Tìm m để hàm số có các điểm cực đại cực tiểu lập thành một tam giác vuông cân.. Bài 8.[r]
(1)TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
(2)CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Xét hàm số y =f(x)liên tục khoảng (a;b) x0 ∈(a;b)
Định lý 0.1 Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f(x) có
đạo hàm điểm x0 f
0
(x0) =
1.2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 0.2 Giả sử hàm số y=f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có
đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) Khi đó:
a Nếu f0 < với x ∈ (a;x0) f
0
> với x ∈ (x0;b) hàm số f(x)
đạt cực tiểu điểm x0
b Nếu f0 > với x ∈ (a;x0) f
0
< với x ∈ (x0;b) hàm số f(x)
đạt cực đại điểm x0
Nhận xét 0.1 Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm
x0 điểm cực trị
Từ định lí 0.2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
Quy tắc 0.1 Để tìm cực trị hàm số y=f(x) ta thực bước:
Bước 1: Tính f0(x)
Bước 2: Tính điểm xi(i = 1,2 ) đạo hàm hàm số hàm
(3)3
Bước 3: Xét dấu f0(x) Nếu f0(x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị
tại xi
Định lý 0.3 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0, f
0
(x0) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0
a Nếu f00 <0 hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0
b Nếu f00 >0 hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0
Từ định lí 0.3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
Quy tắc 0.2 Để tìm cực trị hàm số y=f(x) ta thực bước:
Bước 1: Tính f0(x)
Bước 2: Tính nghiệm xi(i= 1,2 ) phương trình f
0
(x) =
Bước 3: Xét dấuf00(xi) kết luận theo định lí 0.3
2. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
2.1 Dạng 1: Tìm cực trị hàm số
Phương pháp: Chúng ta sử dụng qui tắc để tìm cực trị hàm số, với ý gặp hàm số bậc cao, có chứa thức, hàm lượng giác thường sử dụng quy tắc
Ví dụ 0.1 Tìm diểm cực trị hàm số:y = 3−2 cosx−cos 2x Giải
TXĐ: D=R
Đạo hàm: y0 = sinx+ sin 2x, y00 = cosx+ cos 2x y0 = ⇔2 sinx+ sin 2x= 0⇔2(1 + cosx) sinx=
⇔x=±2π
3 +k2π x=kπ, k ∈Z
Ta có:
• Với x=±2π
3 +k2π ta nhận
y00
±2π
3 +k2π
<0⇒hàm số đạt cực đại điểmx=±2π
3 +k2π, k∈Z
• Với x=kπ ta nhận
(4)BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm điểm cực trị hàm số sau: a y=x−sin 2x+
b y=|x|(x+ 2)
c y=−2x+ 3√x2+ 1
d y=√3 sinx+ cosx+2x+
2.2 Dạng 2: Tìm m để hàm số f(x;m) có cực trị, cực trị thỏa mãn tính chất P
Phương pháp1
Để thực yêu cầu điều kiện có cực trị hàm số y = f(x) ta thực bước sau:
Bước 1: Miền xác định
Bước 2: Tính đạo hàm y0
Bước 3: Lựa chọn theo hai hướng:
Hướng 1: Nếu xét dấu y0 sử dụng qui tắc 1, với lập luận:
Hàm có k cực trị ⇔ Phương trình y0 = có k nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm
Hướng 2: Nếu khơng xét dấuy0, tốn u cầu cụ thể cực đại cực tiểu sử dụng qui tắc 2, việc tính thêm y00 Khi đó:
1 Hàm số có cực trị ⇔hệ sau có nghiệm thuộc D (
y0 =
y00 6=
2 Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D (
y0 =
y00 >0
3 Hàm số có cực đại ⇔hệ sau có nghiệm thuộc D (
y0 =
y00 <0
(5)5
4 Hàm số đạt cực tiểu x0 điều kiện là:
x0 ∈D
x0 điểm tới hạn
y00(x0)>0
5 Hàm số đạt cực đại x0 điều kiện là:
x0 ∈D
x0 điểm tới hạn
y00(x0)<0
Ngồi ra, với hàm đa thứcy=f(x)thì điều kiện để" Hàm số đạt cực trị điểm x0" là:
(
y0(x0) =
y00(x0)6=
Chú ý 0.1 Chúng ta xét hàm sau đây:
1 Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3+bx2+cx+d. (a6= 0)
y0 = 3ax2+ 2bx+c
Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔y0 = có hai nghiệm phân biệt Hàm trùng phương: y=f(x) =ax4+bx2+c (a 6= 0)
y0 = 4ax3 + 2bx= 2x(2ax2+b)
Hàm số có cực trị ⇔
(
a6=
b=
(
a6=
a.b >0
Hàm số có cực trị: ⇔
(
a 6=
a.b <
Ví dụ 0.2 Tìm m để hàm số sau có cực trị: a y=
3x
3−
mx2+ (2m2−3m+ 2)x+
(6)a TXDD=R
Đạo hàm:
y0 =x2−2mx+ 2m2−3m+
y0 = ⇔x2 −2mx+ 2m2−3m+ =
Hám số có cực trị phương trình y0 = có nghiệm đổi dẩu qua nghiệm đó:
⇔ 40y0 >0⇔m2−2m2+ 3m−2>0⇔m2−3m+ <0⇔1< m <2
Vậy, với 1< m <2 thỏa mãn điều kiện đầu b TXĐD=R
Đạo hàm: y0 = cosx−m, y00 =−sinx y0 = ⇔cosx−m = 0⇔cosx=m
Hàm số có cực trị hệ sau có nghiệm: (
y0(x) =
y00(x)6= ⇔
(
|m| ≤1
−sinx6= ⇔
(
|m| ≤1
x6=kπ ⇔
(
|m| ≤1
m 6=±1 ⇔ |m|<1
Vậy, với |m|<1 thỏa mãn điều kiện đầu
Nhận xét 0.2 Qua ví dụ em học sinh biết hai cách trình bày dạng tốn
"Tìm điều kiện để hàm số có cực trị" dựa hai quy tắc tương ứng Và đây, em cần nhớ quy tắc hai thường sử dụng gặp khó khăn việc xét dấu y0 yêu cầu cụ thể cực đại, cực tiểu hàm số
Ví dụ 0.3 Cho hàm số:
y=x3−3mx2+ 4m3
Xác định m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y=x
Giải
TXĐ: D=R
Đạo hàm:
y0 = 3x2−6mx
y0 = 0⇔3x2−6mx= 0⇔g(x) = 3x2−6mx= (0.1)
⇔
"
x1 =
x2 = 2m
Trước hết hàm số có cực đại cực tiểu
⇔ 0.1 có hai nghiệm phân biệt⇔m6=
(7)7
Để điểm cực trị đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng (d) : y =x
điều kiện là: (
AB⊥(d)
trung điểm I AB thuộc (d) ⇔ (
~ AB⊥~ad
I(m; 2m3)∈(d) ⇔
(
2m−4m3 = 0
m−2m3 =
m6=0
⇔ m=±√1
2
Chú ý 0.2 Trong trường hợp nghiệm phương trình (0.1), ta nên chọn phương pháp sau:
TXĐ: D=R
Đạo hàm:
y0 = 3x2−6mx
y0 = 0⇔3x2−6mx= ⇔g(x) = 3x2 −6mx = (0.1)
Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (0.1) có hai nghiệm phân biệt, tức là:
40 = 36m2 >0⇔m6=
Khi đó, hồnh độ điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn:
(
xA+xB = 2m
xA.xB =
Thực phép chia đa thức y cho y0 ( thực chất chia cho g(x)), ta được:
y= (x2−2mx)(x−m)−2m2x+ 4m3
nên M(x0;y0) điểm cực trị hàm số thì:
y0 =−2m2x0+ 4m3 ⇒A(xA;−2m2xA+ 4m3) B(xB;−2m2xB+ 4m3)
Gọi I trung điểm AB, ta có:
xI =
xA+xB
2 =m⇒yI =−2m
2x
I+ 4m3 = 2m3 ⇒I(m; 2m3)
Để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng với qua đường thẳng
(d) :y=x điều kiện là:
(
AB⊥(d)
trung điểm I AB thuộc (d) ⇔
(
kABk(d)=−1
I(m; 2m3)∈(d)
m6=0
⇔ m=±√1
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG2
Bài Cho hàm số: y=x4−2mx2+ 2m.
Xác định m để hàm số có điểm cục đại, cực tiểu:
(8)a Lập thành tam giác đều.3 b Lập thành tam giác vuông
c Lập thành tam giác có diện tích 16
Bài Tìm hệ số a, b, c, dcủa hàm số f(x) =ax3+bx2+cx+d sao cho hàm số
đạt cực tiểu điểm x= 0, f(0) = 0và đạt cực đại điểm x= 1, f(x) = Bài Cho hàm số: y= 2x3−3(2a+ 1)x2+ 6a(a+ 1)x+ 1
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với a=
b Chứng minh với a hàm số cho đạt cực trị hai điểm
x1, x2 với x2−x1 không phụ thuộc vào tham số a
Bài cho hàm số: y =x3−3mx2+ 9x+ 3m−5
a Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị
b Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số
Bài Cho hàm số: y =x3−2mx2+ (2m2−1)x−m(m2−1). Xác định m để hàm
số đạt cực trị hai điểm x1;x2 thỏa mãn x1+x2 =x1x2
Bài cho hàm số: y=x4 + (m2−9)x2+ 10 Xác định m để hàm số có điểm cực trị
Bài Cho hàm số: y =x4+ 2(m−2)x2+m2 −5m+ Tìm m để hàm số có điểm cực đại cực tiểu lập thành tam giác vuông cân
Bài Cho hàm số: y=x3+ 2(m−1)x2 + (m2−4m+ 1)x−2(m2+ 1).Tìm m để
hàm số đạt điểm cực trị x1;x2 thỏa mãn
1
x1
+
x2
=
2(x1+x2)
Bài Cho hàm số: y = (m+ 2)x3+ 3x2+mx−5. Tìm m để hàm số có cực đại và
cực tiểu
Bài 10 Cho hàm số: y =x3−3x2+m2x+m. Tìm m để hàm số đạt điểm cực
trị đối xứng qua đường thẳng y= 2x−
5
Bài 11 Cho hàm số: y=x3−3mx2−3x+ 3m+
a Định m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt với hoành độ lớn
(9)9
b Định m để hàm số có CĐ, CT, đồng thời khoảng cách điểm CĐ, CT bé
Bài 12 Cho hàm số: y=x3−3x+ (C)
a Chứng minh điều kiện cần đủ để A, B, C điểm thẳng hàng nằm (C) x1+x2+x3 = 0, với x1, x2, x3 hoành độ
điểm
b Giả sử A,B,C điểm nằm (C) thẳng hàng Tiếp tuyến với (C) A, B, C tương ứng căt (C) A’, B’, C’ Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng.4
c Điểm M di động đường thẳng (D): y = 9x−14 Biện luận số tiếp tuyến vẽ với (C) từ M