Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Nguyễn Thị Thảo Kì dị vô hạn ánh xạ đa thức thực bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mà số: 62.46.10.01 dự thảo luận án tiến sĩ toán học Ng-ời h-íng dÉn khoa häc: PGS TSKH Hµ Huy Vui GS TSKH Pierrette Cassou - Nogs Hµ Néi - 2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, d-ới đồng h-ớng dÉn khoa häc cđa PGS TSKH Hµ Huy Vui vµ GS TSKH Pierrette Cassou - Noguès Các kết đ-ợc phát biểu luận án mới, trung thực ch-a đ-ợc công bố công trình tác giả khác Các kết viết chung với tác giả khác đà đ-ợc đồng ý tác giả đ-a vào luận án Tác giả Nguyễn Thị Thảo Lời cảm ơn Luận án đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn khoa học PGS TSKH Hà Huy Vui Thầy ng-ời tận tâm, tận tình, dành nhiều công sức dẫn dắt tác giả thực b-ớc vào nghiên cứu khoa học, động viên, khích lệ tác giả v-ợt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin đ-ợc bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy thø hai GS TSKH Pierrette Cassou - Nogs v× sù tận tình cảm thông khó khăn tác giả Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án, tác giả nhận đ-ợc quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy cô bạn đồng nghiệp môn Hình học, thầy cô bạn đồng nghiệp Khoa Toán - Tin, Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, thành viên Phòng Hình học - Tôpô, Viện Toán học Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tr-ớc quan tâm Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, Phòng Khoa học Công nghệ, Phòng Sau đại học Tr-ờng đà tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, công tác hoàn thành luận án Cuối cùng, luận án hoàn thành thiếu cảm thông, giúp đỡ ng-ời thân gia đình Tác giả xin đ-ợc gửi tới toàn thể ng-ời thân gia đình lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ¬n Mét sè quy -íc vµ kÝ hiƯu Mở đầu I Lý chọn đề tài II Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu III Ph-ơng pháp nghiên cứu IV Những đóng góp míi cđa ln ¸n V ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án 11 11 12 VI Bè cơc cđa ln ¸n 13 Ch-ơng Tính riêng ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn 1.1 Hàm đa thức riêng Rn 1.2 Vi phôi đa thức toàn cục Rn 15 16 22 Ch-ơng Các giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm đa thức hàm hữu tỉ mặt đại số Rn 2.1 2.2 Bài toán đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn Các giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm đa thức hàm hữu tỉ mặt đại số Rn 2.2.1 Phát biểu kết 30 30 36 37 2.2.2 Chứng minh Định lí 2.2.12 2.2.3 Chứng minh Định lí 2.2.13 45 50 2.2.4 Chó ý 2.2.5 VÝ dô 52 54 Ch-ơng Nguyên lí biến phân Ekeland, bất đẳng thức Lojasiewicz, t-ợng kì dị vô hạn hàm đa thức 57 3.1 60 60 62 69 3.2 3.3 Nguyªn lÝ biÕn phân Ekeland cho hàm đa thức 3.1.1 §-êng cong tiÕp xóc 3.1.2 Nguyªn lÝ Ekeland cho hàm đa thức Rn 3.1.3 Nguyên lí Ekeland cho hàm đa thức R2 Bất đẳng thức Lojasiewicz hàm đa thức miền không compact 3.2.1 Hình học nửa đại số 3.2.2 Các điều kiện tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục 3.2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục Mèi quan hƯ gi÷a tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ với t-ợng kì dị vô hạn 3.3.1 Phát biểu kết 3.3.2 Chứng minh kết 3.3.3 Câu hỏi 73 73 77 85 92 92 93 107 Kết luận 108 Các công trình liên quan đến luận án 110 Tài liệu tham khảo 111 Mét sè quy -íc vµ kÝ hiƯu Trong toµn bé ln ¸n, ta thèng nhÊt mét sè kÝ hiƯu nh- sau (1) N: tập số tự nhiên (2) R: tËp c¸c sè thùc (3) R∗ : tËp c¸c thùc khác không (4) C: tập số phức (5) max: giá trị lớn (6) min: giá trị nhỏ (7) inf : cận d-ới (8) sup: cận ®óng (9) lim: giíi h¹n (10) deg: bËc (11) dim: chiều (12) rank: hạng (13) det: định thức (14) grad: gradient (15) : lực l-ợng tập hợp (16) : đặc tr-ng Euler-Poincaré (17) |.|: giá trị tuyệt đối số thùc (18) , : tÝch v« h-íng th«ng th-ờng Rn (19) : chuẩn Euclid thông th-ờng Rn (20) d(, ): khoảng cách Euclid thông th-ờng Rn (21) : bao đóng tập hợp với tôpô thông th-ờng Rn (22) Bnr = {(x1 , , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n ≤ r } = {(x1, , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = r } (23) Sn−1 r (24) Sn−1 = {(x1, , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = 1} Mở đầu I Lý chọn đề tài Các tập đại số đối t-ợng nghiên cứu Toán học Lớp tập đại số đ-ợc nghiên cứu nhiều tập phức tập thực Chúng đ-ợc chia thành bốn loại: ã Các tập đại số xạ ảnh phức; ã Các tập đại số xạ ảnh thực; ã Các tập đại số affine phức; ã Các tập đại số affine thực Các kết mang tính tảng Lefschetz S., Zariski O., Milnor J., vµ nhiỊu ng-êi khác đà đem đến hiểu biết sâu sắc tính chất tôpô, cấu trúc đại số, tập đại số xạ ảnh phức ([46], [43], [13], [9], ) So với tập đại số xạ ảnh phức, tập đại số xạ ảnh thực đối t-ợng khó nghiên cứu Chỉ khoảng 50 năm trở lại đây, với công trình Petrowsky, Arnold, Rokhlin, xếp oval đ-ờng cong phẳng xạ ảnh thực không kì dị, việc nghiên cứu tập xạ ảnh thực bắt đầu hòa vào dòng phát triển chung trở thành lĩnh vực sôi động với nhiều kết đặc sắc ([15], [33], [16], ) Các tập đại số affine, phức lẫn thực, đối t-ợng đặc biệt khó nghiên cøu Ng-êi ta vÉn hiĨu rÊt Ýt vỊ c¸c tËp affine phức, tập thu hút đ-ợc ý nhiều chuyên gia Hình học đại số Hình học tôpô nh- Dimca [10], Fary [44], Némethi [50], Malgrange [49], Phạm F [51], Lê Dũng Tráng [54], Những hiểu biết tập đại số affine thực lại đây, nhiều toán tự nhiên, với đ-ờng cong affine thực, ch-a có câu trả lời Trong luận án, muốn tìm hiểu tính chất tôpô số lớp tập đại số affine thực II Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu Mỗi tập đại số affine thực (t-ơng ứng, phức) V tập không điểm hệ ph-ơng trình đa thức, tức có dạng V = f (0), f ánh xạ đa thức từ Rn đến Rk (t-ơng ứng, từ Cn đến Ck ) Từ kết tổng quát Thom R [53], ánh xạ đa thức f từ tập đại số không kì dị V1 sang tập đại số không kì dị V2 xác định phân thớ tầm th-ờng địa ph-ơng lớp C tập đại số B(f ) V2 Đó phân thớ Milnor toàn cục Tập B(f ) đ-ợc gọi tập giá trị rẽ nhánh f Cã thĨ thÊy r»ng tËp B(f ) chøa tËp c¸c giá trị tới hạn (f ) f Nếu V1 không compact, xuất t-ợng mới, mà ta không gặp nghiên cứu tr-ờng hợp xạ ảnh, t-ợng kì dị vô hạn Nói chung, B(f ) = (f ), ®iĨm thc B∞ (f ) := B(f )\Σ(f ) ®-ỵc gọi giá trị tới hạn kì dị vô hạn Nói cách vắn tắt, có hai nguyên nhân để f không xác định phân thớ tÇm th-êng quanh thí f −1 (t), t ∈ B(f ): ã Hoặc phân thớ không tầm th-ờng lân cận điểm kì dị, tức t (f ); ã Hoặc phân thớ không tầm th-ờng lân cận điểm vô hạn, tức với lân cận D t, r > 0, ánh xạ f : f (D)\Bnr D phân thớ tầm th-ờng Tổng kết lại, để hiểu tôpô tập đại số affine f (t), ta cần hiểu phân thớ Milnor toàn cục f : V1 \f −1 (B(f )) → V2 \B(f ) 10 Để hiểu phân thớ Milnor toàn cục, ta phải hiểu tập B(f ) Đến đây, xuất toán tự nhiên quan trọng: Đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn f , tức giá trị t ∈ V2 cho tr-íc thc vµo tËp B∞ (f ) = B(f )\(f )? Bài toán đối t-ợng khảo sát luận án Mặc dù toán đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn đ-ợc nghiên cứu tích cực 20-30 năm nay, toán mở Ng-ời ta biết câu trả lời cho số tr-ờng hợp riêng: ã f : C2 C (Suzuki [52], Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng [58], Hà Huy Vui - Nguyễn Lê Anh [57], Hà Huy Vui [56]) • f : R2 → R (Coste - de la Puente [8]) • f : V → R hạn chế hàm đa thức mặt đại số trơn không compact V Rn (Tibar - Zaharia [31]) ã f : Cn C, với điều kiện f có kì dị cô lập vô hạn (Parusinski [23]) ã f : V C, V Cn mặt đại số không kì dị f ánh xạ thỏa mÃn điều kiện tồn "phép chiếu tốt" (Hà Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [39]) ã f : Cn Cn1 , với điều kiện tồn "phép chiếu tốt" f (Hà Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [40]) Mục đích nghiên cứu luận án đặc tr-ng tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn, tìm hiểu sâu cho tình hình học sau Các ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn : Chúng tìm điều kiện để tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn ánh xạ đa thức F : Rn → Rn lµ tËp trèng (cịng cã nghĩa là, F ánh xạ riêng) Chú ý rằng, vấn đề liên quan đến toán Jacobi tiếng Hạn chế hàm hữu tỉ thực lên mặt đại số không kì dị Rn : Chúng đ-a bất biến cho phép đặc tr-ng trọn vẹn 102 Hơn nữa, từ Khẳng ®Þnh 3.3.19, cã Q > cho U1/n,M ∩ |x| = P ⊂ |x| = P, |y| ≤ Q víi mäi n V× thÕ, cã d·y cđa (xn , yn ) héi tơ ®Õn (x0, y0 ) ∈ |x| = P, |y| ≤ Q Râ rµng, f (x0 , y0) = Do vậy, với (0, M ], tồn thành phần liên thông Wδ,M cña f −1 (Dδ )\KM chøa (x0 , y0) Vì W,M tập mở, nên (xn , yn ) ∈ Wδ,M víi n Chó ý r»ng (xn , yn ) ∈ Uδn ,M ⊂ Uδ,M víi n 1, −1 ta cã Uδ,M ∩ Wδ,M = ∅ VËy, Wδ,M ≡ Uδ,M vµ (x0 , y0) ∈ Uδ,M ∩ f (0) Do ®ã Uδ,M ∩ f −1 (0) = ∅ Bây giờ, theo Khẳng định 3.3.14, tồn nửa nhánh vô hạn f (0) chứa U,M Giả sử nh- Bổ đề 3.3.16, U0 thành phần liên thông f (Dδ0 ) cho Uδ0 ∩ f −1 (0) = Nhắc lại KP = [P, P ] ì R Bổ đề 3.3.13 khẳng định rằng, với P ≥ M , tån t¹i δP ∈ (0, δ0 ] cho U \KP j gồm số cố định sP thành phần liên thông U,P , j = 1, , sP , víi mäi δ (0, P ], U thành phần liên thông f (D ) chứa U0 Hơn nữa, với < (0, δP ] vµ mäi j ∈ {1, , sP }, ta cã j Uδj ,P ⊂ Uδ,P Khẳng định 3.3.21 Với M > đủ lớn, hµm s : [M, +∞) → R, P → sP , lµ h»ng Chøng minh Víi P ≥ M , lÊy δ ∈ (0, min{δM , δP }] DÔ thÊy, thành (j) j phần liên thông U,P chứa thành phần liên thông U,M Do vậy, ta xác định đ-ợc ánh xạ : {1, , sP } → {1, , sM }, j → σ(j) Ta chøng minh song ánh với M > đủ lớn Theo Bổ đề 3.3.17, với i {1, , sM }, cã nưa nh¸nh vô hạn i i f (0) cho Γ ⊂ Uδ,M ; vµ vËy ΓP U,M , P = {|x| > P } (j) j j Mặt khác, P ⊂ f −1 (Dδ )\KP , tån t¹i Uδ,P cho ΓP ⊂ Uδ,P ⊂ Uδ,M 103 σ(j) σ(j) i i V× thÕ, ΓP ⊂ Uδ,M ∩ Uδ,M ; đó, U,M U,M Nói cách khác, (j) = i Nh- vậy, toàn ánh Nói riêng, sM sP Kí hiệu s0 số nửa nhánh vô hạn f (0) Tõ Bỉ ®Ị 3.3.17, ta cã sP ≤ s0 với P M Giả sử không đơn ánh Khi đó, tồn P > M cho cã j1 j2 i vµ Uδ,P chøa U,M (nghĩa (j1 ) = hai thành phần liên thông U,P (j2 ) = i) Vì toàn ánh, nên sM < sP Trong tr-ờng hợp này, ta thay M P Nếu ch-a đơn ánh, ta lặp lại trình Sau hữu hạn b-ớc, phải đơn ánh, sP s0 với P M Nh- vậy, phải song ánh với M > đủ lớn, Khẳng định đ-ợc chứng minh Từ Khẳng định 3.3.21, ta viết Uδ \KP = s j=1 j Uδ,P víi P ≥ M , (0, P ] Hơn j víi mäi δ < δ ∈ (0, δP ], j ∈ {1, , s}; (i) Uδj ,P ⊂ Uδ,P j j (ii) Uδ,P ⊂ Uδ,P víi mäi P > P ≥ M , j ∈ {1, , s}, δ ∈ (0, min{δP , δP }] Nãi c¸ch kh¸c, víi mäi P ≥ P ≥ M , δ ≤ δ ∈ (0, min{δP , δP }], j ∈ j {1, , s}, ta cã Uδj ,P ⊂ Uδ,P Cho Γ lµ nửa nhánh vô hạn f (0) ®-ỵc tham sè hãa bëi x = t, y = g(t) hc x=-t, y=g(t) , víi g : (M, +∞) R Với P > M , đặt P := Γ ∩ {|x| > P } (3.8) Kh«ng mÊt tính tổng quát, giả sử P M với P > M , P M nh- Bổ đề 3.3.13, nh- Bổ đề 3.3.16 Bổ đề 3.3.22 Cho nửa nhánh vô hạn f (0) cho Γ chøa UδM ,M Khi ®ã ΓP chøa Uδ,P víi mäi P ≥ M vµ (0, P ], U,P thành phần liên thông f (D )\KP chøa UδM ,M Chøng minh Tr-íc hÕt, ta thÊy r»ng Γ chøa Uδ,M víi mäi δ ∈ (0, M ], U,M thành phần liên th«ng cđa f −1 (Dδ )\KM chøa UδM ,M 104 ThËt vËy, v× f (x, y) = vµ |x| > M víi mäi (x, y) ∈ Γ, có thành phần liên thông W,M f (D )\KM chøa Γ V× vËy Γ ⊂ WδM ,M ∩ UM ,M , WM ,M thành phần liên thông f (DM )\KM chứa W,M Suy WδM ,M ≡ UδM ,M vµ Wδ,M ≡ Uδ,M VËy Γ ⊂ Uδ,M víi mäi δ ∈ (0, M ] Bây giờ, từ định nghĩa P vµ Uδ,P , ta cã ΓP ⊂ Uδ,P víi mäi 0, P ] Bổ đề đ-ợc chứng minh Bổ đề 3.3.23 Cho (xn , yn ) dÃy loại UM ,M Khi {(xn , yn )} U,P dÃy loại víi mäi P > M vµ mäi δ ∈ (0, P ], U,P thành phần liên th«ng cđa f −1 (Dδ )\KP chøa UδM ,M Chøng minh Tr-íc hÕt, ta chøng minh r»ng {(xn , yn )} U,M dÃy loại với (0, M ], U,M thành phần liên thông f (D )\KM chøa UδM ,M ThËt vËy, v× (xn , yn ) dÃy loại một, ta có lim f (xn , yn ) = Do vËy, víi (0, M ], tồn n n cho |f (xn, yn )| < δ víi mäi n > n Vì thế, với n > nδ , ta cã (xn , yn ) ∈ Uδ,M Cho δ ∈ (0, δP ] V× (xn , yn ) dÃy loại U,M , ta cã (xn , yn ) → ∞ Chó ý r»ng degf = degy f = m > 0, v× |xn | + (do Khẳng định 3.3.19) Do ®ã, tån t¹i nP cho xn > P víi mäi n > nP VËy (xn , yn ) ∈ Uδ,P víi mäi n > max{nP , nδ }, Bổ đề đ-ợc chứng minh Chứng minh Mệnh ®Ị 3.3.7 Gi¶ sư δ0 nh- Bỉ ®Ị 3.3.16 Tr-íc hÕt, ta chøng minh r»ng nÕu Uδ0 ∩ f (0) = , không tồn dÃy loại U0 Thật vậy, giả sử ng-ợc lại, tån t¹i d·y lo¹i mét (xn , yn) Uδ0 Bởi Mệnh đề 3.2.18, ta giả sử (xn , yn) gần nửa nhánh V Giả sử M > nh- Khẳng định 3.3.21 Từ Khẳng định 3.3.12, ta giả sử {(xn , yn )} ⊂ UδM ,M ⊂ (M, +∞) ì R, UM ,M thành phần liên thông UM \ [M, M] ì R , UM thành phần liên thông f (DδM ) chøa Uδ0 Theo Bỉ ®Ị 3.3.17, tồn nửa nhánh vô hạn f −1 (0) chøa UδM ,M Gi¶ sư Γ nửa nhánh vô hạn f (0) chứa UM ,M 105 gần với Không tính tổng quát, giả sử (, ) > Kí hiệu M tập nửa nhánh vô hạn V cho (i) (, γ ) > 0, (ii) tån t¹i d·y lo¹i mét UM ,M gần Rõ ràng, M tập hữu hạn M Không tính tổng quát, giả sử M gần với Γ, nghÜa lµ θ(Γ, γ) < θ(Γ, γ ) víi mäi γ ∈ M\{γ} Ta sÏ chøng minh r»ng tån t¹i γ ∈ M cho θ(Γ, γ) < θ(Γ, ) Tr-ớc hết, xét nửa nhánh vô hạn C ®-ỵc tham sè hãa bëi ˜ := [g(t) + h(t)] , x = t, y = h(t) ë x = t, y = g(t) x = t, y = h(t) lần l-ợt tham số hóa Theo Bổ đề 3.3.10, tån t¹i c, c1 , c2 > cho d (xn , h(xn )), Γ ≥ c|h(xn ) − g(xn )| ≥ c|g(xn ) − yn | − c|yn − h(xn )| ≥ c1 d (xn , yn ), Γ − c2 d (xn , yn ), γ Vì d (xn , yn), d (xn , yn ), γ → 0, ta cã d (xn , h(xn )), Γ → O(g−h) Chó ý r»ng d (xn , h(xn )), Γ ∼ |h(xn )−g(xn )| ∼ xn , vËy O(g−h) ≥ ˜ =h ˜ − h = (g − h), ta cã V× g − h ˜ = O(h ˜ − h) = O(g − h) ≥ O(g − h) (3.9) Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 3.3.22 Bỉ ®Ị 3.3.23, víi mäi k ∈ N, k ≥ M , ta chän δk ≤ vµ (xn(k) , yn(k) ) ∈ {(xn , yn)} ∩ Uδk ,k , (xn(k) , yn(k) ) ∈ Γk ⊂ Uδk ,k , k k = {|x| > k} Vì Uk ,k liên thông, nên tồn đ-ờng cong l Uδk ,k nèi (xn(k) , yn(k) ) vµ (xn(k) , yn(k) ) Mặt khác, (M, +)ìR \C hợp hai thành phần liên thông, thành phần chứa thành phần lại chứa dÃy (xn , yn), nên tồn điểm (Xk , Yk ) thuéc l ∩ C Chó ý r»ng l ⊂ Uδk ,k , nªn |Xk | > k vµ f (Xk , Yk ) < δk ≤ Do vËy, k (Xk , Yk ) → ∞ vµ f (Xk , Yk ) Hơn nữa, từ Bỉ ®Ị 3.3.10, ta cã ˜ k ) − g(Xk )| ∼ X O(g−˜h) d (Xk , Yk ), Γ = d (Xk , ˜h(Xk )), Γ ∼ |h(X k 106 Điều (3.9) d (Xk , Yk ), Γ → Suy d (Xk , Yk ), f −1 (0) → VËy (Xk , Yk ) dÃy loại UM ,M Cuối cùng, gọi nửa nhánh cđa V˜ cho d·y lo¹i mét (Xk , Yk ) gần (do Mệnh đề 3.2.18) Khi đó, theo Bỉ ®Ị 3.3.10, ˜ k ) − h(Xk )| ∼ X O(˜h−h) d (Xk , Yk ), γ = d (Xk , ˜h(Xk )), γ ∼ |h(X k V× lim d (Xk , Yk ), γ = 0, ta cã k→∞ ˜ − h) < O(h (3.10) ˜ − h) ˜ + (h ˜ − h) = (g − h) + (h Ta thÊy r»ng θ(Γ, γ) = g − h = (g − h) §iỊu nµy cïng víi (3.9) vµ (3.10) suy < θ(Γ, γ) < θ(Γ, γ) Do vËy < θ(Γ, ) < (, ) Vì thế, M (, ) < (, ); nghĩa là, không gần với Mâu thuẫn rằng, không tồn dÃy loại U0 Giả sử δ ∈ (0, δ0 ) Theo Bỉ ®Ị 3.3.16, gäi U0 thành phần liên thông f (D0 ) chøa Uδ Khi ®ã Uδ0 ∩ f −1(0) = Do vậy, không tồn dÃy loại U0 Suy ra, không tồn dÃy loại U , chứng minh Mệnh đề 3.3.7 đ-ợc hoàn thành Chứng minh Định lí 3.3.3 Giả sử nh- Bổ đề 3.3.16 Bởi giả thiết, tồn thành phần liên thông U0 f −1 (Dδ0 ) chøa Ýt nhÊt mét d·y lo¹i mét Khi ®ã, lËp ln nh- chøng minh MƯnh ®Ị 3.3.7, ta cã Uδ0 ∩ f −1 (0) = ∅ (3.11) Chó ý r»ng, tr-êng hỵp V = f −1 (0) = ∅, ta cịng cã (3.11) Chóng ta với r > 0, tồn δ(r) ∈ (0, δ0 ] cho Uδ(r) ∩ B2r = , (3.12) 107 U(r) thành phần liên thông f (D(r) ) chứa U0 Thật vậy, giả sử ng-ợc lại có r > tháa m·n U1/n ∩ B2r = ∅ víi n 1, U1/n thành phần liên thông cđa f −1 (D1/n) chøa Uδ0 Khi ®ã, tån t¹i d·y (xn , yn ) ∈ U1/n ∩ B2r héi tơ tíi (x0 , y0) ∈ B2r Râ rµng, f (x0 , y0 ) = 0, vµ (x0 , y0) chứa thành phần liên thông W0 f (D0 ) Vì W0 tập mở, nên (xn , yn ) W0 víi n Do vËy Uδ0 ∩ Wδ0 = ∅, v× (xn , yn ) ∈ Uδ0 víi mäi n Vì thế, U0 W0 , (x0 , y0) ∈ Uδ0 ∩ f −1 (0), m©u thuÉn với (3.11) Bây giờ, giả sử Wt thành phần liên thông f (t) chứa U0 Rõ ràng, Wt U(r) với t < (r) < Điều (3.12) r»ng Wt ∩ B2r = ∅ víi t ∈ (0, (r)) Nh- vậy, f có thành phần liên thông biến vô hạn t dần đến Chứng minh HƯ qu¶ 3.3.4 HƯ qu¶ kÐo theo trùc tiÕp từ Định lí 3.3.3 Chứng minh Hệ 3.3.5 Hệ suy từ Mệnh đề 3.2.18 Định lí 3.3.3 Hệ 3.3.4 Chứng minh Hệ 3.3.6 Từ Hệ 3.3.5, ta nhận đ-ợc hệ 3.3.3 Câu hỏi Định lí 3.3.3 không n > 2? 108 Kết luận Luận án nghiên cứu giá trị tới hạn kì dị vô hạn bất đẳng thức Lojasiewicz ánh xạ đa thức Các kết đà đạt đ-ợc là: Đ-a điều kiện đủ để hàm đa thức f : Rn R riêng (Định lí 1.1.3); nữa, cho mô tả tôpô thớ hàm đa thức riêng (Định lí 1.1.5) Từ điều kiện cho tính riêng hàm đa thức, đ-a điều kiện đủ để ánh xạ đa thức F : Rn Rn riêng vi phôi toàn cục (Định lí 1.2.3) Đ-a tiêu chuẩn có tính thuật toán để đặc tr-ng trọn vẹn giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm hữu tỉ mặt đại số không kì dị Rn (Định lí 2.2.12) Dựa vào cách đặc tr-ng này, đ-a chặn số giá trị tới hạn kì dị vô hạn lớp hàm (Định lí 2.2.13) Từ định lí trên, nhận đ-ợc hệ xét tr-ờng hợp riêng hàm hữu tỉ R2 (Hệ 2.2.14) hàm đa thức mặt đại số không kì dị Rn (Hệ 2.2.15) Chỉ đa thức nhiều biến thực, ®iĨm tháa m·n kÕt ln cđa nguyªn lÝ Ekeland, cịng nh- dÃy Palais-Smale cực tiểu hóa thỏa mÃn điều kiện bậc hai chọn đ-ờng cong tiếp xúc (Định lí 3.1.7 Định lí 3.1.10) Trong tr-ờng hợp hai biến, kết đ-ợc làm mạnh nhờ sử dụng đ-ờng cực thay cho đ-ờng cong tiếp xúc (Định lí 3.1.16) Đ-a điều kiện cần đủ để bất đẳng thức Lojasiewicz dạng cổ điển f ((, )) toàn Rn (Mệnh đề 3.2.18 Mệnh đề 3.2.21) Thiết lập dạng suy rộng bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển hàm đa thức miền không compact: f ((, )) toàn không gian Rn (Định lí 3.2.29 Định lí 3.2.33) 109 ChØ mèi quan hÖ mËt thiết tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ t-ợng kì dị vô hạn hàm đa thức hai biến thực cách chứng minh bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ f (t0 ) không tồn tại, phải có thành phần liên thông thớ f (t) biến vô hạn t dần đến t0 , nói riêng, t0 giá trị tới hạn kì dị vô hạn (Định lí 3.3.3, Hệ 3.3.4 Hệ 3.3.5) Từ kết này, đa thức hai biến thực có bất đẳng thức Lojasiewicz c¹nh thí f −1 (t), trõ nhiỊu nhÊt hữu hạn giá trị t (Hệ 3.3.6) Một điểm mà muốn nhấn mạnh là: Xuyên suốt toàn luận án, khái niệm đ-ờng cong tiếp xúc đà đ-ợc sử dụng cách hiệu để nghiên cứu hình học đa thức lân cận điểm vô hạn Các công trình liên quan ®Õn luËn ¸n Nguyen Thi Thao (2009), "A condition for the properness of polynomial maps", Vietnam Journal of Mathematics 37(1), pp 113-125 Ha Huy Vui, Nguyen Thi Thao (2011), "Atypical values at infinity of polynomial and rational functions on an algebraic surface in Rn ", Acta Mathematica Vietnamica, 36(2), pp 537-553 Nguyen Thi Thao, "Remarks on Ekeland's variational principle for polynomial functions ", đà nhận đăng Acta Mathematica Vietnamica Dinh Si Tiep, Ha Huy Vui, Nguyen Thi Thao, "Lojasiewicz inequality for polynomial functions on non-compact domains", đà nhận đăng International Journal of Mathematics 110 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Basu S., Pollack R., Roy M (2003), Algorithms in real algebraic geometry, Algorithms and Computation, Vol 10, Spinger [2] Benedetti R., Risler J (1991), Real algebraic and semi-algebraic sets, Hermann [3] Bivia-Ausina C (2007), "Injectivity of real polynomial maps and Lojasiewicz exponents at infinity", Math Z., 257(4), pp 745-767 [4] Bochnak J., Cost M., Roy M -J (1998), Real algebraic geometry, Vol 36, Spinger [5] Bodin A., Pichon A (2007), "Meromorphic functions, bifurcation sets and fibered links", Math Res Lett., 14(3), pp 413-422 [6] Borwein J M and Preiss D (1987), "A smooth variational methods with applications to subdifferentiability and to differentiability of convex functions", Trans A.M.S., 303, pp 517-527 [7] Cima A., Gasull A., Manosas F (1996), "Injectivity of polynomial local homeomorphisms of Rn ", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 26(4), pp 877-885 [8] Coste M., de la Puente M J (2001), "Atypical values at infinity of a polynomial function on the real plane: an eratum, and an algorithmic criterion", Journal of Pure and Applied Algebra, 162, pp 23-35 [9] Dimca A (1986), "On the homology and cohomology of complete insections with isolated singularities", Compositio Math., 58, pp.321-339 111 112 [10] Dimca A (1992), Singularities and topology of hypersurfaces, Universitex, Springer - Verlag, NewYork, Berlin, Heidelberg [11] Ekeland I (1979), "Nonconvex minimization problems", Bull A.M.S., 1, pp 443-474 [12] Ferrera J and de la Puente M J (1996), "The asymptotic values of a polynomial function on the real plane", J Pure Appl Algebra, 106, pp 263-273 [13] Griffiths P., Harris J (1976), Principles of algebraic geometry, A UileyInterscience Series of texts, 1978 [14] Gordon W B (1972), "On the Diffeomorphisms of Euclidean Space", The American Mathematical Monthly, 79(7), pp 755-759 [15] Gudkov D A (1979), The topology of real projective algebraic varieties, Russian Math Surveys [16] Itenberg I (2001), "On the number of even ovals of a nonsingular surface of even degree in RP2 ", Amer Math Soc Tranal., 202(2), pp 121-132 [17] Jelonek Z and Kurdyka K (2003), "On asymptotic critical values of a complex polynomial", Journal Fur Die Reine Und Angewandte Mathe matik, 565, pp 1-11 [18] Hormander (1958), "On the division of distributions by polynomials", Ark Math., 3, pp 555-568 [19] Ji S., Kollar J., Shiffman B (1992), "A global Lojasiewicz inequality for algebraic varieties", Trans Amer Math Soc 329(2), pp 813-818 [20] Luo Z-Q., Sturm J F (2000), "Error bound for quadratic systems", High performance optimization, pp 383-404, Appl.Optim, Kluwer Acad Pupl, Dordrecht [21] Milnor J (1968), Singular points of complex hypersurfaces, Ann Math Stud 61 Princeton Univesity Press 113 [22] Nemethi A and Zaharia A (1992), "Milnor fibration at infinity", Indagationes Mathematical, 3, pp 323-335 [23] Parusinski A (1995), "On the bifucation set of a complex polynomial with isolated singularities at infinity", Compositio Mathematica, 97, pp 369-384 [24] Pinchuck S (1994), "A counterexamples to the strong real jacobian conjecture", Math Z., 217, pp 1-4 [25] Randall J D (1983), "The Real Jacobian Problem", Proc Sympos Pure Math., 40 American Mathematical Society, pp 411-414 [26] Shiota M (1982), "Equivalence of differentiable functions, rational functions and polynomials", Ann Inst Fourier, Grenoble, 32(4), pp 167-204 [27] Sakkalis T (2005), "A note on proper polynomial maps", Communications in Algebra, 33, pp 3359-3365 [28] N T Thang, "On the topology of rational function in two complex variables", preprint [29] Nguyen Thi Thao (2009), "A condition for the properness of polynomial maps", Vietnam Journal of Mathematics 37(1), pp 113-125 [30] Nguyen Thi Thao, "Remarks on Ekeland's variational principle for polynomial functions ", đà nhận đăng Acta Math Vietnamica [31] Tibar M., Zaharia A (1999), "Asymptotic behaviour of families of real curves", Manuscripta Math., 99, pp 383-393 [32] Dinh Si Tiep, Ha Huy Vui, Nguyen Thi Thao, "Lojasiewicz inequality for polynomial functions on non-compact domains", đà nhận đăng International Journal of Mathematics [33] Vassiliev V A (1999), How to calculate homology groups of spaces of nonsingularities algebraic projective hypersurfaces, Proceedings of the Steklov Institute of Math., Citeseer 114 [34] H H Vui, N H Duc (2010), "Lojasiewicz inequality at infinity for polynomials in two real variables", Math Z, 266, no 2, pp 243-264 [35] H H Vui and N H Duc (2011), "On the stability of gradient polynomial systems at infinity", Nonlinear Analysis, 74, pp 257-262 [36] H H Vui and P T Son (2007), "Minimizing polynomial functions", Acta Mathematica Vietnamica, 32(1), pp 71-82 [37] H H Vui and P T Son (2008), "Global optimization of polynomials using the truncated tangency variety and sums of squares", SIAM J Optim, 19, pp 941-951 [38] H H Vui and P T Son (2008), "On the Lojasiewicz exponent at infinity of real polynomials", Ann Polon Math., 94, pp 197-208 [39] H H Vui and N T Thang (2008), "On the topology of polynomial functions on algebraic surfaces in Cn ", Singularities II, Contemp Math 475, pp 61-67 Amer Math Soc., Providence, RI [40] H H Vui and N T Thang (2011), "On the topology of polynomial mapping from Cn to Cn−1 ", Internat J Math 22(3), pp 435-448 [41] Ha Huy Vui, Nguyen Thi Thao (2011), "Atypical values at infinity of polynomial and rational functions on an algebraic surface in Rn ", Acta Math Vietnamica 36(2), pp 537-553 [42] Yomdin Y., Comte G (2004), Tame geometry with application in smooth analysis, Lecture notes in Mathematics, Vol 1834, VIII [43] Zariski O (1965), "Studies in equisinggularrity II: Equisingularity in codimension (and characteristic 0)", Amer J Math 87 TiÕng Ph¸p [44] Fary I (1957), "Cohomology des variÐtes algebiques", Ann of Math., 65(2), pp 21-73 [45] Hadamard J (1906), "Sur les transformations ponctuelles", Bull Soc Math France, 34, pp 71-84 115 [46] Lefschetz S (1924), Analysis situs et la geometric algebrique, Gauthier Villar, Paris [47] Lojasiewicz S (1965), Ensembles semi-analytiques, I.H.E.S, Bures-surYvette [48] Lojasiewicz S (1959), "Sur le probl«me de la division", Studia Math., 18, pp 87-136 [49] Malgrange B (1980), "Methode de la phase stationaire et sommation de Borel", Microlocal Calculus and Relativistic Quatum Theory, Lecture Notes in Physics, 126, pp 170-177 [50] NÐmethi A (1986), ThÐorie de Lefschetz pour les varietes algÐbriques affines, C R Acad Sc Paris, 303, Serie I, No 12 [51] Pham F (1983), "La descente cols par des onglets de Lefschetz, avec vues sur Gauss-Manin", Systemes diffrentiels et SingularitÐs, AstÐrisque, 130, pp 11-47 [52] Suzuki M (1974), "Proprietes topologiques des polynomes de deux variables complexes, et automorphismes algebrique de l'espace C2n ", J Math Soc Japan, 26, pp 241-257 [53] Thom R (1969), "Ensembles et morphismes stratifiÐs", Bulletin of the American Mathematical Society, 75, pp 249-312 [54] L D Trang (1973), "Topologie des singularitÐs des hypersurfaces complexes", Asterisque 7/8 (SingularitÐs a Cargese), pp 171-182 [55] L D Trang et Weber C (1997), "EquisingularitÐ dans les pinceaux de germ de courbes et C -sufisance", LEnseignment MathÐmatique, 43, pp 355-380 [56] H H Vui (1990), "Nombres de Lojasiewicz et singularités l'infini des polynômes des deux variables complexes", C R Acad Sci., Paris, SÐrie I, 311, pp 429-432 116 [57] H H Vui and N L Anh (1989), "Le comportement géométriqui l'infini des polynômes de deux variables complexes", C R Acad Sci., Paris, SÐrie I, 309(3), pp 183-186 [58] H H Vui and L D Trang (1984), "Sur la topologie des polyn«mes complexes", Acta Math Vietnam., 9, pp 21-32 ... Các tập đại số đối t-ợng nghiên cứu Toán học Lớp tập đại số đ-ợc nghiên cứu nhiều tập phức tập thực Chúng đ-ợc chia thành bốn loại: ã Các tập đại số xạ ảnh phức; ã Các tập đại số xạ ảnh thực; ã... chất tôpô, cấu trúc đại số, tập đại số xạ ảnh phức ([46], [43], [13], [9], ) So với tập đại số xạ ảnh phức, tập đại số xạ ảnh thực đối t-ợng khó nghiên cứu Chỉ khoảng 50 năm trở lại đây, với... pháp nghiên cứu Luận án sử dụng ph-ơng pháp Hình học đại số, Tôpô đại số, Hình học vi phân Các điểm ph-ơng pháp đ-ợc sử dụng luận án là: - Để nghiên cứu Tr-ờng hợp (các hàm hữu tỉ mặt đại số không