Quy tắc II: Để xác định cực trị của một hàm số ta thực hiện các bước sau. Tìm cực trị của các hàm số sau. Tìm cực trị của các hàm số sau... Tìm cực trị của các hàm số sau.. c) Viết phươn[r]
(1)TRƯỜNG THPT DƯƠNG HÁO HỌC TỔ TOÁN
ĐỀ CƯƠNG
ÔN THI TN THPT QUỐC GIA
(2)(3)Mục lục
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.1 Kiến thức cần nhớ
1.1.1 Qui tắt tính đạo hàm
1.1.2 Một số trường hợp tìm tập xác định hàm số
1.2 Xét biến thiên hàm số khơng có tham số
1.2.1 Quy tắt xét tính đơn điệu hàm số
1.2.2 Áp dụng
1.3 Xét biến thiên hàm số có tham số
1.4 Một số toán tổng quát
1.5 Một số dạng toán thường gặp
Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đồng biến R
Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d nghịch biến trên R
Tìm m để hàm số y= ax+b cx+d (ad6=bc) đồng biến khoảng xác định Tìm m để hàm số y= ax+b cx+d (ad6=bc) nghịch biến khoảng xác định Tìm m để hàm số y= ax 2+bx+c dx+e đồng biến khoảng xác định
Tìm m để hàm số y= ax 2+bx+c dx+e nghịch biến khoảng xác định 10
Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đồng biến trên (a;b) . 10
Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d nghịch biến (a;b) 11
Tìm m để hàm số y= ax+b cx+d (ad6=bc) đồng biến (a;b) 11
Tìm m để hàm số y= ax+b cx+d (ad6=bc) nghịch biến (a;b) 12
Tìm m để hàm số y= ax 2+bx+c dx+e đồng biến (a;b) 12
Tìm m để hàm số y= ax 2+bx+c dx+e đồng biến (a;b) 13
Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đồng biến khoảng có độ dài d 13
Tìm m để hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d nghịch biến khoảng có độ dài d 13
1.6 Áp dụng 13
(4)2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 21
2.1 Kiến thức cần nhớ 21
2.1.1 Dấu hiệu nhận biết cực trị hàm số 21
2.2 Một số toán 21
2.2.1 Tìm cực trị hàm số khơng có tham số 21
2.2.2 Bài tốn cực trị có tham số 23
Tìm giá trị tham số để hàm số y=ax3 +bx2+cx+d, (a6= 0) có cực trị (có cực đại, cực tiểu) 23
Tìm giá trị tham số để hàm số y =ax3 +bx2+cx+d, (a 6= 0) khơng có cực trị 23
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y = ax3+bx2+cx+d, (a6= 0) 24
Tìm giá trị tham số để đồ thị hàm số y = ax3+bx2+cx+d, (a 6= 0) có cực trị A,B thỏa trục tọa độ 24
Tìm giá trị tham số để hàm số y=ax4+bx2+c, (a6= 0) có cực trị 24
Tìm giá trị tham số để hàm sốy=ax4+bx2+c, (a 6= 0) có cực tiểu cực đại 25
Tìm giá trị tham số để hàm sốy=ax4+bx2+c, (a 6= 0) có cực tiểu cực đại 25
Tìm giá trị tham số để hàm số y=ax4+bx2+c, (a6= 0) có cực trị 25
Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác vng cân 25
Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác 25
Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có góc bằng1200 . 25
Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có diện tíchS 26
Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R 26 Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trịA(0;c), B, C cho OA=BC 26
Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trịA(0;c), B, C cho OA=BC 26
Tìm giá trị tham số để hàm sốy= ax 2+bx+c dx+e có cực trị ( có cực tiểu cực đại) 27
Tìm giá trị tham số để hàm số y= ax 2+bx+c dx+e khơng có cực trị 27
Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm số y= ax 2+bx+c dx+e 27 Tìm giá trị tham số để hàm số y=f(x) có giá trị cực trị bằngy0 x0 27
Tìm giá trị tham số để hàm số y=f(x) có giá trị cực đại bằngy0 x0 28 Tìm giá trị tham số để hàm số y=f(x) có giá trị cực tiểu y0 x0 28 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 37 3.1 Phần lý thuyết 37
(5)MỤC LỤC
3.2.1 Phương pháp miền giá trị hàm số 38
3.2.2 Phương pháp bất đẳng thức 40
3.2.3 Phương pháp chiều biến thiên hàm số 41
3.3 Một số có tham số 47
4 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 49 4.1 Lý thuyết 49
4.1.1 Tiệm cận đứng 49
4.1.2 Tiệm cận ngang 49
4.1.3 Tiệm cận xuyên 49
4.1.4 Một số hàm đặc biệt 50
4.2 Một số toán 50
4.2.1 Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số 50
4.2.2 Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số 50
4.2.3 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số 51
4.2.4 Một số toán liên quan đến tiệm cận 51
5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53 5.1 Lý thuyết 53
5.1.1 Hàm bậc ba 53
5.1.2 Hàm bậc bốn trùng phương 54
5.1.3 Hàm biến 54
5.1.4 Hàm hữu tỷ 55
5.2 Một số toán 57
5.2.1 Một số lưu ý 57
5.2.2 Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 58
(6)(7)Chương 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định tập K • Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) K
⇔ ∀x1, x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
• Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K
* Dạng phát biểu khác định nghĩa
• Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2 :
f(x1)−f(x2)
x1 −x2
>
• Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2 :
f(x1)−f(x2)
x1 −x2
<
Định lí 1.1.2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K
a) Nếu f0(x) > với x ∈ K (f0(x) = hữu hạn điểm) hàm số
y = f(x) đồng biến khoảng K
b) Nếu f0(x) < với x ∈ K (f0(x) = hữu hạn điểm) hàm số
y = f(x) nghịch biến khoảng K
(8)c) Nếu f0(x) = với x ∈ K hàm số y = f(x) không đổi khoảng K
* Chú ý:
• Nếu khoảng K thay đoạn khoảng f(x) phải liên tục
• Nếu hàm số f(x) liên tục [a;b] có đạo hàm f0(x) > khoảng (a;b) hàm số f(x) đồng biến [a;b]
• Nếu hàm số f(x) liên tục [a;b] có đạo hàm f0(x) < khoảng (a;b) hàm số f(x) nghịch biến [a;b]
1.1.1 Qui tắt tính đạo hàm
(C)0 =
k x
0
= −k x2
k u
0
= −k.u
0
u2
(xα)0 = α.xα−1 (uα)0 = α.u0.uα−1
(√x)0 =
2√x ( √
u)0 = u
0
2√u
(kx)0 = k (ku)0 = k.u0
(u.v)0 = u0v +uv0
ax+b cx+d
0
= ad−bc (cx+d)2
u
v
0
= u
0v −uv0
v2
ax2 + cx+ d ex+f
0
= aex
2 + 2af x+cf −de
(ex+f)2
a1x2 +b1x+c1
a2x2 +b2x+c2
0
= (a1b2 −a2b1)x
2 + 2(a
1c2 −a2c1)x+b1c2 −b2c1
(a2x2 +b2x+c2)2
(ax)0 = ax.lna (au)0 = u0.au.lna
(ex)0 = ex (eu)0 = u0.eu
(logax)
=
x.lna (logau)
0
= u
0
u.lna
(lnx)0 =
x (lnu)
0 = u
u
(sinx)0 = cosx (sinu)0 = u0.cosu
(cosx)0 = −sinx (cosu)0 = −u0.sinu
(tanx)0 =
cos2x (tanu)
0 = u
0
cos2u
(cotx)0 = −
sin2x (cotu)
0 = − u
0
(9)1.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.1.2 Một số trường hợp tìm tập xác định hàm số
Hàm số Tập xác định
y = A
B B 6=
y = √A A ≥0
y = √1
A A >
y = sinx ∀ x ∈ R y = cosx ∀ x ∈ R y = tanx x 6= π
2 + kπ, k ∈ Z
y = cotx x 6= kπ, k ∈ Z
Định lí 1.1.3 Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c (a 6= 0) số thực α Nếu af(α) < tam thức có hai nghiệm phân biệt x1;x2(x1 < x2)
và x1 < α < x2
Hệ 1.1.4 Điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai
f(x) = ax2 +bx+c = (a 6= 0)
có hai nghiệm phân biệt x1;x2(x1 < x2) tồn số thực α cho af(α) <
0
Hệ 1.1.5 Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) hai số thực α, β cho α < β Điều kiện cần đủ để phương trình f(x) = có hai nghiệm, nghiệm nằm khoảng (α;β), nghiệm nằm đoạn [α;β]
f(α).f(β) <
Định lí 1.1.6 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 +bx+ c (a 6= 0) Ta có
♦ Nếu ∆ < f(x) ln dấu hệ số a, với x ∈ R
♦ Nếu ∆ = f(x) ln dấu hệ số a, với x 6= − b
2a
♦ Nếu ∆ > f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1;x2(x1 < x2) Ta
có
x −∞ x1 x2 +∞
f(x) dấu với a trái dấu với a dấu với a
(10)1.2 Xét biến thiên hàm số khơng có tham số 1.2.1 Quy tắt xét tính đơn điệu hàm số
Để xét tính đơn điệu hàm số y = f(x), ta thực bước sau: - Tìm tập xác định hàm số
- Tính y0 Tìm điểm xi(i = 1,2, , n) mà y0 = y0 không
tồn (gọi điểm tới hạn hàm số)
- Sấp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lặp bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên, kết luận khoảng đồng biến nghịch biến
1.2.2 Áp dụng
Bài Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số
1) y = −x4 + 2x2 + 3. 2) y = −x4 −2x2 + 3.
3) y = 2x3 −3x2 + 4) y = −x3 + 3x2 −4x+ 2
5) y = 3x−2
2x+ 6) y =
x2 + 2x+
x−1
7) y = x
2 −2x−3
x−2 8) y =
x2 + 3x+
x2 −x+ 1
9) y = √x2 −x−2 10) y = x−2 sinx
với x∈ h−π
3;
π
3
i
11) y = √1−x+√1 +x 12) y = x−√2x+
13) y = 5x+ + 3√x2 −1
Bài Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số
1) y = x+ex 2) y = x+ e−x 3) y = e
x
x 4) y = x−lnx 5) y = 2x+ ln(x+ 1) 6) y = lnx
x 7) y = x
e1x
Bài tập tương tự
(11)1.2 XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHƠNG CĨ THAM SỐ
a) y = x3 −6x2 + 9x+ b) y = x4 −8x2 + c) y = 2x−3
x−2
d) y = x
2 −4x+ 4
x−1 e) y = 4x
3 −3x f) y = x3 +x2 −x
g) y = 2x3 −3x2 h) y = −x3 −3x2 + 4 i) y = 3x2 −x3
j) y = −x3 + 6x2 −9x+ 4 k) y = x3 + 3x2
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau a) y = x4 −2x2 + b) y = x
4
2 −x
2 −
2 c) y = x
4 + 3x2 −4
d) y = 2x4 −x2 −3 e) y = 2x4 −4x2 + f) y = x4 −2x2 +
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau a) y = 3x+
x+ b) y =
(x−2)2
1−x c) y =
x2 −x x2 −x−2
d) y = x
x2 + 1 e) y =
2−x
1 +x e) y =
x2 −x+
x−1
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau
a) y = x+√4−x2 b) y = 2x−√x2 −4x−5 c) y = √x2 −4x+ 3
d) y = √2x−x2
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau
a) y = −x2 + 6|x−2| b) y = |x2 + 4x−5|
c) y = x2 −2x+ 4|x−2|+ d) y = √x2 + 2x+ 3
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau a) y = x
2 −x+ 1
x−1 b) y =
√
1−x2 c) y = 2x+ √1−x2
d) y =
x −
1
x−2 e) y = 3x
x2 + 1 f) y =
x+ 3√x
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau
a) y = x+ cos2x b) y = cosx+
2cos 2x
c) y = sin2x−√3 sin 2x+ 4x
Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau a) y =
2x
4 +x3 −x+ 5 b) y = −2x3 + 2x2 −x−2
c) y = −4
5x
5 +x3 + 8 d) y = √4
x−2 +√4
(12)Bài Xét tính đơn điệu hàm số sau
a) y = +√1−x2 b) y = 2x+√1−x2 c) y =
2x
4 +x3 −x+ 5
d) y = −4
5x
5 + x3 + 8 e) y = −x
2 + 2x−4
x−2
Bài 10 Xét chiều biến thiên hàm số sau a)y =
x −
1
x−2 b)y =
3x
x2 + 1 c)y =
x+ 3√x d)y = √4
x−2 +√4
5−x e)y = −1 +√x2 −9 f)y = x+
x g)y = 2x
2 + 3x
2x+ h)y = −x+
√
x2 + 8 i)y = √ x
10−x2
Bài 11 Xét chiều biến thiên hàm số sau a) y = x−1 +
x+ b) y = x
√
3−x c) y = x
3
x2 −6
d) y = x+√4−x2 e) y = xlnx f) y = 2x−√x2 −4x−5
g) y = √ x+
x2 −x+ 1 h) y =
x2
10 −lnx k) y = xe
−3x
i) y = e
x
x
Bài 12 Xét chiều biến thiên hàm số sau
a)y = x2 −10 lnx b)y = x2lnx c)y = x lnx
d)y = ex+ 5x e)y = x−sinx f)y = +√−x2 + 3x−2
Bài 13 Xét chiều biến thiên hàm số sau a)y = x
2 −x+ 2
2−x b)y =
1
x+ c)y =
2x2 + 4x+
x2 + 1
d)y = 2x
2 −x+ 5
(x−1)2 e)y =
x2 + 2x x2 −x−2
Bài 14 Xét chiều biến thiên hàm số sau
a)y = x+ cosx, x ∈ (0;π) b)y = cosx(1 + sinx), x ∈ (0; 2π)
1.3 Xét biến thiên hàm số có tham số
Định lí 1.3.1 (Định lí Viét) Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = có hai nghiệm x1 x2
S = x1 + x2 = −
b
(13)1.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
Định lí 1.3.2 Cho tam thức bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c(a 6= 0)
α ∈ R Giả sử tam thức có hai nghiệm x1;x2 với (x1 < x2) Khi
• x1 < α < x2 ⇔ af(α) <
• α < x1 < x2 ⇔
∆ >
af(α) >
α < S
2
• x1 < x2 < α ⇔
∆ >
af(α) >
α > S
2
•
x1 < x2 < α
α < x1 < x2
⇔
(
∆ >
af(α) >
•
α < x1 < β < x2
x1 < α < x2 < β
⇔ f(α)f(β) <
• ax2 +bx+c ≥ với x ∈ R ⇔
(
a = b =
c ≥
(
a > ∆ ≤
• ax2 +bx+c ≤ với x ∈ R ⇔
(
a = b =
c ≤
(
a < ∆ ≤
1.4 Một số toán tổng quát
Bài toán 1.1 Cho hàm số y = f(x, m) xác định D Xác định điều kiện m để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác định D
Phương pháp
• Hàm số đồng biến D ⇔y0 ≥ với x ∈ D
• Hàm số nghịch biến D ⇔ y0 ≤0 với x ∈ D
Bài toán 1.2 Cho hàm số y = f(x, m) Xác định điều kiện m để hàm số đồng biến (nghịch biến) (a;b)
(14)• Hàm số đồng biến (a;b) ⇔ y0 ≥ với x ∈ (a;b)
⇔ y0 ≥ với x ∈ (a;b)
• Hàm số nghịch biến (a;b) ⇔ y0 ≤ với x ∈ (a;b)
⇔ max y0 ≤ với x ∈ (a;b)
• Có thể sử dụng kết (Phương pháp đồ thị)
+ m ≥ g(x) với x ∈ (a;b) ⇔m ≥ max
(a;b) g(x)
+ m ≤ g(x) với x ∈ (a;b) ⇔m ≤
(a;b)
g(x)
* Lưu ý: Cho hàm số y = f(x) = ax2 +bx+c với a 6= Ta có: + Nếu a >
min
x∈R
y = y
− b
2a
+ Nếu a <
max
x∈R
y = y
− b
2a
1.5 Một số dạng tốn thường gặp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d đồng biến R
Phương pháp
Ta có
y0 = 3ax2 + 2bx+ c
+ Trường hợp 1:(Nếu hệ số a có tham số) a =
Khi đó:
y0 = 2bx+ c Xem y0 > 0,∀x ∈ R hay không
+ Trường hợp 2: a 6=
Khi đó:
y0 = 3ax2 + 2bx+ c Hàm số đồng biến R ⇔
(
a > ∆0y0
⇔
(
a >
b2 −3ac 6
Kết luận: Hợp tất giá trị m trường họp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d nghịch biến R
Phương pháp
Ta có
(15)1.5 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
+ Trường hợp 1:(Nếu hệ số a có tham số) a =
Khi đó:
y0 = 2bx+c Xem y0 6 0,∀x ∈ R hay không
+ Trường hợp 2: a 6=
Khi đó:
y0 = 3ax2 + 2bx+c Hàm số nghịch biến R ⇔
(
a < ∆0y0
⇔
(
a <
b2 −3ac 6
Kết luận: Hợp tất giá trị m trường họp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax+b
cx+d (ad 6= bc) đồng biến khoảng xác định
Phương pháp
Ta có D = R\
−d c
y0 = ad−bc (cx+d)2
Để hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ad−bc >
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax+b
cx+d (ad 6= bc) nghịch biến khoảng xác định
Phương pháp
Ta có D = R\
−d c
y0 = ad−bc (cx+d)2
Để hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ad−bc <
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax
2 +bx+c
dx+e đồng biến khoảng xác định
Phương pháp
Ta có D = R\n−e d
o
y0 = adx
2 + 2aex+be−dc
(16)Để hàm số đồng biến khoảng xác định adx2 + 2aex+be−dc > ∀x ∈ D
TH: (nếu ad có tam số) ad =
Khi xét xem 2aex+be−dc > 0, ∀x ∈ D hay không
TH: ad 6=
adx2+2aex+be−dc > ∀x ∈ D ⇔
(
ad >
∆0 = (ae)2 −ad(be−dc) 6
Kết luận: Hợp tất giá trị m trường họp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax
2 +bx+c
dx+e nghịch biến khoảng xác định
Phương pháp
Ta có D = R\n−e d
o
y0 = adx
2 + 2aex+be−dc
(dx+e)2
Để hàm số nghịch biến khoảng xác định adx2 + 2aex+be−dc 6 ∀x ∈ D
TH: (nếu ad có tam số) ad =
Khi xét xem 2aex+be−dc 6 0, ∀x ∈ D hay không
TH: ad 6=
adx2+2aex+be−dc 6 ∀x ∈ D ⇔
(
ad <
∆0 = (ae)2 −ad(be−dc) 6
Kết luận: Hợp tất giá trị m trường họp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d đồng biến (a;b)
Phương pháp
Ta có
y0 = 3ax2 + 2bx+ c
Để hàm số đồng biến (a;b) 3ax2 + 2bx+ c > 0, ∀x ∈ (a;b)
+ Trường hợp 1:(Nếu hệ số a có tham số) a =
Khi đó:
(17)1.5 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 11
Xem y0 > 0,∀x ∈ (a;b) hay không
+ Trường hợp 2: a 6=
Khi đó:
y0 = 3ax2 + 2bx+c Lúc ta xét hai trường họp nhỏ:
* Hàm số đồng biến R ⇔
(
a > ∆0y0
⇔
(
a >
b2 −3ac 6
* Hàm số đồng biến (a;b)
Lúc y0 = có hai nghiệm phân biệt x1;x2, lập bảng biến thiên
tìm điều kiện Sau sử dụng định lý so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai
Kết luận: Hợp tất giá trị m trường họp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d nghịch biến (a;b)
Phương pháp
Ta có
y0 = 3ax2 + 2bx+c
Để hàm số nghịch biến (a;b) 3ax2+ 2bx+c 6 0, ∀x ∈ (a;b)
+ Trường hợp 1:(Nếu hệ số a có tham số) a =
Khi đó:
y0 = 2bx+c Xem y0 6 0,∀x ∈ (a;b) hay không
+ Trường hợp 2: a 6=
Khi đó:
y0 = 3ax2 + 2bx+c Lúc ta xét hai trường họp nhỏ:
* Hàm số nghịch biến trênR ⇔
(
a < ∆0y0
⇔
(
a <
b2 −3ac 6
* Hàm số đồng biến (a;b)
Lúc y0 = có hai nghiệm phân biệt x1;x2, lập bảng biến thiên
tìm điều kiện Sau sử dụng định lý so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai
Kết luận: Hợp tất giá trị m trường họp
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax+b
cx+d (ad 6= bc) đồng biến (a;b)
(18)Ta có
y0 = ad−bc (cx+d)2
Để hàm số đồng biến (a;b) ⇔
ad−bc >
−d
c ∈/ (a;b)
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax+b
cx+d (ad 6= bc) nghịch biến (a;b)
Phương pháp
Ta có
y0 = ad−bc (cx+d)2
Để hàm số nghịch biến (a;b) ⇔
ad−bc <
−d
c ∈/ (a;b)
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax
2 +bx+c
dx+e đồng biến (a;b)
Phương pháp
Ta có
y0 = adx
2 + 2aex+be−dc
(dx+e)2
Đặt g(x) = adx2 + 2aex+be−dc Để hàm số đồng biến (a;b)
adx2 + 2aex+be−dc > ∀x ∈ (a;b)
TH: (nếu ad có tam số) ad =
Khi xét xem 2aex+be−dc > 0, ∀x ∈ (a;b) hay không
TH: ad 6= Lúc ta chia hai trường hợp nhỏ: * adx2 + 2aex+be−dc > ∀x ∈ R
adx2+2aex+be−dc > ∀x ∈ R ⇔
(
ad >
∆0 = (ae)2 −ad(be−dc) 6
* adx2 + 2aex+be−dc > ∀x ∈ (a;b)
Ta có y0 = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Lập bảng biến thiên tìm
điều kiện Sau sử dụng định lý so sánh số với tam thức bậc hai
Lưu ý: −e
d ∈/ (a;b)
(19)1.6 ÁP DỤNG 13
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax
2 +bx+c
dx+e nghịch biến (a;b) (tương tự)
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 +bx2 + cx+ d đồng biến khoảng có độ dài d
Phương pháp
Ta có
y0 = 3ax2 + 2bx+c
Để hàm số đồng biến khoảng có độ dài d
a < ∆0y0 >
|x1 −x2| = d
⇔
a <
b2 −3ac >0
(x1 +x2)2 −4x1x2 = d2
⇔
a <
b2 −3ac >0 4b2
9a2 −
4c
3a = d
2
Dạng: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx+ d nghịch biến khoảng có độ dài d
Phương pháp
Ta có
y0 = 3ax2 + 2bx+c
Để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài d
a > ∆0y0 >
|x1 −x2| = d
⇔
a >
b2 −3ac >0
(x1 +x2)2 −4x1x2 = d2
⇔
a >
b2 −3ac >0 4b2
9a2 −
4c
3a = d
2
1.6 Áp dụng
Bài Tìm giá trị m để hàm số đồng biến R 1) y = x3−2x2+(m−1)x+m+3
Bài Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến R 1) y = x2(m −x)−mx+
2) y =
3(m−1)x
3 +mx2 + (3m−2)x−2
3) y = (m−3)x−(2m+ 1) cosx
Bài Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng xác định 1) y = mx−2
x+ m−3 2) y = x+ +
(20)Bài Tìm giá trị m để hàm sốy = mx +
x+ m nghịch biến khoảng (−3; 0)
Bài Tìm giá trị m để hàm số ln đồng biến khoảng 1) y = x3 + 3mx2 + 6(m −1)x+ (0; 2)
2) y = x3 −(m+ 1)x2 −(2m2 −3m+ 2)x+ 2m2 −3 (2; +∞)
Bài Tìm giá trị m để hàm số y = mx
2 + 6x−2
x+ nghịch biến
trên [1; +∞)
Bài Với giá trị m hàm số y = −1
3x
3 + (m−3)x2 + (m+ 1)x+ 4
đồng biến đoạn có độ dài
Bài Với giá trị m hàm số y = x3 + 3mx2 −3mx+ nghịch biến đoạn có độ dài
Bài tập tương tự
Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x3 + (m−3)x2 + (2m + 3)x+m −4
ln đồng biến R
Bài Tìm giá trị m để hàm số sau tăng khoảng xác định a) y = mx+ 7m−8
x−m b) y =
2x2 +x+ 3m−5
x−1
c) y = x
x−m d) y = x
3 −mx
e) y = m
2 −1
3 x
3 + (m−1)x2 + 2x f) f)y = mx−sinx
g) y = mx + sinx+ cosx
Bài Tìm giá trị m để hàm số sau đồng biến tập xác định a) y = x3 −(m+ 1)x2 −(2m2 −3m+ 2)x+ 2m(2m−1)
b) y = (m2 −1)x3 + (m−1)x2 −x c) y =
3x
3 + mx2 + (m + 6)x−2m−1
d) y = 3(m
2 −4)x3 + (m−2)x2 +x−1
e) y = 3x
(21)1.6 ÁP DỤNG 15
f) y = (m−4)x3 + (m−4)x2 + mx−1
g) y = (m+ 5)x3 + (m+ 5)x2 +mx−1
Bài Tìm giá trị m để hàm số a)y = x
2 −3mx+ 4m−12
x−2 đồng biến (−∞; 0)
b) y = x
2 −2mx+ 3m2
x−2m đồng biến khoảng (1; +∞) c) y =
3mx
3 −(m −1)x2 + 3(m−2)x+
3 đồng biến khoảng [2; +∞)
d) y = −x
3
3 + (m−1)x
2 + (m+ 3)x−4 đồng biến trên (0; 3)
e) y = 2x
2 + (1−m)x+ +m
−x+m nghịch biến (2; +∞) f) y = −mx + 3m −2
x−m nghịch biến khoảng (−1; 0) g)y = mx+
x+m nghịch biến (0; 2)
Bài Cho hàm số y = x
3
3 −
mx2
2 −2x+ Xác định giá trị m để
a) Hàm số luôn đồng biến b) Hàm số đồng biến (1; +∞)
Bài Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng xác định a)y = (m −1)x3 −3(m−1)x2 + 3(2m−3)x b)y = mx+
2x+m c)y = (m + 1)x3 + (m+ 1)x2 −2x+ d)y = mx
2 + 2x+ 2
x+
Bài Chứng minh hàm số sau nghịch biến tập xác định a)y = −x3 −mx2 −(m2 +n2)x−5(m+n) với giá trị m,n.
b)y = −x3 +mx2 −(2m2 −m+ 1)x+ m.
(22)a)y = 3x
3 + (m−1)x2 + (2m2 −2m+ 1)x b)y = mx−m−1
x−m
c)y = x3 −3mx2 + 9m2x−2m3 d)y = mx−m
2 −1
x+
e)y = x
2 −2mx−m2 −1
x−2m f)y =
x2 + 2mx
x−m
g)y = x3 + 2x
2 + cosx h)y = x3 +
2cos 2x
i)y = 2x3 −3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x−3m j)y = x+ sin2x k)y =
3x
3 +mx2 + (m+ 6)x−(2m + 1)
Bài Định m để hàm số sau đồng biến khoảng xác định a)y = x
3
3 −2x
2 +mx −2 b)y = x+m
x−m
c)y = (m−3)x+ cos2x d)y = x
2 + (m−2)x+m
x−1
e)y =
3(m−3)x
3 −2mx+ 3 f)y = 4x3 + (m+ 3)x2 +mx
Bài 10 Định m để hàm số sau đồng biến khoảng xác định a)y = mx +
x−1 b)y =
mx −1 2x+m
Bài 11 Định m để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định a)y = (2m−3)x−2
x−2 b)y =
mx −m+
x+m
c)y = mx+ 2x−m
Bài 12 Định m để hàm số a)y = m +
3 x
3−(m+ 2)x2−(3m−1)x+m2−2đồng biến trên
R
b)y = x3−3(m−1)x2 + (2m+ 1)x+m−2 nghịch biến (0; 3) c)y = mx3−3(m−1)x2 + 9(m−2)x+m2 đồng biến (2; +∞) d)y = −2x3 + 3(2m+ 1)x2 −6mx2 −2 Nghịch biến (−∞; 1)
Bài 13 Chứng minh giá trị m để hàm số y = x3 −(m + 1)x2 −(2m2 −3m + 2)x+ 2m(m −1)
(23)1.6 ÁP DỤNG 17
Bài 14 Tìm m để hàm số y = mx+
x+m
a) Đồng biến khoảng xác định hàm số b) Nghịch biến khoảng xác định hàm số
Bài 15 Tìm giá trị m để hàm số sau nghịch biến tập xác định a)y = −1
3x
3 −mx2 +mx−2.
b)y =
3(m −3)x
3 −2mx+ 3.
c)y = −x3 +mx2 −(2m2 −m+ 1)x+m.
Bài 16 Cho hàm số y = x
2 −2mx+ 3m2
x−2m
a) Định m để hàm số có hai khoảng đồng biến tập xác định b) Định m để hàm số đồng biến (1; +∞)
Bài 17 Cho hàm số y = −x
3
3 + (a−1)x
2 + (a+ 3)x−1
a) Định m để hàm số đồng biến tập xác định b) Định m để hàm số đồng biến (0; 3)
Bài 18 Định m để
a) Hàm số y = x3 + 3x2 −mx−4 đồng biến (−∞; 0)
b) Hàm số y = x3 + 3x2 −mx đồng biến (1; 3)
c) Hàm số y = 3x
3 −
2mx
2 + 1 đồng biến trên (3; +∞)
d) Hàm số y = x3 −3x2 + 3mx + đồng biến (−2; +∞)
e) Hàm số y = 2x3 −3mx2 + đồng biến (−∞; 5)
Bài 19 Định m để
a) Hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx−1 nghịch biến trên (0; +∞)
b) Hàm sốy = −x3+ 3x2+ 3(m−3)x−1nghịch biến trên (−1; +∞)
c) Hàm sốy = −1
3x
3+1
2(m−3)x
2+m−1nghịch biến trên (−∞; 9)
d) Hàm số y = 3x
3 +x2 +mx+ 1 nghịch biến trên (2; 3)
Bài 20 Định m để
a) Hàm số y = tanx+m
mtanx+ nghịch biến khoảng
0; π
(24)b) Hàm số y = sinx+
sinx+m đồng biến khoảng
0;π
c) Hàm số y = −cosx+m
cosx+ m nghịch biến khoảng
0; π
Bài 21 Với giá trị m hàm số y = x3+ 3x2+mx+m nghịch biến đoạn có độ dài
Bài 22 Với giá trị m hàm số y = 4x3 + (m+ 3)x2 +mx nghịch biến đoạn có độ dài
Bài 23 Với giá trị m hàm số y = 3x
3 −
2mx
2 + 2mx−3m + 1
nghịch biến đoạn có độ dài
Bài 24 Với giá trị m hàm sốy = −1
3x
3+(m−1)x2+(m+3)x−4
đồng biến đoạn có độ dài
1.7 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình
1 Một số kiến thức
Giả sử f(x) xác định liên tục D tồn giá trị lớn giá trị nhỏ
M = max
x∈D f(x) m = minx∈D f(x)
+ Phường trình
(
f(x) =α
m ∈ D có nghiệm m ≤α ≤ M + Bất phường trình
(
f(x) ≥ α
m ∈ D có nghiệm M ≥ α + Bất phường trình
(
f(x) ≤ α
m ∈ D có nghiệm m ≤ α + Bất phương trình f(x) ≥ α với x ∈ D chi m ≥ α + Bất phương trình f(x) ≤ α với x ∈ D chi M ≤ α
2 Một số toán
Bài Với giá trị m để phương trình x+√3x2 + = m có nghiệm thực.
Bài Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực √
(25)1.7 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 19
Bài Tìm giá trị m để phương trình sau có tập nghiệm R m√2x2 + + 2x ≥ 0
Bài Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm
(
x2 + 3xy +y2 = m xy +x+y =
* Bài tập tương tự
Bài Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm a) √3 +x+√6−x+ √18 + 3x−x2 = 2m + 1
b) √x+ √x+ = m
(26)(27)Chương 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2.1 Kiến thức cần nhớ
2.1.1 Dấu hiệu nhận biết cực trị hàm số
1 Điều kiện cần Giử sử y = f(x) liên tục lân cận x0 có
đạo hàm x0 Khi y = f(x) đạt cực trị x0 f0(x0) =
2 Điều kiện đủ
a) Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục [a;b] x0 ∈ (a;b)
Giả sử y = f(x) có đạo hàm (a;b) f0(x0) = Khi đó, f0(x0)
đổi dấu x qua x0, hàm số y = f(x) đạt cực trị x0
b) Giả sử hàm số y = f(x) xác định liên tục đoạn [a;b] Nếu x0 ∈
(a;b) Khi •
(
f0(x0) =
f00(x0) >
⇒ x0 điểm cực tiểu hàm số f(x)
•
(
f0(x0) =
f00(x0) <
⇒x0 điểm cực đại hàm số f(x)
•
(
f0(x0) =
f00(x0) 6=
⇒ x0 điểm cực trị hàm số f(x)
2.2 Một số tốn
2.2.1 Tìm cực trị hàm số khơng có tham số a Dùng quy tắc I để tìm cực trị hàm số
Quy tắc I: Để xác định cực trị hàm số ta thực bước sau - Tìm tập xác định hàm số
- Tính y0
- Giải phương trình y0 =
(28)- Tìm điểm mà hàm số y0 khơng xác định (nếu có)
- Xét dấu y0 Nếu y0 đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi
Bài Tìm cực trị hàm số
a) y = x3 −3x2 + b) y = x3 +x−1 c) y = x
4
2 −x
2 −
2
d) y = x4 + 3x2 −4 e) y = 2x+
3x−6 f) y =
2x2 −x−1
x+
Bài Tìm cực trị hàm số a) y = lnx
x b) y = xe
−x c) y = e2x−2ex
d) y = | −2x2+ 3x+ 5|
b Dùng quy tắt II để tìm cực trị hàm số
Quy tắc II: Để xác định cực trị hàm số ta thực bước sau - Tìm tập xác định hàm số
- Tính y0 y00
- Giải phương trình y0 = (Giả sử x1, x2, nghiệm phương
trình)
- Tính y00(xi) với i=1,2,
+ Nếu y00(xi) > hàm số f đạt cực tiểu xi
+ Nếu y00(xi) < hàm số f đạt cực đại xi
Tìm cực trị hàm số
a) y = x−sin 2x+ b) y = −2 cosx−cos 2x+
* Bài tập tương tự
Bài Tìm cực trị hàm số sau
a) y = 2x3 + 3x2 −36x−10 b) y = x4 + 2x2 −3
c) y = x4 −4x3 + d) y = x
2 + 4x+ 5
x+
e) y = 2x
2 −7x+ 5
x2 −5x+ 7 f) y = −x
4 + 4x2 + 5
Bài Tìm cực trị hàm số sau a) y = x
4
4 −x
3 + 3 b) y = −3x4 −8x3 + 30x2 + 27x−20
c) y = x
2 −2x+ 2
1−x d) y =
2x2 + 4x+
x2 + 1
e) y = −2x
2 +x+ 4
(x−1)2 f) y = | −2x
2 + 3x+ 5|
(29)2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 23
a) y = √x2 −2x+ 5 b) y = √5−4x−x2
c) y = x
5
5 − 5x3
3 + 4x d) y = −x
5 −5x3 + 20x+ 2
e) y = √1 +x+√1−x f) y = √x−√4−2x
Bài Tìm cực trị hàm số
a) y = x3 −3mx2 + 3(m2 −1)x−(m2 −1)
b) y = x
2 + (m+ 1)x−m4 −2m2 +m−1
x+
Bài Tìm cực trị hàm số sau a) y = lnx
x b) y = xe
−x
c) y = e2x−2ex d) y = lnx−x
Bài Tìm cực tị hàm số sau
a) y = sin 2x−3 b) y = x+ cos 2x+
c) y = cosx+
2cos 2x+ d) y =
√
3 sinx+ cosx+x
e) y = x√3 + sinx với x∈ (0; 2π) f) y = sinx+ cosx với x ∈ (−π;π)
2.2.2 Bài tốn cực trị có tham số
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx+ d, (a 6= 0) có cực trị (có cực đại, cực tiểu)
Phương pháp
Ta có:
y0 = 3ax2 + 2bx+c
Để hàm số có cực trị y0 = có hai nghiệm phân biệt, hay b2 −3ac >
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax3+bx2+cx+d, (a 6= 0) khơng có cực trị
Phương pháp
Ta có:
y0 = 3ax2 + 2bx+c
Để hàm số khơng có cực trị y0 = có vơ nghiệm nghiệm kép, hay
b2 −3ac 6
(30)Phương pháp
Ta có:
y0 = 3ax2 + 2bx+ c
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị d : y =
3
c− b
2
3a
x+ d− bc
9a
Dạng: Tìm giá trị tham số để đồ thị hàm số y = ax3+bx2+cx+d, (a 6= 0)
có cực trị A,B thỏa đk trục tọa độ
Phương pháp
Giả sử A(x1;x2) B(x1;x2) hai điểm cực trị hàm số Khi đó:
+ A, B nằm hai phía trục Oy x1.x2 <
+ A, B nằm phía trục Oy x1.x2 >
+ A, B nằm hai phía trục Ox y1.y2 <
+ A, B nằm phía trục Ox y1.y2 >
+ A, B đối xứng qua đường thẳng (d)
(
AB ⊥d
I ∈ d với I trung điểm AB
+ A, B cách đường thẳng d AB//d trung điểm I AB thuộc đường thẳng d
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 + bx2 +c, (a 6= 0) có cực trị
Phương pháp
Ta có
y0 = 4ax3 + 2bx
Để hàm số có cực trị y0 = có nghiệm phân biệt Suy 4ax3 + 2bx = có nghiệm phấn biệt
Hay
4ax3+2bx = ⇔x(4ax2+2b) = ⇔
x =
4ax2 + 2b= ⇔
x =
x2 = − b
2a Vậy để y0 = có nghiệm phân biệt b
2a <
(31)2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 25
Phương pháp
Để hàm số có cực tiểu cực đại
(
a >
ab <
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 + c, (a 6= 0) có cực tiểu cực đại
Phương pháp
Để hàm số có cực tiểu cực đại
(
a <
ab <
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4 +bx2 + c, (a 6= 0) có cực trị
Phương pháp
Để hàm số có cực trị
ab >
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2+c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác vuông cân
Phương pháp
- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác vuông cân
b3
8a + =
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2+c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác
Phương pháp
- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác b3
8a + =
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2+c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có góc 1200
(32)- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có góc 1200
b3
8a +
1 =
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có diện tích S
Phương pháp
- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có diện tích S
S =
s
− b
5
32a3
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R
Phương pháp
- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R
R = b
3 −8a
8|a|b
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A(0;c), B, C cho OA = BC
Phương pháp
- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A(0;c), B, C cho OA = BC
2b+ac2 =
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax4+bx2 +c, (a 6= 0) có điểm cực trị A(0;c), B, C Tính BC
Phương pháp
- Điều kiện đê hàm số có cực trị ab <
- Để hàm số có điểm cực trị A(0;c), B, C
BC =
r
− b
(33)2.2 MỘT SỐ BÀI TỐN 27
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax
2 +bx+c
dx+e có cực trị ( có cực tiểu cực đại)
Phương pháp
Ta có
y0 = adx
2 + 2aex+be−dc
(dx+e)2
Đặt g(x) =adx2 + 2aex+ be−dc
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị y0 = có hai nghiệm phân biệt khác −e
d, hay
∆0g >
g−e d
6
=
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = ax
2 +bx+ c
dx+ e khơng có cực trị
Phương pháp
Ta có
y0 = adx
2 + 2aex+be−dc
(dx+e)2
Đặt g(x) =adx2 + 2aex+ be−dc
Đồ thị hàm số khơng có cực trị y0 = vô nghiệm nghiệm kép khác −e
d, hay
∆0g 6
g−e d
6
=
Dạng: Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm sốy = ax
2 + bx+ c
dx+ e
Phương pháp
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = 2ax+b
d
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = f(x) có giá trị cực trị y0
x0
(34)Để hàm số y = f(x) có giá trị cực trị y0 x0
y0 = f(x0)
y0(x0) =
y00(x0) 6=
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = f(x) có giá trị cực đại y0
tại x0
Phương pháp
Để hàm số y = f(x) có giá trị cực đại y0 x0
y0 = f(x0)
y0(x0) =
y00(x0) <
Dạng: Tìm giá trị tham số để hàm số y = f(x) có giá trị cực tiểu y0
tại x0
Phương pháp
Để hàm số y = f(x) có giá trị cực tiểu y0 x0
y0 = f(x0)
y0(x0) =
y00(x0) >
Bài Tìm m để hàm số y = x3 −2x2 +mx−1 có cực trị
Bài Tìm m để hàm số y = (m−1)x3+ (m−1)x2+x có cực đại cực tiểu
Bài Tìm m để hàm số y = mx3+ 3mx2−(m−1)x−1 khơng có cực trị
Bài Tìm m để hàm số y = x4 +mx3 −2x2 −3mx+ có hai cực tiểu
Bài Tìm m để hàm số y = x
2 −mx+ 2
x+ có cực đại cực tiểu
Bài Tìm m để hàm số y = mx
2 + 6x−2
x+ có cực đại cực tiểu
Bài Tìm m để hàm số y = x4+ (m+ 3)x3+ 2(m+ 1)x2+ 5√7 có ba cực trị
Bài Tìm m để hàm sốy = −3x4+8x3−2(m+2)x2+4(m−1)x+20m+√3
(35)2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 29
Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x4+ 4mx3+ 3(m+ 1)x2+ có cực tiểu mà khơng có cực đại
Bài 10 Tìm m để hàm số y = x3−3mx2+ 3(m2−1)x−m2+ đạt cực đại x =
Bài 11 Tìm m để hàm số y = mx3 + (m2 −2)x2 −8x + đạt cực đại x=
Bài 12 Tìm m để hàm sốy = x
2 −(m+ 1)x+ 2m + 3
1−x đạt cực đại x =
Bài 13 Cho hàm số y = x3 +ax2+bx+ 3a+ Tìm a, b để hàm số đạt cực đại x = −1
Bài 14 Tìm giá trị a,b để hàm số y = 2x
2 −(a+ 1)x+ 2b
x−b đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x =
Bài 15 Cho hàm số y = 2x
2 −ax+ 5
x2 +b Tìm a b để hàm số đạt giá trị cực
đại x =
Bài 16 Tìm m để hàm số y = 4x3 +mx2 −3x có hai cực trị x1, x2 cho
x1 = −4x2
Bài 17 Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1)x2 + (m2 − 4m + 1)x− 2(m2 + 1) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 cho
1
x1
+
x2
= x1 +x2
Bài 18 Tìm m để hàm số y = x3 −2(m−1)x2 + 9x+ 2−m có hai cực trị x1, x2 cho |x1 −x2| =
Bài 19 Tìm m để hàm số y = x3−3(m+ 1)x2+ 9x−m có hai cực trị x1, x2
sao cho |x1 −x2| ≤2
Bài 20 Tìm m để hàm số y = 3x
3+ (m−2)x2+ (5m+ 4)x+m2+ 1 có hai
cực trị x1, x2 cho x1 < −1< x2
Bài 21 Tìm m để hàm số y = 3x
3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x +m2 − m có
hai cực trị x1, x2 cho −1 < x1 < x2
Bài 22 Tìm m để hàm số y = −2x3 + x+ 1−m(x2 −1)
a) Tìm m để hàm có cực trị
(36)c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Từ tìm m để yCĐ+yCT = 14
Bài 23 Cho hàm số y = x
2 −mx+ 5−m
x−m
a) Với giá trị m hàm số có cực đại cực tiểu b) Tìm m để giá trị cực đại cực tiểu dấu
Bài 24 Tìm m để hàm số y = mx
2 + 3mx+ 2m+ 1
x−1 có cực đại cực tiểu
hai điểm cực trị nằm hai phía trục Ox
Bài 25 Xác định k để hàm số y = −2x+k√x2 + 1 có cực tiểu.
Bài 26 Xác định a để hàm số y = −2x+ +a√x2 −4x+ 5 có cực đại.
* Bài tập tương tự
Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu a) y = x
2 −x+ m
x+ b) y = 2x
3 + 3(m + 1)x2 + 6(m −2)x−1
c) y = mx
2 −2x+m
x−1 d) y =
x2 −(m + 1)x+ 2m−1
x−m
e) y = √mx2 +x+ 1 f) y = m
3x
3 + 3x2 −2x+ 5
g) y = x3 −3x2 + 3mx h) y = x
2 + 2m2x+m2
x+
i) y = x+ + m
x−1
Bài Cho hàm số y = x
2 −mx+ 2
x−1
a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị b) Định m để hai giá trị cực trị dấu
Bài Cho hàm số y = x
2 + 2x+a
x2 −2x+ 2 với a tham số
Chứng minh hàm số ln có cực đại cực tiểu Tìm Quỹ tích điểm cực trị
Bài Tìm m để hàm số a) y = mx
2 +x+m2 −1
x−1 đạt cực đại x =
b) y = 3x
(37)2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 31
c) y = m 3x
3 −(m −1)x2 + 3(m−2)x+
3 đạt cực đại x =
d) y = −x3 −(2m−1)x2 + (m−5)x+ 1 đạt cực trị tại x = 1.
e) y = x
3
3 + (m
2−m+ 2)x2+ (3m2+ 1)x+m đạt cực đại (hoặc cực
tiểu) x = −2 f) y = x
2 +mx+ 1
x+m đạt cực đại x =
g) y = x4 + 2px2 −2 đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x = √2
Bài Cho hàm số y = x3 + 6mx2 −3(m+ 1)x+
a) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = b) Tìm m để hàm số không đạt cực trị x =
Bài Tìm m để hàm số
a) y = −x3 −(2m−1)x2 + (m−5)x+ 1 đạt cực trị tại x = 1
b) y = x
3
3 + (m
2 −m + 2)x2 + (3m2 + 1)x +m đạt cực đại ( hoặc
cực tiểu) x = −2
c) y = x
2 +mx+ 1
x+m đạt cực đại x =
Bài Tìm p để hàm số y = x4 + 2px2 −2 đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x= √2
Bài Cho hàm số y = x
2 −mx + 2n
x2 −2x+ 1 Tìm m n để hàm số đạt cực trị
bằng
4 x = −3
Bài Cho hàm số y = ax+bcosx hx∈ 0; π
i
Tìm a b để hàm số đạt cực trị π √
3
3 x=
π
3
Bài 10 Cho hàm số y = 3mx
3 −(m−1)x2 + 3(m −2)x+
3
a) Định m để hàm số có cực đại cực tiểu
b) Định m để hoành độx1, x2 điểm cực trị thỏax1+ 2x2 =
Bài 11 Với giá trị m hàm số a) y = x
2 + 2m2x+m2
(38)b) y = x+ + m
x−1 có cực đại cực tiểu
Bài 12 Tìm m để hàn số a) y = 2x
2 −3x+m
x−m có giá trị cực đại, cực tiểu cho |yCĐ −yCT| >
b) y = −x
2 + 3x+m
x−4 có giá trị cực đại, cực tiểu cho
|yCĐ −yCT| =
Bài 13 Tìm giá tri m để hàm số y = (m+ 1)x
2 −2mx−(m3 −m2 −2)
x−m có
cực đại cực tiểu x1, x2 cho 0< x1 < x2 <
Bài 14 Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + có cực tiểu khơng có cực đại
Bài 15 Chứng minh hàm số sau có cực đại cực tiểu a) y = x
3
3 −mx
2 + (m2 −1)x+m2 −1
b) y = x
2 +m(m2 −1)x−m4 + 1
x−m
c) y = x
2 + 2x+ m
x2 + 2
d) y = −x
2 +mx−2m
x2 −x+ 1
e) y = −x
2 −2mx−2(m2 −m+ 1)
x−m
f) y = x3 −(2m−1)x2 + (m2 −2)x+m g) y = x
2 −(m+ 1)x−2m2 −1
x−m
h) y = −x3 +mx2 −(2m2 −m+ 1)x+m
i) y = x
2 + (m2 + 2)x−m2 −1
x2 +x−2
(39)2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 33
a) y = x3 −2x2 +mx−1 b) y =
3(m−3)x
3 −2x2 +mx+m
c) y = x
2 −mx+ 2
x+ d) y =
−2x2 + (m+ 1)x+m−1
x−m
e) y = x
2 −mx+ 2m
(x+ 2)2
Bài 17 Cho hàm số y = x3 +ax2 +bx+ 3a+
Tìm m để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu)bằng x = −1
Bài 18 Cho hàm số y = 2x
2 −ax+ 5
x2 +b
Tìm a,b để hàm số đạt cực đại x =
Bài 19 Cho hàm số y = 2x
2 −(a+ 1)x+ 2b
x−b
Tìm a,b để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu)bằng x =
Bài 20 Cho hàm số y = x
2 −mx+ 2n
x2 −2x+ 1
Tìm m,n để hàm số đạt cực trị
4 x = −3
Bài 21 Tìm m để hàm số y = 3x
3 −mx2 −2(3m2 −1)x+
3 có cực trị
x1;x2 cho x1x2 + 2(x1 +x2) =
Bài 22 Tìm m để hàm số y = 3x
3 −(m−1)x2 + 3(m−2)x+
3 có cực trị
tại x1;x2 cho x1 + 2x2 =
Bài 23 Tìm m để hàm số y = x3 + (1−2m)x2 + (2−m)x+m + có cực trị x1;x2 cho |x1 −x2| >
1
Bài 24 Cho hàm số y = 3x
3 −mx2 + (m+ 2)x−1 Xác định m đê.
a) Hàm số có hai cực trị khoảng (0; +∞) b) Hàm số có cực trị khoảng (0; +∞)
Bài 25 Cho hàm số y = −x
2 + 3x+m
x−4 Tìm m để hàm số có cực trị
|yCĐ−yCT| =
Bài 26 Cho hàm số y = x
2 + 3x+m−2
x+ Tìm m để hàm số có cực trị
(40)Bài 27 Cho hàm số y = x
2 + (m + 2)x+ 3m+ 2
x+ Tìm m để hàm số có cực
trị yCĐ2 +yCT2 >
2
Bài 28 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu a) y = x3 −3x2 + 3mx+ 1−m b) y =
3x
3 +
2x
2 + (m+ 1)x.
c) y = −x3 + 3(m+ 1)x2 −(3m2 + 7m −1)x+m2 −1 d) y = (m−3)x3 −2mx+
e) y =
3(m+ 3)x
3 −2x2 +mx.
f) y = 3x
3 −
2mx
2 −2x+ 1.
g) y = 3x
3 −mx2 + (m2 −1)x+m2 −1.
h) y = x3 −(2m−1)x2 + (m2 −2)x+m
Bài 29 Chứng minh hàm số sau khơng có cực trị a) y = −x3 +mx2 −(2m2 −m+ 1)x+m.
b) y = −x3 + (m+ 1)x2 −(m2 + 2)x+m.
c) y = (k −1)x−2
−x+k
Bài 30 Tìm m để hàm số a) y =
3x
3 −mx2 + (m2 −m+ 1)x+ 1 đạt cực đại tại x = 1.
b) y = −x3 −(2m−1)x2 + (m −5)x+ 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
c) y = x3 −mx2 +
m−
3
x+ đạt cực tiểu x = d) y = x3 +mx2 + đạt cực đại x =
e) y = −x3 −(2m−1)x2 + (m−5)x+ 1 đạt cực trị tại x = 1.
f) y = mx3 + 3x2 + 5x+ đạt cực trị x = g) y =
3x
3+ (m2−m+ 2)x2+ (3m2+ 1)x+m đạt cực trị tại x = −2.
(41)2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 35
a) y = x4 −2mx2 + 2m có cực đại cực tiểu b) y = 2mx4 −x2 −4m+ có cực đại cực tiểu c) y = mx4 + (m2 −9)x2 + 10 có ba cực trị
d) y = mx4 + (m2 −1)x2 −2m+ 10 có ba cực trị e) y = x4 −2mx2 + 2m có cực trị
f) y = 2mx4 −x2 −4m + có cực trị g) y = mx4 + (m2 −9)x2 + 10 có cực trị h) y = mx4 + (m2 −1)x2 −2m+ có cực trị
i) y = x4 + 8mx3 + 3(2m+ 1)x2 + có cực tiểu khơng có cực đại
j) y = 4x
4 −mx2 +
2 có cực tiêu ngưng khơng có cực đại
Bài 32 Cho hàm số y = 3x4 + 4mx3 + 6mx2 + 24mx+ Biện luận theo m số cực trị hàm số
Bài 33 Tìm m để hàm số y = x4−2(m+ 1)x2+m2 có ba cực trị tạo thành tam giác vng
Bài 34 Tìm m để hàm số y = x4 −2m2x2 + có ba cực trị tạo thành tam giác vng
Bài 35 Tìm m để hàm số y = (m−2)x4 −2x2 + có ba cực trị tạo thành tam giác vuông
Bài 36 Tìm m để hàm số y = (1−m)x4−2mx2+ có ba cực trị tạo thành tam giác khơng vng
Bài 37 Tìm m để hàm số y = x4 −2mx2 + 2m+m4 có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích
Bài 38 Tìm m để hàm số y = x4 −2(m −3)x2 + có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn
Bài 39 Tìm m để hàm số y = mx4 −2x2 + có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ
Bài 40 Tìm m để hàm số y = x4 −2mx2 + 2m+m4 có ba cực trị tạo thành tam giác
(42)Bài 42 Tìm m để hàm số y = x4 + 2mx2 +m2 +m có ba cực trị tạo thành tam giác có góc 1200
(43)Chương 3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
3.1 Phần lý thuyết
Định nghĩa 3.1.1 Giả sử f(x) hàm số xác định miền D
1) Ta nói M giá trị lớn f(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) f(x) ≤ M, với x ∈ D
b) Tồn x0 ∈ D, cho f(x0) =M
Lúc đó, ta kí hiệu
M = max
x∈D f(x)
2) Ta nói m giá trị nhỏ f(x) D, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) f(x) ≥ m, với x ∈ D
b) Tồn x0 ∈ D, cho f(x0) =m
Lúc đó, ta kí hiệu
m =
x∈D f(x)
* Lưu ý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 +bx+ c Khi + Nếu a >
x∈R
f(x) = f
− b
2a
= −∆
4a + Nếu a < max
x∈R f(x) = f
− b
2a
= −∆
4a
(44)3.2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ hàm số
3.2.1 Phương pháp miền giá trị hàm số
* Phương pháp
Để tìm GTLN - GTNN hàm số phương pháp miền giá trị hàm số, ta sử dụng cách sau
Cách 1: Áp dụng cho hàm số biến đổi hàm số chức hàm sinX cosX
- Biến đổi hàm số dạng
y = A+BsinX y = A+BcosX y = A+Bsin2X y = A+Bcos2X - Với X ∈ R
−1 ≤ sinX ≤ 1; ≤ sin2X ≤
−1 ≤cosX ≤ 1; ≤ cos2X ≤
Từ ta có
m ≤ y ≤M
- Suy
max
x∈R y = M minx∈R y = m
Cách 2:Áp dụng cho hàm số biến đổi hàm số chức hai hàm sinX cosX
- Biến đổi hàm số dạng y = AsinX +BcosX + C - Với X ∈ R
−√A2 +B2 ≤ AsinX +BcosX ≤ √A2 +B2
Từ ta có
m ≤ y ≤M
- Suy
max
x∈R y = M minx∈R y = m
Cách 3: Áp dụng cho hàm số dạng y = A1sinX +B1cosX +C1
A2sinX +B2cosX +C2
- Biến đổi hàm số dạng AsinX + BcosX = C - Sử dụng điều kiện phương trình có nghiệm
(45)3.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 39
Từ ta có
m ≤ y ≤ M
- Suy
max
x∈R y = M minx∈R y = m
Cách 4: Áp dụng cho hàm số dạng y = a1x
2 +b
1x+c1
b2x+ c2
hoặc y = b1x+c1
a1x2 + b1x+c1
hoặc y = a1x
2 +b
1x+c1
a2x2 +b2x+c2
- Tìm miền xác định hàm số
- Biến đổi hàm số dạng Ax2 +Bx+C =
- Sử dụng điều kiện phương trình có nghiệm
∆ = B2 −4AC ≥
Từ ta có
m ≤ y ≤ M
- Suy
max
x∈R
y = M
x∈R
y = m
* Một số tốn
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = 2x
2 + 7x+ 23
x2 + 2x+ 10 b) y =
x−1 + 3−x−1
c) y = + cosx d)y = 3−4 sin2xcos2x e) y = + cos
2x
3 f) y = sin
2x−cos 2x
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a) y = √3 sinx+ cosx+ b) y = |√3 cosx−sinx+ 1| c) y = |√3 cosx−sinx−1| d) y = sin 2x+ 2√3 cos2x−2√3
e) y = sinx+ cosx−1 sinx−cosx+
* Bài tập tương tự
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số a) y = x
2 +x+ 2
x2 −x+ 2 b) y =
x+
(46)Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số
a) y = 3−2 sin 2x b) y = cos2x− π
3
−4
c) y = sin 2x+√3 cos 2x+ d) y = sin2x−cos 2x e) y = 3−4 sin2xcos2x f) y = 2√cosx−1−3
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số a) y = (2−√3) sin 2x+ cos 2x
b) y = (sinx−cosx)2 + cos 2x+ sinxcosx c) y = (sinx−2 cosx)(2 sinx+ cosx)−1
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số a) y = sinx+ cosx
sinx+ b) y =
1 + sinx
2 + cosx c) y = sinx+ cosx
sinx−sinx+ d) y =
cosx+ sinx+ cosx−sinx+
e) y = cosx+ sinx+
cosx+ sinx+ f) y =
2 sinx+ cosx+ sinx−2 cosx+
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số a) y = + cosx
sinx+ cosx−2 b) y =
sinx+ cosx+ sinx+ cosx+
3.2.2 Phương pháp bất đẳng thức
* Bất đẳng thức Cô-si
Cho số không âm a1, a2, , an Khi đó, ta có
a1 +a2 + +an
n ≥
n
√
a1.a2 an
Dấu xảy
a1 = a2 = = an
* Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki
Cho hai số a1, a2, , an b1, b2, , bn tùy ý Khi
a21 +a22 + + an2 b21 +b22 + +b2n≥ (a1b1 + a2b2 + +anbn)2
Dấu xảy a1
b1
= a2
b2
= = an
bn
(với quy ước bi = = 0)
(47)3.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 41
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a) y = √x−2 +√4−x b) y = √x+ +√6−x
c) y = 3x−1 + 3−x−1 d) y = 2x
2 + 7x+ 23
x2 + 2x+ 10
e) y = √3 cos 2x+ sin 2x+ f) y = sinx+ cosx+ sinx+ cosx+
* Bài tập tương tự
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số a)y = √x+ +√4−x b)y = 2x
2 + 10x+ 3
3x2 + 2x+ 1 3.2.3 Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Tìm GTLN - GTNN hàm số đoạn:
* Phương pháp:Để tìm GTLN - GTNN hàm số [a;b] ta thực bước sau
- Tính y0
- Giải phương trình y0 = Giả sử x1;x2; ;xn nghiệm y0
[a;b]
- Tính f(a);f(x1);f(x2); ;f(xn);f(b)
- Khi
max
x∈[a;b]y = max{f(a);f(x1);f(x2); ;f(xn);f(b)}
min
x∈[a;b]y = min{f(a);f(x1);f(x2); ;f(xn);f(b)}
* Bài tập áp dụng
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = x3 + 6x2 + 9x+ [−2; 2]
b) y = x4 −2x2 + [−3; 0]
c) y = −x3 + 3x2 −4x+ 3 trên [0; 2]
d) y = 2x+
x+ [0; 5]
e) y = x
2 −5x+ 4
5−x [1; 4] f) y = x
2 + 2x−5
x−1 [2; 4]
(48)Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a) y = √x−2 +√4−x b)y = x2−ln(1−2x)trên [−2; 0]
c) y = xex [−2; 2] d) y = sin 2x−x
h
−π
2;
π
2
i
e) y = x−ex [−2; 2] f) y = excosx h0; π
i
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a) y = x+√4−x2 b) y = √x+
x2 + 1 [−1; 2]
c) y = ln
2
x
x [1;e
3]
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = x6+ 4(1−x2)3 trên [−1; 1] b) y = √x+
x2 + 1 [−1; 2]
c) y = ln
2
x
x [1;e
3]
Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = cosx+
2cos 2x
b) y = sinx+ sin2x+ sinx+
c) y = sinx+ cosx+ sinxcosx
d) y = sin4x+ cos4x+ sinxcosx+ e) y = √x+ 1−√3−x−p
(x+ 1)(3−x)
* Bài tập tương tự
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau 1) y = x4 −2x2 [0;2]
(49)3.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 43
9) y = x3 −3x+ [0;3]
10) y = 2x3 −3x2 −36x [-5;4] 11) y = −x3 +x2 −x trên [-1;2]
12) y = 2x3 −3x2 [−12;12]
13) y = −x3 + 3x+ 1 trên [-2;0]
14) y = 2x3 + 3x2 −12x [-1;5] 15) y = + 4x−x2 [-1;3] 16) y = 2x3 −6x2 [-1;1]
17) y = 4x4 −12x3 + 10x2 [1;3]
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = |x2 −2x+ 3| trên [0; 2]
b) y = |x3 + 3x2 −4| [−1; 2]
c) y =
x−2
x+
trên [0; 2]
d) y =
x+
x
trên [1; 3]
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = x3 −6x2 + 9x [0;4]
b) y = −x2 + 4x+ 1 trên [-1;3]
c) y = x+√2−x2
d) y = √2 +x+√4−x e) y = √8−x2 −x
f) y = √1−x+ √1 +x
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = sinx−cos 2x
b) y = cos2x+ cosx c) y = cos 2x+ cosx+
d) y = cos3x−
2cos
2x+ cosx+
2
(50)f) y = sinx−4 sin3x [−π2; π2]
g) y = sinx−1 sinx+
h) y = sin2x−cosx+
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = x+ sinx [0;π]
b) y = sinx−1 [0;π]
c) y = cos2x+ cos22x
d) y = sin2x+ sin 2x−4 cos2x e) y = sinx+ sin 2x [0;3π2 ]
f) y = sin3x−3 sinx+
g) y = sinx+ sin2x+ sinx+
h) y = cos
2x−5 cosx+ 3
cosx−6
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau
a) y = (4 sinx−3 cosx)2 −(4 sinx−3 cosx) +
b) y = 126x4 −398x3 + 27x2 + 96x+ 52 [−12; 2]
c) y = √−x2 + 4x
d) y = √x+ +√3−x−p(x+ 1)(3−x)
e) y = √−x2 + 4x+ 21−√−x2 + 3x+ 10.
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = 3x+√10−x2
b) y = 2x+√5−x2
c) y = x5 −5x4 + 5x3 [−1; 2]
d) y = x4 −2x2 + [−2; 3]
e) y = x2 −2x+√8x−4x2 −2
f) y = 2x3 + 3x2 −36x+ [−1; 3]
g) y = x2 −x+ 2√x−x2 + 3
(51)3.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 45
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = (3−x)√x2 + 1 trên [0; 2]
b) y = x3 −3x2 −9x+ [−2; 2]
c) y = x+ 2√x [0; 4]
d) y = x2 + 16
x [
1 3; 1]
e) y = x
2 −3x
x+ [0; 3]
f) y = +√−x2 + 2x
g) y = 2x+ 1−
x+ [0; 1]
h) y = 2x+ +
2x+ [−1; 2]
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số sau a) y = sinx+
sinx+ [0;
π
2] b) y =
√
−x2 −2x+ 3
c) y = |x2 −3x+ 2| trên [−3; 3] d) y = lnx+√x2 +e2 trên [0;e]
e) y = x
2 +x+ 4
x+ [−4;−2] f) y =
q
−12x2 +x
g) y = x+√2 cosx [0;π2] h) y = x+ cos2x [0;π4]
i) y = √x+ +√3−x j) y = cos 2x+ sin2x
Tìm GTLN - GTNN hàm số khoảng:
* Phương pháp:Để tìm GTLN - GTNN hàm số (a;b) ta thực bước sau
- Tính y0
- Giải phương trình y0 = Giả sử x1;x2; ;xn nghiệm y0
(a;b)
- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên, suy
max
x∈(a;b)y; minx∈(a;b)y
* Bài tập áp dụng
(52)a) y = x4 +x2 −2 b) y = x3 −3x2 + 3x+
c)y = x
2 +x−1
x−1
3 2; +∞
d) y = x
2 −x−6
x−2 (−∞; 1]
e) y = 3x
2 + 3
2x2 +x+ 2 f) y =
8x−3
x2 −x+ 1
bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = 4√x2 −2x+ + 2x−x2 b) y = x
2
2 −
x với x > c) y = x
2 −2x+ 2017
x2 d) y =
x−1 + 3−x−1
* Bài tập tương tự
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số
a) y = √x+ +√4−x b) y = + sin2x c) y = 3x
2 −10x+ 20
x2 −2x+ 3 d) y =
x2 x2 + 2
e) y = 2−
5−3x f) y = x
2 +
x với x > g) y = x
x2 + 1 h) y = −x+ 5−
1
x [0; 4]
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số a) y = (3−x)√x2 + 1 b) y =
r
x+
x với x > c) y = −x+√2x2 + 3 d) y = 20x
2 + 10x+ 3
3x2 + 2x+ 1
e) y = √x+ √
x+ f) y =
x2 −x+
x2 +x+ 1
g) y = 2x
2 + 4x+ 5
x2 + 1 h) y = x
2 +
x với x >
Bài Tìm GTLN - GTNN hàm số
a) y = −2x2 + 8x+ b) y = 4x3 −3x4 c) y = 3x2 + 6x−2 d) y = 2x4 + 3x2 −3
e) y = (x+ 2)
2
x f) y =
x+
(53)3.3 MỘT SỐ BÀI CÓ THAM SỐ 47
3.3 Một số có tham số
Bài Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 + (m2 + 1)x + m + đạt GTLN đoạn [0; 1]
Bài Tìm tất giá trị m để hàm số y = mx+
x−m đạt GTLN −2trên đoạn [1; 2]
Bài Tìm tất giá trị m để hàm số y = 2x+ m−1
x+ đạt GTNN
trên đoạn [1; 2]
Bài Tìm tất giá trị m để hàm số y = x−m
2 +m
x+ đạt GTNN
−2 đoạn [0; 1]
Bài Biết GTLN hàm số y = ln
2x
x [1;e
3] bằng M = m
en,
trong m, n số tự nhiên Tính S = m2 + 2n3
Bài Xác định a b để hàm số y = ax+b
x2 + 1 đạt giá trị lớn 4,
giá trị nhỏ −1
* Bài tập tương tự
Bài Tìm giá trị m để hàm số a) y = x−m
2
x+ [1; 2] đạt GTNN
b) y = 3x
3 −mx2 + (2m2 −2m + 3)x+ 1
trên [1; 3] đạt GTNN 11
3
c) y = 2mx+
m−x [2; 3] đạt GTLN −
1
d) y = −x3 −3mx2 + 2 trên [0; 3] đạt GTNN 2
e) y = 2x−m
x+ [0; 1] đạt GTLN
f) y = x+ m
2 +m
x−1 [2; 8] đạt GTNN
g) y = x−m
2
(54)h) y = 2x−m
x+ [0; 1] đạt GTLN
i) y = 4x2 −4ax+a2 −2a đạt giá trị nhỏ [-2;0]
Bài Tìm giá trị m để hàm số
a) y = −x2 + 4x−m trên [−1; 3] đạt GTLN 10
b) y = x3 + (m2 + 1)x+m2 −2 [0; 2] đạt GTNN c) y = −x3 −3x2 +m trên [−1; 1] đạt GTNN bằng 0
d) y = x−m
mx + [1; 3] đạt GTNN
e) y = x3 −6x2 + 9x+m [0; 2] đạt GTLN −4
f) y = (m −2)x+m
2
x+ [−1; 2] đạt GTNN −
Bài Tìm giá trị m để GTNN củahàm số a) y = |x2 −2x+m| trên [0; 2] bằng 2
b) y = |x3 −3x+m + 1| trên [0; 2] bằng 3
c) y = |x4 −2x2 + 2m−3| trên [−2; 0] bằng 4
d) y =
x+m
x+
(55)
Chương 4
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 4.1 Lý thuyết
4.1.1 Tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x)
nếu điều kiện sau thỏa mãn:
lim
x→x−0
f(x) = +∞ lim
x→x−0
f(x) = −∞
lim
x→x+
f(x) = +∞ lim
x→x+
f(x) = −∞
4.1.2 Tiệm cận ngang
Đường thẳng y = y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy = f(x)
nếu điều kiện sau thỏa mãn:
lim
x→+∞f(x) = y0 x→−∞lim f(x) =y0 4.1.3 Tiệm cận xuyên
Đường thẳng y = ax +b (a 6= 0) gọi tiệm xiên đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn:
lim
x→+∞[f(x)−(ax+ b)] = x→−∞lim [f(x)−(ax+b)] =
* Lưu ý: Để xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau:
a = lim
x→+∞
f(x)
x (a 6= 0) ;b = limx→+∞[f(x)−ax]
hoặc
a = lim
x→−∞
f(x)
x (a 6= 0) ;b = limx→−∞[f(x)−ax]
(56)Đặt biệt: Nếu a = ta có tiệm cận ngang
4.1.4 Một số hàm đặc biệt
* Hàm biến y = ax+b
cx+d với ad 6= bc Hàm có tiệm cận đứng x = −d
c Hàm có tiện cận ngang y = a
c
* Hàm hữu tỉ y = ax
2 +bx+c
dx+e = mx+n+
p
dx+ e với ab 6= Hàm có tiệm cận đứng x = −e
d Hàm có tiện cận xiên y = mx+ n
4.2 Một số tốn
4.2.1 Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số
* Phương pháp
- Tìm tập xác định - Tìm giới hạn
lim
x→x±0
f(x)
trong x0 điểm đầu khoảng xác định
- Nếu giới hạn ±∞ đường thẳng x = x0 tiệm
cận đứng đồ thị hàm số
* Một số toán
Bài toán 4.1 Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: a) y = 3x−7
4x−4 b) y =
3x−8
x2 −3x+ 2 c) y =
2x+
√ x−3
d) y = x−3
x2 + 9 e) y =
x−2
x2 −3x+ 2
4.2.2 Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số
* Phương pháp
- Tìm tập xác định - Tìm giới hạn
lim
x→±∞f(x)
(57)4.2 MỘT SỐ BÀI TỐN 51
* Một số tốn
Bài tốn 4.2 Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau a) y = x
2 + 2x+ 3
5−4x−x2 b) y =
√
x2 −1 + 5x+ 3
2x+
4.2.3 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số
* Phương pháp
- Tìm tập xác định - Tìm giới hạn:
+ Nếuf(x) = ax+b+ c
mx+n thìx→±∞lim [f(x)−ax+b] = 0nêny = ax+b
là tiệm cận (xiên hay ngang) đồ thị hàm số
+ Nếu f(x) chưa viết ta tìm a, b theo cách sau: a = lim
x→+∞
f(x)
x (a 6= 0) ;b = limx→+∞[f(x)−ax]
hoặc
a = lim
x→−∞
f(x)
x (a 6= 0) ;b = limx→−∞[f(x)−ax]
* Lưu ý: Nếu a = ta có đường tiệm cận tìm tiệm cận ngang
* Một số toán
Bài tốn 4.3 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau:
a) y = 4x+ +
2x−8 b) y =
√
x2 −4x+ 4x 4.2.4 Một số toán liên quan đến tiệm cận
Bài toán 4.4 Cho (Cm) : y =
x2 +mx−1
x−1
Tìm m cho tiệm cận xiên (Cm) tạo với hai trục tọa độ tam giác
có diện tích
Bài toán 4.5 Cho hàm số (C): y = 2x+
x−3
a) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm (C) đến hai đường tiệm cận số khơng phụ thuộc vào vị trí M
b) Tìm M ∈ (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ
Bài toán 4.6 Cho hàm số (C): y = x
2 + 3x−1
x−2
(58)hai đường tiệm cận số không phụ thuộc vào vị trí M
b) Tìm M ∈ (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ
Bài toán 4.7 Cho hàm số (C): y = x
2 −x+ 1
x−1
Tìm M ∈ (C) cho khoảng cách từ M đến giao điểm I hai tiệm cận bé
Bài toán 4.8 Cho hàm số (C): y = x+
x−3
Tìm M ∈ (C) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
* Bài tập tương tự
Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm sô sau: a) y = 2x+
4−x2 b) y =
3x2 + 9x−12
x2 +x−2
c) y = 2x−5 +
3−x d) y =
3x2 + 4x−4
x−3
e) y = x
3 +x+ 2
x2 −1 f) y =
−x+
x3 + 1
Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm sô sau: a) y = 2x−4 +√x2 −4x+ 3 b) y = √x+
x2 + 1
Bài Cho (Cm) : y =
2x2 + (m + 1)x−3
x+m
a) Định m để tiệm cận xiên hàm số qua A(1;5)
(59)Chương 5
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5.1 Lý thuyết
5.1.1 HÀM BẬC BA y=ax3+bx2+cx+d(a6= 0)
a Các bước khảo sát b Các dạng đồ thị
c Một số ví dụ
Ví dụ 5.1.1 Cho hàm số (C): y = x3 −3x2 +
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vài đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 −3x2 + +m =
(60)Ví dụ 5.1.2 Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 4x+
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 5.1.3 Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 3x+
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
5.1.2 HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG y=ax4+bx2+c a Các bước khảo sát
b Các dạng đồ thị
c Một số ví dụ
Ví dụ 5.1.4 Cho hàm số (C): y = x4 −2x2 +
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vài đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 −2x2 +m =
Ví dụ 5.1.5 Cho hàm số (C): y = −x
4
2 −x
2 +
2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vài đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 + 2x2 + +m =
5.1.3 HÀM NHẤT BIẾN y= ax+b
cx+d (ad 6=bc a Các bước khảo sát
(61)5.1 LÝ THUYẾT 55
c Một số ví dụ
Ví dụ 5.1.6 Cho hàm số (C): y = 2x+
x+
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị m để đường thẳng y = −2x+ m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt
Ví dụ 5.1.7 Cho hàm số (C): y = 2x−1
x−1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị m để đường thẳng y = x+m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho AB =
5.1.4 HÀM HỮU TỶ y= ax
2+bx+c
dx+e a Các bước khảo sát
(62)c Một số ví dụ
Ví dụ 5.1.8 Cho hàm số (C): y = x
2 −4x+ 5
x−2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm (C) điểm có tọa độ nguyên
Ví dụ 5.1.9 Cho hàm số (C): y = −x+ +
x−1
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm (C) điểm có tọa độ ngun
Bài tập tương tự
Bài Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau
a) y = −x3 −3x2 + 4 b) y = −x3 −x−4
c) y = 3x
3 + x2 + x d) y = x3 −6x2 + 9x−1
e) y = x3 + 3x2 + 3x f) y = 2x3 −9x2 + 12x−4
(63)5.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 57
Bài Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau
a) y = 2x2 −x4 b) y = 2x4 −4x2 + c) y = 4x
4 −2x2
d) y = 2x
4 + 3x2 e) y = x4 −2 g) y = x4 + 6x2 + 3
Bài Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau a) y = 2x+
x−1 b) y =
x
2−x c) y =
2x+
x+
d) y = x+
x+ e) y =
x+
x+ f) y =
−2x x+
g) y = 3−x 2x
Bài Cho hàm số y = x3 −3x2 +
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
−2x3 + 6x2 +m+ =
Bài Cho hàm số (C): y = x4 −2x2 +
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị m để đường thẳng y = −m + cắt (C) hai điểm phân biệt
Bài Cho hàm số (C): y = 2x+
x+
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị m để đường thẳng y = −x +m cắt (C) hai điểm phân biệt
5.2 Một số toán 5.2.1 Một số lưu ý
Cho hàm số (C): y = f(x) p;q hai số dương tùy ý 1) Tịnh tiến (C) lên q đơn vị hàm số y = f(x) + q 2) Tịnh tiến (C) xuống q đơn vị hàm số y = f(x)−q 3) Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị hàm số y = f(x+p)
(64)Ví dụ 5.2.1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y = |x−2|3 −3|x−2|+ 4 b) y = |x−1|
2 −2|x−1| −3
|x−1|
5.2.2 Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = |f(x)|
phương pháp
y = |f(x)| =
f(x) f(x) >
−f(x) f(x) <
Để vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)| ta thục bước sau - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trục hồnh
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh, qua trục Ox - Xóa phần thị phía trục hồnh
Ví dụ 5.2.2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y = |x2 −2x−1| b) y = x2|x2 −2|
c) y =
x−2
x−5
d) y = |x4 −2x2 −8|
e) y = |x4 −5x2 + 4| f) y = |x3 −4x2 + 3|
g) y =
x2 +x+
x+
Dạng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = f(|x|)
phương pháp
y = f(|x|) =
f(x) x >
f(−x) x <
Hàm số y = f(|x|) hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung Để vẽ đồ thị hàm số y = f(|x|) ta thục bước sau
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
- Giữ phần đồ thị bên phải trục tung - Xóa phần đồ thị bên trái trục tung
- Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung
(65)5.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 59
a) y = x2 −2|x|+ b) y = |x|+
|x| −1
c) y = |x|3 −3x2 d) y = 2|x|3 −9x2 + 12|x|
e) y = |x|3 − |x|+ 4 f) y = |x|3 −3x2
g) y = 2|x|3 −9x2 + 12|x| h) y = |x|3 − |x|+ 4
Dạng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số y = |f(|x|)|
phương pháp
Để vẽ đồ thị hàm số y = f(|x|) ta thục bước sau - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
- Suy đồ thị hàm số = f(|x|)
- Suy đồ thị hàm số y = |f(|x|)|
Ví dụ 5.2.4 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y =
x2 − |x|+
|x| −1
b) y = |x2 −4|x|+ 3|
Dạng: Từ đồ thị hàm số y = u(x).v(x) suy đồ thị hàm số y =
|u(x)|.v(x) phương pháp
y = |u(x)|.v(x) =
u(x).v(x) u(x) >
−u(x).v(x) u(x) <
Để vẽ đồ thị hàm số y = |u(x)|.v(x) ta thục bước sau - Vẽ đồ thị hàm số y = u(x).v(x) với điều kiện u(x) >
- Bỏ phần đồ thị phần u(x) <
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị cịn lại
Ví dụ 5.2.5 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y = x|x2 −3x| b) y = (x2 −2x−2)|x−1|
Bài tập tương tự
Bài Vẽ đồ thị hàm số sau
a) y = |x4 −2x3| b) y = |x3 −3x| c) y = |x3 −3x2|
d) y =
x+
x−1
e) y =
x x−1
(66)
Bài Vẽ đồ thị hàm số sau
a) y = −|x|3 + 3|x| b) y = |x|3 −3x2 c) y = |x|+
|x| −1
d) y = |x|
|x| −
Bài Vẽ đồ thị hàm số sau a) y = |x+ 1|
x−1 b) y =
x
|x−1| c) y = |x−2|(x
2 −1)
d) y = (x−2)|x2 −1|
5.2.3 Một số toán liên quan vẽ đồ thị
a Một số toán giao điểm Bài tập tương tự
Bài Tìm giao điểm đồ thị hàm số
a) y = x3 −3x đường thẳng y = (trục hoành) b) y = x4 −4x2 −5 đường thẳng y = (trục hoành) c) y = x3 −3x2 + đường thẳng x = (trục tung) d) y = x4 + 3x2 +x−4 đường thẳng x = (trục tung) e) y = x3 + 3x2 −4 đường thẳng y = (trục hoành) f) y = x4 −3x2 đường thẳng y = (trục hoành) g) y = √x2 + 2x+ 9 và đường thẳng x= 0
Bài Tìm giao điểm đồ thị hàm số a) y = 2x+
x−1 đường thẳng y = x+
b) y = x3 −6x2 + 8x+ đường thẳng x+y −1 =
c) y = x
2 −x−2
x+ đường thẳng 2x−y −1 =
d) y = 2x+
x−2 đường thẳng 5x+ y−2 =
f) y = x4 −2x2 + y = 2x2 +
g) y = −2x−4
x+ y = x
2 −4
Bài Cho hàm số y = x
2 + 2x+ 2
(67)5.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN 61
a) Tìm giao điểm A, B d (C)
b) Tính khoảng cách từ góc tọa độ O đến đường thẳng AB c) Tính diện tích tam giác OAB
Bài Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số y = x
x−1 cắt đường thẳng mx−y+ = hai
điểm phân biệt
b) Đồ thị hàm số y = x3 −3x2 + (2m −3)x cắt trục hoành ba điểm phân biệt
c) Đồ thị hàm sốy = 3x
3−x2−4x+1cắt đường thẳngmx−y+1 = 0
tại ba điểm phân biệt
e) Đồ thị hàm số y = x4 −2mx2 + cắt trục hoành bốn điểm phân biệt
f) Đồ thị hàm số y = x4 −(m−2)x2 +m−3 cắt trục hoành hai điểm phân biệt
Bài Tìm giá trị m cho
a) Đồ thị hàm số y = 2x+
x+ cắt đường thẳng x+y +m = hai
điểm phân biệt A,B cho AB =
b) Đồ thị hàm số y = 2x−2
x+ cắt đường thẳng 2x−y + m =
hai điểm phân biệt A,B cho AB = √5
c) Đồ thị hàm số y = 2x−1
x−1 cắt đường thẳng x−y +m = hai
điểm phân biệt A,B cho ∆OAB vuông O
d) Đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + cắt đường thẳng x+y −1 =
tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 cho x12+x22+x23 =
e) Đồ thị hàm số y = 2x+
x+ cắt đường thẳng x+y+m = hai
điểm phân biệt A,B cho AB ngắn
Bài Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = 3x
3−mx2−x+m+
3 cắt trục
hồnh ba điểm có hồnh độ x1, x2, x3 cho x12 +x22 +x23 > 15
Bài Cho hàm số (C): y = x4 −2mx2 + m+ Tìm giá trị m để a) Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt
(68)Bài Cho hàm số (Cm) : y = x4 −(3m + 2)x2 + 3m Tìm giá trị m để
đường thẳng y = −1 cắt (Cm) điểm có hồnh độ nhỏ
Bài Cho hàm số (Cm) : y = x3 −3x+m Tìm giá trị m để
a) Đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành điểm
b) Đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành ba điểm phân biệt
Bài 10 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x3−3x2−9x+m cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng
Bài 11 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x4 −(m + 1)x2 + m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng
Bài 12 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = 2x+
x+ cắt đường thẳng y =