Các phương pháp giải toán hình học tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ LIÊN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chun ngành: PHƢƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, 2015 Mục lục Lời nói đầu Chƣơng Một số phƣơng pháp 1.1 Nguyên lí Đirichlê 1.2 Nguyên lí cực hạn 16 1.3 Phương pháp đồ thị, tô màu 20 1.4 Phương pháp tạo đa giác bao 26 1.5 Phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình 30 Chƣơng Một số dạng toán hình học tổ hợp thƣờng gặp 33 2.1 Hệ điểm đường thẳng 33 2.2 Điểm nằm hình 36 2.3 Hình nằm hình 41 2.4 Phủ hình 44 2.5 Hình giao 47 2.6 Đếm yếu tố hình học 54 2.7 Đánh giá độ dài, góc, diện tích 64 Chƣơng Một số đề thi có nội dung hình học tổ hợp 67 3.1 Đề thi tuyển sinh chuyên 67 3.2 Đề thi học sinh giỏi 76 3.3 Đề thi đề nghị Olympic truyền thống 30/4 lần XX - năm 2014 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 82 Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những toán liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang bị kiến thức riêng hình học tổ hợp hình học Khi tốn trở nên dễ dàng Tuy nhiên có địi hỏi kiến thức chun sâu, chí có nhiều hình học tổ hợp tổng qt cho khơng gian chưa có lời giải Hình học tổ hợp coi nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học sở thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic truyền thống 30/4,… Luận văn đưa số cách giải cho hình học tổ hợp xuất kì thi thời gian qua, tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi từ lớp Bố cục luận văn gồm ba chương Chương Một số phương pháp Chương trình bày phương pháp vận dụng để giải toán hình học tổ hợp như: Ngun lí Đirichlê; ngun lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngồi phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Một số dạng tốn hình học tổ hợp thường gặp Chương đưa toán hình học tổ hợp cụ thể, xếp theo dạng: Hệ điểm đường thẳng; điểm nằm hình; hình nằm hình; phủ hình; hình giao nhau; đếm yếu tố hình học; đánh giá độ dài, góc, diện tích Chương Một số hình học tổ hợp đề thi Chương đưa số hình học tổ hợp có đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Tốn học Để hồn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Vũ Đỗ Long dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ em trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Thị Liên Chƣơng Một số phƣơng pháp Trước vào số phương pháp để giải tốn hình học tổ hợp, ta xét khái niệm sau + Một hình F gọi lồi với hai điểm A B thuộc F , đoạn thẳng nối hai điểm A , B thuộc F + Khoảng cách lớn hai điểm hình lồi đường kính hình lồi 1.1 Ngun lí Đirichlê Người đề xuất nguyên lí cho nhà tốn học Đức Johann Đirichlê ơng đề cập tới nguyên lí với tên gọi “nguyên lí ngăn kéo” (The Drawer Principle) Ngồi ngun lí cịn biết đến ngun lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lí lồng nhốt thỏ Nguyên lí Đirichlê phát biểu năm 1834 “Nguyên lý Đirichlê dạng cổ điển thường dùng để chứng minh tồn theo kiểu không xây dựng (non-constructive), tức biết đối tượng tồn khơng cụ thể.” (Trích giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ tốn học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1 31/1/2010.) a) Nguyên lí Đirichlê Nhốt n  thỏ vào n lồng tồn lồng có hai thỏ b) Ngun lí Đirichlê tổng qt Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp, N không chia hết cho k , tồn N hộp chứa    đồ vật k (Ở đây,  x  số nguyên lớn có giá trị nhỏ x ) Chứng minh Giả sử hộp chứa    vật Khi tổng số đồ vật nhỏ k N N  k    N k Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật đặt vào hộp c) Nguyên lí Đirichlê đối ngẫu Cho tập hữu hạn S   , S1 , S2 , , Sn tập S cho S1  S2   Sn  k S Khi đó, tồn phần tử x thuộc S cho x phần tử chung k  tập Si , i  1, n Ở S số phần tử tập hợp S Si , i  1, n số phần tử tập hợp Si d) Nguyên lí Đirichlê cho diện tích Nếu K hình phẳng, K1 , K2 , , Kn hình phẳng cho Ki  K với i  1, n , | K || K1 |  | K2 |   | Kn | Ở K diện tích hình phẳng K , cịn | Ki | diện tích hình phẳng K i , i  1, n Khi đó, tồn hai hình phẳng Ki , K j , (1  i  j  n ) cho Ki , K j có điểm chung e) Ngun lí Đirichlê vơ hạn Nếu chia tập hợp vô hạn táo vào hữu hạn ngăn kéo phải có ngăn kéo chứa vơ hạn táo f) Nguyên lí Đirichlê đoạn thẳng Ta kí hiệu d ( I ) độ dài đoạn thẳng I nằm ¡ Cho A đoạn thẳng, A1 , A2 , , An đoạn thẳng cho Ai  A, i  1, n d ( A)  d ( A1 )  d ( A2 )   d ( An ) Khi có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung Chứng minh Giả sử khơng có hai đoạn thẳng đoạn thẳng cho có điểm chung Khi d ( A1  A2   An )  d ( A1 )  d ( A2 )   d ( An )  d ( A) Mà từ Ai  A, i  1, n , ta có d ( A1  A2   An )  d ( A) Hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nên điều giả sử sai Vậy có có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung  Nguyên lí Đirichlê thường liên quan đến toán thi đấu thể thao, chia hết, nguyên tố nhau, đồ thị, tô màu, quen tốn hình học Ở đưa số toán sau Bài 1.1 Bên tam giác ABC cạnh m đặt năm điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 1m Lời giải Ba đường trung bình tam giác cạnh m chia thành bốn tam giác có cạnh 1m (hình 1) Ta có năm điểm đặt bốn tam giác Do theo ngun lí Đirichlê, tồn tam giác nhỏ mà có hai điểm cho, điểm khơng thể rơi vào đỉnh tam giác ABC Vậy khoảng cách hai điểm nhỏ 1m Bài 1.2 Trên mặt phẳng cho 43 điểm Trong ba điểm ln ln tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng 22 điểm cho Lời giải Lấy A số 43 điểm cho Xét hình trịn ( A;1) Chỉ có hai khả sau xảy + Nếu tất điểm cho nằm hình trịn ( A;1) kết luận toán + Tồn điểm B  A ( B thuộc số 43 điểm cho), cho B  ( A;1) Vì B  ( A;1) nên AB  Xét hình trịn ( B;1) Lấy C điểm số 43 điểm cho cho C  A, C  B Theo giả thiết dựa vào AB  1, ta có Min CA, CB  Vì C  ( A;1) , C  ( B;1) (hình 2) Vì C điểm số 43 điểm cho cho C  A, C  B nên hình tròn ( A;1) , ( B;1) chứa tất 43 điểm cho Vì theo ngun lí Đirichlê, hai hình trịn chứa khơng 22 điểm cho Ta có điều cần chứng minh Tổng quát Cho 2n  điểm mặt phẳng (với n  ) Biết ba điểm ln ln tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Khi tồn hình trịn bán kính chứa khơng n  điểm cho Bài 1.3 Cho hình vng có diện tích Người ta đặt vào hình vng cách tùy ý 101 điểm Chứng minh tồn tam giác với ba đỉnh điểm số điểm cho có diện tích khơng q 100 Lời giải Ta chia hình vng ABCD thành 50 hình chữ nhật có diện tích cách sau 50 + Chia cạnh AB thành 10 đoạn liên tiếp + Chia cạnh AD thành đoạn liên tiếp Khi đặt 101 điểm vào 50 hình chữ nhật hình chữ nhật chứa ba điểm Giả sử hình chữ nhật chứa ba điểm M , N , K Khi diện tích MNK khơng lớn nửa diện tích hình chữ nhật chứa tức khơng lớn Điều có nghĩa tồn tam giác với ba đỉnh 100 điểm số điểm cho có diện tích khơng q  100 Tương tự ta có tốn sau Bài 1.4 Trong hình vng có cạnh , đặt 201 điểm phân biệt Chứng minh có ba số 201 điểm nằm hình trịn bán kính 14 Lời giải Chia hình vng cho thành 100 hình vng nhỏ có cạnh Theo ngun lí Đirichlê, tồn hình vng nhỏ, chẳng hạn 10 hình vng a chứa ba số 201 điểm Đường trịn ngoại tiếp hình vng a có bán kính 1  10 14 Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với hình vng a có bán kính 14 Tổng qt Ta tổng qt hóa tốn với a kích thước cạnh hình vng, m số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh có n số m điểm nằm hình trịn bán kính a  m    n   (trong kí hiệu  x  phần nguyên x )  Ngun lí Đirichlê cịn sử dụng nhiều tốn tơ màu đồ thị Bài 1.5 Giả sử điểm mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hình chữ nhật có đỉnh màu Lời giải Xét lưới ô vuông tạo ba đường nằm ngang A, B, C chín đường nằm dọc đánh số từ đến Xét ba nút lưới đường nằm dọc ta thấy nút có hai cách tơ màu nên ba nút có    cách tơ màu Như có chín đường nằm dọc mà có tám cách tơ nên có hai đường nằm dọc có cách tơ màu Giả sử nút giao hai đường dọc hai ba điểm A1 , A2 , A3 B1 , B2 , B3 Vì ba điểm A1 , A2 , A3 có hai cách tơ nên có hai điểm tơ màu Giả sử A1 , A2 tô màu Vì hai có cách tơ màu giống nên B1 , B2 tô màu màu với A1 , A2 Do hình chữ nhật A1 A2 B2 B1 có đỉnh tơ màu Tổng quát Nếu điểm mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông tô n màu tồn hình chữ nhật có đỉnh màu Chứng minh Nối điểm lại với thành tam giác cho khơng có hai tam giác có điểm chung lấp đầy đa giác Khi tổng góc tạo thành (4m  2n  4)v Số tam giác tạo thành (4m  2n  4)v  2m  n  (tam giác) 2v Tổng diện tích tam giác S nên tồn tam giác có diện tích khơng q S 2m  n   Bài tƣơng tự Bài 3.2 Bên ngũ giác đặt sáu điểm cho ba điểm thẳng hàng Biết diện tích ngũ giác 10 Chứng minh tồn tam giác có ba đỉnh lấy từ 11 điểm cho có diện tích khơng vượt q Bài 3.3 (Đề thi tuyển sinh PTTH Chu Văn An THPT Amsterdam 2004 - 2005 (vòng 2)) Cho đa giác có chu vi Chứng minh có hình trịn bán kính r  chứa tồn đa giác Lời giải Trên biên đa giác lấy hai điểm M N cho chúng chia biên đa giác thành hai nửa có chu vi Gọi O trung điểm MN Xét đường tròn  O;   4 Lấy điểm A tùy ý biên đa giác  AM  AN (12) Lấy B đối xứng với A qua O AMBN hình bình hành, hình 115 AM  AN  AM  MB  AB  AO (13) Từ (12) (13) ta có 68 AO  1  AO  Vậy A bị phủ hình trịn  O;   4 Với A điểm biên đa giác nên tồn đa giác chứa hình trịn  O;    4 Bài tƣơng tự Bài 3.4 Cho đa giác có chu vi 10 Chứng minh phủ kín đa giác hình trịn bán kính r  Bài 3.5 (PTTH Chu Văn An THPT Amsterdam 2005 - 2006 (vịng 2)) Cho hình vng ABCD 2005 đường thẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện a) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng b) Mỗi đường thẳng chia hình vng cho thành hai phần có tỉ số diện tích 0,5 Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường thẳng đồng quy Lời giải 69 Ta có S AMND EJ    ( E F trung điểm AD CB ) SMBCN FJ Vậy đường thẳng cho chia đường trung bình hình vng theo tỉ số 1: Có bốn điểm chia đường trung bình hình vng theo tỉ số I , J , K ,T hình vẽ (với P Q trung điểm AB CD ) EJ FT PI QK     JF TE IQ KP Có 2005 đường thẳng qua điểm nên theo ngun lí Đirichlê, có 502 đường thẳng qua điểm Ta có điều phải chứng minh Bài 3.6 (Đề thi tuyển sinh THPT chuyên tỉnh Thanh Hóa 2004 - 2005) Có hay khơng 2003 điểm mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù Lời giải Ta chứng minh toán tổng quát sau Với số tự nhiên n lớn không nhỏ , tồn hệ n điểm mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù Vẽ nửa đường trịn đường kính AB , nửa đường trịn lấy n điểm A1 , A2 , , An mà ba điểm chúng tạo thành tam giác Trong Ai Aj Ak chắn có góc Trường hợp riêng tốn tù (góc nội tiếp chắn cung lớn n  2003 nửa đường trịn), hình 117 Vậy ln tồn n điểm mặt phẳng thỏa mãn đề 70 Bài 3.7 (Tuyển sinh chuyên, Đại học Khoa học tự nhiên, 2005 - 2006) Cho đa giác ( H ) có 14 đỉnh Chứng minh sáu đỉnh ( H ) ln có bốn đỉnh đỉnh hình thang Lời giải Ta chứng minh toán phụ sau Nếu AB, CD hai dây cung đường tròn (O) A, B, C, D bốn đỉnh hình thang Thật TH1 AB cắt CD Khi 1¼ · · ADB  ¼ ACB , DAC  CBD 2 · ADB  DAC Nên · tức ABCD hình thang, hình 118 TH2 AB không cắt CD » AB  CD Vì AB  CD nên » · » hay · ADC  DAB AC  BD Do » Vậy ABCD hình thang, hình 119 71 Gọi A1 , A2 , , A14 đa giác nội tiếp (O) Đường chéo nối hai đỉnh đối xứng qua tâm đa giác A1 A8 , A2 A9 , , A7 A14 gọi đường chéo Các đường chéo xuất phát từ A1 đối xứng với qua A1 A8 Vậy có 11 đường chéo xuất phát từ A1 nên có sáu độ dài khác Tương tự với đường chéo khác Lại dựa tính chất đa giác nên với tất đường chéo đa giác, có sáu độ dài đơi khác Với sáu điểm đa giác, tạo số đoạn thẳng 6.5  15 , nhiều năm đoạn thẳng cạnh đa giác Do có 10 đoạn thẳng đường chéo Mà có sáu độ dài khác nên hai đường chéo có độ dài Tứ giác tạo đầu mút hai đường chéo thỏa mãn hình thang Bài 3.8 (Đề thi tuyển sinh THPT chuyên, Đại học Khoa học tự nhiên, 2006 - 2007) Chứng minh đa giác lồi 2n cạnh n  ¥ , n  ln có n đường chéo khơng song song với cạnh đa giác Lời giải Giả sử tất đường chéo đa giác song song với cạnh đa giác Số đường chéo 72 2n(2n  3)  2n(n  2)  n Vậy thấy 2n(n  2)  n chia cho 2n n  dư n Theo nguyên lí Đirichlê, tồn n  đường chéo song song với cạnh d đa giác Gọi d1 đường chéo xa d nhất, hình 118 Với cạnh d n  đường chéo, ta có  2(n 1)  2n đỉnh đa giác Như d1 phải cạnh đa giác đường chéo Điều trái với cách gọi d1 nên tồn đường chéo không song song với cạnh đa giác Xét cạnh A1 A2n đa giác Vậy có nhiều n  đường chéo song song với A1 A2n Cho nên với 2n cạnh, số đường chéo song song với cạnh đa giác nhiều 2n(n  2)  2n2  4n Mà có 2n2  4n  n đường chéo nên số đường chéo không song song với cạnh đa giác khơng (2n2  4n  n)  (2n2  4n)  n Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 3.9 (Đề thi tuyển sinh PTTH chuyên KHTN 2008 - 2009 (vòng 2)) Cho 13 điểm phân biệt nằm hay cạnh tam giác có cạnh cm Chứng minh tồn hai điểm số 13 điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt cm Lời giải Giả sử ABC cạnh cm 73 Chia tam giác ABC thành 12 phần hình vẽ với + D, E, F trung điểm cạnh BC, AB, AC + G trọng tâm ABC + H , I , J trung điểm AG, BG, CG , hình 119 Theo ngun lí Đirichlê, tồn hai điểm 13 điểm cho thuộc hình nhỏ Đường kính hình nhỏ khơng q cm, hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán Bài 3.10 (Đề thi vào chuyên Hùng Vương 2000 - 2001) Trong đường tròn lấy 2031 điểm tùy ý Chứng minh chia hình trịn thành ba phần hai dây cung cho phần thứ có 20 điểm, phần thứ hai có 11 điểm, phần thứ ba có 2000 điểm Lời giải Vì số điểm hữu hạn nên số đường thẳng qua hai 2031 điểm hữu hạn Do số giao điểm đường thẳng với đường trịn hữu hạn Vì vậy, tồn điểm A thuộc đường trịn khơng nằm đường thẳng số xét 74 Vẽ tia gốc A qua 2031 điểm cho, tia cắt đường tròn điểm B1 , B2 , , B2031 (theo chiều kim đồng hồ kể từ A ), hình 120 Rõ ràng tia phân biệt Vẽ tia nằm hai tia AB20 tia AB21 cắt đường tròn B , tia nằm hai tia AB31 AB32 cắt đường tròn C Các dây AB AC thỏa mãn đề 75 3.2 Đề thi học sinh giỏi Bài 3.11 (Hà Nội 2011 - 2012) Cho 8045 điểm mặt phẳng cho ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Chứng minh ln có 2012 điểm nằm tam giác cạnh tam giác có diện tích nhỏ Lời giải Cách Chọn hai điểm có khoảng cách lớn 8045 điểm cho, giả sử khoảng cách x Vì tam giác có diện tích nhỏ nên điểm cho nằm hình chữ nhật có cạnh  x x Chia hình chữ nhật thành bốn phần đường chéo Mỗi phần có diện tích x nhỏ x  Mà theo nguyên lí Đirichlê, 8045 chia 2011 dư nên tồn phần chứa 2012 điểm cho Cách Xét tam giác có diện tích lớn nhất, giả sử ABC Qua A, B, C kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện ta ba tam giác có diện tích diện tích ABC Nếu có điểm nằm ngồi bốn tam giác nối điểm với cạnh đối diện thuộc ABC tạo thành tam giác có diện tích lớn diện tích ABC Điều vơ lí Vậy tất 8045 điểm nằm bốn tam giác 8045 chia 2011 dư nên tồn tam giác chứa 2012 điểm cho Bài 3.12 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội, 5/4/2013) Cho 2013 điểm A1 , A2 , , A2013 đường tròn (O ;1) tùy ý nằm mặt phẳng Chứng minh tồn điểm M đường tròn cho MA1  MA2   MA2013  2013 Hƣớng giải Tương tự Bài 2.108 76 Tƣơng tự Bài 3.13 Cho 2020 điểm A1 , A2 , , A2020 đường tròn (O ; 2) tùy ý nằm mặt phẳng Chứng minh tồn điểm M đường tròn cho MA1  MA2   MA2020  4040 3.3 Đề thi đề nghị Olympic truyền thống 30/4 lần XX - năm 2014 Bài 3.14 (THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang) Mỗi đỉnh cửu giác tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hai tam giác có đỉnh đỉnh cửu giác, đồng dạng với đỉnh chúng tô màu Lời giải Ta gọi tam giác đỏ (xanh) tất đỉnh chúng tô màu đỏ (xanh) Chín đỉnh cửu giác tơ hai màu nên có năm đỉnh tơ màu, giả sử năm đỉnh tơ màu đỏ Vậy có C53  10 tam giác đỏ Kí hiệu T tập hợp 10 tam giác Ta chứng minh 10 tam giác có hai tam giác đồng dạng với Giả sử có cửu giác với đỉnh theo thứ tự A1 , A2 , , A9 nội tiếp đường trịn (O) , chia đường trịn thành chín cung nhau, cung nhỏ gọi “lá” Xét tam giác Ai Aj Ak với Ai Aj  Aj Ak  Ak Ai Gọi aij , a jk , aki số cung ¼A , A ¼A Khi tam giác A A A tương ứng với số Ai Aj , A tương ứng ¼ j k k i i j k (aij ; a jk ; aki ) thỏa mãn  aij  a jk  aki  aij  a jk  aki  Chia T thành tập Ti mà tập Ti chứa tam giác đồng dạng thuộc T Như Ti tương ứng với số nghiệm hệ phương trình x  y  z   1  x  y  z  (14) ngược lại  x, y , z  ¥ *  Hệ (14) có bảy nghiệm (1;1;7),(1;2;6),(1;3;5),(1;4;4),(2;2;5),(2;3;4),(3;3;3) 77 Vậy có bảy tập Ti , mà T có 10 tam giác nên có hai tam giác thuộc tập Ti Hai tam giác thỏa mãn tốn Bài 3.15 Cho hình vng có cạnh 20 Bên hình vng chọn 2010 điểm Xét tập hợp A có 2014 điểm gồm đỉnh hình vng 2010 điểm vừa chọn Chứng minh rằng, tồn tam giác có ba đỉnh thuộc A với diện tích nhỏ 10 Hƣớng dẫn giải Xem Bài 3.1 Bài 3.16 (THPT chuyên Long An - Long An) Có 32 hạt mè bề mặt hình vng cạnh 8cm bánh Chứng minh tồn hai hạt mè có khoảng cách tới nhỏ cm Lời giải Lấy hạt mè làm tâm dựng hình trịn bán kính 1cm Các hình nằm trọn hình vng có cạnh 10cm mở rộng hình vng 8cm phía 1cm Tổng diện tích hình trịn nhỏ 32  100 diện tích hình vng mở rộng Vậy có hai hình trịn có điểm chung khoảng cách tâm chúng nhỏ cm Bài 3.17 (THPT Nguyễn Huệ - Phú n) Cho hình vng ABCD có cạnh AB  14 cm , hình vng có đánh dấu 76 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn có bán kính cm chứa bốn điểm số điểm Hƣớng dẫn giải Chia hình vng ABCD thành 25 hình vng có cạnh 14 cm Khi có hình vng chứa bốn điểm Ta chứng minh bán kính hình trịn ngoại tiếp hình vng nhỏ nhỏ cm 78 Bài 3.18 (THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Vĩnh Long) Trong hình chữ nhật kích thước 1 ta lấy 6n2  điểm, với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng bốn điểm số điểm n cho Hƣớng dẫn giải Chia hình chữ nhật thành hai hình vng 11 Khi tồn hình vng 11 chứa 3n2  điểm Xét hình vng chứa 3n2  điểm, chia cạnh hình vng thành n đoạn nhau, đoạn có độ dài 1 Khi tạo n hình vng cạnh Tiếp tục n n chia 3n2  điểm vào n hình vng tồn hình vng cạnh chứa n bốn điểm Gọi hình vng có chứa bốn điểm ABCD , tâm O Đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có bán kính OA  Do hình trịn tâm O bán kính 1   n 2n n chứa hình vng ABCD tức chứa bốn n điểm Ta có điều cần chứng minh Bài 3.19 (THPT chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận) Cho đa giác đơn (không thiết lồi) có chu vi 12 Chứng minh phủ kín đa giác hình trịn có bán kính Hƣớng dẫn giải Xem Bài 3.3 79 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau - Luận văn hệ thống phân loại số phương pháp số dạng tốn thường gặp hình học tổ hợp - Luận văn sưu tập nhiều tốn hình học tổ hợp hay kì thi học sinh giỏi Trung học sở, Olympic 30/4 Dù có cố gắng trình làm luận văn, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận bảo quý thầy góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ tốn học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1-31/1/2010 Vũ Hữu Bình, Các tốn hình học tổ hợp dùng cho bậc trung học sở, NXB Giáo Dục, tái lần thứ hai http://diendantoanhoc.net/ http://tailieu.vn/ Nguyễn Mạnh Hà - Đoàn Thanh Tùng - Vũ Hữu Khương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông chuyên, Nhà xuất Hà Nội, 2011 Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2005 Vũ Đình Hịa, Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2001 81 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TH1: Trường hợp TH2: Trường hợp THPT: Trung học phổ thông PTTH : Phổ thông trung học KHTN: Khoa học tự nhiên 82 ... DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 82 Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những tốn liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát... xen phương pháp khác Chương Một số dạng tốn hình học tổ hợp thường gặp Chương đưa tốn hình học tổ hợp cụ thể, xếp theo dạng: Hệ điểm đường thẳng; điểm nằm hình; hình nằm hình; phủ hình; hình. .. vận dụng để giải tốn hình học tổ hợp như: Nguyên lí Đirichlê; nguyên lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngồi phương pháp phản