Đặc điểm biến dạng kiến tạo hiện đại khu vực khánh hòa bình thuận và lân cận theo số liệu chuyển dịch GPS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN CƠ TIN TRẦN THỊ HỒI TUYẾN TÍNH HĨA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Hàm mũ 1.1.3 Một số kí hiệu 1.1.4 Đạo hàm thang thời gian 1.2 1.3 1 Nhị phân mũ Nguyên lí điểm bất động 11 Tuyến tính hóa thang thời gian 2.1 2.2 ii iii 12 Giới thiệu toán 12 Định lí tuyến tính hóa 16 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn thang thời gian 29 3.1 Thang thời gian tuần hoàn 29 3.2 Tuyến tính hóa trường hợp tuần hồn 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 i Lời cảm ơn Để hoàn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quí báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Cơ - Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn cha mẹ tôi, người yêu thương ủng hộ tơi vơ điều kiện ii Lời nói đầu Gần đây, lí thuyết phương trình động lực thang thời gian phát triển cách có hệ thống nhằm hợp suy rộng lí thuyết phương trình vi phân phương trình sai phân Luận văn trình bày lí thuyết phương trình động lực thang thời gian với tốn tuyến tính hóa Xét hệ phương trình tuyến tính x∆ = A(t)x, (1) hệ phương trình nửa tuyến tính x∆ = A(t)x + f (t, x) (2) đó, t ∈ T, A ∈ Crd (T, L(X)) Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô nghiên cứu mối quan hệ hệ phương trình tuyến tính (1) hệ phương trình nửa tuyến tính (2) Trong luận văn, chúng tơi giới thiệu vài điều kiện đủ đảm bảo cho tồn hàm tương đương H (t, x) biến nghiệm (c, d) - tựa bị chặn hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1) Chúng tơi mở rộng định lí tuyến tính hóa Palmer phương trình hệ động lực thang thời gian Ở đây, chúng tơi trình bày phương pháp giải tích để nghiên cứu tốn tương đương tơpơ thang thời gian Kết trường hợp T = R Để đưa cách đầy đủ phương pháp khác nghiên cứu tốn tương đương tơpơ, chúng tơi xem xét kết khác từ cơng trình nghiên cứu Higler Hơn nữa, chứng minh hàm tương đương H (t, x) ω - tuần hoàn hệ ω tuần hồn Nội dung luận văn định lí tuyến tính hóa thang thời gian chứng minh tương đương tơpơ hệ phương trình nửa tuyến tính (2) hệ phương trình tuyến tính (1) Chìa khóa để giải vấn đề khái niệm nhị phân mũ, xây dựng hàm tương đương tôpô H (t, x) Nội dung luận văn trình bày kết báo " A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains" Yonghui Xia, Jinde Cao Maoan Han Luận văn chia thành ba chương iii Chương 1: trình bày khái niệm thang thời gian kí hiệu, khái niệm nhị phân mũ phương trình vi phân, phương trình sai phân khái niệm nhị phân mũ thang thời gian Chương 2: chứng minh tồn hàm tương đương tơpơ hệ phương trình nửa tuyến tính hệ phương trình tuyến tính Đây mục đích luận văn Chương 3: chứng minh hàm tương đương ω - tuần hoàn hệ tuyến tính ω - tuần hồn thang thời gian Do thời gian lực có hạn, luận văn cịn sai sót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, cô bạn đồng nghiệp Hà nội, tháng 12 năm 2014 Trần Thị Hoài iv Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Thang thời gian tập đóng, khác rỗng tùy ý tập số thực R Kí hiệu thang thời gian T Các tập R, Z, N, [0, 1] ∪ [2, 3] ví dụ thang thời gian Sau ta định nghĩa toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lui hàm graininess thang thời gian Định nghĩa 1.2 Cố định t ∈ T Toán tử σ : T −→ T xác định σ (t) := inf {s ∈ T : s > t} gọi toán tử nhảy tiến thang thời gian T Ví dụ: Nếu T = Z σ (n) = n + Nếu T = R σ (t) = t Định nghĩa 1.3 Cố định t ∈ T Toán tử ρ : T −→ T xác định ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} gọi toán tử nhảy lui thang thời gian T Ví dụ: Nếu T = Z ρ(n) = n − Nếu T = R ρ(t) = t Ta giới thiệu khái niệm điểm rời rạc trái, rời rạc phải, trù mật trái, trù mật phải, điểm bị cô lập điểm trù mật sau Nếu σ (t) > t, ta nói t rời rạc phải Nếu ρ(t) < t, ta nói t rời rạc trái Nếu ρ(t) < t < σ (t), ta nói t bị lập Nếu σ (t) = t, ta nói t trù mật phải Nếu ρ(t) = t, ta nói t trù mật trái Nếu ρ(t) = t = σ (t), ta nói t trù mật Định nghĩa 1.4 Hàm µ : T −→ [0, ∞) xác định µ(t) := σ (t) − t gọi hàm graininess Ví dụ: Nếu T = Z, ta có µ(n) = Nếu T = R, ta có µ(t) = Ta định nghĩa tập Tκ = T \ (ρ (supT) , supT) supT < ∞ T supT = ∞ Sau ta giới thiệu số khái niệm liên quan đến hàm mũ thang thời gian 1.1.2 Hàm mũ Ta kí hiệu tập tất hàm regressive rd - liên tục f : T −→ R R = R(T) = R(T, R) Định nghĩa 1.5 Giả sử p ∈ R, ta định nghĩa hàm mũ tổng quát thang thời gian sau t ep (t, s) = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s đó, ξµ(τ ) (p(τ )) = Log (1 + µ(τ )p(τ )) µ (τ ) , t, s ∈ T Bổ đề 1.1 Với p ∈ R, ta có ep (t, τ )ep (τ, s) = ep (t, s), τ, s, t ∈ T Chứng minh Giả sử p ∈ R với τ, s, t ∈ T, ta có t ep (t, τ )ep (τ, s) = exp τ ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ τ s t = exp τ ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ + τ ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s t = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s = ep (t, s) Bổ đề chứng minh Chúng ta giới thiệu số tính chất hàm mũ định lí sau Định lý 1.1 Giả sử hàm p, q ∈ R Khi ta có (i) e0 (t, s) ≡ ep (t, t) ≡ 1; (ii)ep (σ (t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s); = e p (t, s); (iii) ep (t, s) (iv) ep (t, s) = = e p (s, t); ep (s, t) (v) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s); ep (t, s) (vi) = ep q (t, s) eq (t, s) Chứng minh Xem [ ] Bây ta giới thiệu số kí hiệu dùng luận văn 1.1.3 Một số kí hiệu Giả sử T thang thời gian tùy ý với hàm bị chặn graininess µ X khơng gian Banach thực phức với chuẩn · Gọi L (X1 , X2 ) khơng gian tuyến tính ánh xạ tuyến tính liên tục với chuẩn xác định T := sup T x , ∀T ∈ L (X1 , X2 ) x =1 Gọi GL (X1 , X2 ) tập đẳng cấu tuyến tính hai không gian X1 , X2 X IX1 ánh xạ đồng X1 L (X) := L (X, X) N (T ) = T −1 ({0}) không gian nhân R (T ) := TX khoảng biến thiên T ∈ L (X) Một vài kí hiệu đặc trưng cho phép tốn thang thời gian T+ τ := {t ∈ T : t ≥ τ }, ∀τ ∈ T T− τ := {t ∈ T : t ≤ τ }, ∀τ ∈ T Ta dùng kí hiệu ρ+ để tốn tử nhảy tiến, tức ρ+ (t) = σ (t), ∀t ∈ T Tập J ⊆ T gọi không bị chặn (tương ứng dưới) tập {µ (t, τ ) ∈ R : t ∈ J, ∀τ ∈ T} không bị chặn (tương ứng dưới) Đạo hàm riêng cấp ánh xạ Φ : T × T −→ X, kí hiệu ∆1 Φ Crd (Tκ , X) tập ánh xạ rd - liên tục từ Tκ đến X Crd R+ (Tκ , R) khơng gian tuyến tính hàm regressive với phép toán đại số (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ(t)a(t)b(t), a(t) − b(t) , (a b)(t) := + µ(t)b(t) (1 + ha(t))α − (α a)(t) := lim , t ∈ Tκ , h h µ(t) a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) , α ∈ R Crd R+ (Tκ , R) := {a ∈ Crd (Tκ , R) : + µ (t) a (t) > 0, t ∈ Tκ } Nếu T = R (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t), (a b)(t) := a(t) − b(t) Nếu T = Z (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t), a(t) − b(t) (a b)(t) := + b(t) Với τ ∈ T cố định c, d ∈ Crd R+ (Tκ , R) ta định nghĩa + Bτ,c (X) := {λ ∈ Crd T+ τ , X : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞}, τ t − Bτ,d (X) := {λ ∈ ± Bτ,c,d (X) := Crd T− τ ,X : sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞}, t τ λ ∈ Crd (Tκ , X) |∃τ ∈ T : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞, τ t sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞ t τ khơng gian tuyến tính ánh xạ c+ - tựa bị chặn d− - tựa bị chặn Các không gian không gian Banach với chuẩn λ λ + τ,c := sup λ(t) e c (t, τ ), ± τ,c,d λ τ t := max{ λ|T+τ + τ,c , λ|T−τ − τ,d := sup λ(t) e d (t, τ ), t τ − τ,d } ec (t, τ ) hàm mũ thực T Có thể dễ dàng thấy λ(t) ≤ λ + τ,c ec (t, τ ), ∀t λ(τ ) ≤ λ + τ,c ≤ λ ∈ T+ τ , λ(t) ≤ λ ± τ,c,d , λ(τ ) ≤ λ − τ,d ed (t, τ ), ∀t ∈ − ± τ,d ≤ λ τ,c,d T− τ , Một số kí hiệu viết tắt b − a := infκ {b(t) − a(t)}, t∈T a ✁ b :⇔ < b − a , a ✂ b :⇔ ≤ b − a hai hàm regressive a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) kí hiệu bậc tăng sup µ(t)a(t) < ∞ sup µ(t)b(t) < ∞ t∈Tκ t∈Tκ Khi ta thu giới hạn sau lim ea b (t, τ ) = 0, lim eb a (t, τ ) = t→∞ t→−∞ với bậc tăng a ✁ b không bị chặn (tương ứng dưới) thang thời gian Khái niệm khả vi delta thang thời gian giới thiệu Tài liệu tham khảo [1] Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, May 4, 2001 [2] Martin Bohner, Allan Peterson, Advances in dynamic Equations on Time Scales, 2003 [3] Yonghui Xia, Jinde Cao, Maoan Han, A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains, Scince Direct, 235 (2007) 527 - 543 [4] C Potzsche, Exponential Dichotomies for Dynamic Equations on Measure Chains, Nonlinear Analysis 47 (2001) 873 - 884 [5] C Potzsche, Langsame Faserbundel Dynamischer Gleichungen auf MaBketten, PhD thesis, Logos Verlag, Berlin, 2002 [6] C Potzsche, Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chain under slowly varying coefficients, J Math Anal Appl 289 (2004) 317 - 335 [7] C Potzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Anal 47 (2001) 873 - 884 [8] K.J Palmer, A generalization of Hartman’s linearization theorem, J Math Anal Appl 41 (1973) 753 - 758 [9] J Shi, J Zhang, Classification of the Differential Equations, Science Press, BeiJing, 2003 [10] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory, Springer Press, 2003 34 ... thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thiện... 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 i Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ q báu... = Z ρ(n) = n − Nếu T = R ρ(t) = t Ta giới thiệu khái niệm điểm rời rạc trái, rời rạc phải, trù mật trái, trù mật phải, điểm bị cô lập điểm trù mật sau Nếu σ (t) > t, ta nói t rời rạc phải Nếu