Lược đồ gabor đa cửa sổ trong biểu diễn ảnh và tín hiệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG QUANG LONG LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG QUANG LONG LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Ngọc Phan Hà Nội - Năm 2018 Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ngọc Phan, người tận tình hướng dẫn, cung cấp nguồn tài liệu, phương pháp nghiên cứu kinh nghiệm quý báu cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 2015-17 quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Tốn khóa 2015-17 đặc biệt nhóm Tốn ứng dụng ln sát cánh giúp đỡ em nhiều trình học tập Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, người ln quan tâm, động viên em học tập, Ban lãnh đạo Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi để em học Mặc dù nỗ lực cố gắng luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Em mong góp ý Q thầy bạn! Hà Nội, tháng năm 2018 Mục lục Các 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 khái niệm Các không gian Biến đổi Fourier Các phép toán Biến đổi Fourier thời gian ngắn Hàm Gauss Khung không gian Hilbert khung 2.1 Dãy Bessel sở Riesz 2.2 Khung không gian Hilbert 2.3 Cơ sở Gabor khung Gabor Khung Gabor đa cửa sổ 3.1 Biến đổi Zak 3.2 Phương pháp đại số ma trận 3.3 Các trường hợp mật độ lấy mẫu 3.4 Khung đối ngẫu 3.5 Định lý Balian-Low cách xây dựng Ứng dụng xử lý tín hiệu 10 11 Gabor khung 15 15 18 24 30 31 33 35 42 43 51 Lời mở đầu Phân tích tín hiệu đóng vai trị quan trọng xã hội đại Các ứng dụng trải dài nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, từ liên lạc viễn thơng đến chuẩn đốn y học, từ giao thơng đến ngành cơng nghiệp giải trí Tín hiệu hiểu đại lượng vật lý chứa thơng tin hay liệu truyền Phân tích Fourier cơng cụ tiêu biểu phân tích tín hiệu Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn hàm tuần hồn rời rạc tạo thành từ dao động có tần số biên độ khác Phép biến đổi Fourier mô tả lượng tần số chứa tín hiệu Tuy nhiên, liệu thời gian bị qua biến đổi Từ nảy sinh ý tưởng phép biến đổi Fourier thời gian ngắn: áp dụng biến đổi Fourier đoạn thời gian ngắn tín hiệu Các đoạn tín hiệu chia hàm cửa sổ trơn tịnh tiến tồn tín hiệu Dẫu vậy, lượng thơng tin thời gian - tần số mà phép biến đổi Fourier thời gian ngắn cung cấp lại thừa cần giảm bớt bảo toàn lượng thơng tin tín hiệu Một nhiệm vụ đặt phân tích tín hiệu việc mô tả hàm hàm đơn giản có tính chất phổ biến dễ vận dụng Phân tích Fourier thực nhiệm vụ cách biến tín hiệu thành tổng dao động bản, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn sử dụng tịnh tiến thời gian - tần số hàm cửa sổ Từ nảy sinh lý thuyết khung - khái niệm tổng quát sở - mà Dennis Gabor người đặt móng vào năm 1946 Phân tích Gabor đề điều kiện để hàm tịnh tiến thời gian - tần số khung mở rộng tín hiệu thành tổ hợp hàm Luận văn trình bày phương pháp đa cửa sổ phân tích tín hiệu thơng qua lý thuyết khung lợi việc sử dụng nhiều cửa sổ Luận văn bao gồm chương sau: • Chương giới thiệu tổng quan số khái niệm quan trọng giải tích Fourier phân tích tín hiệu • Chương giới thiệu lý thuyết khung không gian Hilbert tổng quát trường hợp riêng quan trọng khung Gabor khơng gian L2 (R) • Chương trình bày phương pháp ma trận đại số lược đồ Gabor đa cửa sổ để kiểm tra tính chất hàm cửa sổ • Chương trình bày ứng dụng xử lý tín hiệu Chương Các khái niệm 1.1 Các không gian L∞ (R) không gian Banach hàm đo được, bị chặn f : R → C với chuẩn supremum Với ≤ p < ∞, Lp (R) không gian hàm f cho |f |p khả tích: ∞ p L (R) = |f (x)|p dx < ∞ f : R → C | f đo −∞ Với p = 2, ta có khơng gian Hilbert ∞ L2 (R) = |f (x)|2 dx < ∞ f : R → C | f đo −∞ với tích ∞ f, g = f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 (R) −∞ Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói rằng: với f, g ∈ L2 (R), ∞ 1/2 ∞ f (x)g(x)dx ≤ −∞ 1/2 ∞ 2 |f (x) dx |g(x) dx −∞ −∞ Không gian tương đương rời rạc Lp (R) không gian lp (I) dãy giá trị vô hướng p-khả tổng với I tập số đếm Với ≤ p < ∞, lp (I) không gian Banach lp (I) = {xk }k∈I |xk |p < ∞ | xk ∈ C, k∈I với chuẩn 1/p {xk }k∈I p |xk |p = k∈I Với p = 2, l2 (I) không gian Hilbert với tích {xk }k∈I , {yk }k∈I = xk y k k∈I Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói rằng: với {xk }k∈I , {yk }k∈I ∈ l2 (I), x k yk k∈I |xk |2 ≤ k∈I |yk |2 k∈I Định nghĩa 1.1 Một toán tử U : L2 (R) → L2 (R) toán tử bị chặn tồn số K > cho ∀x ∈ L2 (R) Ux ≤ K x Chuẩn toán tử U định nghĩa sau: U = sup{ U x | x ∈ L2 (R), x = 1} Định lý 1.1 Giả sử U : L2 (R) → L2 (R) toán tử bị chặn I − U < với I toán tử đồng U khả nghịch Định nghĩa 1.2 Tốn tử unita tốn tử tuyến tính bị chặn U : L2 (R) → L2 (R) cho U song ánh U bảo tồn tích trong: ∀x, y ∈ L2 (R) U x, U y = x, y Nói cách khác, U ∗U = U U ∗ = I với I toán tử đồng 1.2 Biến đổi Fourier Với f ∈ L1 (R), biến đổi Fourier fˆ : R → C định nghĩa ∞ fˆ(ω) = (Ff )(ω) = f (x)e−2πixω dx, ω ∈ R −∞ Biến đổi Fourier cơng cụ quan trọng phân tích tín hiệu Nó khai triển hàm biến thời gian (hay tín hiệu) thành tần số tạo thành hàm Giá trị tích phân lượng tín hiệu f chứa tần số ω Hàm fˆ(ω) mô tả dáng điệu tần số f (x) Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Với f ∈ L1 (R), fˆ liên tục lim |fˆ(ω)| = |ω|→∞ Định lý 1.2 (Công thức nghịch đảo) Giả sử f, fˆ ∈ L1 (R) Khi ∞ fˆ(ω)e2πixω dω f (x) = (1.1) −∞ hầu khắp nơi Định lý 1.3 (Định lý Plancherel) Giả sử f ∈ L1 ∩ L2 (R) Khi f = Ff Hơn nữa, F toán tử unita L2 (R) thỏa mãn công thức Parseval ∀f, gL1 ∩ ∈ L2 (R) Ff, Fg = f, g Định lý lượng tín hiệu bảo tồn qua biến đổi Fourier Định nghĩa 1.3 Tích chập hai hàm f, g ∈ L1 (R) f ∗ g : R → C định nghĩa (f ∗ g)(x) = f (y)g(x − y)dy Rd Nó thỏa mãn f ∗g L1 ≤ f L1 f ∗ g = fˆ · gˆ g L1 , 1.3 Các phép toán Định nghĩa 1.4 Ta định nghĩa tốn tử tốn tử tuyến tính: Tốn tử tịnh tiến Tx : Tx : L2 (R) → L2 (R), (Tx f )(t) = f (t − x), x ∈ R (1.2) Toán tử biến điệu Mω : Mω : L2 (R) → L2 (R), (Mω f )(t) = e2πiωt f (t), ω ∈ R (1.3) t (Dα f )(t) = √ f ( ), α α α ∈ R (1.4) Toán tử co Dα : Dα : L2 (R) → L2 (R), Dễ thấy Tx−1 = T−x Mω−1 = M−ω Tốn tử Tx cịn gọi dời thời gian, Mω dời tần số Các tốn tử có dạng Tx Mω Mω Tx gọi dời thời gian-tần số Chúng thỏa mãn quan hệ giao hoán Tx Mω = e−2πixω Mω Tx (1.5) Dời thời gian-tần số phép đẳng cự Lp với ≤ p ≤ ∞, tức Tx Mω f Lp = f Lp Dời thời gian-tần số tác động lẫn với biến đổi Fourier sau: Tx f = M−x fˆ FTx = M−x F (1.6) Mω = Tω fˆ FMω = Tω F (1.7) Phương trình (1.7) phép biến điệu gọi dời tần số, phép biến điệu trở thành phép tịnh tiến miền biến đổi Fourier Kết hợp lại, ta có tính chất Tx Mω f = M−x Tω fˆ = e−2πixω Tω M−x fˆ Định lý 1.4 Các toán tử Tx , Mω , Dα toán tử unita Vì {gr,m,n } khung nên ta có |D(x, u)| < ∞ ess sup 0≤x≤1,0≤u≤1/R |D(x, u)| > 0, ess inf 0≤x≤1,0≤u≤1/R mâu thuẫn với Bổ đề Coifman-Semmes Một ưu việc sử dụng nhiều cửa sổ khả tránh hạn chế Định lý Balian-Low cách chọn thêm cửa sổ thích hợp cho lược đồ tạo thành khung Mệnh đề sau nói việc tìm hay khơng cửa sổ Mệnh đề 3.1 ([4]) Giả sử {gr }, ≤ r ≤ R − R − hàm cửa sổ Kí hiệu G0 (x, u) hàm giá trị ma trận cỡ (R − 1) × R với phần tử G0r,k (x, u) = Zgr (x, u + kl ) Đặt P(x, u) = G0 (x, u)(G0 )∗ (x, u) Khi tồn hàm cửa sổ gR−1 (x) cho {gr }, ≤ r ≤ R−1 lập thành khung trường hợp lấy mẫu tới hạn < K ≤ det(P)(x, u) hầu khắp nơi [0, 1) × [0, 1/R) Chứng minh Ở trường hợp lấy mẫu tới hạn, p = R, q = Hàm giá trị ma trận G(x, u) {gr }, ≤ r ≤ R − xây dựng cách thêm vector hàng thích hợp (với phần tử phụ thuộc ZgR−1 ) vào G0 (x, u) Khi đó, ess inf det(P(x, u) = (tức hàng G0 (x, u) phụ thuộc tuyến tính với x0 , u0 đó) ess inf det(S(x, u) = với cách chọn ZgR−1 (ZgR−1 phải bị chặn) Khi đó, dựa vào Định lý 3.6, {gr,m,n } khung Mặt khác, giả sử det(P)(x, u) (tức hàng G0 (x, u) độc lập tuyến tính) định nghĩa S0 (x, u) = G0∗ (x, u)G0 (x, u) Rõ ràng det(S0 )(x, u) = hầu khắp nơi Do đó, dựa vào Bổ đề 3.1, tồn hàm giá trị vector F ∈ L2 ([0, 1) × [0, 1/p); Cp ), F = cho S0 (x, u)F (x, u) = Xây dựng G(x, u) cách thêm vector hàng F T (x, u) vào G0 (x, u), ta có < K ≤ det(S)(x, u) hầu khắp nơi [0, 1) × [0, 1/R) (F trực giao với hàng G0 ) Điều nghĩa với (ZgR−1 )(x, u + i/R) = Fi (x, u), {gr,m,n } khung 46 (x, u) ∈ [0, 1) × [0, 1/R), Tiếp theo ta xem xét cách xây dựng R − hàm cửa sổ trơn, giảm nhanh thỏa mãn < K ≤ det(S)(x, u) hầu khắp nơi [0, 1) × [0, 1/R): Đầu tiên, chọn hàm cửa sổ g(x) cho {g(x − n/b)ei2πmx/a } khung với lấy mẫu trội ab = R/(R − 1) (chẳng hạn g(x) hàm Gauss) Ta xây dựng R − hàm cửa sổ gr (x) = g x − rR b(R − 1) Rõ ràng hàm trơn, giảm nhanh Từ ta có (Zgr )(x, u) = (Zg)(x − rR/(R − 1), u), hàm giá trị vector G0 (x, u) với hàm giá trị ma trận G(x, u) ứng với dãy {gm,n } hay {g(x − na)ei2πmbx } Trong trường hợp này, {gm,n } lược đồ lấy mẫu thưa Vì {g(x − n/b)ei2πmx/a } khung nên {gm,n } sở Riesz cho khơng gian L2 (R) Do < K ≤ det(S)(x, u) hầu khắp nơi [0, 1) × [0, 1/R) Trường hợp hai cửa sổ Ta xem xét kỹ trường hợp lược đồ có hai cửa sổ Giả sử g0 (x) hàm cửa sổ trơn, giảm nhanh Ta xét tốn tìm hàm g1 (x) cho dãy {gr,m,n } khung trường hợp lấy mẫu tới hạn Ở trường hợp này, P(x, u) có giá trị vơ hướng, P(x, u) = |Zg0 (x, u)|2 + |Zg0 (x, u + )|2 Điều có nghĩa P(x, u) khơng triệt tiêu tồn g1 (x) cho dãy {gr,m,n } khung Chẳng hạn, Zg0 có khơng điểm hình vng đơn vị P(x, u) khơng triệt tiêu Điều kiện để {gr,m,n } khung D(x, u) = 0, tức 1 (Zg0 )(x, u)(Zg1 )(x, u + ) = (Zg1 )(x, u)(Zg0 )(x, u + ) 2 47 Rõ ràng tồn vô hạn Zg1 thỏa mãn điều kiện Với hàm giá trị ma trận S(x, u) ta có S0,0 (x, u) = (|Zg0 (x, u)|2 + |Zg1 (x, u)|2 ), 1 Zg0 (x, u)Zg0 (x, u + ) + Zg1 (x, u)Zg1 (x, u + ) , S0,1 (x, u) = 2 S1,0 (x, u) = S0,1 (x, u), S1,1 (x, u) = S0,0 (x, u + ) Ta giả sử S(x, u) ma trận chéo, tức tác động toán tử khung miền biến đổi Zak hiểu phép nhân với hàm dương xây dựng từ phần tử đường chéo S(x, u) Trong phần tử không thuộc đường chéo S(x, u) không, phần tử đường chéo không triệt tiêu để dãy {gr,m,n } tạo thành khung Do đó, với (x, u) ∈ ([0, 1) × [0, 1/2)), cho chọn Zg1 (x, u), Zg1 (x, u + 21 ) cho S0,0 (x, u) = 0, S1,1 (x, u) = 0, S0,1 (x, u) = Một cách chọn Zg1 (x, u) = Zg0 (x, u + ), Zg1 (x, u + ) = −Zg0 (x, u), tác động tốn tử khung miền biến đổi Zak hiểu phép nhân với 21 (|Zg0 (x, u)|2 + |Zg0 (x, u + 12 )|2 ) Ngoài ra, 1 |Zg0 (x, u)| + Zg0 (x, u + ) =1 (3.28) 2 hầu khắp nơi g0 = (tức gr,m,n = A = B = 1), {gr,m,n } lập thành sở trực chuẩn Hơn nữa, tồn hàm g0 (x) thỏa mãn (3.28) g0 (x), gˆ0 (ω) giảm với tốc độ hàm mũ Để tồn hàm thế, ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 3.2 ([5]) Với q ∈ N ta có q−1 Z α g x, u + l=0 l q q−1 =K⇔ l=0 với K ≥ số 48 l Z αq g x + , u q = K, Chứng minh Xét trường hợp lược đồ cửa sổ với ab = 1/q Dựa vào (3.10) ta có q−1 l , S(x, u) = Z 1/b g x − , u q l=0 với S(x, u) hàm giá trị vơ hướng Do đó, cận khung dãy {gm,n } infimum supremum S(x, u) Mặt khác, xét biến đổi Zak với tham số a ta có q−1 l Z g x, u + q a S(x, u) = l=0 Đặt α = a xét trường hợp cận (khung chặt), bổ đề chứng minh Vì biến đổi Zak phương trình (3.28) có tham số 1/b nên theo bổ đề (q = 2), phương trình (3.28) tương đương với |Z 2/b g0 (x, u)| + Z 2/b g0 (x + , u) 2 = (3.29) Daubechies chứng minh rẳng: tồn hàm g0 (x) thỏa mãn (3.29) g0 (x), gˆ0 (ω) giảm với tốc độ hàm mũ Ví dụ: Xét lược đồ hai cửa sổ với cửa sổ trơn, giảm nhanh cửa sổ khơng có tính chất Giả sử a = R = 2, b = 1, g0 (x) = e−β|x| , x ∈ R; g1 (x) = g0 (x) x ≥ x tol*norm(b)); p = r + beta*p; ggp = bvmult(p, B); % ggp = p*GG; alpha = rtr / (p*(ggp)'); gd = gd + alpha*p; r = r - alpha*ggp; hh = rtr; rtr = r*r'; beta = rtr / hh; end 29 30 31 function BB = blkwr(g,a, b); 32 33 34 35 36 37 38 39 40 n = length(g); T = n/a; F = n/b; B = block(g, a, b); BB = zeros(b, a); for ii = 1:a, BB(:, ii) = B(1+(ii-1):F:n, ii); end 41 42 43 function M = block(g, a, b); 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 n = length(g); F = n/b; T = n/a; gg = [g, g]; uu = zeros(n, a); for jj=1:a, for rr = 1:b; per1 = jj:a:(n+jj-1); pp = jj + (rr - 1)*F; per2 = pp:a:(n+pp-1); uu(pp, jj) = gg(per1)*gg(per2)'; end end M = uu*F; 58 59 55 60 function stf = stft(x,w,a,b); 61 62 x = x(:).'; w = w(:).'; 63 64 65 66 res = zeros(n/a,n/b); w1 = [ w zeros(1,n-length(w))]; ww1 = [w1,w1]; 67 68 69 70 71 72 73 74 75 for jj = : n/a; y = x.* conj(ww1( (n+1-(jj-1)*a) % y1 = perbas(y,b); v = fft(y1); res(jj,:) = v; end; stf = res.'; : (2*n - (jj-1)*a))) ; Xây dựng lại tín hiệu: function xnew = gabsyn(COFS,G); [b1,a1] = size(COFS); [h,n] = size(G); b=n/b1; a=n/a1; if min(h,n) == 1; g=G; G=gabbasp(g,a,b); 10 11 xnew = COFS(:).' * G; Chương trình chính: sig=fmlin(64); hold off figure(1) plot(real(sig),'-r') hold on 10 11 12 a=4; b=4; g= exp(-pi * linspace(-1,1,64)'.^2 ); %g=g.'; G=gabbasp(g,a,b); cofs=gabcofs(sig,g,a,b); 13 14 cofs=cofs(:); 56 end; 15 16 17 18 19 20 21 [¬, ind] = sort(cofs,1, 'descend'); no=100; rem_ind = bsxfun(@plus,ind(no+1:end,:),[0:size(cofs,2)-1]*size(cofs,1)); cofs(rem_ind) = 0; sig_new=gabsynold(cofs,G); %figure(2) plot(real(sig_new),' b') Từ hai hình 4.1 4.2 ta thấy trường hợp lấy mẫu tới hạn, tín hiệu khơng xây dựng lại cách xác Trong đó, trường hợp lấy mẫu trội, tín hiệu gần với tín hiệu ban đầu 57 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 10 20 30 40 50 60 70 Hình 4.1: Tái xây dựng tín hiệu từ 100 hệ số lớn trường hợp lấy mẫu tới hạn Đường liền nét tín hiệu ban đầu, đường đứt nét tín hiệu 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 Hình 4.2: Tái xây dựng tín hiệu từ 100 hệ số lớn trường hợp lấy mẫu trội 58 Kết luận Luận văn nêu kiến thức phân tích tín hiệu giới thiệu khung - cơng cụ hữu hiệu biểu diễn tín hiệu Lược đồ dạng Gabor sử dụng nhiều hàm cửa sổ trình bày hai trường hợp biến liên tục biến rời rạc Ứng dụng xử lý tín hiệu trình bày với thuật tốn kết thực ngơn ngữ MATLAB Tuy cố gắng hạn chế thời gian kỹ thuật lập trình nên em chưa thể áp dụng thực tế trường hợp tín hiệu hai chiều mà điển hình ảnh số Em tiếp tục nghiên cứu để mở rộng đề tài 59 Tài liệu tham khảo [1] O Christensen Introduction to Frames and Riesz Bases, Second Edition Springer Science+Business Media New York 2003 [2] I Daubechies The Wavelet Transform, Time-Frequency Localization and Signal Analysis IEEE Trans Inform Theory, 36(5):961-1005, 1990 [3] C Heil A Basis Theory Primer: Expanded Edition Springer Science+Business Media 2011 [4] Y.Y Zeevi, M Zibulski and M Porat Multi-window Gabor Schemes in Signal and Image Representations In "Gabor Analysis and Algorithms: Theory and Applications" by H.G Feichtinger and T Strohmer Springer Science+Business Media New York 1998 [5] M Zibulski and Y.Y Zeevi Analysis of Multi-window Gabor-type Schemes by Frame Methods Appl Compo Harm Anal.,4(2):188-221,1997 Also in: CC Pub No 101, Technion-Israel Inst of Tech., Israel, April 1995 60 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG QUANG LONG LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... khoảng tín hiệu coi tuần hoàn Biến đổi Fourier lấy khoảng Vì chia nhỏ vậy, tín hiệu bị đứt đoạn hình thành nhiễu phổ tần số nên thay chia nhỏ tín hiệu, ta dùng hàm cửa sổ trơn Hàm cửa sổ hàm... khơng Tính khơng hữu ích nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn việc truyền tín hiệu Trong truyền tín hiệu, hệ số ck (f ) bị ta khơng thể khơi phục lại tín hiệu qua hệ số cịn lại khai triển tín hiệu