suu tam 2

Bài tập lượm lặt năm 2010 Bài 1: Tìm số tự nhiên n (đề thi Quốc gia MTCT 2010, THPT) Hãy tìm số tự nhiên n, sao cho giá trị của (1+1)(2+ 2 )(3+ 3 ) .(n+ n ) sai khác số 43294578923 không quá một đơn vị. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ghi vào màn hình (MathIO): X=X+1:A =A(X+ X ):43294578923-A Ấn (X?) nhập 0 ấn (A?) nhập 1 ấn Ấn liên tục cho đến khi -1≤43294578923-A≤1 thì dừng. Ấn Ta được n=12. Bài 2: Phương trình các cạnh của tam giác ABC là: AB: 2x+3y+8=0, BC: 5x+3y-7=0, AC: 4x-5y-6=0. Tính tọa độ các đỉnh A, B, C và diện tích của tam giác đó. (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2008, lớp 12 BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES AB: 2x+3y+8=0 2x+3y⇔ =-8 BC: 5x+3y-7=0 5x+3y⇔ =7 AC: 4x-5y-6=0 4x-5y⇔ =6 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: {2x+3y =-84x-5y =6 Chọn chương trình giải hệ phương trình 2 ẩn: ấn Nhập hệ số: 2 3 -8 4 -5 6 Ấn kết quả: {xA=-1yA=-2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: {2x+3y =-85x+3y =7 Ấn Nhập hệ số: 2 3 -8 5 3 7 Ấn kết quả: {xB=5 ; yB=-6 . Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 4x-5y =65 x+3y =7    Ấn Nhập hệ số: 4 -5 6 5 3 7 Ấn kết quả: {x C =5337 ; y C =-237 Đặt M=(xA xB xCyA yB yC 1 1 1 ) Diện tích tam giác ABC: S=12 det(M)∣ ∣ Chọn chương trình ma trận: ấn Ấn (chọn MatA) (3×3) Nhập số liệu ma trận: -1 5 53÷37 -2 -6 -2÷37 1 1 1 Ấn Ghi vào màn hình: 1÷2×Abs(det(MatA)) Ấn kết quả: 10,7027027 Vậy S=10,7027027 (đvdt). Bài 3: Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh AB=AC=AD=8dm, BC=7dm, CD=6dm, BD=5dm (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Gọi H là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Ta có: {HC=HC=HDAB=AC=AD A, H nằm trên đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm B, C, D.⇒ Đường thẳng AH đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và⇒ AH (BCD)⊥ Các tam giác HAC,HAB,HAD là các tam giác vuông bằng nhau (c.c.c). Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (O AH) và∈ α=HAB^ , thì R=OB=HBsin(HBO^) Trong đó: HBO^= HBA^-OBA^=90-HAB^-OBA^=90-2HAB^=90-2α (tam giác AOB cân tại O nên HAB^ =OBA^) Suy ra: R=HBsin(90-2α), với tanα=HBAB 1 Bài tập lượm lặt năm 2010 Tính bán kính HB của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Ta có: abc S=p(p-a)(p-b)(p-c) 4R = Ghi vào màn hình: (D(D-A)(D-B)(D-C))=ABC÷(4X) Ấn (D?) nhập (5+6+7)÷2 ấn (A?) nhập 5 ấn (B?) nhập 6 ấn (C?) nhập 7 ấn (X?) nhập 1 ấn Ta được HB=3,572172542dm Tính R (chọn đơn vị đo góc là độ) Ghi vào màn hình: X÷sin(90-2A) Ấn (X?) ấn (A?) nhập tan-1(X÷8) ấn Kết quả: R=5,351359924dm Bài 4: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Tính gần đúng diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 1 dm3. (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đặt R là bán kính đáy của lon, d là chiều cao của lon. Ta có: Thể tích của lon là: V=πR2d=1 d=1⇒ πR2 (*) Thể tích toàn phần của lon là: S=2πR 2 +2πRd (**) Thế (*) vào (**) ta được: S=2πR 2 +2πR 2 1 R π =2πR 2 + 2 R Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: S=2πR 2 + 1/R+1/R≥3 2 3 1 1 2 R . R R π = 3 3 2 π Dấu "=" xảy ra 2⇔ πR 2 = 1 R Suy ra R= 3 1 2 π . Vậy diên tích toàn phần của lon nhỏ nhất bằng 3 3 2 π khi R= 3 1 2 π Ghi vào màn hình (MathIO): 3 3 2 π Ấn kết quả: 5,535810446 Vậy S=5,535810446 dm. 5) Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x)=sin 3 x+cos 3 x+sin2x (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2004, lớp 12 THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đặt t=sinx+cosx= 2 sin( ) 4 x π + , 2t ≤ Khi ấy t 2 =(sinx+cosx) 2 =1+2sinxcosx=1+sin2x sin 3 x+cos 3 x=(sinx+cosx) 3 -3sinxcosx(sinx+cosx)=t 3 -3t 2 t -1 2 = 3 3t-t 2 Suy ra: f(x)=sin 3 x+cos 3 x+sin2x= 3 3 2 2 3 2 3 2 ( 1) ; [- 2; 2] 2 2 t t t t t t t − − + + − + − = ∈ Bài toán trở thành: tìm GTLN và GTNN của hàm số y=g(t)= 3 2 2 3 2 ; 2 t t t− + + − trên đoạn [-2;2] Ta có: y`=g`(t)=-3t2+4t+32=0 khi t1,2=2±133 Nghiệm t=2 +133>2 (loại) Tính g(-2), g(2), g(2 -133) Ghi vào màn hình (chế độ MthIO): -X3+2X2+3X-22 Ấn (X?) nhập -(2) ấn Kết quả: g(-2)=2-22 ấn g(-2)= 0.2928932188 Ấn (X?) nhập (2) ấn Kết quả: g(2)=2+22 ấn g(2)= 1.707106781 Ấn (X?) nhập (2-(13))÷3 ấn Kết quả: g(2 -133)=8-131327 ấn g(2 -133)=-1.439709873 2 Bài tập lượm lặt năm 2010 Vậy GTLN = 2+22 = 1.707106781 GTNN = 8-131327 = -1.439709873 (Ghi chú: có thể dùng chương trình TABLE của máy Casio fx-570ES để tìm GTLN, GTNN) 6) Tính gần đúng giá trị đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x)=sinx tại x=140308×π5 (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2008, môn Toán 12 THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Ta chứng minh f(n)(x)=sin(x+n×π/2) (*) Ta có: f(1)(x)=cosx=sin(x+π/2)=sin(x+1×π/2) Vậy (*) đúng với n=1 Giả sử (*) đúng với n=k, tức là f(k)(x)=sin(x+k×π/2) Ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 Thật vậy: f(k+1)(x)=cos(x+k×π/2)=sin(x+k×π/2+π/2)=sin(x+(k+1)×π/2) Vậy theo nguyên lý quy nạp (*) đúng với mọi n. f(100)(x)=sin(x+100×π/2)=sinx⇒ (chọn đơn vị đo góc là rad) Ghi vào màn hình: sin X Ấn nhập 140308π÷5 Ấn kết quả: -0.95105651 Kết luận: f(100)(140308×π5)= -0.95105651 7) Tính gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 4sin3x-5cos3x=6 (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2004 lớp 12 BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Do sin3x,cos3x tuần hoàn với chu kì 120o nên ta xét phương trình trên [-60;60] Phương trình 4sin3x-5cos3x=6 có thể biến đổi tương đương về phương trình sin(3x+a)=b (1) (a, b là các hằng số) Do phương trình (1) có tối đa 2 nghiệm trên [-60;60] nên phương trình đã cho có tối đa 2 nghiệm trên [-60;60] (chọn đơn vị đo góc là độ) Ghi vào màn hình: 4sin(3X)-5cos(3X)=6 Ấn (X?) nhập 30 ấn kết quả: 40o18`1`` Ấn (X?) nhập 50 ấn kết quả: 53o55`35`` Kết luận: Nghiệm của phương trình là x1= 40 o 18`1``+k120 o x2=53 o 55`35``+k120 o 7) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với AB ⊥ AD, AB ⊥ BC, SA=SB=AB=BC=4AD, (SAB) ⊥ (ABCD). Hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2001, lớp 11) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Do ABCD là hình thang vuông với AB ⊥ AD, AB ⊥ BC suy ra AD // BC Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có: HK ⊥ AB, SH ⊥ AB (tam giác SAB đều) Suy ra HK ⊥ (SAB), SH=AB32 Gọi I là giao điểm của AB và CD Ta có SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD), SI ⊥ HK Từ H kẻ HE vuông góc với SI. {SI ⊥ HE ; SI ⊥ HK suy ra SI ⊥ (HEK) suy ra SI ⊥ KE góc HEK⇒ chính là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Ta có: IA/IB=AD/BC=1/4. Suy ra IA=1/3AB và IH=IA+AH=1/3AB+1/2AB=5/6AB 3 Bài tập lượm lặt năm 2010 Tam giác vuông SHI có: 1/EH2=1/SH2+1/IH2= 2 2 2 1 1 208 75 5 75 208 3 ( ) ( ) 6 2 EH AB AB AB AB + = ⇒ = Vì HK=(AD+BC)/2=5/8AB tan(HEK^)=HK/EH= 5 5 8 8 75 75 208 208 AB AB = (chọn đơn vị đo góc là độ). Ghi vào màn hình: tan-1( 5 8 75 208 ) Ấn kết quả: 46 o 8`46``. Kết luận: góc giữa (SAB) và (SCD) bằng 46 o 8`46`` 8) Tìm gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 6cos2x+4sin 2 x=1 (Trích đề thi HSGMT TPHCM năm học 2009-2010 - lớp 12 BTVH) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Do sinx tuần hoàn với chu kì 360 o nên nghiệm xét nghiệm trong đoạn [-180;180] Ghi vào màn hình: 6cos (2X) + 4 (sin X) 2 = 1 Ấn (X?) nhập -150 Ấn kết quả: x=-127 o 45`40`` Ấn (X?) nhập -50 Ấn kết quả: x=-52 o 14`20`` Ấn (X?) nhập 50 Ấn kết quả: x=52 o 14`20`` Ấn (X?) nhập 150 Ấn kết quả: x=127 o 45`40`` Thử lại với các giá trị ban đầu của X khác nhau ta đều không tìm được nghiệm nào khác 4 bốn nghiệm trên trong đoạn [-180;180]. Nghiệm của phương trình là:⇒ x=-127 o 45`40``+k360o, k ∈ Z x=-52 o 14`20``+k360o, k ∈ Z x=52 o 14`20``+k360o, k ∈ Z x=127 o 45`40``+k360o, k ∈ Z Tương đương với: x=-52 o 14`20``+k180 o , k ∈ Z x=52 o 14`20``+k180 o , k ∈ Z 9) Gọi k là tỉ số diện tích của đa giác đều 100 cạnh và diện tích hình tròn ngoại tiếp đa giác đều đó, m là tỉ số chu vi của đa giác đều 100 cạnh và độ dài đường tròn ngoại tiếp đa giác đều đó. Tính gần đúng giá trị của k và m. (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2004, lớp 12 THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Cạnh của hình đa giác đều 100 cạnh là a=2Rsin 100 π Diện tích đa giác đều 100 cạnh là S d =100× 2 2 1 2 sin 50 sin 2 100 R R R π π = Diện tích hình tròn ngoại tiếp đa giác đều là S t =π R 2 Chu vi đa giác đều 100 cạnh là: P d =100a=100×2Rsinπ/100 Độ dài đường tròn ngoại tiếp đa giác đều là P t =2πR Vậy: 2 2 50 sin 50sin 50 d t R S R k S R π π π π = = = ; 100.2 sin 100sin 100 100 2 d t R P m P R π π π π = = = Dùng máy tính được: k= 0.999342156; m= 0.999835514 10) Cho tanx = 2 (2π<x<3π) và 2 siny + 3 cosy = 1 (0<y<π) . Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân: a. A= 2 3 2 4 sin x-cos x 2tan x+3cot x b. B= 2 2 2 2 2 2 4 2 tan (x -y)+cot (x-y ) sin (x +y)+cos (x+y ) (Trích đề thi HSGMT TP.HCM năm học 2008-2009 - lớp 11) Giải: Giải bằng máy tính Casio fx-570MS (Thiết lập chế độ đo góc là rad) 4 Bài tập lượm lặt năm 2010 Tính x nhớ vào X: Ấn 2 2 Kết quả: x= 7.39033 Giải phương trình 2 siny + 3 cosy = 1 Ghi vào màn hình: 2 sin Y+3 cos Y=1 Ấn nhập 1 Kết quả: 1.87776 a. Tính A Ghi vào màn hình: ((sinX) 2 -(cosX) 3 )÷(2(tanX) 2 +3(1÷tanX)^4) Ấn kết quả: A=0.08679 b. Tính B Ghi vào màn hình: ((tan(X2-Y))2+(1÷tan(X-Y2))2)÷(((sin(X2+Y))2+(cos(X+Y2))^4) Ấn Kết quả B=649.29579 11) Dãy số {un} được cho bởi công thức u n =2n+ 2 2009 n , với mọi n nguyên dương. Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số đó. Giải: Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Đặt f(x)=2x+ 2 2009 x , x ∈ [1;+∞] f`(x)= 3 4018 2 x − ; 3 4018 '( ) 0 12.618 2 f x x= ⇔ = ≈ Hàm số nghịch biến trên [1; 12.618] , đồng biến trên [12.618; +∞] Dãy số {un} đạt giá trị nhỏ nhất tại n=12 hoặc n=13⇒ Tính u 12 ,u 13 Ghi vào màn hình: 2X+2009÷X 2 Ấn nhập 12 ấn Kết quả: 37.95138889 Ấn nhập 13 ấn Kết quả: 37.88757396 Suy ra số hạng nhỏ nhất của dãy số là u 13 =37.88757396 12) Đa thức bậc ba P(x) có P(1)=5,P(2)=7,P(3)=9,P(4)=12. Tính P(2009). (Trích đề thi HSGMT lớp 11 THPT TP.HCM - năm học 2008-2009) Giải: Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Đặt Q(x)=2x+3 Ta có: Q(1)=5,Q(2)=7,Q(3)=9 Đặt H(x)=P(x)-Q(x), H(x) là đa thức bậc ba và: H(1)=H(2)=H(3)=0 Suy ra H(x)=a(x-1)(x-2)(x-3) H(4)=P(4)-Q(4)=1 ⇒ a(4-1)(4-2)(4-3)=1 Suy ra: a=1/6⇒ H(x)=16(x-1)(x-2)(x-3) ⇒P(x)=H(x)+Q(x)=16(x-1)(x-2)(x-3)+2x+3 Tính P(2009). Ghi vào màn hình: 1÷6×(X-1)(X-2)(X-3)+2X+3 Ấn nhập 2009 Kết quả: 1347386077. Đáp số: P(2009)=1347386077 Bài 13: Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển của (1-2x) 12 . (trích bài 2.31/65 SBT ĐS&GT 11) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta có: (1-2x) 12 = 12 12 12 12 0 0 ( 2 ) ( 2) k k k k k k k x x C C = = − = − ∑ ∑ Số hạng thứ 8 theo lũy thừa tăng dần tương ứng với k = 7 là: 7 7 7 12 ( 2) C x− Ghi vào màn hình: 12C7×(-2) 7 Ấn Kết quả: -101376. Vậy số hạng cần tìm là: -101376x7 14) Tìm phân số biểu diễn của số : 0,17232323 . hay 0,17(23) . ĐS : 1706 853 9900 3950 = Bài 15: Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABCD biết đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 6 dm, AD = 4 dm và các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 8 dm. ( Trích đề thi HSG Casio toàn quốc 2003, BT THPT) Giải Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Gọi G là tâm hình chữ nhật ABCD Suy ra : G là trung điểm BD và G là trung điểm AC Tam giác SBD cân tại S nên SG ⊥ BD (1) Tam giác SAC cân tại S nên SG ⊥ AC (2) 5 Bài tập lượm lặt năm 2010 Từ (1) và (2) suy ra: SG ⊥ (ABCD). 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 AB AD SG SB BG SB + = − = − Thể tích khối chóp V S.ABCD = 1 3 S ABCD .SG= 1 3 AB.AD. 2 2 2 2 ( ) 2 AB AD SB + − Ghi vào màn hình (MathIO): 2 2 2 2 1 . . 3 2 B D B D X   + −  ÷  ÷   Ấn (B?) nhập 6 (D?) nhập 4 (X?) nhập 8 Kết quả: 8 51 Ấn , kết quả: 57,13142743 Vậy V S.ABCD = 57,13142743 Bài 16: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=sinx -cosx+sin2x (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES f(x)=sinx -cosx+sin2x=sinx-cosx+2sinx.cosx Đặt t=sinx-cosx, - 2 ≤t≤ 2 và 2sinx.cosx=1-t 2 Bài toán trở thành tìm GTLN và GTNN của hàm số g(t)=-t2+t+1 g`(t)=-2t+1 g`(t)=0 ⇔ t= 1 2 Tính giá trị của g(t) tại t= 1 2 và t=± 2 Ghi vào màn hình (MathIO): -X 2 +X+1 Ấn (X?) nhập 1÷2 ấn kết quả: 5/4=1,25 Ấn (X?) nhập -(2) ấn kết quả: -1-2=-2,414213562 Ấn (X?) nhập (2) ấn kết quả: -1+2=0,4142135624 Suy ra: max f(x) = max g(t) = 5/4 min f(x) = min g(t) = -1- 2 Bài 17: (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT) Cho các hàm số f(x)= 2 a x -3x+2, (x≠0) và g(x)=asin2x. Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ thức: f[f(-1)]≈ 2 +g[f(2)] Giải f(-1) = a+5 f[f(-1)]=f(a+5)= 2 3( 5) 2 ( 5) a a a − + + + ; f(2) = 4 4 a − g[f(2)] = g( 4 4 a − ) = asin(2( 4 4 a − ))=asin( 8 2 a − ) (Chọn đơn vị đo góc là rad) Ghi vào màn hình (MathIO): 2 X X -3(X+5)+2= 2+ Xsin( -8) (X+5) 2 Ấn (X?) nhập 1 Ấn kết quả: -5,8122 Thử lại với các giá trị ban đầu của X khác nhau ta đều tìm nghiệm duy nhất nghiệm -5,8122 Kết luận: a=-5,8122 Bài 18: Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh AB=AC=AD=8dm, BC=7dm, CD=6dm, BD=5dm (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Gọi H là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Ta có: HC=HC=HD và AB=AC=AD Suy ra A, H nằm trên đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm B, C, D. Suy ra: Đường thẳng AH đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và AH ⊥ (BCD) Các tam giác HAC,HAB,HAD là các tam giác vuông bằng nhau (c.c.c). 6 Bài tập lượm lặt năm 2010 Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (O ∈ AH) và α= · HAB , thì R=OB= · HB sinHBO Trong đó: · · · · · · HBO= HBA-OBA=90-HAB-OBA=90-2HAB=90-2 α (tam giác AOB cân tại O nên · · HAB =OBA ) Suy ra: HB HB R= , voi tan = sin(90-2 ) AB α α Tính bán kính HB của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Ta có: abc S= p(p-a)(p-b)(p-c)= 4R Ghi vào màn hình: (D(D-A)(D-B)(D-C))=ABC÷(4X) Ấn (D?) nhập (5+6+7)÷2 ấn (A?) nhập 5 ấn (B?) nhập 6 ấn (C?) nhập 7 ấn (X?) nhập 1 ấn Ta được HB=3,572172542dm Tính R (chọn đơn vị đo góc là độ) Ghi vào màn hình: X÷sin(90-2A) Ấn (X?) ấn (A?) nhập tan-1(X÷8) ấn Kết quả: R=5,351359924dm Bài 19: Cho hàm số x x 4 f(x)= 4 +2 . Hãy tính tổng: 1 2 3 2009 S=f( )+f( )+f( )+ .+f( ) 2010 2010 2010 2010 Giải: Ta chứng minh: f(x)+f(1-x)=1 Thật vậy: f(x)+f(1-x)= x 1-x x 1-x 4 4 + 4 +2 4 +2 = 1 4 4 4 2 4.4 2.4 .4 x x x x x x − − − + + + = 1 4 4 4 2 2.4 (2 4 ) x x x x x − − + + + = 1 1 4 4 .2 .4 4 2 1 4 2 2 4 4 2 2 4 x x x x x x x x − − + = + = + + + + =1 Từ đó suy ra: S=[f(1/2010)+f(2009/2010)]+ .+[f(1004/2010)+f(1006/2010)]+f(1005/2010) =1004×1+f(1005/2010) Ghi vào màn hình (MathIO): 1004+4 X (4 X +2)-1 Ấn (X?) nhập 1005÷2010 Ấn kết quả: 2009/2 Ấn kết quả: 1004.5. Vậy S=1004,5. Bài 21: Tứ giác nội tiếp ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4 dm, CD = 5 dm, DA = 6 dm. Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc ABC và diện tích của tứ giác đó. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Độ dài đường chéo AC: AC=AB 2 +BC 2 -2.AB.BC.cosB (1) AC=CD 2 +DA 2 -2.CD.DA.cosD (2) Tứ giác ABCD nội tiếp nên B^=180-D^ suy ra cosD =-cosB (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AB 2 +BC 2 -2.AB.BC.cosB=CD 2 +DA 2 +2.CD.DA.cosB Thay số ta được: 3 2 +4 2 -2×3×4cosB=5 2 +6 2 +2×5×6cosB (chọn đơn vị đo góc là độ) Ghi vào màn hình (MathIO): 3 2 +4 2 -2×3×4cos(B)=5 2 +6 2 +2×5×6cos(B),B Ấn (Solve for B) nhập 50 ấn Ấn kết quả: B^=ABC^=115o22`37`` Diện tích tứ giác ABCD: S ABCD =S ABC +S ACD =1/2AB.ACsinB+1/2 CD. DAsinD =1/2AB.ACsinB+1/2 CD. DAsinB Ghi vào màn hình: 3×4sin(B)÷2+5×6sin(B)÷2 Ấn kết quả: SABCD=18,9737 dm2 (Có thể sử dụng công thức sau: SABCD=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) Bài 22: Tính gần đúng giá trị của a nếu đường thẳng y=2x-1 là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+ax+1. (kết quả gần đúng với 4 chữ số thập phân) 7 Bài tập lượm lặt năm 2010 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đường thẳng y=2x-1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x 2 +ax+1 khi và chỉ khi phương trình sau (ẩn x) có nghiệm kép: x 2 +ax+1=2x-1 hay x 2 +(a-2)x+2=0. Ta có: Δ=(a-2) 2 -8 Phương trình có nghiệm kép Δ=0 ⇔ (a-2)⇔ 2 -8=0 Ghi vào màn hình (MathIO): (A-2)2-8,A Ấn (Solve for A) nhập 5 ấn kết quả: 4,828427125 Ấn (Solve for A) nhập -5 ấn kết quả: -0,828427124 Vậy các giá trị của a thỏa mãn là: a1=4,8284; a2=-0,8284 Bài 23: Cho dãy số {u n } với u n =sin(2010-sin(2010-sin(2010- .sin(2010-sin2010)))) Tìm n 0 để với mọi n≤n 0 thì u n có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị u 2009 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES (chọn đơn vị đo góc là rad) Nhớ -1 vào X, nhớ 0 vào A Ấn -1 0 Ấn 1 (X+1→X) Ấn sửa lại thành: X+1→X:sin(2010-A) Ấn Ấn liên tiếp phím cho đến khi sin(2010-A) kết quả có 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy không đổi thì dừng. Ấn Kết quả: n 0 =186 Và u186=u187=u188= =-0,3071 Suy ra: u 2009 =-0,3071 Bài 24: Hãy tìm số tự nhiên n, sao cho giá trị của (1+ 1 )(2+ 2 )(3+ 3 ) .(n+ n ) sai khác số 43294578923 không quá một đơn vị. (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ghi vào màn hình (MathIO): X=X+1:A =A(X+ X ):43294578923-A Ấn (X?) nhập 0 ấn (A?) nhập 1 ấn Ấn liên tục cho đến khi -1≤43294578923-A≤1 thì dừng. Ấn . Ta được n=12. Bài 25: Tính thể tích của tứ diện (đề Quốc gia MTCT 2010, THPT) Cho một tứ diện SPQR có SP = QR = 11, SQ = PR = 20 và SR = PQ = 21. Hãy tính thể tích của tứ diện đó? (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song song với QR, PR, PQ. Các đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tại A, B, C. P, Q, R là trung điểm của các cạnh tương ứng AB, BC, CA . S PQR = 1 4 S ABC . Suy ra: V SPQR = 1 4 V SABC Ta có: ΔSBQ cân tại Q (SQ = BQ = PR) suy ra BSQ^=SBQ^ ΔSCQ cân tại Q (SQ = CQ = PR) suy ra CSQ^=SCQ^ Suy ra BSC^=BSQ^+CSQ^=12(2BSQ^+2CSQ^)=12(BSQ^+SBQ^+CSQ^+SCQ^)=90 0 Tương tự: ASB^=ASC^=90 o Suy ra: V SABC = 1 6 SA.SB.SC suy ra: V SPQR = 1 24 SA.SB.SC Trong đó: 8 Bài tập lượm lặt năm 2010 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA +SB =AB =4QR =4b SB +SC =BC =4PR =4a SC +SA =AC =4PQ =4c      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA =2(b +c -a ) SB =2(a +b -c ) SC =2(a +c -b )   ⇒    Lưu 20 vào A, 11 vào B, 21 vào C: Ấn 20 11 21 Ghi vào màn hình (MathIO): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(B +C -A )×2(A +B -C )×2(A +C -B ) 24 Ấn kết quả: 360 Vậy V SPQR =360 (đvtt). Bài 26: Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 20.000.000 đ, mức lãi suất 1,2% / tháng với quy ước 1 tháng trả 800.000 đ cả gốc và lãi. Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng? Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,5% / tháng và người đó lại quy ước 1 tháng trả 1.000.000 đ cả gốc và lãi (trừ tháng cuối cùng). Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ? (tháng cuối trả không quá 500.000 đ). (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570MS Gọi u 0 là số tiền người đó mua xe: u 0 =20000000 (đồng) u n là số tiền người đó còn nợ sau n tháng. Ta có: 0 n n-1 n n-1 u =20000000 u =1,012u -800000 (TH:n 12) u =1,015u -1000000(TH:n>12)   ≤    Nhớ 0 vào X, nhớ 20000000 vào A Ấn 0 20000000 Ghi vào màn hình: X=X+1:A=1.012A-800000 Ấn liên tiếp phím cho đến khi X = 12 thì dừng. Ấn kết quả: u12=12818250,87. Vậy sau 12 tháng, số tiền người đó còn nợ là 12818250,87 đồng. Ghi vào màn hình: X=X+1:A=1.015A-1000000 Ấn liên tiếp phím cho đến khi A<0 thì dừng. Ấn kết quả: 27 Vậy sau 27 tháng người đó trả hết nợ. Bài toán tổng quát về lãi suất: Một người vay ở ngân hàng số tiền a đồng, mỗi tháng phải trả góp cho ngân hàng b đồng và phải chịu lãi suất của số tiền chưa trả là m/tháng. Hỏi sau bao lâu thì người ấy trả hết nợ? Giải Gọi a n là số tiền người đó còn nợ ngân hàng sau n tháng. Ta có: a 1 =a(1+m)-b a 2 =a 1 (1+m)-b=(a(1+m)-b)(1+m)-b=a(1+m) 2 -b(1+m)-b a 3 =a 2 (1+m)-b=(a(1+m) 2 -b(1+m)-b)(1+m)-b=a(1+m) 3 -b(1+m) 2 -b(1+m)-b Dự đoán a n =a(1+m) n - 1 0 (1 ) n i i b m − = + ∑ (*) Chứng minh (*) Ta thấy (*) đúng với n=1 Giả sử (*) đúng với n=k Tức là: a k =a(1+m) k - 1 0 (1 ) k i i b m − = + ∑ thì a k+1 =a k (1+m)-b=(a(1+m) k - 1 0 (1 ) (1 ) n i i b m m b − = + + − ∑ =a(1+m) k+1 - 0 1 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) k k i k i i i b m b m a m b m + = = + − + = + − + ∑ ∑ Vậy a n =a(1+m) n - 1 0 (1 ) n i i b m − = + ∑ với mọi n≥1 9 Bài tập lượm lặt năm 2010 Khai triển an ta được: n n n (1+m) -1 a =a(1+m) -b m Khi trả hết nợ thì a n =0 Giải phương trình n n (1+m) -1 a(1+m) -b 0 m = ta tìm được n. Bài 26: Tìm nghiệm gần đúng của hệ: 2 2 xy(x-2)(y-2)=4 x +y -2(x+y)=4    (kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân) (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES 2 2 xy(x-2)(y-2)=4 ( 2)( 2) 4 ( 2) ( 2) 4 x +y -2(x+y)=4 xy x y x x y y − − =   ⇔   − + − =   Đặt u=x(x-2) v=y(y-2)    Hệ phương trình trên trở thành: uv=4 u+v=4    Suy ra: u,v là nghiệm của phương trình: X2-4X+4=0 Chọn chương trình giải phương trình bậc 2: ấn Nhập hệ số: 1 -4 4 Ấn kết quả: X=2 Vậy u=2 ; v=2 x(x-2)=2⇒ ; y(y-2)=2 {x⇔ 2 -2x-2=0 ; y 2 -2y-2=0 Ấn Nhập hệ số: 1 -2 -2 Ấn kết quả: {X1=2,7321X2=-0,7321 Hệ có 4 nghiệm: {x1=2,7321y1=2,7321 ; {x2=2,7321y2=-0,7321 ; {x3=-0,7321y3=2,7321 ; {x4=-0,7321y4=-0,7321 Bài 27 : Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm A và B của đường tròn: 4x 2 +4y 2 +12x-16y-5=0 và đường thẳng đi qua hai điểm M(-4;3), N(5;-2). (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT) Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Đường thẳng MN có vector chỉ phương là u=(9;-5) ⃗ Phương trình tham số của đường thẳng MN: {x=-4+9t ; y=3-5t Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng MN thỏa mãn: 4(-4+9t)2+4(3-5t)2+12(-4+9t)-16(3-5t)-5=0 Tìm nghiệm phương trình trên. Ghi vào màn hình (MathIO): 4(-4+9A)2+4(3-5A)2+12(-4+9A)-16(3-5A)-5=0,A Ấn (Solve for A) nhập 1 ấn kết quả: t1=0,5233742421 Ghi vào màn hình (MathIO): 4(-4+9B)2+4(3-5B)2+12(-4+9B)-16(3-5B)-5=0,B Ấn (Solve for B) nhập -1 ấn kết quả: t2=-4,506317×10-3 Tìm tọa độ giao điểm Ghi vào màn hình: -4+9X:3-5X Ấn (X?) Ấn (x1=0,7104) Ấn (y1=0,3831) Ấn (X?) Ấn (x2=-4,0406) Ấn (y2=3,0225) Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng MN là: A(0,7104;0,3831), B(-4,0406;3,0225) Bài 29 : Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm (đề Quốc gia MTCT 2010) 10 [...]... +2x-8) Đặt f(x)=(x -2) +(x +2x-8 )2 2 2 f(x) = maxf(x) trên [ -2; 2] f`(x) =2( x -2) +2( 2x +2) (x2+2x-8) f`(x)=0 ⇔ (x -2) + (2x +2) (x2+2x-8)=0 Ghi vào màn hình (MathIO): (X -2) + (2X +2) (X2+2X-8) Ấn (Solve for X) nhập 1 ấn kết quả: 2 Ấn (Solve for X) nhập -3 ấn kết quả: -3, 822 875656 (loại) Ấn (Solve for X) nhập -1 ấn kết quả: -1,177 124 344 Tính f(-1,177 124 344), f (2) , f( -2) Ghi vào màn hình: (X -2) 2+(X2+2X-8 )2 Ấn (X?) ấn kết... 366+(63-16) × 365 =23 011 ngày 23 011 chia 7 dư 2. Vậy 01/01 /20 55 là thứ 6 Bài 37: Tìm a thuộc N để biểu thức sau là số chính phương a2 + a + 43 12 Bài tập lượm lặt năm 20 10 Giải Đặt: k2 =a2 + a + 43 ⇔ (4a2 + 4a + 1) -4k2=-171 ⇔ (2a+1 )2- 4k2=-171 ⇔ (2a+1-2k)(2a+1+2k)=-171 Ta có : 171=1.171=3.57=9.19 Giải hệ phương hệ pt ta được: a= 42; 13; 2 Bài 37: Tìm chữ số tận cùng của tổng : T= 23 +37+411+ +20 048011 Giải:... là số nguyên không âm và 84 = 4096 >20 03 nên f(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 4 suy ra f(x) = a3 x3 +a2 x2 +a1 x+a0 Ta có f( 8 ) = a3 83 +a2 82 +a1 8+a0 = 20 03 hay 8.(a3 82 +a28+ a1 )+a0 =25 0.8+3 Vì 0≤ a0 ≤ 8 nên a0 =3 suy ra a3 82 +a28+ a1 =25 0 Ta có 8.(a38+ a2 )+a1 =31.8 +2 Suy ra a1 =2 suy ra a3 8+a2 =3.8+7 do đó a2 =7 ; a3 =3 Vậy đa thức cần tìm f(x) = 3x3 +7x2 +2x+3 Bài 35: Tìm số nhỏ nhất có có 10... 3.9017 và 1. 822 5 Tìm khoảng cách giữa hai tâm đường tròn đó Giải Bài này sử dụng hệ thức Ơ-le: d2 =R2 -2Rr Trong đó: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp r: bán kính đường tròn nội tiếp d: khoảng cách OO' Bài 33: Cho n là số tự nhiên Gọi an là số nguyên gần với n nhất (Ví dụ: 2 =1.41 42 ⇒ a2=1, 3 =1.7 32 ⇒ a3 =2 ) Tính: S=a1+a2+a3+ +a2008+a2009 Giải Ta có: an=k ⇔ (k- 1 1 )≤n . năm 20 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA +SB =AB =4QR =4b SB +SC =BC =4PR =4a SC +SA =AC =4PQ =4c      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA =2( b +c -a ) SB =2( a. -2 -2 Ấn kết quả: {X1 =2, 7 321 X2=-0,7 321 Hệ có 4 nghiệm: {x1 =2, 7 321 y1 =2, 7 321 ; {x2 =2, 7 321 y2=-0,7 321 ; {x3=-0,7 321 y3 =2, 7 321 ; {x4=-0,7 321 y4=-0,7 321 Bài 27