúng ta nêu ví dụ sử dụng chúng để mô tả mạng máy tính Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoại(gọi tắt tên thoại) nối máy tính này.Chúng ta biểu diễn vị trí đặt máy tính điểm kênh thoại nối chúng đoạn nối,xem hình Hà Tây Đồng Nai Huế An Giang Hà Nội TPHCM Bình Định Qng Ngãi Phú n Khánh Hịa Hình 1.Sơ đồ mạng máy tính Nhận thấy mạng hình 1, hai máy tính cho phép nhiều kênh thoại nối chúng,kênh thoại cho phép liên lạc hai chiều máy tính lại nối với nó.Sơ đồ mạng máy tính cho tronh hình gọi đơn đồ thị vô hướng => ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh,và E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Trong trường hợp hai máy tính thường xun phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai máy nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy tính cho hình SVTH : Nguyễn Cơng Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Hà Tây Đồng Nai Hà Nội Huế HCM An Giang Bình Định Qng Ngãi Phú n Khánh Hịa Hình Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh , E họ cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 va e2 gọi cạnh lặpnếu chúng tương ứng với cặp đỉnh Hà Tây Đồng Nai Hà Nội Quãng Ngãi Huế TPHCM An Giang Bình Định Phú n Khánh Hịa Hình Sơ đồ mạng máy tính với kênh thơng báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai hay nhiều cạnh nối cặp đỉnh Trong mạng máy tính có kênh thoại nối máy tính với nó(chẳng hạn với mục đích thơng báo).Mạng cho hình 3.Như đa đồ thị mô tả mạng vậy, có khun (cạnh nối đỉnh vói nó).Trong trường hợp cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, định nghĩa sau: SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Định nghĩa Giả đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh.Cạnh e gọi khuyến có dạng e=(u,u) Các kênh thoại mạng máy tính cho phép truyền tin theo chiều.Chẳng hạn hình máy chủ Hà Nội nhận tin từ máy địa phương, có số máy gửi tin ,cịn kênh thoại cho phép truyền tin theo hai chiều thay hai cạnh có hướng ngược chiều Hà Tây Hà Nội Đồng Nai Huế TPHCM An Giang Bình Định Phú n Khánh Hịa Hình Mạng máy tính với kênh thoại chiều Ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G=(V,E)bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Nếu mạng có đa kênh thoại chiều,ta phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng: Định nghĩa Đa đồ thị có hướngG=(V,E) bao gồm V tập đỉnh,và E họ cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung.Hai cung e1 va e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp Trong phần chủ yếu làm việc với đơn đồ thị vơ hướng đơn đồ thị có hướng.Vì vậy, ngắn gọn , ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng I.1.2 Các thuật ngữ Trong mục trình bày số thuật ngữ lý thuyết đồ thị.Trước tiên ,ta xét thuật ngữ mô tả đỉnh cạnh đồ thị vô hướng SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Định nghĩa Hai đỉnh u va v đồ thị có hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G.Nếu e=(u,v) cạnh đồ thị ta nói cạnh cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, nói cạnh e nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u,v) Để biết có cạnh liên thuộc với đỉnh , ta đưa vào định nghĩa sau : Định nghĩa Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướnglà số cạnh liên thuộc với ta kí hiệu deg(v) b c d a f e g Hình Đồ thị vơ hướng Thí dụ Xét đồ thị cho hình 1, ta có deg(a)=1, deg(b)=4 , deg(c)=4 , deg(f)=3, deg(d)=1 , deg(e)=3 , deg(g)=0 Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập , đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ví dụ đỉnh g đỉnh cô lập, a d đỉnh treo Bậc đỉnh có tính chất sau : Định lý Giả sử G=(V,E) đồ thị vô hướng với m cạnh Khi 2m=∑ deg(v) v∈ V Chứng minh Rõ ràng cạnh e=(u,v) tính lần deg(u) lần deg(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh Thí dụ Đồ thị với n đỉnh đỉnh có bậc có cạnh ? Giải: Theo định lý 1,ta có 2m=6n.Từ suy số cạnh đồ thị 3n Hệ Trong đồ thị vô hướng,số đỉnh bậc lẻ(nghĩa có bậc số lẻ) số chẵn SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Chứng minh Thực vậy, gọi O U tương ứng tập đỉnh bậc lẻ tập đỉnh bậc chẵn đồ thị,ta có 2m=∑deg(v)= ∑deg(v)+ ∑deg(v) v ∈V v ∈O v ∈U Do deg(v) chẵnvới v đỉnh U nên tổng thứ hai vế phải số chẵn.Từ suy tổng thứ nhất(chính tổng bậc đỉnh bậc lẻ) phải số chẵn, tất số hạng số lẻ, nên tổng phải gồm số chẵn số hạng.Vì , số đỉnh bậclẻ phải số chẵn Ta xét thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng Định nghĩa 3.Nếu e=(u,v) cung đồ thị có hướng G ta nói hai đỉnh u vlà kề nhau,và nói cung(u,v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v Đinh u (v) gọi đỉnh đầu (cuối) cung (u,v) Tương tự khái niệm bậc, đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc ra(vào) đỉnh Định nghĩa 4.Ta gọi bán bậc (vào) đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) kí hiệu la deg+(v)(deg-(v)) a b e c d Hình Đồ thị có hướng G Thí dụ Xét đồ thị cho hình Ta có deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e)=2 deg+(a)=3, deg+(b)=1 deg+(c)=1, deg+(d)=2, deg+(e)=2 Do cung (u,v) tính lần bán bậc vào đỉnh v lần bán bậc đỉnh u nên ta có Định lý Giả sử G=(V,E) đị thị có hướng , ∑deg+(v)= ∑deg-(v)=|E| v ∈V v ∈V Rất nhiều tính chất đồ thị có hướng khơng phụ thuộc vào hướng cung Vì vậy, nhiều trường hợp thuận tiện ta bỏ qua hướng SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng cung đồ thị Đồ thị vô hướng thu cách bỏ qua hướng cung gọi đồ thị vơ hướng tương ứng với đồ thị có hướng cho I.1.3 Định nghĩa đường đi, chu trình , đồ thị liên thông Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G=(V,E) dãy xo, x1 , , xn-1 , xn u=x0 , v=xn , ( xi , xi+1 ) ∈ E , i= 0, 1, , , n-1 Đường nói cịn biểu diễn dạng cạnh: (x0 , x1 ) , ( x1 , x2), , ( xn-1 , xn ) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối ( tức u=v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cạnh bị lặp lại Thí dụ Trên đồ thị vơ hướng cho hình 1: a,d,c,f,e đường đơn độ dài Cịn d,e,c,a khơng đường (e,c) cạnh đồ thị Dãy b,c,f,e,b chu trình độ dài Đường a,b,e,d,a,b có độ dài là đường đơn, cạnh (a,b) có mặt hai lần a d b e c a b f d e Hình Đường đồ thị c f Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vô hướng, khác ta ý đến hướng cung Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G=(V,A) dãy xo, x1 , , xn-1 , xn u=x0 , v=xn , ( xi , xi+1 ) ∈ A , i= 0, 1, , , n-1 Đường nói cịn biểu diễn dạng cung: (x0 , x1 ) , ( x1 , x2), , ( xn-1 , xn ) SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối ( tức u=v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cung bị lặp lại Thí dụ Trên đồ thị có hướng cho hình 1: a,d,c,f,e đường đơn độ dài Cịn d,e,c,a khơng đường (e,c) cung đồ thị Dãy b,c,f,e,b chu trình độ dài Đường a,b,e,d,a,b có độ dài là đường đơn, cung (a,b) có mặt hai lần Xét mạng máy tính Một câu hỏi đặt hai máy tính mạng trao đổi thông tin với trực tiếp qua kênh nối chúng hợăc thông qua vài máy tính trung gian mạng? Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạng máy tính (trong đỉnh đồ thị tương ứng với máy tính , cạnh tương ứng với kênh nối) câu hỏi phát biểu ngơn ngữ đồ thị sau: Tồn hay đường cặp đỉnh đồ thị ? Địng nghĩa Đồ thị vô hướng G=(V,E) gọi liên thông ln tìm đường hai đỉnh Như hai máy tính mạng trao đổi thơng tin đượcvới đồ thị tương ứng với mạng đồ thị liên thơng Thí dụ Trong hình 2: Đồ thị G liên thơng, đồ thị H không liên thông a b H1 c d e H2 g f H3 G H Hình Đồ thị liên thông G đồ thị H gồm thành phần liên thông H1,H2,H3 Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G=(V,E) đồ thị H=(W,F), W ⊆ V F ⊆ E Trong trường hợp đồ thị không liên thông , rã thành số đồ thị liên thơng đơi khơng có đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đồn Văn Thắng Thí dụ Đồ thị H hình gồm thành phần liên thơng H1,H2,H3 Trong mạng máy tính có máy ( kênh nối ) mà hỏng hóc ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm tương ứng với tình đưa định nghĩa sau Định nghĩa Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Thí dụ đồ thị G hình 2, đỉnh d e đỉnh rẽ nhánh, cạnh (d,g) (e,f) cầu Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thơng phụ thuộc vào việc ta có xét đến hướng cung hay không Định nghĩa Đồ thị có hướng G=(V,A) gọi liên thơng mạnh ln tìm đường hai đỉnh Định nghĩa Đồ thị có hướng G=(V,A) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị vơ hướng liên thông Rõ ràng đồ thị liên thông mạnh liên thơng yếu, điều ngược lại không , thí dụ Thí dụ Trong hình đồ thị G liên thơng mạnh, cịn H liên thông yếu không liên thông mạnh a b a b e e c d c d Hình Đồ thị liên thơng mạnh G Đồ thị liên thông yếu H Một câu hỏi đặt định hướng cạnh đồ thị vơ hướng liên thơng để thu đồ thị có hướng liên thơng mạnh? Ta gọi đồ SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - Trang - Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng thị đồ thị định hướng Định lý cho ta tiêu chuẩn nhận biết đồ thị có định hướng hay khơng Định lý Đồ thị vô hướng liên thông định hướng cạnh nằm chu trình Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (u,v) cạnh đồ thị ,từ tồn đường có hướng từ u đến v ngược lại suy (u,v) phải nằm chu trình Điều kiện đủ Thủ tục sau cho phép định hướng cạnh đồ thị để thu đồ thị có hướng liên thơng mạnh.Giả sử C chu trình đồ thị Định hướng cạnh chu trình theo hướng vịng theo Nếu tất cạnh đồ thị định hướng kết thúc thủ tục Ngược lại , chịn C cạnh chưa định hướng có chung đỉnh với số cạnh định hướng Theo giả thiết tìm chu trình C chứa cạnh e Định hướng cạnh chưa định hướng C’ theo hướng dọc theo chu trình này( khơng định hướng lại cạnh có hướng) Thủ tục lặp lại tất cạnh đồ thị định hướng Khi ta thu đồ thị có hướng liên thông mạnh I.2 Các khái niệm mở đầu đề tài cần đề cập tới I.2.1 Mở đầu Trong phần xét đồ thị có hướng G=(V,E) |V|=n,|E|=m với cung gán trọng số, nghĩa , cung (u,v) ∈ E đặt tương ứng với số thực a(u,v) gọi trọng số nó.Chúng ta đặt a(u,v)= ∞ , (u,v) ∉E Nếu dãy v0, v1 , , vp đường G, độ dài định nghĩa tổng sau: p ∑a(vi-1, vi) i=1 tức , độ dài đường tổng trọng số cung nó.(Chú ý gán trọng số cho tất cung 1, ta thu định nghĩa độ dài đuờng số cung đường Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị dạng tổng quát phát biểu dạng tổng quát sau : Tìm đường có độ dài nhỏ từ đỉnh xuất phát s ∈ V đến đỉnh cuối (đích) t ∈ V Đường gọi đường ngắn từ s đến t độ dài kí hiệu d(s,t) cịn gọi khoảng cách từ s đến t (khoảng cách định nghĩa số âm ).Nếu không tồn đường từ s đến t ta đặt d(s,t)= ∞ từ SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - - Trang 10 Đồ án sở GVHD: Đồn Văn Thắng ta thấy chu trình đồ thị có độ dài dương,thì đường ngắn khơng có đỉnh lặp lại(đường gọi đường bản) Mặt khác,nếu đồ thị có chu trình với độ dài âm(gọi chu trình âm) khoảng cách số cặp đỉnh đồ thị khơng xác định, vì, cách vịng theo chu trình số đủ lớn lần, ta đường đỉnh có độ dài nhỏ số thực cho trước Trong truờng hợp , đặt vấn đề tìm đường ngắn nhất, nhiên toán đặt trở nên phức tạp nhiều, chứa tốn xét tồn đường Hamintơn đồ thị trường hợp riêng Trước hết cần ý biết khoảng cách từ s đến t, đường ngắn từ s đến t, trường hợp trọng số khơng âm, tìm cách dễ dàng Để tìm đường , cần ý cặp đỉnh s,t ∈ V tuỳ ý (s ≠ t) ln tìm đỉnh v cho: d(s,t) = d(s,v) + a(v,t) Thực đỉnh v đỉnh trước đỉnh t đường đin ngắn từ s đến t Tiếp theo ta tìm u cho d(s,v)=d(s,u)+a(u,v), Từ giả thiết tính khơng âm trọng số dễ dàng suy dãy t,v,u không chứa đỉnh lặp lại kết thúc đỉnh s.Rõ ràng dãy thu xác định đường ngắn từ s đến t I.2.2 Đường ngắn xuất phát từ đỉnh Phần lớn thuật tốn tìm khoảng cách hai đỉnh s t xây dựng nhờ kỹ thuật tính tốn mà ta mơ tả đại thể sau: từ ma trận trọng số a[u,v],u,v ∈ V,ta tính cận d[v] khoảng cách từ s đến tất đỉnh v ∈ V.Mỗi phát d[u]+a[u,v]d[u]+a[u,v] then Begin d[v]:=d[u]+a[u,v]; truoc[v]:=u; end; end; end; Định lý 1.Thuật tốn Dijkstra tìm đường có độ dài ngắn đồ thị sau nhãn thời gian cỡ O(n2) SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - - Trang 12 Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Chứng minh Trước tìm đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh lại đồ thị.Giả sử bước lặp nhãn cố định cho ta độ dài đường ngắn từ s đến đinh có nhãn cố định,ta chứng minh lần lặp đỉnh u* thu nhãn cố định d(u*) dọ dài đường ngắn từ s đén u* Kí hiệu S1 tập đỉnh có nhãn cố định, S2 tập đỉnh có nhãn tạm thời bước lặp xét.Kết thúc bước lặp nhãn tạm thời d(v)cho ta đoọdài đường ngắn từ s đến v qua đỉnh nằm hoàn toàn tập S1.Giả sử rằn đường di ngắn từ ú đến u* không nằm tron tập S1, tức qua đỉnh tập S2.Gọi z ∈ S2 đỉnh đường này.Do trọng số cung không âm , nên đoạn đường từ s đến u* cóđọ dài L>0 d(z) < d(u*) - L < d(u*) Bất đẳng thức mâu thuẫn với cách xác định đỉnh u* đỉnh có nhãn tạm thời nhỏ Vậy đường đin ngắn từ s đến u* phải nằm trọn tập S1, d[u*] độ dài nó.Do lần lặp S1={s} sau lần lặp ta them vào S1 đỉnh u* nên giả thiết d(v) cho độ dài đường ngắn từ s đên v với v ∈ S1 với bước lặp Theo qui nạp suy thuật toán cho ta đường ngắn từ s đến đỉnh đồ thị Bây đánh giá số phép toán cần thực theo thuật tốn Ở bước lặp để tìm điểm u cần thực O(n) phép toán , để gán nhãn lại cần thực số lượng phép toán O(n) Thuật toán cần phải thực n-1 bước lặp , thời gian tính tốn thuật toán cỡ O(n2) Định lý chứng minh Khi tìm độ dài đường ngắn d[v] đưịng tìm dựa vào nhãn Trước[v],v ∈ V Thí dụ 1: Tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh lại đồ thị hình sau: (7) (5) (1) (1) (2) (1) (1) (4) (2) SVTH : Nguyễn Công Hiếu_SBD 0041 - (3) - Trang 13 Đồ án sở GVHD: Đoàn Văn Thắng Kết tính tốn theo thuật tốn trình bày đây.Qui ước viết thành phần nhãn theo thứ tự : d[v], Truoc[v] Đỉnh đánh dấu * đỉnh chọn để cố định nhãn bước lặp xét , nhãn khơng biến đổi bước tiếp theo, ta đánh dấu Bước lặp Khởi tạo Đỉnh 0, - Đỉnh 1, 1* - Đỉnh ∞ ,1 6, 4, * - Đỉnh ∞ ,1 3, * - Đỉnh ∞ ,1 ∞, 7, 7, 6, * Đỉnh ∞ ,1 8, 8, 5, * - Bảng kết tính tốn theo thuật tốn Dijkstra Nếu cần tìm đường ngắn từ s đến đỉnh t ta kết thúc thuật tốn trở thành có nhãn cố định I.2.4 Đường đồ thị khơng có chu trình Bây ta xét trường hợp riêng thứ hai tốn tìm đường ngắn nhất, mà để giải xây dựng thuật tốn với độ phức tạp tính tốn O(n2), đồ thị khơng có chu trình( cịn trọng số cung số thực tuỳ ý ) Trước hết ta chứng minh định lý sau Định lý Giả sử G đồ thị chu trình Khi đỉnh đánh số cho cung đồ thị hướng từ đỉnh có số nhỏ đến đỉnh có số lớn , nghĩa cung biểu diễn dạng (v[i],v[j]), i