PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH NGUYỄN XUÂN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGC ANH NGUYN XUN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✶✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✶✳✷ ◆❣❤✐Ö♠ ✾ ✶✳✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✶ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✷ ❉➲② ①✃♣ ①Ø P✐❝❛r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ✭❈❛✉❝❤②✲P✐❝❛r✮ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✷✳✹ ❙ù t❤➳❝ tr✐Ĩ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ✶✻ ✶✳✷✳✺ ❈➳❝ ❧♦➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✶✳✸✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤➞♥ ❧✐ ❜✐Õ♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✶✳✸✳✷ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✸✳✸ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ q✉② ợ ề trì t t ✶✳✸✳✹ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✳ ❚❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✶✳✸✳✺ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❛t✐ ✶✳✹ ✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✸ ✹ ▼Ơ❈ ▲Ơ❈ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✷✳✶ ✷✳✷ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ❝❛♦ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✶✳✶ ◆❣❤✐Ö♠ ✷✳✶✳✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✷✳✶ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ ✹✶ ✷✳✷✳✸ ❈➳❝ ❧♦➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✷✳✸ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝✃♣ ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✷✳✹ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❝✃♣ ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✷✳✹✳✶ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✷✳✹✳✷ ❙ù ♣❤ô t❤✉é❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝đ❛ ❤Ư ❤➭♠ ✹✺ ✷✳✹✳✸ ➜Þ♥❤ t❤ø❝ ❱r♦♥s❦✐ ✷✳✹✳✹ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❖str♦❣r❛❞s❦✐ ✲ ▲✐✉✈✐❧ ✷✳✹✳✺ ❍Ö ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✱ ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ✷✳✺ ✷✳✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✺✵ ✺✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✷✳✺✳✶ ◆❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✷✳✺✳✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ❤➺♥❣ sè ✭▲❛❣r❛♥❣❡✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝✃♣ ✷ ❤Ö sè ❤➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾ ◆❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❝✃♣ ❤❛✐ ❤Ö sè ❤➺♥❣ ✷✳✻✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✵ ◆❣❤✐Ö♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❝✃♣ ❤❛✐ ❤Ö sè ❤➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✾ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❍Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✸✳✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✸✳✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ✸✳✷✳✶ ✸✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❝✃♣ ♥ ✷✳✻✳✶ ✷✳✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ❝❛♦ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét ✼✷ ✸✳✸✳✶ ➜➢❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♥ ✈Ị ❤Ư ♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷ ▼ô❝ ❧ô❝ ✺ ✸✳✸✳✷ ➜➢❛ ❤Ư ♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét ✈Ị ♠ét ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♥ ✸✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ ✸✳✸✳✹ ❙ù t❤➳❝ tr✐Ĩ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ✸✳✸✳✺ ❈➳❝ ❧♦➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵ ❍Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷ ✸✳✹✳✶ ❍Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✸✳✹✳✷ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✹✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✽✸ ✸✳✹✳✹ ❍Ö ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✻ ✸✳✹✳✺ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✳ ✳ ✽✽ ✸✳✹✳✻ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✾ ✸✳✹✳✼ ◆❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✾ ✸✳✹✳✽ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ❤➺♥❣ sè ✭▲❛❣r❛♥❣❡✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✵ ❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤Ư sè ❤➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✸ ✸✳✺✳✶ ❍Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❤Ư sè ❤➺♥❣ ✾✸ ✸✳✺✳✷ ◆❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❤Ö sè ❤➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✺✳✸ ✾✹ ❍Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❤Ư sè ❤➺♥❣ ✸✳✻ ✽✷ ❙ù ♣❤ơ t❤✉é❝ t✉②Õ♥ ✈➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝đ❛ ❤Ư ✈Ð❝t➡ ❤➭♠ ✸✳✺ ✼✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✾ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✷ ✻ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❇é ●✐➳♦ tr×♥❤ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ♥➬② ❣å♠ ✸ t❐♣✱ ➤➢ỵ❝ ❜✐➟♥ s♦➵♥ ❜ë✐ t❐♣ t❤Ĩ t➳❝ ❣✐➯✿ ❚❙✳ P❤➵♠ ◗✉❛♥❣ ❚r×♥❤✱ ❚❤s✳ ◆❣✉②Ô♥ ❳✉➞♥ ❍✉②✱ ❚s✳ ◆❣✉②Ô♥ ◆❣ä❝ ❆♥❤✱ ❞ù❛ t❤❡♦ trì tí ọ ợ ❤é✐ ➤å♥❣ ❜é ♠➠♥ ❝đ❛ ❜é ●✐➳♦ ❞ơ❝ ➤➭♦ t➵♦ t❤➮♠ ➤Þ♥❤ ❞ï♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝✱ ♥❤➺♠ ➤➳♣ ø♥❣ ②➟✉ ❝➬✉ ➤➯♠ ❜➯♦ ❝❤✃t ❧➢ỵ♥❣ ✲ ❤✐Ư✉ q✉➯ ➤➭♦ t➵♦ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ö ✈➭ ❦Ü tt ọ ộ trì ợ s t ị ọ ọ ù ợ ❦❤✉♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ♠➠♥ ❤ä❝❀ ♣❤ï ❤ỵ♣ ✈í✐ ➤è✐ t➢ỵ♥❣ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♥❣➭♥❤ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ư ✲ ❦Ü t❤✉❐t❀ ➢✉ t✐➟♥ ♠ét ❝➳❝❤ râ ♥Ðt ✈✐Ö❝ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❧ý t❤✉②Õt✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➯♠ ❜➯♦ ♠ét ❝➳❝❤ tèt ♥❤✃t tÝ♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ ❤Ư t❤è♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❚❐♣ ✸ ❝đ❛ ❜é ❣✐➳♦ tr×♥❤ ❝✉♥❣ ❝✃♣ ❤Ư t❤è♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ tr♦♥❣ ✸ ❝❤➢➡♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ✲ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✲ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ❝❛♦✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ✲ ❍Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✳ ❍✐ ✈ä♥❣ ❝➳❝ ❣✐➳♦ tr×♥❤ ♥➭② ❝ị♥❣ ❧➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tèt ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➵♥ s✐♥❤ ✈✐➟♥✳ ❈➳❝ t➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❣ã♣ ý q✉ý ❜➳✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ❣➬♥ ①❛ ➤Ĩ ❜é s➳❝❤ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜é s➳❝❤ tí✐ ❜➵♥ ➤ä❝✳ ✽ ●✐➯✐ tÝ❝❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✶✳✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ✶✳✶✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t F (x, y, y ) = ✭✶✳✶✮ F ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ G ⊂ R3 ✳ ◆Õ✉ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ G✱ tõ ♣❤➢➡♥❣ trì t ó tể ợ y r ó y = f (x, y) tì t ợ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ➤➲ ❣✐➯✐ r❛ ➤➵♦ ❤➭♠✳ ❱Ý ❞ô✳ ✶✳✶✳✷ yy = x2 + y , y = xy + y , dy = 2y ✳ dx ◆❣❤✐Ö♠ ❍➭♠ sè y = ϕ(x) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✮ ♥Õ✉ ❛✮ (x, ϕ(x), ϕ (x)) ∈ G ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ I✳ I = (a, b) ợ P trì ❜✮ F (x, ϕ(x), ϕ (x)) ≡ tr➟♥ I ✳ dy ❱Ý ❞ơ✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ = 2y dx ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ (−∞, +∞) ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ trù❝ t✐Õ♣ ✈í✐ y = ce2x ❧➭ ❤➺♥❣ sè t✉ú ý ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ c ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ➤➲ ❝❤♦✳ ✶✳✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ◗✉❛ ✈Ý ❞ô tr➟♥ t❛ t❤✃② ◆❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❧➭ ✈➠ sè ✭❞♦ ❤➺♥❣ sè c ❝ã t❤Ó ❧✃② t✉ú ý✮✳ ❚r♦♥❣ t❤ù❝ tÕ t❛ t❤➢ê♥❣ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ trì t ữ ề ệ ó ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ y(x0 ) = y0 ✭✶✳✸✮ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✮ ❤♦➷❝ ✭✶✳✷✮ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ✭✶✳✸✮ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤②✳ ❚❛ sÏ t×♠ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✶✳✷ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ y = f (x, y), tr♦♥❣ ➤ã ❝đ❛ f f ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ G ⊂ R2 ✳ ✭✶✳✹✮ ❚❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ø♥❣ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✹✮ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✶✳✷✳✶ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❍➭♠ f ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❝❤✐t③ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ y G ❣ä✐ ❧➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ▲✐♣s✲ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè L>0 s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ✷✹ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✶✳✸✳✹ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✳ ❚❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ M (x, y)dx + N (x, y)dy = ✭✶✳✶✾✮ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ U (x, y) ❦❤➯ ✈✐ s❛♦ ❝❤♦ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ♥ã dU (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy ❚❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❤➭♠ r✐➟♥❣ ∂M ∂N , ∂y ∂x M (x, y), N (x, y) ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤➵♦ ❧✐➟♥ tơ❝ tr♦♥❣ ♠ét ♠✐Ị♥ ➤➡♥ ❧✐➟♥ G ♥➭♦ ➤ã✳ ◆❤➢ ✈❐② ♥Õ✉ ✭✶✳✶✾✮ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥ t❤× t❛ ❝ã dU (x, y) = ✈➭ ❞♦ ➤ã U (x, y) = C ❧➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♥ã✳ ❱✃♥ ➤Ị ➤➷t r❛ ❧➭ ❦❤✐ ♥➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✾✮ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✱ ✈➭ ♥Õ✉ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥ t❤× t×♠ ❤➭♠ sè U (x, y) ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ❧➭ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ❤❛✐ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✸✳ ❧✐➟♥ ➜Ĩ ✭✶✳✶✾✮ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ➤➡♥ G t❤× ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ❧➭ ∂N ∂M = , ∂y ∂x ∀(x, y) ∈ G (x0 , y0 ) ∈ G ❜✃t ❦ú s❛♦ ❝❤♦ M (x, y), N (x, y) ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ tr✐Öt t✐➟✉✱ ❤➭♠ sè U (x, y) ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ t❤❡♦ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ y x U (x, y) = M (x, y0 )dx + x0 N (x0 , y)dy, (N (x0 , y) = 0) y M (x, y)dx + x0 (M (x, y0 ) = 0) y0 x U (x, y) = N (x, y)dy, y0 t❤ê✐ ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✷✺ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✳ ●✐➯ sư ✭✶✳✶✾✮ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✱ ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ G t❛ ❝ã M (x, y)dx + N (x, y)dy = dU (x, y) = ∂U ∂U dx + dy ∂x ∂y ❚õ ➤➞② s✉② r❛ M (x, y) = ❱× tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ∂U , ∂x N (x, y) = ∂U ∂y ∂U ∂U , tå♥ t➵✐ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ ∂x ∂y tr➟♥ t❤❡♦ y ✈➭ x t➢➡♥❣ ø♥❣ t❛ ❝ã G, ∂M ∂ 2U = , ∂y ∂y∂x ✈✐ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ∂N ∂ 2U = ∂x ∂x∂y ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ❝➳❝ ✈Õ tr➳✐ ❝ñ❛ ❤❛✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ G✱ ❞♦ ➤ã ❝➳❝ ỗ ợ 2U , yx 2U ∂x∂y ❧✐➟♥ tơ❝ ♥➟♥ ❝❤ó♥❣ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ❉♦ ✈❐② ∂N ∂M = ∂y ∂x ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✳ ●✐➯ sư tr➟♥ ♠✐Ò♥ ∀(x, y) ∈ G G t❛ ❝ã ∂M ∂N = ∂y ∂x ❚❛ sÏ t×♠ ❤➭♠ U (x, y) tỏ ề ệ tr ị ĩ trì ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✳ ❚r➢í❝ ❤Õt ➤ß✐ ❤á✐ ∂U = M (x, y) ∂x ❉♦ ➤ã x U (x, y) = M (x, y)dx + ϕ(y) x0 ✷✻ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ë ➤➞② t❛ ❝❤ä♥ (x , y ) ∈ G s❛♦ ❝❤♦ t➵✐ ➤ã ❝➳❝ ❤➭♠ M (x, y), N (x, y) ✭ 0 ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ tr✐Öt t✐➟✉✮✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ä♥ ❤➭♠ ϕ(x) s❛♦ ❝❤♦ ∂U = N (x, y) ∂y tø❝ ❧➭ x ∂M dx + ϕ (y) = N (x, y) ∂y x0 ❤❛② x ∂M dx ∂y ϕ (x) = N (x, y) − x0 x ∂N dx ∂x = N (x, y) − x0 = N (x, y) − N (x, y) + N (x0 , y) ❚õ ➤➞② s✉② r❛ y ϕ(y) = N (x0 , y)dy y0 ❤❛② y x U (x, y) = M (x, y)dx + x0 N (x0 , y)dy y0 ✈➭ ❤Ö t❤ø❝ y x U (x, y) = M (x, y)dx + x0 N (x0 , y)dy = C y0 ❧➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✾✮ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ G✳ tứ tứ ợ ự t tự ị ❧Ý ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣✳ ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❱Ý ❞ơ✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✷✼ (3x2 + 6xy )dx + (6x2 y + 4y )dy = 0✳ ❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✳ ❈❤ä♥ (x0 , y0 ) = (1, 0) ❑❤✐ ➤ã y x 3x2 dx + U (x, y) = (6x2 y + 4y )dy + C 2 = x + 3x y + y + C ❱❐② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➭ x3 + 3x2 y + y + C = r ột số trờ ợ trì ♣❤➯✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥ ♥❤➢♥❣ ❦❤✐ ♥❤➞♥ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝đ❛ ♥ã ✈í✐ ♠ét ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ µ(x, y) ♥➭♦ ➤ã t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥❤❐♥ ➤❝ trë t❤➭♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➞♥ ✈➭ ❝ã t❤Ĩ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐ tr➟♥✳ ❇✐Ĩ✉ t❤ø❝ µ(x, y) ❣ä✐ ❧➭ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❚❛ ❝ã ị ĩ s ị ĩ số à(x, y) ợ ọ từ số tí ủ trì M (x, y)dx + N (x, y)dy = ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ sè ✭✶✳✷✵✮ U (x, y) ❦❤➯ ✈✐ s❛♦ ❝❤♦ dU (x, y) = µ(x, y).M (x, y)dx + à(x, y).N (x, y)dy tì từ số tí ♣❤➞♥✳ t❤ù❝ tÕ✱ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧ó❝ ♥➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✵✮ ❝ò♥❣ tå♥ t➵✐ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤♦➷❝ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ợ tổ qt ế ó t ũ tể tì ➤➢ỵ❝✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ❝❤Ø ①Ðt ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr➟♥ ♠➭ ❝ã t❤Ĩ t×♠ ➤➢ỵ❝ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥✳ ✯❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶✳ ◆Õ✉ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ∂M ∂N − ∂y ∂x N ✷✽ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ x✳ ➜➷t ∂N ∂M − ∂y ∂x ϕ(x) = N ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✵✮ ❝ã t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤Ø ụ tộ x ợ ị s à(x) = Ce ϕ(x)dx ✯❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷✳ ◆Õ✉ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ∂M ∂N − ∂y ∂x −M ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ y✳ ➜➷t ∂M ∂N − ∂y ∂x ψ(y) = −M ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✵✮ ❝ã t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤Ø ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ y µ(y) = Ce ψ(y)dy tr×♥❤ (x2 − y)dx + (x2 y + x)dy = ợ ị s í ụ ✶✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ ❉Ô t❤✃② ∂M ∂N − −2(1 + xy ) −2 ∂y ∂x = = N x(xy + 1) x ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr➟♥ ❧➭ µ(x) = e−2 dx x = x2 ◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ✈í✐ (1 − x2 y )dx + (y + )dy = x x ❈ã t❤Ó t❤✃② ➤➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✳ ❉ï♥❣ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ tứ ụ trớ t tì ợ ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➭ ✷✾ 3x2 + xy + 3y − Cx = 0✳ ❱Ý ❞ơ ✷✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ y (x − y)dx + (1 − xy )dy = ❚❛ ❝ã ∂M = 2xy − 3y , ∂y ∂N = −y ∂x ♥➟♥ ➤➞② ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t♦➭♥ ♣❤➬♥✳ ❉Ơ t❤✃② ∂N ∂M − 2xy − 3y − (−y ) ∂y ∂x = =− −M −(xy − y ) y ❱í✐ y = 0, ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♠ét t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ − ψ(y) = Ce ❈❤ä♥ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❧➭ ✱ y2 y y = C y2 ♥❤➞♥ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ✈í✐ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥➭② t❛ ➤➢ỵ❝ (x − y)dx + ( − x)dy = y2 ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② t❛ ➤➢ỵ❝ x2 − − xy + = C y r trì ò ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ r✐➟♥❣ y=0 ✶✳✸✳✺ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ tế tí trì r trì t ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✺✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝✃♣ ✶ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ❞➵♥❣ y + p(x)y = q(x) ✭✶✳✷✶✮ ✸✵ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt p(x), q(x) ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ (a, b)✳ ❛✮ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ➜Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✶✮✱ tr➢í❝ ❤Õt t❛ ①Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♥ã y + p(x)y = ●✐➯ sö y = 0✱ ✭✶✳✷✷✮ ❝❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ✭✶✳✷✷✮ ❝❤♦ y t❛ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤➞♥ ❧✐ ❜✐Õ♥ sè dy + p(x)dx = y y = Ce− p(x)dx , ✈í✐ C = 0✳ t❤✃② y = ❝ị♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❚õ ➤ã✱ ❉Ơ ✭✶✳✷✷✮ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ tõ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ tr➟♥ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤♦ C = ❱❐② ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✭✶✳✷✷✮ ❧➭ y = Ce− p(x)dx , ✈í✐ C ∈ R ✭✶✳✷✸✮ ➜Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✭✶✳✷✶✮ t❛ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ❤➺♥❣ sè ♥❤➢ s❛✉✿ ❚r♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✶✳✷✸✮✱ t❛ ❦❤➠♥❣ ❝♦✐ C ❧➭ ❤➺♥❣ sè ♠➭ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❝đ❛ x, C = C(x) ✈➭ t×♠ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ C(x) s❛♦ ❝❤♦ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ y = C(x)e− p(x)dx t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✷✶✮✳ ❚❤❛② ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ➤ã ✈➭♦ ✭✶✳✷✶✮ t❛ ❝ã p(x)dx C (x) = q(x)e ❚õ ➤ã✱ C(x) = (q(x)e p(x)dx ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ )dx + C t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✭✶✳✷✶✮ ❧➭ y = e− p(x)dx q(x)e p(x)dx dx + C , ✈í✐ C ∈ R ✭✶✳✷✹✮ ❜✮ ◆❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤②✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✶✮ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➬✉ y(x0 ) = y0 tr♦♥❣ ➤ã x0 , y0 ❧➭ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ tr➢í❝ x x − y=e τ p(τ )dτ p(s)ds (q(τ )e x0 x0 x0 )dτ + y0 ✭✶✳✷✺✮ ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❇✐Ĩ✉ t❤ø❝ tr➟♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ C ✸✶ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ ✭✶✳✷✹✮ ♥❤ê ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t Φ(x) = − p(x)dx ❑❤✐ ➤ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ ✭✶✳✷✹✮ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ y = eΦ(x) q(x)e−Φ(x) dx + C , ✈í✐ C ∈ R ✭✶✳✷✻✮ ➜➷t Ψ(x) = q(x)e−Φ(x) dx, ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✷✻✮ trë t❤➭♥❤ y = eΦ(x) Ψ(x) + C , ❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➬✉ y(x0 ) = y0 C R t tì ợ số C C = y0 e−Φ(x0 ) − Ψ(x0 ) ❚❤❛② ✈➭♦ ✭✶✳✷✼✮ y = eΦ(x) Ψ(x) + y0 e−Φ(x0 ) − Ψ(x0 ) = eΦ(x)−Φ(x0 ) eΦ(x0 ) (Ψ(x) − Ψ(x0 )) + y0 ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ◆❡✇t♦♥ ✲ ▲❡✐❜♥✐t③ x q(τ )e−Φ(τ ) dτ Ψ(x) − Ψ(x0 ) = x0 x Φ(x) − Φ(x0 ) = − p(τ )dτ x0 ✸✷ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❚õ ➤ã x x − y = e p(τ )dτ x0 q(τ )e−Φ(τ ) dτ + y0 eΦ(x0 ) x0 x x − = e p(τ )dτ q(τ )e−(Φ(τ )−Φ(x0 )) dτ + y0 x0 x0 x x − = e τ p(s)ds p(τ )dτ (q(τ )e )dτ + y0 x0 x0 x0 ➜➞② ❧➭ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱Ý ❞ơ✳ ❚×♠ ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ y − y = x x P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t t➢➡♥❣ ø♥❣ y0 = Cx2 ✳ y − y = x ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ❧➭ y = x2 (C + ln |x|) ị ĩ P trì r ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ❞➵♥❣ y + p(x)y = q(x)y α ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❚❛ ❣✐➯ ✭✶✳✷✽✮ p(x), q(x) ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ (a, b)✳ t❤✐Õt α = 0, = ì tr trờ ợ ó ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ trë ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤➲ ①Ðt✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ●✐➯ sö y = 0✱ ♥❤➞♥ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ y −α y + p(x)y 1−α = q(x) ➜➷t z = y 1−α t❛ ❝ã y −α y = z✳ 1−α y −α t❛ ➤➢ỵ❝ ✭✶✳✷✾✮ ❑❤✐ ➤ã ✭✶✳✷✾✮ ➤➢❛ ➤➢ỵ❝ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝✃♣ ✶ ❞➵♥❣ z + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ●✐➯ sư z = ϕ(x, C) ✸✸ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ❧➭ y 1−α = ϕ(x, C) ◆❣♦➭✐ r❛ ♥Õ✉ α > t❤× y = ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ 1 ❱Ý ❞ơ ✶✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ y − y = − y ✳ x x ➜➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈í✐ α = 2✳ ◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ✈í✐ y −2 1 y −2 y − y −1 = − x x ➜➷t z = y −1 t❛ ➤✐ ➤Õ♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝✃♣ ✶ s❛✉ 1 z + z= x x ◆❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➭ z= C +x ✳ x ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❛♥ ➤➬✉ ❧➭ y= x C +x r trì ò ó ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ y(x) ≡ 0✳ ❱Ý ❞ơ ✷✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ y − 2xy = 3x3 y ➜➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈í✐ α = 2✳ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z + 2xz = −2x3 ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➢➡♥❣ trì t ợ z = Cex + − x2 ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❛♥ ➤➬✉ ❧➭ y= Ce−x2 + − x2 ➜➷t z = y t ợ P trì ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❱Ý ❞ơ ✸✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ x √ y = x y, 1−x y + ➜➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈í✐ ✈í✐ α = ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z + |x| < 1 ✳ ➜➷t z = √ y t❛ ➤➢ỵ❝ x z = x 2(1 − x ) ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♥➭② t❛ ❝ã xdx 2(1 − x2 ) (C + − z = e √ xdx xe 2(1 − x ) dx) √ xe− ln 1−x dx) √ x √ = − x2 (C + dx) − x2 √ = C − x2 − (1 − x2 ) = eln 1−x2 (C + ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❛♥ ➤➬✉ √ √ y = C − x2 − (1 − x2 ) ◆❣♦➭✐ r❛ trì ò ó ột ệ ỳ ị ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✼✳ y ≡ 0✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❛t✐ ❝ã ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ♥❤➢ s❛✉ y = p(x)y + q(x)y + r(x) ✈í✐ p(x), q(x), r(x) ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ ♥➭♦ ➤ã✳ ◆❤❐♥ ①Ðt✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❝❛t✐ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❜❛♦ ❣✐ê ❝ị♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢ỵ❝✳ ❚r♦♥❣ ✈➭✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ♥❤➢ p(x) ≡ ❤❛② r(x) ≡ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤♦➷❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐✳ ❚✉② ✈❐②✱ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ t❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❝❛t✐ ♥Õ✉ ❜✐Õt ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ ♥ã✳ ✶✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✳✽✳ ✸✺ ◆Õ✉ ❜✐Õt ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❝❛t✐ t❤× ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ♥ã ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư ➤ỉ✐ ❜✐Õ♥ ∗ y =y +z y∗ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❛t✐✳ ❉ï♥❣ ♣❤Ð♣ t❛ ❝ã y ∗ + z = p(x)(y ∗ + z)2 + q(x)(y ∗ + z) + r(x) ❚õ ➤ã s✉② r❛ z − [2p(x)y ∗ + q(x)]z = p(x)z ➜➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇❡r♥♦✉❧❧✐✳ y + 2y(y − x) = ➜➞② ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❘✐❝❛t✐✳ ❉Ơ t❤✃② y = x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ➜➷t y = x + z t ợ trì r s ❱Ý ❞ơ✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ z + 2xz = −2z ➜➷t u = z −1 ✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ trë t❤➭♥❤ u − 2xu = 2✳ ◆❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❧➭ 2 2e−x dx) u = ex (C + ❱❐② ♥❣❤✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ ❧➭ e−x y =x+ C + 2e−x2 dx ✈➭ y = x ✸✻ ✶✳✹ ❇➭✐ ✶✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ●✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉✿ 1)(x + 2x3 )dx + (y + 2y )dy = √ 3) − y dx + − x2 dy = 0, y(0) = 5)2x2 yy + y = 7)(1 + y )(e2x dx − ey dy) − (1 + y)dy = 9)(y + xy )dx + (x2 − x2 y)dy = ❇➭✐ ✷✳ ●✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉✿ 1)(x + 2y)dx − xdy = 3)2x3 y = y(2x2 − y ) dy dx = 5) y+x y−x 7)x(x + 2y)dx + (x2 − y )dy = 9)(2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = ❇➭✐ ✸✳ s❛✉✿ 2)xydx + (x + 1)dy = 4) + y dx − xydy = 6)y − xy = 2xy y−1 8)y = x+1 10)y = cos(y − x)✳ 2)(y − 2xy)dx + x2 dy = 4)y + x2 y = xyy , y(1) = y 6)xy − y = x tan x 8)(x + 4y)y = 2x + 3y − y+2 ✳ 10)y = x+y−1 ❚×♠ t❤õ❛ sè tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ✭♥Õ✉ ❝➬♥✮ ✈➭ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ dx xdy − =0 y y 2)(2 − 9xy )xdx + (4y − 6x3 )ydy = 3)(2x − y + 1)dx + (2y − x − 1)dy = xdy − ydx 4) =0 x + y2 ydx − xdy 5)xdx + ydy + =0 x2 + y xdx + ydy xdy − ydx + =0 6) x2 + y x2 + y + 7)e−y dx − (2y + xe−y )dy = 8)2x(1 + x2 − y)dx − x2 − ydy = 9)(x2 + y)dx = xdy 10)(xy + y)dx − xdy = 11)(2xy − y)dx + (y + x + y)dy = 0, 12)(x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0✳ 1) ✶✳✹ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ❇➭✐ ✹✳ ✸✼ ●✐➯✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉✿ 1)xy − 2y = 2x4 3)y − y sin x = sin x cos x 5)x3 y + 3x2 y = 2, y(1) = 7)y + 2y = y ex √ 9)xy − 2x2 y = 4y 2)(2x + 1)y = 4x + 2y 4)xy = x + 2y, y(0) = 6)y + 2xy = 2x3 y 8)y = y cos x + y tan x 10)xy + 2y + x5 y ex ✳ ✸✽ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ✶ ...PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH NGUYỄN XUÂN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳... + 3y + = dx 3x − 7y − ➜➷t x = u + α, y = v + β tr♦♥❣ ➤ã α, β ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ −7α + 3? ? + = =0 tì ợ = 1, β = 0✳ ❝đ❛ ❤Ư s❛✉ ❙❛✉ ♣❤Ð♣ t❤Õ ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➢❛ ✈Ị ❞➵♥❣ dv −7u + 3v −7 + 3v/u... s❛✉✿ 1)xy − 2y = 2x4 3) y − y sin x = sin x cos x 5)x3 y + 3x2 y = 2, y(1) = 7)y + 2y = y ex √ 9)xy − 2x2 y = 4y 2)(2x + 1)y = 4x + 2y 4)xy = x + 2y, y(0) = 6)y + 2xy = 2x3 y 8)y = y cos x + y