Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC và DC.. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AD và HI.Chứng minh rằng:.[r]
(1)B T Ấ ĐẲNG TH C - GTLN-GTNNỨ
Bài 1:
a.Cho a>c ; b>c ; c>0 Chứng minh : √c(a− c)+√c(b − c)≤√ab b Cho x ≥ y , y ≥1 Chứng minh :
1+x2+
1 1+y2≥
2 1+xy
HD: a -Chia vế BĐT cho √ab Rồi Áp dụng BĐT Cô – si - SD BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski
b Xét hiệu 1+x2+
1 1+y2−
2 1+xy=
1 1+x2−
1 1+xy+
1 1+y2−
1 1+xy Bài 2:
a Với x,y khơng âm Tìm GTNN biểu thức: P=x −2√xy+3y −2√x+2007,5
b.Tìm GTLN f(x)=x
2+√1− x −2x
HD: a Đưa dạng P = A2 + B2 + m
b.sử dụng BĐT Cô – si: √1.(1− x −2x2)≤1+(1− x −2x
2)
Bài 3: Chứng minh rằng: √a2+b2≥a+b
2 với a.b
Bài 4:
a Cho xy=1; x>y Chứng minh : x
2
+y2
x − y ≥2√2
HD: Biến đổi x2+y2
x − y =(x − y)+
2
x − y Rồi sử dụng BĐT Cô – si
b.Cho a ,b , c cạnh tam giác thỏa mãn : a +b + c = Chứng minh : a2+b2+c2+2 abc<2
Bài 5: Cho số thực x , y thỏa x2 + 4y2 = Chứng minh |x − y|≤√5
2
HD: Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski với |1 x+1
2(−2y)|≤√[1
+(1
2)
][x2
+(−2y)2]
Bài 6: Tìm GTNN biểu thức: P=
1+xy+1
1+yz
❑ +
1
1+xz Trong x , y , z số dương
x2+y2+z2≤3
HD: Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski với n = sau Chứng minh
x2+y2+z2≥xy+yz+zx
Bài 7: Cho x ≥0, y ≥0; x+y ≥6 Tìm GTNN biểu thức : P=3x+2y+6
x+
8
y
HD: P=3x+2y+6
x+
8
y =
3
2(x+y)+3(
x
2+
x)+( y
2+
y) Nhớ tích số khơng đơỉ tổng
nhỏ số nhau
Bài 8: Cho 3≥ x ≥0 Tìm GTNN biểu thức : P=x.√5− x+(3− x).√2+x
HD: Chứng minh P≥ x.√2+(3− x).√2 suy GTNN
Bài 9: Cho a + b + c = Chứng minh : √a+b+√b+c+√c+a ≤√6
HD:Sử dụng BĐT Cô si cho
3 và(a+b);
3và(a+c);
3và(b+c) lại ?
Bài 10: Tìm GTNN biểu thức: A=(u+1
v)
2
+(v+1
u)
2
(2)HD: Viết A=(u+1
v)
2
+(v+1
u)
2
¿(u2+v2)(1+
u2v2)+4 Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski Chứng
minh (u2
+v2) 12 ⇒ uv≤14 Từ tính MinA = 12,5 u = v = 1/2 Bài 11: Cho a b số dương ; a + b = Tìm GTNN biểu thức : P=1
a+
1
b
HD: Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski với (1
a+
1
b)và(a+b)
Bài 12: Cho a b số dương ; a + b = 2007
Tìm GTNN & GTLN biểu thức : P=a(a2+b)+b(b2+a)
HD: Viết P=a(a2+b)+b(b2+a) = 20073−6019 xy Tổng số khơng đổi , lẻ tích lớn khi
hiệu số tích nhỏ số 1
Bài 13: Tìm GTLN biểu thức P = - 5x2 - y2 – 4xy + 2x. Bài 14: Tìm GTNN biểu thức P=√(x+2007)2+√(x+2008)2 Bài 15: Chứng minh rằng: 2006
√2007+ 2007
(3)Bài 16: Tìm GTLN & GTNN : A=x
2
−axy+y2
x2+bxy+y2
HD: Chia tử mẫu cho xy Nhớ : {x
y+ y
x≥2;(x.y ≥0)|
* Lập luận : A đạt Max xy+y
x đạt Max
A đạt Min x
y+ y
x đạt Min
Bài 17: Tìm GTLN & GTNN : A= x
2
+axy+y2
x2−bxy+y2
* Lập luận : A đạt Max x
y+ y
x đạt Min
A đạt Min xy+ y
x đạt Max
Bài 18: Tìm GTLN & GTNN : A= x
2
+2
x2−2x
+2 Bài 19: Tìm GTLN & GTNN : A= x
2
+2
x2+2x+2
PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:
a Giải phương trình : x3+2x2+2√2x+2√2=0
b Giải phương trình :
x2−4x+5− x
2
+4x −1=0 c Giải phương trình : x+xy+y=9 với x , y ∈ Z
d Giải phương trình : x3− x2− x=1
3
HD: a x3
+2x2+2√2x+2√2=0 ⇔(x+√2)[x2
+(2−√2)x+2]=0
b Đặt x2−4x+5=t
c x+xy+y=9 ⇔ (x+1)(y+1)=10
d x3− x2− x=1
3 ⇔ (√34x)
=(x+1)3 Bài 3: Giải phương trình: 6x −3
√x −√1− x=3+2√x − x
2
HD: Đặt : √x −√1− x=t . 6x −3
√x −√1− x=3+2√x − x
2
⇔ t2−3t
+2=0 Bài 4: Giải phương trình:
√x+1+√3 x −1=√3 5x
Bài 5: Giải phương trình:
√x+√3 x+1+√3 x+2+√3 x+3=0
HD: Chọn nghiệm chứng minh nghiệm nhất
Bài 6: Giải phương trình : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy với x , y ∈ Z
HD: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy ⇔ 2y2− y − x+
x −1
Bài 9: Giải phương trình : (x2+3x+2) (x2+7x+12)=24
HD: (x2+3x+2) (x2+7x+12)=24 ⇔ (x2+5x+4) (x2+5x+6)=24 Bài 10: Giải phương trình : x2
+5y2+2y −3 xy−3=0
HD: x2
+5y2+2y −3 xy−3=0 ⇔ x2−4 xy+(5y2+2y −3)=0 Bài 11: Giải phương trình : x2+√x+2008=2008
(4)Bài 12: Giải phương trình : x3−3√2x2+3x+√2=0
HD: x3−3√2x2
+3x+√2=0 ⇔ (x+√2)(x2−2
√2x −1)=0 Bài 13: Giải phương trình : x2
+9x+20=2√3x+10
HD: x2
+9x+20=2√3x+10 ⇔ (√3x+10−1)2+(x+3)2=0 Bài 14: Giải phương trình : x2
+3x+1=(x+3)√x2+1
HD: x2+3x+1=(x+3)√x2+1 ⇔ (√x2+1−3)(√x2+1− x)=0
Rút gọn biểu thức
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
C=√1+
22+ 32+√1+
1 32+
1 42+√1+
1 42+
1
52+ +√1+ 20072+
1 20082
HD: Với a + b + c = thì: √ a2+
1
b2+
1
c2=|
1
a+
1
b+
1
c|
Bài 2: Rút gọn biểu thức: P=√6+2√2√3−√√2+√12+√18−√128
Bài 3: Rút gọn biểu thức: Q=
1+√5+
1 √5+√9+
1
√9+√13+ +
1 √2007+√2011
Hệ phương trình:
1 Giải hệ phương trình sau:
{xy2+(x+1)y −3x −5=0|
Đáp án:(1;2)
Giải hệ phương trình sau: {x2−xy+y2−13=0|
Đáp án:(1;4); (3;4)
Cho hệ phương trình sau:
{x4+y2=697
81 ;(1)|
a.Nếu có (x,y) thoả (2),chứng minh : 1≤ y ≤7
3
b.Giải hệ phương trình cho
Đáp án: b.Vơ nghiệm
4
Giải hệ phương trình sau: {xyzt=1|
Đáp án: x = y = z = t =
Giải hệ phương trình sau:
{x −√y=1|{y −√z=1|
Đáp án
x = y = z = 1+√5
Giải hệ phương trình sau:
{x√y −1+y√x −1=xy|
Đáp án: x = y =
Giải hệ phương trình sau:
{x+y=√4z −1|{y+z=√4x −1|
Đáp án
x = y = z = 12
Giải hệ phương trình sau:
{√x+√y+√z=3|
(5)Bất đẳng thức- Cực trị: 1 Chứng minh với số nguyên dương n
a
1 2√1+1√2+
1 3√2+2√3 + +
(n+1)√n+n√n+1<1
b 2√1+
1 3√2+
1 4√3
+ + (n+1)√n<2
a
(n+1)√n+n√n+1 ¿
1 √n−
1 √n+1
b
(n+1)√n=
√n
n(n+1)=√n(
1
n−
1
n+1)
¿√n( √n+
1 √n+1)(
1 √n−
1 √n+1)
¿(1+ √n
√n+1)(
1 √n−
1 √n+1)
2( √n−
1 √n+1) 2 Chứng minh với số nguyên dương n
>1 √n<
√1+ √2+
1 √3+ +
1
√n<2√n
1
√1>
√2> >
√n
1
√n=
2
√n+√n<
2
√n+√n −1=2(√n −√n −1)
3 Chứng minh
√1+√2+√3+√4+ √n≤ n√n+1
2
(√1+√2+ .+√n)≤2(1+2+3+ +n) 4 Chứng minh bất dẳng thức sau với số
dương a,b,c √a2+b2.√c2+d2≥b(a+c) 5 Chứng minh bất dẳng thức sau với số
dương a,b,c √(a+b)(c+d)≥√ac√bd
6 Tìm giá trị nhỏ : a A=x −√x −2008
b B=x+y biết x,y số dương
a x+
b y=1
c C=x
2
+y2
x − y với x>y>0 xy =1
Đề bài:
Bài 1: Cho biểu thức : A=2a
2
+4
1− a3 −
1 1+√a−
1 1−√a
a Rút gọn A
b Tìm GTLN A
Bài 2: Tìm GTLN P = sinx.cosx giá trị x tương úng với 0≤ x ≤900
Bài 3: Giả sữ (x;y;z) nghiệm hệ phương trình : {x+y+z=1|{x2
+y2+z2=1|
Tính giá trị biểu thức : S=x7+y6+z2008
Bài 4: Chứng minh : với a ,b ,c số nguyên lẻ phương trình ax2
+bx+c=0 khơng có
nghiệm hữu tỉ
Bài 5: Cho Δ ABC có góc nhọn,các đường cao AD,BE CF Lấy M thuộc DF,kẻ MN//BC (N thuộc DE).Lấy I đường thẳng DE cho góc MAI = góc BAC.Chứng minh rằng:
a Δ MAN tam giác cân b.AMNI tứ giác nội tiếp
(6)Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.H I theo thứ tự hình chiếu B AC DC Gọi M,N theo thứ tự trung điểm AD HI.Chứng minh rằng:
a BA.BI = BD.BH b Góc MNB = 900. Bài 1: Cho a100
+b100=a101+b101=a102+b102 Tính P=a2008+b2008
Bài 2: Chứng minh : Nếu abc số nguyên tố phương trình ax2
+bx+c=0 vơ nghiệm
Bài 3:Giải hệ phương trình sau: a {xyzt=1|
b {x√y −1+y√x −1=xy|
Bài 1: E tâm hình vng ABCD M trung điểm cạnh AB P điểm ∈ cạnh BC , Q điểm ∈ cạnh CD cho MP // AQ Tính số đo góc QEP
Q E
M B A
D C
P
Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, vẽ phân giác AH Gọi I Trung điểm AB, đường thẳng vng góc với AB I cắt AH O Dựng M điểm cho O Trung điểm AM
a.Chứng minh tứ giác ABMC hình thang vng