[r]
(1)+ Bài toán tiếp tuyến với đường cong: Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có daïng: yf x' 0 x x 0y0
1 Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong điểm M x y 0; 0thuộc đồ thị hàm số (tức tiếp tuyến nhận M x y 0; 0làm tiếp điểm).
Phương trình tiếp tuyến với hàm số C : yf x điểm M x y 0; 0 C ( x x 0) có dạng: yf x' 0 x x 0y0
2 Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong qua điểm A x y A; Acho trước, kể
cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức tiếp tuyến qua điểm A x y A; A)
Cho hàm số C : yf x Gỉa sử tiếp điểm M x y 0; 0, phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x' 0 x x 0y0 d
Điểm A x y A; A d , ta được: yA f x' 0 xA x0y0 x0 Từ lập phương trình tiếp tuyến d
Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k
Cho hàm số C : yf x Gỉa sử tiếp điểm M x y 0; 0, phương trình tiếp
tuyến có dạng: yf x' 0 x x 0y0 d
Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d nghiệm phương trình: f x' 0 k x0, thay x0 vào hàm số ta y0 f x 0
Ta lập phương trình tiếp tuyến yf x' 0 x x 0y0 d Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng qua điểm M x y 0; 0có hệ số góc k có dạng:
y g x k x x. 0y0 d
Điều kiện để đường thẳng y g x tiếp xúc với đồ thị hàm số yf x
hệ phương trình sau có nghieäm:
' '
f x g x f x g x
Từ lập phương trình tiếp tuyến d 6/ Cho hàm số y x 3 3x2 2 C
a/ Lập phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị C , từ điểm
23 ; M
(2)b/ Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị C , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 3x 5y 0 .
Giaûi:
a/ Gỉa sử tiếp điểm M x y 0; 0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: d :yy x' 0 x x 0y0 d :y3x02 6x0x x 0x30 3x022 1 Điểm
23 ; M
thuộc d , ta được:
02 0 03 02 02 0 0
23 20
2 2 2
9 3
x x x x x x x x x x x
Với
0
x thay vào 1 ta tiếp tuyến d1 :y 1
Với x 0 3 thay vào 1 ta tiếp tuyến d2 :y9x 25
Với
1 x
thay vào 1 ta tiếp tuyến 3
5 61 :
3 27 d y x b/ Đường thẳng : 3x 5y 0 có hệ số góc
3
5 Từ giả thiết , ta có:
'
5 y x
2
1
5
3 18
3 3
x x x x x x
Heä số góc tiếp tuyến
5 k
. Với
1 x
ta tiếp tuyến 1 1
5 1 61
: :
3 3 27
d y x y d y x
Với x
ta tiếp tuyến 2 2
5 5 29
: :
3 3 27
d y x y d y x
7/ Cho hàm số y x 4 x2 C
Chứng tỏ qua điểm A 1;0có thể kẽ ba tiếp tuyến đến C Lập phương trình các tiếp tuyến đó.
Giải:
Gỉa sử tiếp điểm M x y 0; 0 Khi phương trình tiếp tuyến có dạng: d : yf x' 0 x x 0y0 d : y4x03 2x0.x x 0x04 x02 1 Điểm A 1;0thuộc d , ta có:
0 0 0 0 0 0
2
0
3
x x x x x x x x x x x x
Với x 0 1 thay vào 1 ta tiếp tuyến d1 :y2x
Với x 0 0 thay vào 1 ta tiếp tuyến d2 :y 0
Với x
thay vào 1 ta tiếp tuyến 3
4
:
27 27
d y x
Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thị kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng năm gần đây
(3)a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 , biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A B, tam giác OAB cân gốc tọa độ O.
(Đại Học Khối A năm 2009) Đáp số: yx 2.
Bài Cho hàm số y2x4 x2 C .
a/ Khảo sát vẽ đồ thị C
b/ Với giá trị m, phương trình x x2 m có nghiệm phân biệt? (Đại Học Khối B năm 2009)
Đáp số: m 0; 1
Bài Cho hàm số y x 4 3m2x23 m C m, m laø tham soá.
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m 0
b/ Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị Cm điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ
hơn 2.
(Đại Học Khối D năm 2009)
Đáp số:
1
; ;
m m
.
Bài Tìm giá trị tham số m để đường thẳng yx m cắt đồ thị hàm số
2 1 x y
x tại hai điểm phân biệt A B, cho AB 4.
(Đại Học Khối B năm 2009) Đáp số: m2 6; m2
Bài Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y2x m cắt đồ thị hàm số
2 1
x x y
x
tại hai điểm phân biệt A B, cho trung điểm đoạn thẳng ABthuộc trục tung.
(Đại Học Khối D năm 2009) Đáp số: m 1.
(4)b/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 , biết tiếp tuyến qua điểm M 1; 9 .
(Đại Học Khối B năm 2008)
Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là:
15 21
24 15;
4
y x y x Bài Cho hàm số y x 3 +4 1x2 .
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1
b/ Chứng minh đường thẳng qua điểm I1; 2 với hệ số góc k k 3 đều cắt đồ thị hàm số 1 tại ba điểm phân biệt I A B, , đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB.
(Đại Học Khối D năm 2008)
Baøi Cho haøm soá
x
y C
x
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số C .
b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc C , biết tiếp tuyến C cắt trục Ox Oy, A B, và tam giác OAB có diện tích
1 4.
(Đại Học Khối D năm 2007)
Đáp số: 2
; -2 ; 1; ;
M M
.
Bài Cho hàm số y2x3 9x212x C
a/ Khảo sát vẽ đồ thị C
b/ Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm phân biệt:
3 2
2 x 9x 12x 4m (Đại Học Khối A năm 2006) Đáp số: m 4; 5
Bài 10 Cho hàm số yx3 3x2 C a/ Khảo sát vẽ đồ thị C
b/ Gọi d đường thẳng qua điểm A3; 20 có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị C điểm phân biệt.
(5)Đáp số:
15 24 m m
Baøi 11 Cho hàm số
2 1
x x
y C
x
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C , biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên C ?
(Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006) Đáp số: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yx2 5; yx 2 5.
Bài 12 Cho hàm số
2 1
x x
y C
x
Tìm điểm đồ thị C mà tiếp tuyến điểm với đồ thị C vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu C ?
(Cao Đẳng Y Tế I năm 2006)
Đáp số:
2 5
1 ;3 ; ;3
3 6
M M
Baøi 13 Cho hàm số
1
2
2
y x C
x
Tìm giá trị m để đường thẳng y m cắt đồ thị C hai điểm cho khoảng cách chúng 12?
(Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006) Đáp số: m4; m4
Bài 14 Cho hàm số y2x3 3x21 C a/ Khảo sát vẽ đồ thị C
b/ Tìm m để đường thẳng y mx 1, m tham số cắt đồ thị C điểm phân biệt, có hai điểm có hồnh độ dương.
(Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006)
Đáp số:
9 ; m
Baøi 15 Cho hàm số
3
1
3 m
m
(6)b/ Gọi M là điểm thuộc Cm có hồnh độ 1 Tìm mđể tiếp tuyến Cm tại
điểm M song song với đường thẳng 5x y 0.
(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005) Đáp số: m 4
Baøi 16 Cho haøm soá
x
y C
x
Chứng minh đường thẳng y x m
cắt C hai điểm phân biệt A B, . Xác định msao cho độ dài ABlà nhỏ nhất?
(Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005) Đáp số: m 2
Bài 17 Cho hàm số yx33x2 C a/ Khảo sát vẽ đồ thị C
b/ Tìm m để phương trình x3 3x 2m 6 0
có nghiệm phân biệt.
(Cao Đẳng Tài Chính Kế Tốn IV năm 2005) Đáp số: m 2; 3
Baøi 18 Cho hàm số
x
y C
x
Xác định m để đường thẳng y2x m cắt C hai điểm phân biệt A B, sao cho tiếp tuyến C A B, song song nhau?
(Cao Đẳng Sư Phạm TP Hồ Chí Minh năm 2005) Đáp số: m 1
Bài 19 Cho hàm số
2 2 2
x x
y C
x
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3 15 y x
?
(Cao Đẳng Khối A-B năm 2005) Đáp số: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3x 4y 0; 3 x 4y 1
Bài 20 Cho hàm số
2 3 3
2
x x y
x
, m tham số
(7)(Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2004)
Đáp số:
1 5
;
2
m m .
Bài 21 Cho hàm số
3
1
2 3
y x x x C a/ Khảo sát vẽ đồ thị C
b/ Viết phương trình tiếp tuyến C điểm uốn chứng minh tiếp tuyến C có hệ số góc nhỏ nhất.
(Đại Học , Cao Đẳng Khối B năm 2004)
Đáp số: Phương trình tiếp tuyến điểm uốn:
3 yx Bài 22 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
2
1
, , ,
sin
y y x x
x cos x
(Học Viện Kỷ Thuật Quân Sự năm 2000)
Đáp số:
2
4
3 S
(ñvdt)
Bài 23 Cho hình phẳng D giới hạn đường yx , 2 y4 Tình thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh:
a/ truïc Ox; b/ Truïc Oy
(Đại Học Hàng Hải năm 2000)
Đáp số: a/
256 V
(ñvtt) ; b/
128 V
(đvtt) Bài 24
a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x 2 2x2, y x 24x5, y1
b/ Cho hình phẳng D giới hạn đường y 4 x2, y x 22 Quay hình phẳng D quanh trục Ox, ta vật thể tròn xoay Tính thể tích vật thể đó.
(Đại Học Thủy Sản năm 2000) Đáp số: a/
21 S