Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ).. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc Ax..[r]
(1)BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ (09-10) TOÁN ĐẠI SỐ 9
Bài1 : 1) Trục thức mẫu : 262
√3+5
2) Rút gọn biểu thức : A = (√2+√6)√2−√3 Giải
1)Trục thức mẫu : 26
2√3+5
26
2√3+5 =
26(2√3−5)
(2√3+5)(2√3−5) =
2√3¿2−52 ¿
26(2√3−5) ¿
= 26(2√3−5)
12−25 =
26(2√3−5)
−13 = –2(2 √3
– 5)
=–4 √3 +10 = 10– √3
2)Rút gọn biểu thức : A = (√2+√6)√2−√3
A= √2 √2−√3 + √6 √2−√3
= √2(2−√3) + √6(2−√3) = √4−2√3 + √12−6√3
= √1−2√3+3 + √9−2 3√3+3 =
√3
¿
12−2√3+¿
√¿
+
√3
¿
32−2 3√3+¿
√¿
= 1−√3¿
2
¿ √¿
+ 3−√3¿
2
¿ √¿
= |1−√3| +
|3−√3|
= √3 –1+ – √3 = Bài 2: Giải phương trình :
1) √4x+20−3√x+5+4
3√9x+45=6
2) √4x2−4x+1=3 Giải
1) √4x+20−3√x+5+4
3√9x+45=6
2√x+5−3√x+5+4√x+5=6 √x+5(2−3+4)=6
3√x+5=6 √x+5=2 |x+5| =
* x + = ( với x ≥ – ) x = – Nhận
* – x – = (Với x – )
x = – Nhận Vậy S = {2;−7}
2) √4x2−4x+1=3
⇔ 2x+1¿
2
¿ ¿ √¿
⇔ |2x+1| =
⇔ * 2x + = ( x ≥ −21 )
x = Nhận
* – 2x – = ( x −21 )
X= – Nhận Vậy S = {1;−2}
Bài : Tìm x thỏa điều kiện sau a) √3+√x =
b) √25x – √16x = Giải
Tìm x thỏa điều kiện sau a) √3+√x =
Suy :3+ √x =9 hay √x = = √36
Vậy x = 36
b) √25x – √16x =
Suy 5√x – 4√x = Hay
√x = = √81
Vậy x = 81 Bài 4:
(2)2/Tính : √4−2√3
3/Rút gọn biểu thức: A= √4−2√3+2√3+1
√3
Giải
1/ Giải phương trình :
√1− x+√4−4x+√9−9x=6
√1− x+2√1− x+3√1− x=6
√1− x(1+2+3) =6 √1− x =6
√1− x =1 |1− x| =1
* 1– x = ( với x ≤ ) x= –2 Nhận
* –(1 – x) = (với x 1)
– 1+ x = x= Nhận
Vậy S = {−2;2}
2/Tính : √4−2√3
√4−2√3 = √1−2√3+3 =
√3
¿
12−2√3+¿
√¿
= 1−√3¿
2
¿ √¿
= |1−√3| = √3 –1 Vậy √4−2√3 = √3 –1
3/Rút gọn biểu thức: A=
√4−2√3+2√3+1
√3
= √3−1+2√3+1
√3 = 3√3
√3 =
Bài :
Cho biểu thức Q = ( √x
1−√x+
√x
1+√x) +
3−√x
x −1 với x ≥0 x ≠
1) Rút gọn Q 2) Tìm x để Q = – Giải
a) Q = ( √x
1−√x+
√x
1+√x) +
3−√x x −1
=
x
1+√¿ ¿
x
1−√¿ ¿
√x( ¿
(1+√x)(1−√x)¿)
√x¿ ¿ ¿
+ 3−√x
x −1
=
x 1+√¿
¿
+√x(1−√x) √x(¿¿(1−√x)(1+√x)¿)
¿ ¿
+ 3x −−√1x
= (√x+1x+− x√x − x)+¿ 3−√x
x −1
= 2√x
1− x +
√x −3 1− x
= 3√x −3
1− x
b)Với Q = – Ta có 3√1− xx −3 = – 3(√x −1)
(1−√x)(1+√x) = – −3(1−√x)
(1−√x)(1+√x) = – −3
1+√x = – 1+ √x =
√x =
x =
Bài : Cho biểu thức P = ( √x
√x −2+ √x
√x+2)
x −4
(3)a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm x biểu thức P = c/ Tìm x để P >
a/ P = ( √x
√x −2+ √x
√x+2)
x −4
√4x = (
√x(√x+2) (√x −2)(√x+2)+
√x(√x −2) (√x+2)(√x −2))
x −4 √4x
= (√x(√x+2)+√x(√x −2)
x −22 )
x −4
√4x = (
x+2√x+x −2√x
x −4 )
x −4
√4x
= x −2x4 x −4
√4x
= 2x
2√x = x
√x =
x√x
√x√x = √x
b) P = √x = √x = √36 x = 36
c) P > √x > √x > √9 x >
Bài 7: a / Vẽ đồ thị hàm số sau mặt phẳng toạ độ : (d) : y = 3x – (d’) : y = -2x +4
b/ Tìm toạ độ giao điểm (d) (d’)
Giải
1)Tìm giao điểm (d) với trục A(0; -3) , B(1; 0)
Tìm giao điểm (d’) với trục A’(0:3) , B’(2;0) Vẽ đồ thị Đường thẳng (d) qua A B
Đường thẳng (d’) qua A’ B’
2) 3x-3 = - 2x +4 3x+2x = 4+3 5x=7
⇔ x = 75 Thay vào tìm y = 65
Vậy Tìm toạ độ giao điểm (d) (d’) điểm M (
5 ;
5 )
Bài 8: a / Vẽ đồ thị hàm số sau mặt phẳng toạ độ : (d) : y = 12 x -2 (d’) : y = -2x +3
b/ Tìm toạ độ giao điểm (d) (d’)
Giải
a/ (d):y = 12 x -2
Có giao điểm với trục hoành x= y=-2 A(0;-2)
Giao điểm trục tung
y=0 = 12 x -2 x=4 B(4;0)
(d’) : y = -2x +3
Có giao điểm với trục hồnh x= y=3 A’(0;3)
Giao điểm trục tung Y=0 = -2x +3
x= 32 =1,5 B’(1,5;0)
b/ Tìm hồnh độ giao điểm
1
2 x -2 = -2x +3
2 x +2x=3+2
52 x =5 x =
Thay x=2 vào hai phương trình ta tìm tung độ giao điểm
y = -2.2 +3 = -1
(4)Vẽ đồ thị hai hàm số
-Xác định cá điểm A(0;-2) ,B(4;0), A’(0;3) , B’(1,5;0) Đường thẳng (d) qua A B Đường thẳng (d’) qua A’ B’
Bài 9: Cho biểu thức A = √24+12x+√24−12x
√24+12x −√24−12x
1) Tính giá trị biểu thức x = Sau rút gọn biểu thức Làm mẫu biểu thức A Sau rút gọn biểu thức 3) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định
Giải
1)Khi x=1 ta có
A = √24+12 1+√24−12
√24+12 1−√24−12 =
√36+√12
√36−√12 = A =
√36+√12¿2 ¿ ¿ ¿
= 36+2√36√12+12
24
= 48+2√62√22
24 =
48+2 2√.3
24 =
48+24√
24 =
24(2+√ 3)
24 = + √3
2) Làm thức A = √24+12x+√24−12x
√24+12x −√24−12x =
√24+12x+√24−12x¿2 ¿
¿ ¿
= 2424+x12x+2√24+12x.√24−12x+24−12x = 4824+x2 2√6+3x.√6−3x = 48+2 2√3(2+x).√3(2− x)
24x =
48+2 2 3√(2+x)(2− x)
24x =
48+24√22− x2
24x =
24(2+√22− x2)
24x =
2+√22− x2
x
3)Tìm điều kiện x để biểu thứcA xác định
Biểu thức xác định mẫm khác thúc có nghĩa Nên √24+12x √24−12x Suy x 0
Và 24+12x ≥ 24 -12x ≥ Suy x ≥ -2 x ≤ Hay -2 ≤x ≤
Vậy điều kiện x để biểu thức xác dịnh -2 ≤x ≤ x 0
Bài 10 : 1) Rút gọn biểu thúc sau : M= √x+1−2√x N = √x+1+2√x
) Giải phương trình M+N = Giải
1) rút gọn
M= √x+1−2√x = √x¿
2
+12−2√x.1 ¿
√¿
= √(√x)−1¿2 = √x -1 N = √x+1+2√x = √x¿
2
+12+2√x.1 ¿
√¿
= √(√x)+1¿2 = √x +1
2)Giải phương trình M+N = M+N =
√x -1 + √x +1 =4
√x = √x =2 √x =
√4
x =
(5)Bài 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường thẳng (dm ) có phương trình
y = (2m+4)x–
1)Với giá trị m hàm số y = (2m+4)x– hàm đồng biến
2) Khi m = ta có đường thẳng (d), Viết phương trình đường thẳng ()qua điểm
M(1;2) song song với đường thẳng (d)
3) Vẽ (d) biểu diễn M lên mặt phẳng tõa độ Oxy 1) Hàm số đồng biến : 2m +4 2m -4 m -2
Vậy với m -2 hàm số y = (2m+4)x– hàm đồng biến
2)Khi m = ta có đường thẳng (d) : y=(2.1+4)x -3 y=6x-3
Phương trình đường thẳng ()có dạng y =ax+b song song với đường thẳng (d)
Nên a= Phương trình đường thẳng ()có dạng y = 6x +b
Phương trình đường thẳng ()qua điểm M(1;2) nên ta có = 6.1 +b b= -4
Vậy phương trình đường thẳng ()là y= 6x –
3)Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với hai trục tọa độ: (d) : y=6x-3
Với x=0 y= -3 nên giao điểm với trục tung điểm A(0;-3)
Với y=0 0= 6x -3 6x=3 x = 12 nên giao điểm với trục hoành điểm B( 12 ;0)
Vẽ đường thẳng qua A B ta phương trình đường thẳng (d)
Bài 12 : a/ Tìm giá trị x để biều thức √
x −1 có nghĩa
b/ Trục thức mẫu :
√7+√5
c/ Tính giá trị biểu thức :
2+√3 + 2−√3
Giải
a/ Tìm giá trị x để biều thức √
x −1 có nghĩa
√
x −1 có nghĩa
x −1 ≥0
x –
x
Vậy : Để biều thức √
x −1 có nghĩa x
b/ Trục thức mẫu :
√7+√5
√7+√5 =
4(√7−√5)
(√7+√5)(√7−√5) = 4(√7−√5)
7−5
= 4(√7−√5)
2
= 2(√7−√5)
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc qua điểm A(-2;1). Giải
Phương trình đường thẳng có dạng y=ax+b
Vì hệ số góc nên a = 3 , ta có phương trình y= 3x +b Vì qua điểm A(-2;1) nên ta có 1= 3.(-2)+b b = 7
(6)BÀI TẬP ƠN HỌC KỲ (09-10) TỐN HÌNH HỌC 9
Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Gọi Ax By tia vng góc với AB ( Ax , By nửa đường tròn nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M điểm thuộc Ax Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By N a/ Tính số đo góc MON
b/ Chứng minh : MN=AM + BN c/ Chứng minh : AM BN =R2
Giải:
Vẽ hình
Gọi I tiếp tuyến MN với nửa đường trịn a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có M
¿
O❑^
¿
A = M ¿
O❑^
¿
I ( = ¿
A O
^
❑I
2
¿
)
N
¿
O❑^
¿
I = N
¿
O❑^
¿
B ( =
¿
B O ^
❑I
2
¿
) Mà A
¿
O
^
❑
¿
I B ¿
O
^
❑
¿
I kề bù Do M
¿
O ^
❑
¿
I + I
¿
O ^
❑
¿
N = 900 hay M
¿
O ^
❑
¿
N = 900
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có
AM=MI MI = BN Mà MI+IN = MN Nên MN=AM+BN c) Trong tam giác vng OMN
Ta có OI2= MI IN (hệ thức h2= b’ c’)
Mà AM=MI MI = BN
Suy R2= AM.BN
Bài : Cho ΔABC vuông A có AB = cm , AC = cm Kẻ đường cao AH a)Tính BC , AH , HB , HC
b)Tính giá trị biểu thức Q = sinB + cosB Giải:
a)Vẽ hình Áp dụng định lý Pitago tam giác vng
ABC Ta có :BC2= AB2+AC2 =102
BC = 10 (cm)
AH = AB ACBC = 106 = 4,8 (cm) HB = AB
2
BC = 62
10 = 3,6 (cm)
HC = 10 -3,6 = 6,4 (cm)
(7)b)Q = sinB + cosB
= 108 + 106 = 1410 = 75
Bài
Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vuông góc với BC Gọi M trung điểm đoạn BC Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AB , cắt Bx O
1)Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (O;OA)
2) Chứng minh bốn điểm O,A,M,B nằm đường tròn Giải:
Vẽ hình 1)Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (O;OA)
Gọi I giao điểm MO vá AB
Theo đề MI đường trung bình tam giác ABC nên IA=IB
Do tam giác OAB cân O (MI vừa đường cao vừa trung tuyến)
Suy : OA =OB
Mà OB vuông góc với BC
Vì BC tiếp tuyến đường tròn (O;OA) 2)Chứng minh bốn điểm O,A,M,B nằm đường tròn
Tam giác BOM vuông B nên ba điểm B,O,M nằm đường trịn có tâm trung điểm cạnh huyền MO
Xét hai tam giác BOM AOM có OA=OB
¿
AOM❑^
¿ =
¿
BOM❑^
¿
(do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) MO cạnh chung )
Vì ΔBOM=ΔAOM (c,g,c)
Do Tam giác AOM vuông A nên ba điểm A,O,M nằm đường trịn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO
Vậy bốn điểm O,A,M,B nằm đường tròn Bài :
Một thang dài m , đặt dựa vào tường , góc thang mặt đất 600
Hãy vẽ hình minh họa tính khoảng cách từ chân thang đến tường Giải:
Vẽ hình Khoảng cách chân thang đến tường : cos 600
= 12 = (m) Bài 5:
(8)Chứng minh : a/CD=AC+BD
B/ ¿
COD❑^
¿
=900
C/ Tích AC.BD = R2
Giải:
Vẽ hình Chứng minh
a/ CD=AC+BD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt Thì AC= EC BD=ED mà DC = EC+ED Nên CD = AC+BD b/
¿
COD❑^
¿
=900
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có C
¿
O❑^
¿
A = C ¿
O❑^
¿
E ( = ¿
A O
^
❑E
2
¿
)
E
¿
O ^
❑
¿
D = B
¿
O ^
❑
¿
D ( =
¿
E O ^
❑B
2
¿
) Mà A
¿
O
^
❑
¿
E E ¿
O
^
❑
¿
B kề bù Do C
¿
O ^
❑
¿
E + EB = 900 hay C
¿
O ^
❑
¿
D = 900
c/ Tích AC.BD = R2
Trong tam giác vng OCD
Ta có OE2= EC ED (hệ thức h2= b’ c’) mà AC= EC BD=ED
Suy R2= AC.BD
Bài 6:
Cho tam giác ABC vng A , có BC= Cm , AB =2AC a/Tính AB
b/Kẻ đường cao AH Tính HB , AH c/Tính tg
¿
BAH
^
❑
¿
, Suy giá trị gần số đo ¿
BAH
^
❑
¿
d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) (C;CA) Gọi E giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh CE tiếp tuyến đường tròn (B)
Giải:
Vẽ hình a)Tính AB
Áp dụng định lý Pitago tam giác vng , ta có AB2+
(AB2 )
2
= BC2
AB2+ AB2
4 = BC
(9)AB2
4 + AB2
4 = BC
2
AB2
4 = BC
2
5AB2 = 4BC2
AB2 = BC2
5 =
4 52
5 = 20
AB= √20 = √5 (cm) b)Kẻ đường cao AH Tính HB , AH
Ta có AC= AB2 = 2√5
2 = √5 (cm)
AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c ) AH= AB ACBC = √5 √5
5 = (cm)
AB2= BC.HB ( Hệ thức c2=a.c’)
Suy HB= AB2
BC =
2√5¿2 ¿ ¿ ¿
= (cm) c)Tính tg
¿
BAH ^
❑
¿
, Suy giá trị gần số đo
¿
BAH ^
❑
¿
Ta có tg ¿
BAH❑^
¿
= HBAH = 42 = Suy
¿
BAH ^
❑
¿
≈
d) Xét hai tam giác ABC EBC có BA=BE (là bán kính đường trịn (B;BA) ) CA =CE (là bán kính đường trịn (C;CA) ) BC cạnh chung
Suy ΔABC=ΔEBC (c,c,c) Mà
¿
A❑^
¿
=900 nên
¿
E^
❑
¿
= 900 Hay CE vng góc với bán kính BE tiếp điểm E
