Gọi H là trung điểm của đoạn OB, trên đường thẳng (d) vuông góc với OB tại H, lấy một điểm P ngoài đường tròn, PA và PH theo thứ tự cắt (O) tại C, D.. Gọi Q là giao điểm của AD và BC.[r]
(1)Lê Gia Lợi Trường THCS Triệu Trạch
1
MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ THI VÀO THPT
Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1995-1996)
Cho tam giác ABC co ba góc nhọn nội tiếp đường tron (O) với AD,DE, CF ba đường cao cắt H a Hãy liệt kê bốn tứ giác hình vẽ , có giải thích
b Chứng minh H giao điểm phân giác tam giác DEF
c Kéo dài AD cắt O A’ Chứng minh: BD.DC= DA.DH=DA.DA’, suy D trung điểm HA’
Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1996-1997)
Cho đường trịn tâm (O) có đường kính BC, lấy điểm A đường tròn (O) khác B, C Trên đoạn OC lấy điểm D từ D vẽ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng cắt đường tròn hai điểm I, K cắt hai đường thẳng BA, AC E F Đường thẳng CE cắt đường trònn (O) J
a Chứng minh D trung điểm IK b B chứng minh FA.FC= FE.FD
c C Chứng minh ba điểm B, F, J thẳng hàng
d tiếp tuyến A cắt đường tròn (O) cắt đường tròn EF điểm M Chứng minh M trung điểm EF Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1999-2000)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Hai đường cao BE CF tam giác cắt điểm H
a Chứng minh tứ giác AFEC nội tiếp
b Hai đường thẳng BE CF cắt đường tròn (O) P Q Chứng minh góc BPQ góc BCQ suy EF//PQ
c Chứng minh OA vng góc với EF
d Cho BC = R Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF theo R Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 1999-2000)
Cho tam giác ABC(AB< AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Hai đường cao AD CE tam giác ABC cắt H
a Chứng minh tứ giác ACDE BEHD tứ giác nội tiếp
b Đương thẳng AD cắt đường tròn (O) K khác A Chứng minh HD = KD
c Gọi M trung điểm BC Đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC N Chứng minh góc BCN CAN
d Đường thẳng AN cắt đường thẳng BH CH I J Chứng minh tam giác HIJ tam giác cân
Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2001-2002)
Cho đường tròn tâm (O;R) điểm A ngồi đường trịn cho OA= 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn (O) với B,C hai tiếp điểm
a Chứng minh tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp
b Từ B vẽ đường thẳng song song với AC , Cắt đường tròn (O) điểm D(khác điểm B) Đường thẳng AD cắt đường tròn E ( khác điểm D) Chứng minh AB2=AE.AD
c Chứng minh tia đối tia EC tia phân giác góc BEC d Tính diện tích tam giác BDC theo R
Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2002-2003)
Cho đường trịn tâm (O) có bán kính R điểm S ngồi đường trịn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA,SB với đường tròn (O)(A,B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M,N với M nằm hai điểm S N ( đường thẳng a không qua tâm O)
a Chứng minh SO vng góc với AB
b Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt điểm E Chứng minh ÍHE tứ giác nội tiếp
c. Chứng minh OI.OE = R2
d Cho biết SO= 2R MN=R Tính diện tích tam giác EFM theo R Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2003-2004)
Trên đường trịn (O;R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M E khác A,B) Hai đường thẳng AM BE Cắt điểm C; AE BM cắt điểm C; AE BM cắt điểm D
a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vng góc với AB b gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC=BH.BA
(2)Lê Gia Lợi Trường THCS Triệu Trạch
2 Bài ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TPHCM năm 2004-2005)
Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), hai đường cao AD BE cắt H
a Chứng minh tứ giác AEDB CDHE tứ giác nội tiếp b Chứng minh CE.CA=CD.CB DB.DC=DH.DA
c Chứng minh OC vng góc với DE
d Đường phân giác AN góc BAC cắt BC Nvà cắt đường tròn (O) K ( K khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN Chứng minh KO KI cắt điểm thuộc đường tròn (O) Bài ( 3,5 điểm): ( Đề thi TNTHCS tỉnh Bình Định 1995-1996)
Cho đường trịn tâm (O) đường kính BC vẽ dây BA Gọi I điểm cung BA, Klà giao điểm cua OI với BA
a Chứng minh OI//CA
b Từ A vẽ đường thẳng song song với CI cắt đường thẳng BI H Chứng minh tứ giác IHAK nội tiếp c Gọi P giao điểm đường thẳng HK với BC Chứng minh hai tam giác BKP BCA đồng dạng Bài 10 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS tỉnh Bình Định 96-97)
Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng ( B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O đường kinh BC; AT tiếp tuyên vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng cắt BC Hvà cắt đường tròn T’
đặt OB =R
a Chứng minh OH.OA=R2
b Chứng minh TB phân giác góc ATH
c Từ B vẽ đường thẳng song song TC Gọi D, E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT’ TA
Chứng minh tam giác TED cân d Chứng minh:HB AB
HC = AC
Bài 11 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS tỉnh Thái Bình 2001-2002)
Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax va By Qua điểm thuộc đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By E F
a Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp
b AM cắt OE P; BM cắt OF Q Tứ giác MNOQ hình gì? c. Vẽ HM vng góc với AB MH cắt EB K So sánh MK KH
d Cho AB=2R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh: 1
3
r R
< < Bài 12 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TP Hà Nội 2002-2003)
Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI=2
3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E
a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b. Chứng minh VABC: VACM AM2 = AE.AC
c Chứng minh AE.AC- AI.IB = AI2
d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 13 ( 3,5 điểm): (Đề thi TNTHCS TP Hà Nội 2003-2004)
Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d không qua tâm Ovà cắt đường tròn hai điểm A B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn ) kr hai tiếp tuyến CM; CN với đường tròn ( M, N thuộc (O) ) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K
a Chứng minh bốn điểm C,O,H,N cung nằm đường tròn b Chứng minh KC.KN = KH.KO
c Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I cách CM;CN;MN
d Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí điểm C d cho diện tích tam giác CÈ nhỏ
Bài 14 (3,5 điểm): Cho tam giác vuông ABC (A= 900) Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S
a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b Chứng minh CA tia phân giác góc SCB
(3)Lê Gia Lợi Trường THCS Triệu Trạch
3
Bài 15 ( điểm): Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F,G Chứng minh:
a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDB b Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c AC song song với FG
d Các đường thẳng AC, DE BF đồng quy
Bài 16 ( 3,5 điểm): Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K
a Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp b Tính góc CHK
c Chứng minh KC.KD=KH.KB
d Khi điểm E di chuyển cạnh BC điểm H di chuyển đường nào? Bài 17 ( điểm): (Đề thi TNTHCS tỉnh Quảng Trị năm 2001-2002)
Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm M cho AM > R Từ điểm M kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) N
a Chứng minh tứ giác MAON nội tiếp đường tròn b Chứng minh BN // OM
c Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BN P Chứng minh tứ giác OBPM hình bình hành d Biết AP cắt OM K; MN cắt OP J; MP ON kéo dài cắt Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng
hàng
Bài 18 ( 3,5 điểm): Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đường thẳng BA lấy điểm I( điểm A nằm I B) Vẽ cát tuyến Ix cắt đường tròn điểm C, F( Cnằm I F) Đường thẳng qua I vng góc với đường thẳng BA cắt đường BC H Đường thẳng HA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E
a. Chứng minh tứ giác HIEB HIAC nội tiếp b. Chứng minh BA.BI = BC.BH
c Chứng minh EF vng góc với AB
d Chứng minh đường thẳng HI, CA, BE đồng quy
Bài 19 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TN THCS TỈNH CAO BẰNG NĂM1999)
Cho tam giác ABC vng cân( Góc A=900, AB=AC) Mlà trung điểm BC từ D MC ta kẻ Dx vuông
góc với BC cắt đường thẳng AB, AC E F
a Chứng minh tứ giác ABDF ADCE nội tiếp đường tròn b Chứng minh BF vng góc với CE
c chứng minh AE=AF
Bài 20 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TN THCS CỦA TỈNH HÀ TÂY)
Trên đường trịn tâm O đường kính AB lấy điểm C khác A,B Trên mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn kẻ tia tiếp tuyến Ax Tia BC cắt tia Ax D, tia phân giác góc CAD cắt đường trịn E cắt tia BC F( E khác A) Gọi I giao điểm đoạn thẳng AC,BE
a Chứng minh EFCI tứ giác nội tiếp đường tròn
b Gọi K trung điểm đoạn thẳng FI Chứng minh KE=KC OK vng góc với EC c Chứng minh góc AFI =góc FBI
d Cho BC = 4cm CD = 2,25cm Tính diện tích tam giác ACF Bài 21 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS CỦA THÀNH PHỐ HẢI PHỊNG)
Cho đường trịn tâm O M lấy điểm đường trịn Trên tiếp tuyến đường tròn M lấy điểm T đường thẳng TO cắt đường tròn C D ( C nằm T O) Hạ CA vuông góc với TM A DB vng góc với TM B
a Chứng minh CA // OM MA = MB b Chứng minh AC.BD = AM2
c Gọi H chân đường vuông góc hạ từ M xuống TO Xác định tâm đường tròn qua ba điểm A, B, H d Biết MA=a Tính diện tích xung quanh hình nón có đáy hình trịn tâm điểm M, bán kính đáy có độ
dài a đường cao có độ dài 2a
Bài 22 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CỦA TỈNH HÀ NAM)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, ba đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H Kéo dài AH cắt đường tròn K, Kéo dài OA cắt đường tròn M Chứng minh:
1. MK // BC DH = DK
(4)Lê Gia Lợi Trường THCS Triệu Trạch
4
4 AD BE CF
HD+HE +HF ≥9
Bài 23 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS THÀNH PHỐ HÀ NỘI)
Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,N,M thuộc đường tròn AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn
a Chứngminh bốn điểm A, O, E, C nằm đường tròn b Chứng minh góc AOC góc BIC
c Chứng minh BI // MN
d. Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 25 ( 3,5 điểm): (ĐỀ CỦA THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG)
Cho đương trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn C điểm đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D tuỳ ý (D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F
a Chứng minh tam giác ABE vuông cân
b Chúng minh tam giác ABF đồng dạng với tam giác BDF c Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
d Cho C di động đường tròn( C khác A B) D di động cung CB ( D khác C B) Chứng minh AC AE= AD AF có giá trị khơng đổi
Bài ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH THANH HỐ)
Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đường thẳng BA lấy điểm I( điểm A nằm I B) Vẽ cát tuyến Ix cắt đường tròn điểm C, F( Cnằm I F) Đường thẳng qua I vng góc với đường thẳng BA cắt đường BC H Đường thẳng HA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E
e Chứng minh tứ giác HIEB HIAC nội tiếp f Chứng minh EF vng góc với AB
g Chứng minh đường thẳng HI, CA, BE đồng quy Bài 27 ( 3,5 điểm): (ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH HÀ NAM )
cho tam giác ABC vông A điểm D nằm giửa A B đường đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F,G
a chứng minh ADEC, AFDC tứ giác nội tiếp b chứng minh AC//FG
c chứng minh đường thẳng AC, DE,BF đồng quy
d từ A vẽ đoạn thẳng AP=a vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (PBC) biết AB = AC = b
Bài 28 ( 3,5 điểm):(ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH LÂM ĐỒNG)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) vẽ đường cao AH từ H kẻ HK, HM vng góc với AB, AC Gọi J giao điểm AH MK
1. Chứng minh tứ giác AMHK nội tiếp đường tròn Chứng minh hệ thức JA.JH=JK.JM
3 Từ C kẻ Cx vng góc với AC cắt AH kéo dài D Vẽ HI, HN vuông góc với BD, DC Chứng minh góc HKM góc HCN
4 Chứng minh điểm M,N,I,K nằm đường tròn
Bài 29( 3,5 điểm):(ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2002-2003)
Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d cắt đường tròn hai điểm A,B( d không qua tâm O) Từ điểm M thuộc đường thẳng d đường tròn kẻ cấ tiếp tuyến MN MP với đường tròn (N,P tiếp điểm)
a Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếpđược đường tròn Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b Gọi K trung điểm dây AB Chứng ming tam giác NIK cân c Cho MA.MB= R2( 3+1) Tính độ dài đoạn OM theo R
Bài 30 ( 3,5 điểm):(ĐỀ THI TNTHCS CỦA TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2003-2004)
Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Gọi H trung điểm đoạn OB, đường thẳng (d) vng góc với OB H, lấy điểm P đường tròn, PA PH theo thứ tự cắt (O) C, D Gọi Q giao điểm AD BC
a Chứng minh P trực tâm tam giác PAB, từ suy ba điểm P, Q, H thẳng hàng b Chứng minh tứ giác BHQD nội tiếp đường tròn
c Chứng minh DA tia phân giác góc CDH