[r]
(1)§Ị thi chän häc sinh giái líp 10 Môn Toán NM HC 2009-2010
Thi gian l m b i:180 phút
Bài1(6đ).
1) Giải phơng trình: 4x x 3( x 4 x 2)
2).Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 4x2 + 4mx – m2 =
Bài 2(3đ)
Giải hệ phơng trình:
3
2
x - y = x - 7y x + y - xy =
Bài 3(2đ)
Cho ba số dơng x, y, z thoả mÃn: xy + yz + zx xyz Chøng minh r»ng:
x y2
y + 2x +
y z2
z + 2y+
z x2
x + 2z 9 Bài 4(6đ).
1) Cho tam giác ABC, lấy ba điểm A1 , B1 , C1 cạnh BC, CA, AB Đặt S = SABC Chứng minh tam giác AB1C1, BC1A1 , CA1B1 có diện tích bé
S
Với điều kiện tam giác có diện tích S
2) Cho tam giỏc ABC có I tâm đờng tròn nội tiếp, BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 = abc
Bài (3đ) Cho phương trình : ax2 + bx + c = cú hai nghim thuc on [0 ;1] Tìm giá trÞ lớn nhÊt cđa biĨu thøc : P =
( )(2 )
( )
a b a b a a b c
-
+
HÕt _
Họ tên thí sinh: SBD:
(2)Cõu 1: 1) Giải phơng trình:
9 x (x + 1)(x + 2)(x + 3) =
16(1)
* Đặt t = x(x+3) (1) trë thµnh t(t+2) =9/16
9 4 t t é ê=-ê ê ê= ê ë
* víi t =
9
4 ta cã x(x+3) = -9
4 x2 + 3x +
9
4 = 0 x = -
1
* víi t =
1
4 ta cã x(x+3) =
4 x2 + 3x -
1 4= 0
é ê ê ê ê ê ê ë
-3 + 10 x =
2 -3 - 10 x =
2
1
* Vậy phơng trình có nghiệm
3 10 10 x x x é ê =-ê ê ê - + ê = ê ê ê + ê =-ê ë
2) Gi¶i hệ phơng trình:
2
x + y + xy = x y + xy = (2)
(2)
( x + y) + xy = xy(x+y) = ìïï
íï
ùợ đặt S = x+ y; P = xy
Ta đợc hệ
4 S P SP ì + = ïï íï =
ùợ Khi S, P nghiệm Phơng trình
t2 - 4t + = 0
1 S P ỡ = ùù ớù =
ùợ
3 S P ì = ïï íï = ïỵ * S P ì = ùù ớù =
ùợ x, y nghiệm phơng trình u2 u + = 0 Phơng trình vô nghiệm
1 * S P ì = ïï íï =
ïỵ x, y nghiệm phơng trình u2 3u + = 0
(3) 5 x y ìï + ï = ùùù ớù -ùù =
ùùợ
3 5 x y ìï -ï = ïïï íï + ïï = ïïỵ
V©y hƯ cã nghiƯm
3 5 x y ìï + ï = ïïï ớù -ùù =
ùùợ
3 5 x y ìï -ï = ùùù ớù + ùù = ùùợ Câu 2
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P =
2
2
x + 3xy - y
x + xy + y
* y = th× P = 1
* y th× P =
2 1 t t t t +
-+ -+ víi t = x/y gọi P giá trị nã
khi phơng trình sau ẩn t phải có nghiệm
P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = cã nghiÖm hay
2
1
Δ (3 ) 4(1 ) (*) P P P é = ê ê = - + - ³ ë
(*) -3P2 – 6P +13 - (1+ 3 ) P 3 - 1
1
0,5
Vậy giá trị lớn P =
Vậy giá trị nhá nhÊt cđa P = - (1+ ) C©u 3
Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) đờng thẳng d : x – 2y – = Tìm điểm M thuộc d cho
Q = MA+2MB- 3MC
uuur uuur uuur
đạt giá trị nhỏ
Gọi M(2y+3 ; y) d Khi MA+2MB- 3MC
uuur uuur uuur
= (2y – ; y+21)
2
MA+ MB- MC
uuur uuur uuur
=
2
(2y- 5) +(y+21)
=
2
5y +22y+466
Q đạt giá trị nhỏ y =
11 -VËy M( -; 11 -)
C©u4 Cho tam giác ABC có góc nhọn, có H trực tâm, gọi R bán kính
đường trịn ngoại tiếp
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA
(4)O A
C B
H
A' D
1
1) Gọi A’ điểm cho AA’ đờng kính dễ có BHCA’ hình bình
hành Do AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA
2)
1
cos cos cos (cos cos cos cos cos cos )
sin cos sin cos sin cos
2 2 2
A B C A B B C C A
C A B A B C B C A
+ + = + + + + +
- -
-= + +
Ta cã
cos
2 A B
-Ê
C nhọn nên
0
0 60 2cos cos 2cos
2 2
C C A B- C
< < ị > ị <
Tơng tự ta có
cos 2cos
2
cos 2cos
2
B C A
C A B
-<
-<
VËy cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC
1
1
1
C©u5
Cho a, b, c ba số thực dơng Chứng minh rằng:
³
a b c
+ +
b + c a + c b + a
2
( )
a a a
b c+ = a b c+ ³ a b c+ +
( )
b b b
a c+ = b a c+ ³ a b c+ +
(5)2
( )
c c c
b a+ = c b a+ ³ a b c+ + ]