Đề&HD Toán ĐH 2010 số 14

Từ các chữ số của tập X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2... Vậy phương trình vô nghiệm.[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010

Mơn Thi: TỐN – Khối A

ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y =

2 1

 

x x .

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ

Câu II: (2điểm)

1) Giải bất phương trình: log ( 32 x 1 6) log (7   10 x) 2) Giải phương trình:

6

2

sin cos tan cos sin



 

x x

x

x x

Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I =

2

2

1 tan



  



 



 



x

x e

e x dx

x

Câu IV: (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M trung điểm AA

 N trung điểm CC Chứng

minh bốn điểm B, M, N, D đồng phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ

giác BMDN hình vng

Câu V: (1 điểm) Cho ba số thực a, b, c lớn có tích abc = Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:

1 1 1

  

  

P

a b c

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình 2x – y + = Lập phương trình đường thẳng () qua A tạo với d góc α có

cosα

1 10



2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P): x + y – 2z + =

Câu VII.a: (1 điểm) Cho tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Từ chữ số tập X có thể lập số tự nhiên có chữ số khác phải có mặt chữ số B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: ( điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) B(3;3), đường thẳng ():

3x – 4y + = Lập phương trình đường trịn qua A, B tiếp xúc với đường thẳng ()

Câu VII.b: (1 điểm) Giải hệ phương trình:

log log 2

        y x x y xy y Hướng dẫn

Câu I: 2) Giao điểm I(1; –2).

2 ;         a A a a

Phương trình tiếp tuyến A: y =

1

(1 a) (x – a) + 1   a a Giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến A:

2 1;        a P a

Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến A: Q(2a – 1; –2) Ta có: xP + xQ = 2a = 2xA Vậy A trung điểm PQ

Ta có IP =

2

2 1  1

a

a a ; IQ = 2(a 1) S

IPQ =

1

2IP.IQ = (đvdt)

Câu II: 1) Điều kiện:

1

10

  x

BPT  2

3

log log (7 10 )      x x 

3

7 10      x x

 3x  1 2(7 10 x)  3x 1 10 x8  49x2 – 418x + 369 ≤  ≤ x ≤

369

49 (thoả)

2) Điều kiện: cos2x ≠ ( )

 

 x k k

PT

2

3

1 sin sin

4

  x x

 3sin22x + sin2x – =  sin2x = 

 

 

x k

( khơng thoả) Vậy phương trình vơ nghiệm Câu III: I =

4 0 cos    

xe dxx  xdx

= I1 + I2 Tính: I1 =

4

0

2

 

xe dxx

Đặt       x u x

dv e dx  I

1 =

4

2



 

 e

– 2

 



e

I2 =

0

1 cos 2





 xdx

=

1

sin

2 0



 



 

x x

=

1





Câu IV: Gọi P trung điểm DD ABNP hình bình hành  AP // BN

APDM hình bình hành  AP // MD  BN // MD hay B, M, N, D đồng phẳng

Tứ giác BNDM hình bình hành Để B’MND hình vng 2BN2 = BD2

Đặt: y = AA’ 

2

2 2

2          y

a y a

 y = a

Câu V: Ta chứng minh:

1

1a1b1 ab 

1 1

2

( ) ( 1) (1 )(1 )(1 )

 

 

  

b a ab

a b ab (đúng) Dấu "=" xảy  a = b.

Xét

1 1

1a1b1c1 abc

2

1

 

 ab  abc 12 4

4

1

 



 a b c abc

 P

3 1

 

 abc Vậy P nhỏ a = b = c = 2

Câu VI.a: 1) PT đường thẳng () có dạng: a(x – 2) + b(y +1) =  ax + by – 2a + b =

Ta có: 2

2

cos

10 5( )

   



a b

a b  7a2 – 8ab + b2 = Chon a =  b = 1; b = 7.

 (1): x + y – = (2): x + 7y + =

2) PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 =

(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = Tâm I  (P): a + b – 2c + =

Giải ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – = 0

Câu VII.a: Có tập có chữ số chứa số 0; 1; 2

Có tập có chữ số chứa 2, khơng chứa số

Vậy số có chữ số khác lập từ chữ số cho bằng: 6(P5 – P4) + 4P5 = 1.056 (số)

Câu VI.b: 1) Tâm I đường tròn nằm đường trung trực d đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT AB(4;2) d: 2x + y – =  Tâm I(a;4 – 2a)

Ta có IA = d(I,D)  11a 5 a210a10  2a2 – 37a + 93 =



3 31

2

     

a a

 Với a =  I(3;–2), R =  (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25  Với a =

31 

31 ; 27

 



 

 

I

, R =

65

2  (C):

2

2

31 4225

( 27)

2

 

   

 

x  y

2) Ta có

1

( 3;1;4); ( 1;1;1)

    

  

AB a AC

PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – =  D(ABC)  đpcm

Câu VII.b: Điều kiện: x > x ≠ y > y ≠ 1

Ta có logy xy logx y  log2yxlogyx 0

log log

 

 

 

y

y

x

x

1

   

  

x y x

y

 Với x = y  x = y = log 12 

 Với x =

1

y ta có:

1