Chứng minh ABC là tam giác đều... Chứng minh ABC là tam giác đều.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO
Năm học: 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : Toán ( hệ số 2)
( Dành cho lớp chuyên Toán )
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) ————————————
ĐỀ : Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất ba số thực ( x, y, z ) cho x + y + z >
2 4 ; 2 9 ; 2 16 2
x y xy x z xz y z yz
2/ Chứng minh với số tự nhiên n S =
2
3
n n n
số tự nhiên
Bài 2: ( 2 điểm)
Cho hai số a , b thỏa :
2
2
2
4
b a
a
Xác định a b để tích a.b nhỏ
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Cho a > Chứng minh :
1
a a
2/ Với giá trị n nguyên dương số dương a1 , a2 , … , an thỏa mãn đẳng thức a1 + a2 + … + an =
1 1
n
a a a
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho đường thẳng ( d ) cố định điểm A cố định không thuộc ( d ) Hai điểm B, C thay đổi ( d ) cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A lên ( d ); E, F hình chiếu vng góc H lên AB AC
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn ( O )
2/ Gọi M, N giao điểm đường thẳng AH với (O) Chứng minh : a/ AM.AN = AE.AB
b/ Hai điểm M, N cố định
Bài 5: ( 1 điểm)
Tam giác ABC có độ dài đường cao số nguyên dương bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh ABC tam giác
—Hết—
Cán coi thi khơng giải thích thêm!
(2)HƯỜNG DẪN GIẢI Bài 1:
1/ Tìm tất ba số thực ( x, y, z ) cho x + y + z >
2 4 ; 2 9 ; 2 16 2
x y xy x z xz y z yz
Giải: 2 16 x y x z y z x y z
x y x z y z x y z
3
; ; ;
2 2
1
; ; ;
2 2
x y z
x y z
2/ Chứng minh với số tự nhiên n S =
2
3
n n n
số tự nhiên Giải:
S =
( 1)( 2)
n n n
, (chú ý :n n( 1)(n2)là số tự nhiên liên tiếp ) Bài 2:
Cho hai số a , b thỏa :
2 2 4 b a a
Xác định a b để tích a.b nhỏ Giải:
Ta có :
2 a a
;
2 2
2 2
4
b a b
a
(Cô si) Vậy : 2 2 b a a
2 2
4
a b
1 2
2
ab
ab ab
Suy : Min (ab) = -2 ; x = ; y = -2 x = -1 ; y =
Bài 3:
1/ Cho a > Chứng minh :
1
a a
( tự giải )
2/ Với giá trị n nguyên dương số dương a1 , a2 , … , an thỏa mãn đẳng thức a1 + a2 + … + an =
1 1
n
a a a
Giải:
Ta có : (a1 + a2 + … + an) (
1 1
n
a a a ) =
2
1 1
1 1
1 1
x x x
x x x
= (1 + + … + 1) 2 = n 2 ( Bunhiacopki ) Vậy : n 2 n n = 1; (do n Z+ )
- Nếu n = , ta có :
1 2 x x
Hệ vô nghiệm
- Nếu n = 2, ta có :
(3)Vậy x1 , x2 nghiệm pt : x2 – 2x +1 = x = Kết luận chung : n =
Bài 4: ( Đọc giả vui lịng vẽ hình ) Giải:
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn ( O )
- Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật HAF AFE v HAFà ABH ( phụ
BAH ) HAF ABH
tứ giác BEFC nội tiếp
2/ Chứng minh :
a/ AM.AN = AE.AB
Xét AME ABN ; có BAM chung ; AEM ANB ( bù BEM )
b/ Hai điểm M, N cố định
Để ý : AM.AN = AE.AB =AF.AC = HB.HC = AH
Và đường thẳng ( d ) cố định, điểm A cố định , AH không đổi , đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng ( d ) cố định
Bài 5: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình )
Tam giác ABC có độ dài đường cao số nguyên dương bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh ABC tam giác
Giải:
Gọi S d.tích tam giác ABC , a, b, c độ dài cạnh , x , y , z đường cao tương ứng , r bán kính đường trịn nội tiếp , r =1
Ta có : 2.S = ax =by = cz = ar + br + cr = a + b + c Vậy :
1 1
1
a b c
x y z a b c a b c a b c
Khơng tính tổng qt , giả sử x y z đó
1 =
1 1
x yz
3
3
x x
(1) Ta có : b + c > a x = 1
b c a
(2 ) Từ (1) (2 ) : x =