- Vaät theå ñaøn hoài coù ñoä cöùng töông ñoái , vaø do ñoù bieán daïng cuûa phaàn töû trong vaät theå bao goàm bieán daïng daøi hoaëc bieán daïng goùc laø ñaïi löôïng raát nhoû so v[r]
(1)CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Trong tài liệu lý thuyết đàn hồi(LTĐH) nghiên cứu biến dạng ứng suất vật thể tham gia kết cấu, bị tác động ngoại lực Những điểm tài liệu viết sở lý thuyết đàn hồi kinh điển1
1 Các giả thuyết lý thuyết đàn hồi
Lý thuyết đàn hồi xây dựng sở giả thuyết tính liên tục vật thể khảo sát Theo giả thuyết này, vật thể khảo sát đặc (đầy) tồn khơng gian mà chiếm chỗ, trước sau biến dạng Nói cách khác, coi thể tích vơ bé tách từ vật thể chứa tập hợp vô hạn phần tử tác dụng phần tách lên phần cịn lại xác định đại lượng trung bình thay đổi lực tương tác gữa hạt nằm hai phía mặt phân cách Các dịch chuyển hàm liên tục tọa độ điểm vật thể
Tính chất liên tục cho phép áp dụng lý thuyết giải tích đại lượng vô bé vào khảo sát biến dạng vật thể đàn hồi
Sai số, việc áp dụng giả thuyết nói gây ra, thực tế ln chấp nhận chúng đáng kể xác định ứng suất diện tích có kích thước cỡ khoảng cách phân tử
Các vật thể đối tượng nghiên cứu có tính đàn hồi, có nghĩa, tác động ngoại lực vật bị biến dạng, điểm vật chất vật thể thay đổi vị trí, song ngoại lực khơng cịn tác động nữa, điểm vật chất vừa nêu trở lại vị trí ban đầu Trong thực tế khơng có vật liệu mang đầy đủ tính đàn hồi miêu tả trên, nhiên nghiên cứu để tìm qui luật biến dạng ứng suất, vật thể tài liệu trường hợp chung coi đàn hồi tuyệt đối, có tính chất sau:
- Quan hệ ứng suất biến dạng, khái niệm làm quen phần này, quan hệ tuyến tính mặt vật lý Điều có nghĩa, ứng suất tăng lên hay giảm lần, phạm vi vật cịn có tính đàn hồi, biến dạng tăng lên giảm lần Khi ứng suất trượt tiêu, biến dạng khơng cịn,
- Vật thể đàn hồi tuyệt đối có tính đồng nhất, tính chất đàn hồi điểm, hướng định hoàn toàn nhau,
- Vật thể đàn hồi tuyệt đối có tính đẳng hướng,
(2)- Vật thể đàn hồi có độ cứng tương đối, biến dạng phần tử vật thể bao gồm biến dạng dài biến dạng góc đại lượng nhỏ so với đơn vị, biến dạng tuyến tính điểm vật chất vật thể nhỏ so với kích thước vật thể Tính chất có tên gọi tuyến tính hình học
Trong phần mơ hình ngoại lực tác động lực lên vật thể phản ứng vật thể trước tác động hiểu theo cách sau Khi tác động tĩnh lên vật liệu đàn hồi, công ngoại lực chuyển q trình biến dạng Trong lịng vật thể xẩy q trình tích lũy lượng dạng q trình phụ thuộc hồn tồn vào biến dạng Giả thiết đặt trình năng, dạng lượng khác nảy sinh lịng vật thể q trình tác động ngoại lực điện năng, nhiệt kể động vơ nhỏ, bỏ qua tính tốn
Biến dạng lý thuyết đàn hồi xẩy lòng vật thể đàn hồi Biến dạng trình liên tục xẩy mơi trường liên tục, q trình khơng làm thay đổi kết cấu phân tử vật thể Từ cách đặt vấn đề người ta tách phần tử nhỏ vật thể để xem xét, nghiên cứu Phần tử tách theo cách nhân tạo phải mang đầy đủ tính chất vật liệu mà vật thể có cịn liên kết bề mặt phần tử với bề mặt tương ứng vật thể đảm bảo đầy đủ tính liên tục kết cấu Theo cách làm phần mở đầu lý thuyết đàn hồi quan tâm đến phần tử khối hộp sáu mặt, vô bé, kích thước dx.dy.dz, mặt khối song song với mặt hệ tọa độ 0xyz Trong tài liệu nước dùng tiếng Anh người ta sử dụng cụm từ “vanishingly small rectangular parallelopiped” miêu tả khối sáu mặt Tiếp phần tử giống kim tự tháp, từ chuyên môn gọi khối tứ diện (khối bốn mặt), mặt đáy dx.dy chiều cao dz xem xét Tiếng Anh giành cho khối đặc biệt tetrahedron
Hệ thống lực tác động lên vật thể đàn hồi phân làm hai loại: lực khối lực bề mặt (lực mặt) Lực khối ( body force) lực tác dụng lên thể tích phân tố vật thể, lực mặt (surface force) tác dụng lên phân tố bề mặt bao thể tích mà vật thể chiếm chỗ Có thể ký hiệu FB – lực khối, cịn lực bề mặt - FS Lực tập trung FC từ tham gia vào hệ thống lực tác động lên vật thể
Lực khối (hay lực thể tích) tác động lên phần tử vô nhỏ thuộc thể tích chiếm chỗ vật thể Lực khối tác động lên thể tích dV biểu diễn biểu thức, ví dụ BrdV , Br - vecto hữu hạn, lực khối, khối dV vô
nhỏ đại lượng phụ thuộc vào tọa độ điểm vật chất dV Ví dụ dễ nhận biết dạng lực lực trọng trường, thường gọi trọng lượng, tính tích trọng lượng riêng với thể tích, lực quán tính, lực li tâm vv Thơng lệ, lực FB = r , tách thành thành phần nằm song song với ba trục hệ tọa độ Đề- Cần giải thích thêm, tài liệu sử dụng hệ toạ độ thường dùng theo nguyên tắc bàn tay mặt, mang tên nhà toán học René Descartes Theo qui ước hệ tọa
(3)độ Oxyz với mặt Oxy nằm trùng với mặt tiếp tuyến mặt địa cầu, trục Oz hướng lên
M1 Fc2
Fs
Fc1 B
M2 Mặt cắt
Lực khối
Momen Bieân Su
Fc2
M1 B
δF
n
δA
Bieân Sp
O x
y z
Hình 1.1 Vật thể 3D tác động lực.
Lực mặt tác động lên diện tích bề mặt giới hạn thể tích vật thể
Nếu xét lực bề mặt diện tích vơ nhỏ A→ giới hạn điểm vật thể, xác định vecto FrA, Fr - vecto lực hữu hạn tác động đơn vị diện
tích Vecto Fr gọi ứng suất trường hợp cụ thể Trong vật thể trạng
thái cân bằng, ứng suất thuộc dạng nội lực Theo cách hiểu đó, ứng suất tính điểm vật chất P(x,y,z) lòng vật thể hiểu sau:
ứng suất ≡ ) (
→
A
A A Fr
Ứng suất phụ thuộc vào tọa độ điểm hướng mặt (orientation) A hệ tọa độ Oxyz Vecto Fr , độ lớn Fn phân thành hai thành phần, thành phần thứ trùng với hướng dương n (unit normal) mặt ký hiệu σr mang tên gọi ứng suất pháp (normal stress) thường gọi tắt ứng suất, thành phần thứ hai tiếp tuyến mặt A, ký hiệu τv gọi ứng suất cắt (shearing stress) hay ứng suất tiếp Trong tính tốn phân vecto Fr thành phần song song vơi ba trục
hệ toạ độ Ox, Oy, Oz ký hiệu Fx, Fy, Fz Nếu ký hiệu cosine góc pháp tuyến ngồi n với trục Ox, Oy, Oz k = cos (n, x); l = cos (n, y); m = cos (n, z) độ lớn thành phần ứng suất là:
⎪ ⎬ ⎫ = =
= =
l F y n F F
k F x n F F
n n
y
n n
x
) , cos(
) , cos(
(4)Tiếp tuyến thường ký hiệu s, ký tự đầu shear (cắt) Trong số sách người ta dùng ký hiệu dạng khác với cách sử dụng, ứng suất ký hiệu τ nói chung, ứng suất pháp ký hiệu τn, ứng suất tiếp ký hiệu τs vv… Trong phần tài liệu ứng suất pháp ký hiệu ký tự σ mục theo, ví dụ σx, σxx, σ1 … ứng suất cắt ký tự τ với mục chiều hệ tọa độ, ví dụ τxy, τyz, τxz …
Ví dụ 1: Thanh với tiết diện ngang hình vng cạnh a, diện tích mặt cắt A = a.a, chịu kéo lực dọc trục F Xác định ứng suất cho điểm
Để khảo sát ứng suất điểm thanh, tưởng tượng cắt ngang thanh, qua điểm khảo sát Diện tích mặt cắt ngang, đặt ra, A Lực F phân bố cho toàn mặt cắt, từ suy ra, diện tích δA nhỏ mặt xem xét lực phân bổ δF Theo định nghĩa nêu, ứng suất điểm nằm mặt mang giá trị:
A F A F
A
n = → δ = δ σ
δlim0
Giả sử mặt cắt bị thay đổi hướng, bị lệch góc α so với mặt A nêu trên, ứng suất tính toán mang giá trị sau Với hướng mới, ứng suất σn vừa tính chia làm hai thành phần, thành phần ứng suất pháp vng góc với mặt phẳng dựng ứng suất tiếp tiếp tuyến mặt
C C
D
D C-C
D-D
α
a a
a
F
n
σ' τ'
Diện tích mặt nghiêng mang ký hiệu A’, liên quan với A công thức A = A’cosα Ứng suất pháp với A’ ký hiệu σ’n, ứng suất tiếp với A’ τ’n
Thực phép tính cân lực dọc trục thanh, thấy rằng: F - σ’nA’cosα - τ’nA’ sinα = (a)
Phép cân mặt phẳng ngang có dạng:
-σ’nA’sinα + τ’nA’ cosα = (b)
Giải hệ phương trình nhận được:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =
=
= =
α σ
α τ
α σ
α σ
2 sin 2 sin '
cos cos
' 2
n n
n n
A F A F
(c) Kết tính nêu rõ rằng, giá trị ứng suất pháp ứng suất tiếp đề cập phụ thuộc vào độ nghiêng (góc α) mặt
(5)Giả sử vật thể 3D chịu tác động hệ thống lực FB, FS, FC, M, tồn trạng thái cân hình 1.1 Trong trạng thái cân tổng lực tổng momen tác động lên vật phải Từ cách đặt vấn đề viết phương trình cân
Nếu ký hiệu ngoại lực tác động lên vật thể : {FB } = [ fBx fBy fBz ]T - lực thể tích, {FS } = [ fSx fSy fSz ]T - lực bề mặt,
{FC} = [fCx fCy fCz ] - lực tập trung, kể phản lực gối,
{M} = [Mx My Mz ] - momen tập trung, kể momen phản lực gối Phương trình cân vật thể có dạng :
∑fi = (1.1)
vaø ∑mi = (1.2)
trong đó fi- lực thành phần, mi - momen thành phần Viết dạng khai triển hai biểu thức cuối :
S
∫ fsx dS + f V
∫ Bx dV + ∑fCx = S
∫ fsy dS + f V
∫ By dV + ∑fCy = S
∫ fsz dS + f V
∫ Bz dV + ∑fCz = (1.3) vaø
S
∫ (fsz.y -fsy.z)dS + (f V∫
Bz.y - fBy.z)dV + ∑Mx =
S
∫ (fsx.z -fsz.x)dS + (f V∫
Bx.z - fBz.x)dV + ∑My =
S
∫ (fsx.x -fsx.y)dS + (f V
∫ By.x - fBx.y)dV + ∑Mz = ( 1.4) 3 Ứng suất
(6)) , , ( z y x C x z z x w y z u z z zx
zx − = − =
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ε ∂ ∂γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂ ∂ ∂ ∂ ) , , (
1 x y z
B y x z z u y zx yz xy = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂γ ∂ ∂γ ∂ ∂γ ∂ ∂ ∂
∂ (2.52)
và thỏa mãn điều kiện:
y C z B x C z A x B y A ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ 1 1 1 1 1 1
;
; = =
= (2.52)
Thay biểu thức vào (2.51) nhận được:
⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = + y x z x y z z x x z z xy yz zx zx y x ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂γ ∂ ∂γ ∂ ∂γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ; 2 2 2 (2.53)
Sau thực tính phương trình ghi (2.50) (2.53) xác định chuyển vị u
Bằng cách làm xác định v theo : 0
v
v ⎟⎟+
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ∫ P P dz z v dy y v dx x v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ (2.54)
và xác định :
z y y z yz z y ∂ ∂ γ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ 2 2 =
+ (2.55)
Sau tính w theo cơng thức: 0 w dz z w dy y w dx x w w P P + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ∫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ (2.56)
sẽ xác định được:
z yz zx z w z y w z u x w ε ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ = − = − = ;
; v (2.57)
Sau thỏa mãn điều kiện (2.51) (2.52) cho hàm v, w viết phương trình sau nêu rõ mối liên hệ thành phần biến dạng:
(7)z x x
z z
zx x
∂ ∂
γ ∂ ∂
ε ∂ ∂
ε
∂
2 2
2
= +
z y y
z
yz z
y
∂ ∂
γ ∂ ∂
ε ∂ ∂
ε
∂
2 2
2
= +
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
y x
z x
zx yz
xy
∂ ∂γ ∂
∂γ ∂
∂γ ∂
∂
2
1 =
z y
x ∂ ∂
ε ∂2
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
y x
z x
zx yz
xy
∂ ∂γ ∂
∂γ ∂
∂γ ∂
∂
2
1 =
z x
y ∂ ∂
ε ∂2
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
−
y x
z x
zx yz
xy
∂ ∂γ ∂
∂γ ∂
∂γ ∂
∂
2
1 =
y x
z ∂ ∂
ε ∂2
(2.58) Sáu phương trình trình bày (2.58) lần St Venant5 tìm năm 1864, điều kiện đảm bảo tính liên tục vật thể đàn hồi điều kiện cần đủ để tích phân phương trình Cauchy
Nếu miền khảo sát đơn liên, điều kiện St Venant bảo đảm tính chuyển vị, lời giải toán đơn trị Trong miền gồm hai vùng nhỏ (nhị liên), điều kiện bảo đảm tính tích phân (khả tích) phương trình Cauchy, nhiên kết tích phân khơng Mở rộng cho miền đa liên, để xác định chuyển vị, cần thiết bổ sung điều kiện nghiệm chuyển vị Hằng số tích phân cơng thức vừa trình bày xác định từ điều kiện biên, theo cách làm tất toán lý thuyết đàn hồi