tuyển chọn hình vào 10 HN

TUYỂN CHỌN HÌNH VÀO 10 HÀ NỘI Ngơ Long 0988666363 Bài IV 2012 - 2013 ( O; R ) Cho đường trịn đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp · · Chứng minhACM = ACK Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E choBE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB =R MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Q C M H P A E K O B · · 1) Tứ giác CBKH có hai góc đốiHCB = HKB = 90 khẳng định tứ giác CBKH nội tiếp đường trịn đường kính HB · · ¼ 2) GócACM = ABM chắn cungAM · · · ¼ vàACK = HCK = HBK chắn cungHK ·ACM = ·ACK Vậy 3) Xét tam giác MAC EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB góc · · MAC =MBC chắn cung ¼ MC nên tam giác 0 · » ta có CM = CE CMB = 45 chắn cungCB = 90 Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét tam giác PAM OBM AP.MB AP OB =R⇔ = MA MB Theo giả thuyết ta có MA Mặt khác ta có ·PAM = ·ABM ¼ chắn cungAM tam giác đồng dạng Vì tam giác OBM cân O nên tam giác PAM cân P Vậy PA = PM Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vng AMQ có PA = PM nên PA = PQ P trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, định lí Thales (vì HK//AQ) Bài IV: 2013 - 2014 ( O) ( O) Cho đường trịn điểm A nằm bên ngồi Kẻ hai tiếp tuyến ( O) AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minhAN = AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm ( O) 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn điểm thứ hai T Chứng minhMT // AC O 4) Hai tiếp tuyến đường tròn( ) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Bài IV (3,5 điểm) K Q M T I A C H B P O N · 1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đốiANO = 90 · AMO = 900 nên tứ giác nội tiếp 2/ Hai tam giác ABM AMC đồng dạng nên ta có AB AC = AM2 = AN2 = 62 = 36 62 ⇒ AC = = = (cm) AB ⇒ BC = AC − AB = − = 5(cm) 1· · · MTN = MON = AON 3/ (cùng chắn cung MN đường tròn (O)), ·AIN = AON · (do điểm N, I, M nằm đường trịn đường kính AO chắn cung 900) · · · VậyAIN = MTI = TIC nên MT // AC có hai góc so le ∆ AKO 4/ Xét có AI vng góc với KO Hạ OQ vng góc với AK Gọi H giao điểm OQ AI H trực tâm của∆AKO , nên KMH vng góc với AO Vì MHN vng góc với AO nên đường thẳng KMHN vng góc với AO, nên KM vng góc với AO Vậy K nằm đường thẳng cố định MN BC di chuyển Cách giải khác: Ta có KB2 = KC2 = KI.KO Nên K nằm trục đẳng phương đường tròn tâm O đường tròn đường kính AO Vậy K nằm đường thẳng MN trục đẳng phương đường tròn Bài IV (3,5 điểm) 2014 - 2015 ( O; R ) Cho đường trịn có đường kínhAB cố định Vẽ đường ( O; R ) kính MN đường trịn (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến ( O; R ) đường tròn B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ điểm F Chứng minh F trung điểm BP vàME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài IV (3,5 điểm) 1) Tứ giác AMBN có góc vng, góc nội tiếp chắn nửa P đường trịn · · N 2) Ta cóANM = ABM (cùng chắn cung AM) F · · vàABM = AQB (góc có cạnh thẳng góc) · · O B A vậyANM = AQB nên MNPQ nối tiếp 3) OE đường trung bình tam giác ABQ OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP Suy F trung điểm BP M Mà AP vng góc với AQ nên OE vng góc OF Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP · Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nênONF = 90 ·OME = 900 Tương tự ta có nên ME // NF vng góc với MN 4) 2SMNPQ = 2SAPQ − 2SAMN = 2R.PQ − AM.AN = 2R.(PB + BQ) − AM.AN E Q AB BP = Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy raQB BA AB2 = BP.QB ⇒ PB + BQ ≥ PB.BQ = (2R) = 4R Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có AM + AN MN AM.AN ≤ = 2 Ta có = 2R2 2 2SMNPQ ≥ 2R.4R − 2R = 6R SMNPQ ≥ 3R Do đó, Suy Dấu xảy AM =AN PQ = BP hay MN vng góc AB Bài IV (3,5 điểm) 2015 - 2016 Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA.CB=CH.CD Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài IV (3,5 điểm) D J K N I A H C M F O B Q · · 1) Tứ giác ACMD cóACD = AMD = 90 Nên tứ giác ACMD nội tiếp ∆ ACH ∆ DCB 2) Xét tam giác vuông : đồng dạng ·CDB = MAB · (Do có (góc có cạnh thẳng góc)) CA CD = ⇒ CA.CB = CH CD Nên ta cóCH CB 3) Do H trực tâm của∆ABD Vì có chiều cao DC AM giao H , nên AD⊥ BN ·ANB = 900 Hơn chắn nửa đường trịn đường kính AB Nên A, N, D thẳng hàng · · Gọi tiếp tuyến N cắt CD J ta chứng minhJND = NDJ · · Ta cóJND = NBA · · Ta cóNDJ = NBA ·JND = NDJ · ⇒  » chắn cungAN góc có cạnh thẳng góc Vậy tam giác vuông∆DNH J trung điểm HD 4) Gọi I giao điểm MN với AB CK cắt đường trịn tâm O điểm Q Khi JM, JN tiếp tuyến đường tròn tâm O Gọi F giao điểm MN JO Ta có KFOQ tứ giác nội tiếp · FI phân giácKFQ · · · · Ta có KFQ = KOQ ⇒ KFI = FOI ⇒ tứ giác KFOI nội tiếp · IKO = 900 ⇒ ⇒ IK tiếp tuyến đường tròn tâm O Vậy MN qua điểm cố định I (với IK tiếp tuyến đường tròn tâm O) · Cách : NC cắt đường trịn R ta có CK phân giác củaNCM · CNM = » » ⇒ MR // CK Vậy B trung điểmMR Ta có số đoMR = ·MOB ⇒ Tứ giác NCOM nội tiếp Vậy IM.IN = IA.IB = IC.IO = số Vậy I điểm cố định mà MN qua Bài IV (3,5 điểm) 2016 - 2017 ( O) Cho đường trịn điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến ( O) AB với đường tròn (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng ( O) CO lấy điểm I (I khác C, I khác O ) Đường thẳng AI cắt hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn AB BD = 2) Chứng minhAE BE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm A Chứng minhHK //DC 4) Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài IV (3,5 điểm) 1) Tứ giác ABOH có góc đối vng nêu nội tiếp A đường trịn đường kính AO 2) Xét tam giác ADB ABE · · Ta cóABD = BED (cùng chắn cung BD góc A chung) P AB DB D ⇒ = AE BE Q F 3)Tứ giác ABOH nội tiếp nên ta có: ·OAH = OBH · H K C ·HAO = HEK · B O Ta có (Vì EK//AO) E · · ⇒ HBK = HEK · · · » Vậy tứ giác HKEB nội tiếp⇒ HKB = DEB = DCB (cùng chắnDB Nên HK//DC góc đồng vị 4) Kẻ thêm AQ tiếp tuyến thứ với vịng trịn O · · · · Ta có tứ giác APDQ nội tiếp vìQDC = OAB = PAB = QBC ) · · · · Do tứ giác APDQ nội tiếp nên ta cóAQP = ADP = EDC = EBC · · Vì đối xứng nên ta cóABP = AQP · ⇒ ·ABP = CBE ⇒ BF ⊥ BE Vậy tứ giác BFCE hình chữ nhật Bài IV (3,5 điểm) – Đề vào 10 HN năm học 2017 - 2018 ( O) Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọnABC GọiM N BC AB điểm cung nhỏ cung nhỏ Hai AN CM I dây cắt điểm MN BC Dây cắt cạnhAB điểmH vàK 1) Chứng minh bốn điểmC , N , K , I thuộc đường tròn 2) Chứng minhNB = NK NM BHIK 3) Chứng minh tứ giác hình thoi P ,   Q 4) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giácMCK vàE trung điểm đoạnPQ Vẽ đường ( O) kínhND đường trịn Chứng minh ba điểmD, E , K thẳng hàng Hướng dẫn giải 1) Chứng minh bốn điểmC , N , K , I thuộc đường trịn ¼ · · » ⇒¼ AM = BM ⇒ MNA = MCB Ta cóM điểm cungAB · · ⇒ KNI = ICK Tứ giácCNKI cóC vàN đỉnh kề nhìn cạnhKI góc nênCNKI nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Do bốn điểmC , N , K , I thuộc đường tròn 2) Chứng minhNB = NK NM » » = CN » ⇒ BN Ta cóN điểm cungBC (góc nội tiếp chắn cung nhau) · · » MàCBN = CMN (góc nội tiếp chắn chắn cungCN · · · · · CBN = BMN (cùng gócCMN )⇒ KBN = BMN Xét∆KBN ∆BMN có : µN chung · · KBN = BMN · · ⇒ BMN = CMN ) KN BN = ⇒ NB = NK NM ⇒ ∆KBN ∽ ∆BMN BN MN ( điều phải chứng minh) 3) Chứng minh tứ giácBHIK hình thoi · · » Ta cóABC = ANC (góc nội tiếp chắn cungAC ) · · º MàAMC = AHI (góc nội tiếp chắn cungIC ) · · ⇒ ABC = IKC Mà góc vị trí đồng vị nênHB / / IK (1) AMHI + Chứng minh tương tự phần ta có tứ giác nội tiếp ·ANC = IKC · » (góc nội tiếp chắn cungAI ) · · » Ta cóABC = AMC (góc nội tiếp chắn cungAC ) ⇒ ·ABC = ·AHI Mà góc vị trí đồng vị nênBK / / HI (2) BHIK Từ (1) (2) suy tứ giác hình bình hành AN CM Mặt khác , tia phân giác góc A C ABC tam giác nên I giao điểm đường phân giác, đóBI tia phân giác góc B Vậy tứ giácBHIK hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi) 4) GọiP, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácMBK , tam giácMCK vàE trung điểm đoạnPQ Vẽ đường kính ⇒ ND đường tròn( O) Chứng minh ba điểmD, E , K thẳng hàng VìN điểm cung nhỏBC nênDN trung trực ·KQC = KMC · · BC ⇒ DN phân giácBDC Ta có (góc nội tiếp ( Q) nửa góc tâm đường tròn ) ·NDC = KMC · » (góc nội tiếp chắn cungNC ) · · · · ⇒ KQC = BDC MàBDC = NDC Xét tam giác∆BDC và∆KQC các tam giác cân D Q có hai ·BCD = BCQ · góc vậyD, Q, C thẳng hàng nênKQ / / PD Chứng minh tương tự ta có ta cóD, P, B thẳng hàng vàDQ / / PK Do tứ giácPDQK hình bình hành nênE trung điểm củaPQ trung điểm củaDK VậyD, E , K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Câu (3,5 điểm) – 2018 - 2019 ( O; R ) Cho đường trịn với dây cung AB khơng qua tâm Lấy S S( điểm tia đối tia AB khác A ) Từ điểmS vẽ hai tiếp tuyếnSC , CD ( O; R ) với đường tròn C (, D tiếp điểm) cho điểmC nằm cung nhỏ AB GọiH trung điểm đoạn thẳngAB Chứng minh năm điểmC , D, H , O, S thuộc đường trịn đường kính SO 2 KhiSO = R, · gócSCD tính độ dài đoạn thẳngSD theoR tính số đo Đường thẳng qua điểmA song song với đường thẳngSC , cắt đoạn thẳngCD tạiK Chứng minh tứ giácADHK tứ giác nội tiếp đường thẳngBK qua trung điểm đoạn thẳngSC GọiE trung điểm đường thẳngBD vàF hình chiếu vng góc điểmE đường thẳngAD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tiaAB điểmF ln thuộc đường trịn cố định Lời giải 1) Chứng minh năm điểmC , D, H , O, S kínhSO ( O; R ) * Xét đường trịn có: thuộc đường tròn đường ( O; R ) -SC ⊥ OC · ⇒ SCO = 900 SC ( tiếp tuyến đường tròn -SD ⊥ OD · ⇒ SDO = 900 SD ( tiếp tuyến đường tròn -H trung điểm đoạn thẳngAB ( O; R ) ⇒ OH ⊥ AB (Tính · chất đường kính qua trung điểm dây cung)⇒ SHO = 90 * Xét tứ giácSCOD có: · · -SCO + SDO = 180 (cmt) · -SCO ⇒ SCOD Có∆SCO · vàSDO hai góc đối tứ giác nội tiếp và∆SDO vuông tạiC vàD huyền chung ⇒ , cóSO tứ giácSCOD thuộc đường trịn đường kínhSO * Xét tứ giácSCHO có: · · -SCO = SHO = 90 - Mà hai đỉnhS vàH kề nhìn cạnhSO góc cạnh ( 1) ( 2) tứ giácSCHO thuộc đường trịn đường kínhSO ( 1) , ( ) ⇒ Từ năm điểmC , D, H , O, S thuộc đường trịn đường kínhSO 2) KhiSO = R, tính độ dài đoạn thẳngSD theoR ⇒ · tính số đo gócSCD Xét∆SDO vng tạiD : 2 Có:SO = SD + OD (định lí Pytago) 2 2 ⇒ SD = SO − OD = ( R ) − R = 3R ⇒ SD = 3R OD R · tan OSD = = = = SD 3R Ta lại có: · ⇒ OSD = 300 · Chứng minh tương tự ta có:SD = R 3; OSC = 30 Xét∆SCD có: SC = SD ⇒ ∆SCD cân 0 ·CSD = OCS · · · + ODS = 60 ⇒ ∆SCD Mà đều⇒ SCD = 60 Chứng minh tứ giácADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳngSC - Có tứ giácDOHC tứ giác nội tiếp (Cmt) 1¼ · · ⇒ KDH = COH = CH ( 1) AK ⊥ OC ( AK ∥ SC )  · ·  ⇒ KAH = COH ( ) OH ⊥ AH ( gt )  Do: ( 1) , ( ) Từ tứ giácADHK tứ giác nội tiếp  BK ∩ SC = { T }  AK ∩ BC = { P} Gọi: · · Ta có:DAKH nội tiếp⇒ AHK = DAC · DAC = ·ABC = »AC Mà: · ⇒ ·AHK = BAC ⇒ HK ∥ BC Xét∆ABP AK HK ⇒ = ST TD (2 góc đồng vị) ⇒ K trung điểm củaAP ⇒ (đpcm) Ta cóOA = OB CóOH T trung điểm đoạn thẳngSC nên∆OAB cân đỉnhO trung tuyến, đồng thời phân giác của∆OAB · BOH = ·AOB · BOH = sđ »AB Hay · BDA = sđ »AB Ta có (góc nội tiếp chắn cungAB ) ·BOH = BDA · ·BOH = EDF · Suy hay Xét∆OHB và∆DFE có: · · · · OHB = DFE = 90° ;BOH = EDF (chứng minh trên) ∆OHB Suy đồng dạng∆DFE (góc - góc) OH DF = ( 1) Nên ta có: HB FE G Gọi hình chiếu vng góc B AD BG ⊥ AD nên , suy Khi đó,∆BDG có FE // BG DF FE DE = = = DG BG DB Suy raF GọiM ( 1) Từ (cùng vuông góc với AD ) nên DF DG = FE BG trung điểm củaDG trung điểm củaOH OH DG = 2) ( , ta có HB BG ( 2) 2.MH 2.FG = BG hay HB MH FG = HB BG Xét∆BHM và∆BGF có: · · BHM = BGF = 90° MH FG = HB BG (chứng minh trên) Suy ra∆BHM đồng dạng∆BGF (cạnh – góc – cạnh) · · Do đó, ta có:GFB = HMB (các góc tương ứng) · · ( 3) HayAFB = HMB ( O) Xét đường trịn cóA ,B ,O ,H điểm cố định CóM trung điểm củaOH nênM cố định · Suy raBMH = α không đổi · ( 3) Nên từ , suy raAFB có số đo khơng đổi, hay điểmF ⇔ góc khơng đổi α Vậy điểm ∆BHM nằm cung chứa gócα dựng đoạnAB Do đó, điểmS di động tia đối tia AB điểm F ln nằm đường trịn cố định cung chứa góc α ln nhìn đoạn AB dựng đoạnAB Bài I (3,0 điểm) – 2019 - 2020 Cho tam giácABC ( O) có ba góc nhọn (AB < AC Hai đường caoBE CF ) nội tiếp đường tròn tam giácABC 1) Chứng minh bốn điểmB tròn 2) Chứng minh đường thẳngOA cắt điểmH ,C ,E ,F thuộc đường vuông góc với đường thẳngEF trung điểm đoạn thẳngBC đường thẳngBC điểmI , Đường thẳngAO 3) GọiK đường thẳngEF minh tam giácAPE KH cắt điểmP Chứng đồng dạng với tam giácAIB đường thẳng song song với đường thẳngIP cắt đường thẳngAH Lời giải 1) Chứng minh bốn điểmB đường tròn Xét tứ giácBCEF · BEC = 90° B (E · BFC = 90° CF ( ⇒ BCEF BC ,C ,E ,F thuộc ta có : đường cao) đường cao) tứ giác nội tiếp (đỉnhE ,F nhìn cạnh góc vng) 2) Chứng minh đường thẳngOA EF vng góc với đường thẳng · · Vẽ tiếp tuyếnAx hình vẽ⇒ BAF = ACB đường tiếp tuyến dây cung) Do tứ giácBCEF · · nội tiếp⇒ AFE = ACB (tính chất · · Ta suy raBAF = AFE ⇒ EF //Ax (do hai góc so le trong) Lại cóAx ⊥ OA ⇒ OA ⊥ EF (đpcm) 3) Chứng minh∆APE ∽ ∆ABI · · · · · · Ta có :AEB = ABI ( VìAEB + EFC = ABI + EFC = 180° ) ·APE + PAI · = 90° Mặt khác (vìAI ⊥ PE ) ·AIB + PAI · · · = 90° ⇒ ( VìAH ⊥ BC ) APE = AIB Vậy∆APE ∽ ABI ( g-g) * Chứng minhKH //PI GọiM giao điểm củaAO vàEF , dung đường kínhAS Ta cóBE / / CS vng gócAC BS / / CF vng gócAB ⇒ BHCS hình bình hành nênH , K , S thẳng hàng Ta cóAE AC = AH AD vàAE AC = AM AS AH AM · ASD AH AD = AM AS ⇒ = ⇒ ∆AHM : ∆ASD ⇒ ·AHM = ∆ ⇒ AS AD ⇒ HMSD Nội tiếp đường tròn · · · Kết hợpPMID nội tiếp đường tròn⇒ PIM = PDM = HSM ⇒ HS //PI ... Vì đối xứng nên ta cóABP = AQP · ⇒ ·ABP = CBE ⇒ BF ⊥ BE Vậy tứ giác BFCE hình chữ nhật Bài IV (3,5 điểm) – Đề vào 10 HN năm học 2017 - 2018 ( O) Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọnABC GọiM... tròn 2) Chứng minhNB = NK NM BHIK 3) Chứng minh tứ giác hình thoi P ,   Q 4) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giácMCK vàE trung điểm đoạnPQ Vẽ đường ( O) kínhND đường trịn Chứng... suy tứ giác hình bình hành AN CM Mặt khác , tia phân giác góc A C ABC tam giác nên I giao điểm đường phân giác, đóBI tia phân giác góc B Vậy tứ giácBHIK hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi)