Chøng minh r»ng mäi nhãm con G còng lµ nhãm Xyclic.[r]
(1)Bộ giáo dục đào tạo
TrẺởng ưỈi hồc Vinh Cờng hòa x· hời chũ nghịa Việt Namườc lập - Tỳ - HỈnh phục ưề thi tuyn sinh cao hc nm 1999
Môn: Đại số Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Gọi E n+1Là không gian véctơ tất đa thức ẩn có bậc n víi hƯ sè thùc Trong
1
+ n
E cho đa thức uk ( )x với ≤k ≤n xác định sau:
0
0 =
u ;uk ( )x =x ( )( x− x−2) ( L x−k+1) víi k n
a) Chứng minh đa thøc { }n k k
u = 0 lập thành sở E n+1
b) Hãy chứng tỏ tồn phép biến đổi tuyến tính ϕ E n+1 thoả mãn n+1
®iỊu kiƯn ( ) k k
u
x =
ϕ , k =0 , ,12, K ,n Vµ ϕ lµ mét song ¸nh
c) Xác định ánh xạ ∂ :E n+1 → E n+1 điều kiện ∂ [ ] p ( )x = p( ) ( )x+1 − p x ; ∀p x ( ) ∈ E n+1 Hãy chứng minh ∂ ánh xạ tuyến tính Tìm nhân ảnh của∂ Tìm đa thức
( ) ( uk x )
∂ ;k =0 ,,12, K ,n
Câu a) Cho G nhóm Xyclic Chứng minh nhóm G nhóm Xyclic. b) Gọi x phần tử sinh nhóm Xyclic G Hãy tìm tất nhóm G đẳng
cÊu víi G
c) Chứng tỏ nhóm cấp hữu hạn nguyên tố nhóm Xyclic Câu Ta gọi trường ngun tố khơng chứa trường thực nào.
a) Chứng minh trường ssó hữu tỉ Ơ trường lớp đồng dư Â p (với p số nguuyên tố ) trường số nguyên tố
b) Cho X trường nguyên tố Chứng tỏ X≅ Ô X≅ Â p (với p số nguyên tố đó)
Câu Giả sử phép biến đổi tuyến tính ϕ không gian R3 sở đơn vị có ma trận là:
8 1
A
− −
= − − −
a) Tìm giá trị riêng véc tơ riªng cđa ϕ
b) Tìm sở R3 mà ma trận ϕ có dạng tam giác Viết ma trận đó.