ĐỆ QUY (kỹ THUẬT lập TRÌNH SLIDE)

Chương Một số cấu trúc liệu giải thuật Phần 4.1 Đệ qui (4LT – 2BT) KTLT 4-1.1 Đệ qui 1.1 Khái niệm đệ qui 1.2 Các loại đệ qui 1.3 Mô tả đệ qui cấu trúc liệu 1.4 Mô tả đệ qui giải thuật 1.5 Các dạng đệ qui đơn giản thường gặp KTLT 4-1.2 Khái niệm Đ/n đệ qui Một mô tả/định nghĩa đối tượng gọi đệ qui mơ tả/định nghĩa ta lại sử dụng đối tượng Tức mơ tả đối tượng qua Mơ tả đệ qui tập sốtựnhiên N : Số1 sốtựnhiên ( -N) Sốtựnhiên sốtựnhiên cộng Mô tả đệ qui cấu trúc ds(list) kiểu T : Cấu trúc rỗng ds kiểu T Ghép nối thành phần kiểu T(nút kiểu T ) với ds kiểu T ta có ds kiểu T Mô tả đệ qui gia phả: Gia phả người bao gồm người gia phả cha gia phả mẹ KTLT 4-1.3 Ví dụ Định nghĩa khơng đệ qui n!: n! = n * (n-1) * … * Định nghĩa đệ qui: n! = n=0 n * (n-1)! n>0 Mã C++: int factorial(int n) { if (n==0) return 1; else return (n * factorial(n - 1)); } Mô tả đệ qui thủ tục tăng dãy a[m:n] ( dãy a[m], a[m+1], , a[n] ) phương pháp Sort_Merge (SM): SM (a[m:n]) ≡Merge ( SM(a[m : (n+m) div 2]) , SM (a[(n+m) div +1 : n] ) Với : SM (a[x : x]) thao tác rỗng (khơng làm cả) Merge (a[x : y] , a[(y+1) : z]) thủ tục trộn dãy tăng a [x : y] , a[(y+1) : z] để dãy a[x : z] tăng KTLT 4-1.4 Mô tả đệ qui gồm hai phần Phần neo: trường hợp suy biến (cá biệt) đối tượng Vídụ: sốtựnhiên, cấu trúc rỗng danh sách kiểu T, ! = 1, … Phần qui nạp: mô tả đối tượng (giải thuật) thơng qua đối tượng (giải thuật ) cách trực tiếp gián tiếp Vídụ: n! = n * (n –1) ! SM (a[m:n]) ≡Merge (SM (a[m:( m+n) div 2] , SM (a[(m+n) div +1 : n]) ) Đệ qui gồm hai loại: Đệ qui trực tiếp Đệ qui gián tiếp KTLT 4-1.5 Giải thuật đệ qui Nếu ta có lời giải S cho toán P, ta lại sử dụng lời giải cho tốn P’ giống P kích cỡ nhỏ lời giải S gọi lời giải đệ qui Biểu diễn giải thuật đệ qui P P[ S , P ] Điều kiện dừng Biểu diễn tổng quát P if B P[ S , P ] P P[ S , if B P ] Chương trình đệ qui: Khi ta cài đặt giải thuật đệ qui, ta có chương trình đệ qui (tự gọi lại nó: P =>P’) –Hàm đệ qui –Thủ tục đệ qui KTLT 4-1.6 Mô tả đệ qui giải thuật Dãy số Fibonaci(FIBO) :{ FIBO (n) } ≡1 ,1 , , , , , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , FIBO(0 ) = FIBO (1 ) = ; FIBO(n ) = FIBO (n -1 ) + FIBO ( n -2 ) ; với n > = Giải thuật đệ qui tính FIBO ( n ) là: FIBO(n) if ((n = ) or ( n = )) return ; else return ( FIBO (n -1) + FIBO (n -2)) ; KTLT 4-1.7 Các dạng đệ qui đơn giản thường gặp Đệqui tuyến tính: dạng đệqui trực tiếp đơn giản có dạng P () { If (B) thực S; else { thực S* ; gọi P } } Với S , S* thao tác khơng đệqui Vídụ:Hàm FAC(n) tính số hạng n dãy n! Dạng hàm ngôn ngữ mã giả: { Nếu n = FAC = ; /* trường hợp neo*/ Ngược lại FAC = n*FAC(n-1) } Dạng hàm C++ : int FAC( int n ) { if ( n == ) return ; else return ( n * FAC(n-1 )) ; } KTLT 4-1.8 Thi hành hàm tính giai thừa factorial (3) n=3 factorial (2) … n=2 3*factorial(2) … factorial (1) n=1 2*factorial(1) … factorial (0) 1*factorial(0) n=0 … return 1; 1 KTLT 4-1.9 Trạng thái hệ thống thi hành hàm tính giai thừa Stack hệ thống factorial(0) factorial(1) factorial(1) factorial(1) factorial(2) factorial(2) factorial(2) factorial(2) factorial(2) factorial(3) factorial(3) factorial(3) factorial(3) factorial(3) factorial(3) factorial(3) t Thời gian hệ thống Gọi hàm Gọi hàm factorial(3) factorial(2) Trả từ Gọi hàm Gọi hàm hàm factorial(1) factorial(0) factorial(0 ) Trả từ hàm factorial(1 ) Trả từ hàm factorial(2 ) Trả từ hàm factorial(3 ) t KTLT 4-1.10 A Đệ qui có lệnh gọi trực tiếp •Đệ qui có dạng sau: P(X) ≡ if C(X) D(X) else { A(X) ; P(f(X)) ; B(X) ; } X biến đơn biến véc tơ C(X) biểu thức boolean X A(X) , B(X) , D(X):không đệ qui f(X) hàm X (hàm đơn điệu giảm) KTLT 4-1.52 Giải thuật thực P(X) với việc sử dụng Stack có dạng : P(X) ≡{ Create_Stack (S) ; ( tạo stack S ) while(not(C(X)) { A(X) ; Push(S,X) ; X := f(X) ; } D(X) ; while (not Empty(S)) { POP(S,X) ; B(X) ; } } KTLT 4-1.53 •Ví dụ:Thủ tục đệ qui chuyển biểu diễn số từ số thập phân sang nhị phân có dạng : Binary(m) ≡if ( m > ) { Binary( m div ) ; write( m mod ) ; } •Trong trường hợp : X m P(X) Binary(m) A(X) ; D(X) lệnh rỗng B(X) lệnh Write(m mod ) ; C(X) ( m ) { sdu := m mod ; Push(S,sdu) ; m := m div ; } while ( not Empty(S)) { POP(S,sdu) ; Display(sdu) ; } } KTLT 4-1.55 B Thủ tục đệ qui với hai lần gọi đệ qui –Đệ qui có dạng sau P(X) ≡if C(X) D(X) ; else { A(X) ; P(f(X)) ; B(X) ; P(g(X)) ; } -Thuật toán khử đệ qui tương ứng với thủ tục đệquy P(X) là:{ Creat_Stack (S) : Push (S, (X,1)) ; { while ( not C(X) ) { A(X) ; Push (S, (X,2)) ; X := f(X) ; } D(X) ; POP (S, (X,k)) ; if ( k 1) { B(X) ; X := g(X) ; } } while ( k = ) ; } KTLT 4-1.56 Khử đệ qui thủ tục Tháp Hà Nội •Dạng đệ qui void THN(n , X , Y, Z ) { if( n > ) { THN ( n -1 , X , Z , Y ) ; Move ( X , Y ) ; THN ( n -1 , Z , Y , X ) ; } } KTLT 4-1.57 •Giải thuật khơng đệ qui tương đương là: THN (n, X, Y, Z) { Creat_Stack (S) ; Push (S ,(n,X,Y,Z,1)) ; while ( n > ) { Push (S ,(n,X,Y,Z,2)) ; n := n -1 ; Swap (Y,Z ) ; } POP (S,(n,X,Y,Z,k)) ; if ( k ) { Move (X ,Z ) ; n := n -1 ; Swap (X ,Y ) ; } } while ( k = ) ; } KTLT 4-1.58 Bài tập Liệt kê tập củaa tập 1,2,3,…n, với n nhập từ bàn phím Liệt kê hoán vị Từ COMPUTER ( mở rộng, từ nhập từ bàn phím ) Một nhà thám hiểm đem theo túi với trọng lượng tối đa B Có n đị vật cần mang theo, đị vật có trọng lượng giá trị ci tương ứng.Hãy viết CT tìm cách bỏ vào túi đò vật cho giá trị sử dụng lớn Bài toán Người du lịch : người du lịch muốn thăm thành phố khác Xuất phát thành phố đó, họ muốn qua tất thành phố ( lân) trở lại thành phố ban đầu.Biết chi phi lại từ thành phố I đến J Cij Hãy tìm hành trình với tổng chi phí thấp Liệt kê tất cách xếp N hậu bàn cờ x cho chúng không ăn KTLT 4-1.59 Bài toán Hậu – Giải thuật Algorithm Solve Input trạng thái bàn cờ Output if trạng thái bàn cờ chứa đủ hậu 1.1 In trạng thái hình else 2.1 for bàn cờ mà cịn an tồn 2.1.1 thêm hậu vào ô 2.1.2 dùng lại giải thuật Solve với trạng thái mới 2.1.3 bỏ hậu khỏi ô Vét cạn End Solve KTLT 4-1.60 Bài toán Hậu – Thiết kế phương thức KTLT 4-1.61 Bài toán Hậu – Thiết kế liệu đơn giản const int max_board = 30; class Queens { public: Queens(int size); bool is_solved( ) const; void print( ) const; bool unguarded(int col) const; void insert(int col); void remove(int col); int board_size; // dimension of board = maximum number of queens private: int count; // current number of queens = first unoccupied row bool queen_square[max_board][max_board]; }; KTLT 4-1.62 Bài toán Hậu – Mã C++ void Queens :: insert(int col) { queen_square[count++][col] = true; } bool Queens :: unguarded(int col) const { int i; bool ok = true; for (i = 0; ok && i < count; i++) //kiểm tra cột ok = !queen_square[i][col]; //kiểm tra đường chéo lên for (i = 1; ok && count − i >= && col − i >= 0; i++) ok = !queen_square[count − i][col − i]; //kiểm tra đường chéo xuống for (i = 1; ok && count − i >= && col + i < board_size; i++) ok = !queen_square[count − i][col + i]; return ok; } KTLT 4-1.63 Bài toán Hậu – Góc nhìn khác KTLT 4-1.64 Bài tốn Hậu – Thiết kế const int max_board = 30; class Queens { public: Queens(int size); bool is_solved( ) const; void print( ) const; bool unguarded(int col) const; void insert(int col); void remove(int col); int board size; private: int count; bool col_free[max board]; bool upward_free[2 * max board − 1]; bool downward_free[2 * max board − 1]; int queen_in_row[max board]; //column number of queen in each row }; KTLT 4-1.65 Bài toán Hậu – Mã C++ Queens :: Queens(int size) { board size = size; count = 0; for (int i = 0; i < board_size; i++) col_free[i] = true; for (int j = 0; j < (2 * board_size − 1); j++) upward_free[j] = true; for (int k = 0; k < (2 * board_size − 1); k++) downward_free[k] = true; } void Queens :: insert(int col) { queen_in_row[count] = col; col_free[col] = false; upward_free[count + col] = false; downward_free[count − col + board size − 1] = false; count++; } KTLT 4-1.66 ... , if B P ] Chương trình đệ qui: Khi ta cài đặt giải thuật đệ qui, ta có chương trình đệ qui (tự gọi lại nó: P =>P’) –Hàm đệ qui –Thủ tục đệ qui KTLT 4-1.6 Mô tả đệ qui giải thuật Dãy số Fibonaci(FIBO)... tìm giải thuật khơng đệ qui thường là: i) Dùng quan niệm đệ qui để tìm giải thuật cho tốn ii) Mã hóa giải thuật đệ qui ii) Khử đệ qui để có chương trình khơng đệ qui •Tuy nhiên : khử đệ qui...1 Đệ qui 1.1 Khái niệm đệ qui 1.2 Các loại đệ qui 1.3 Mô tả đệ qui cấu trúc liệu 1.4 Mô tả đệ qui giải thuật 1.5 Các dạng đệ qui đơn giản thường gặp KTLT 4-1.2 Khái niệm Đ/n đệ qui Một