Tham khảo TN Toán 2010 số 13

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 Câu I :( 2,5 điểm) 1. Cho hàm số 2 1 1 x x y x − + = − a. Khảo sát hàm số đã cho. b. Xác đònh điểm 1 1 ( ; )A x y ( với 1 1x > ) thuộc đồ thò của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thò là nhỏ nhất. 2. Tìm tập giá trò của hàm số 2 3 1 x y x + = + và các tiệm cận của đồ thò của hàm số đó Câu II:( 1,5 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trò của tham số a để bất phương trình : 2 .9 ( 1).3 1 0 x x a a a + + − + − > nghiệm đúng với mọi x. 2. Giải và biện luận phương trình : log log log 0 2 a a x ax a x + + = trong đó a là tham số Câu III:( 2 điểm) 1. Cho biểu thức P= cosA + cosB + cosC , trong đó A ,B ,C là các góc của một tam giác bất kỳ .Chứng minh P đạt giá trò lớn nhất nhưng không đạt giá trò nhỏ nhất. 2. Chứng minh bất đẳng thức : 1 0 sin 1 ln 2 1 sin x x dx x x ≤ − + ∫ Câu IV: (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đường cao SH và mặt phẳng ( ) α đi qua điểm A vuông góc với cạnh bên SC .Biết mặt phẳng ( ) α cắt SH tại điểm 1 H mà 1 : 1: 3SH SH = và cắt các cạnh bên SB, SC, SD lần lượt tại B’ ,C’ ,D’ 1. Tính tỉ số diện tích thiết diện AB’C’D’ và diện tích đáy hình chóp. 2. Cho biết cạnh đáy của hình chóp bằng a.Tính thể tích của hình chóp S.AB’C’D’. Câu V : (1,5 điểm) 1. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 2 2 2 ( )x a y b− + = với 0 < b < a . 2. Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. ĐAP AN Câu I : 1) a) Khảo sát hàm số: 2 1 1 x x y x − + = − • TXĐ : { } \ 1D R= 2 2 2 ' ( 1) 0 ' 0 2 x x y x x y x    − = − = = ⇔ = • Tiệm cận đứng: x = 1 vì 1 1 lim 1 x x → = ∞ − Ta có: 1 1 y x x = + − • Tiệm cận xiên: y = x vì 1 lim 0 1 x x →∞ = − • BBT: • Đồ thò : X Y O ( C ) 1 2 1 I - 1 3 b) Xác đònh 1 1 ( , ) ( )A x y C∈ với 1 1x > sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ nhất. Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận: 1 1 (1,1)x y I= ⇒ = ⇒ 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) 1 A x y C y x x ∈ ⇔ = + − Ta có : 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1)AI x y= − + − 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 x x x       = − + − + − 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2( 1) 2 2 2( 1) . 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2( 2 1) AI x x x x ⇒ = − + + ≥ − + − − = + = + ⇒ Min 2 2( 2 1)AI = + khi : 2 4 1 1 2 1 1 4 1 4 4 1 4 1 4 1 1 2( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 ( ) 2 x x x x x y x loại       − = ⇔ − = − ⇔ − = ± = + ⇔ ⇒ = + = − Vậy : 4 4 4 1 1 1 , 2 2 2 A       + + thì Min 2( 2 1)AI = + 2) Tìm tập giá trò của 2 3 1 x y x + = + và các tiệm cận của đồ thò hàm số đó: • Miền xác đònh R. • 2 2 1 3 ' ( 1) 1 x y x x − = + + , 1 ' 0 3 y x= ⇔ = • Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận: • Miền giá trò của hàm số : ( 1, 10}− • Đồ thò có 2 đường tiệm cận ngang: 1 1y y= − ∨ = Câu II: 1) Tìm a để 2 .9 ( 1)3 1 0 x x a a a + + − + − > đúng x ∀ Đặt 3 x t = . Điều kiện: t > 0 . Khi đó bất phương trình trở thành: 2 9( 1) 1 0at a t a+ − + − > 2 ( 9 1) 9 1a t t t⇔ + + > + 2 9 1 9 1 t a t t + ⇔ > + + (*) ( vì t > 0 ) Xem hàm số : 2 9 1 9 1 t y t t + = + + trên (0, )+∞ 2 2 2 9 2 ' 0, 0 ( 9 1) t t y t t t − − = < ∀ > + + Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên ta được: Bất phương trình đúng x ∀ . ⇔ (*) đúng 0t ∀ > ⇔ 1a ≥ 2) Giải và biện luận phương trình: 2 log log log 0 ax a x x a a a+ + = Trường hợp 1 : 0a ≤ : Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2 : a = 1 : Phương trình trở thành : log 1 log 1 log 1 0 0 1 x x x x + + = ⇔ < ≠ Trường hợp 3 : 0 1a< ≠ Điều kiện: 2 1 1 0 1x x x x a a > ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ Phương trình 2 1 1 1 0 log log log a a a x xa a x ⇔ + + = 1 1 1 0 log log 1 log 2 a a a x x x ⇔ + + = + + Đặt log a t x= . Điều kiện 0 1 2t t t ≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ − Khi đó phương trình trở thành: 2 1 1 1 0 1 2 3 6 2 0 t t t t t + + = + + ⇔ + + = 3 3 3 t − ± ⇔ = (thoả điều kiện ) Vậy phương trình 3 3 3 3 3 log 3 a x x a − ± − ± ⇔ = ⇔ = Tóm lại: 0a ≤ : phương trình vô nghiệm a = 1 : phương trình có nghiệm 0 1x< ≠ 0 1a < ≠ :phương trình có nghiệm 3 3 3 x a − ± = Câu III: 1) Cho P = cosA + cosB + cosC Chứng minh P đạt giá trò lớn nhất nhưng không đạt giá trò nhỏ nhất. • Ta có: 2cos cos cos 2 2 A B A B P C + − = + 2 2 2 2sin cos 1 2sin 2 2 2 1 1 3 2 sin cos 1 cos 2 2 2 2 2 2 C A B C C A B A B − = + −  −  −   = − − + + ≤         Dấu = trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2 2sin cos 0 1 2 2 2 sin cos 0 2 2 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 cos 1 2 2 1 1 C sin sin ( loại vì nhọn ) 2 2 2 2 2 C A B C A B A B A B A B A B A B C C −  − =   −   − =       −    ⇔ =    −    =   −   = −     − −   = = −     ⇔ ∨     = = −     A B ABC C =   ⇔ ⇔ ∆ π  =  3  đều Vậy Max P = 3 2 khi ABC∆ đều • Ta có : 2 2sin cos 1 2sin 2 2 2 C A B C P − = + − 1 2sin sin cos 2 2 2 1 2sin cos cos 2 2 2 1 2sin 2sin sin 2 2 2 1 4sin sin sin , , nhọn 2 2 2 2 2 2 C C A B C A B A B C A B A B C A B C −   = − −     + −   = − −       = − −       = +     1P ⇒ > ( Dấu = không thể xảy ra vì , , 0 2 2 2 A B C ≠ ) Giả sử tồn tại Min P = k P k⇒ ≥ ( số k > 1) Khi đó 0 0 1 1 A A LimP Limk k k → → = ≥ = ⇒ ≥ ( mâu thuẩn) Kết luận : Max P = 3 2 , Min P không tồn tại. Câu III: Chứng minh 1 0 sin 1 ln2 1 sin x x dx x x ≤ − + ∫ Ta có [ ] 0,1x∀ ∈ thì sin 1 sin 1 x x x x x x ≤ + + (*) Thật vậy: 2 2 (*) sin sin sinx x x x x x x⇔ + ≤ + sinx x x ⇔ ≤ (sin 1) 0x x⇔ − ≤ đúng. Vậy: 1 1 0 0 sin 1 sin 1 x x x dx dx x x x ≤ + + ∫ ∫ 1 0 1 0 1 1 1 ( ln 1 ) 1 ln2 dx x x x   ≤ −   +   ≤ + + = − ∫ Câu IV: 1.Ta có ( ) ' '//SBD B D BD α ∩ = và ( )BD SAC⊥ nên ' '//( )B D SAC ' ' 'B D AC⇒ ⊥ • Ta có : 1 ' ' 2 3 SH B D BD SH = = 2 ' ' 3 B D BD⇒ = • SAC∆ cân tại S có là 1 H trực tâm, AC’ qua 1 H và 'AC SC⊥ ⇒ AC’ là trung tuyến vừa là đường cao SAC ⇒ ∆ đều 3 ' . 2 AC AC⇒ = Ta có: ' ' ' 1 1 2 3 ' ' ' . . . . 2 2 3 2 AB C D S B D AC BD AC= = 1 3 3 . . 2 3 3 ABCD BD AC S= = ' ' ' 3 3 AB C D ABCD S S ⇒ = 2) Cạnh đáy hình chóp bằng a 2 ' ' ' 3 . 2 AB C D S a⇒ = Hình chóp SB’C’D’ có đáy là tứ giác AB’C’D’ và chiều cao là : 1 2 ' 2 2 a SC SC= = 3 2 ' ' ' 1 3 2 6 3 3 2 18 SAB C D a a V a⇒ = = Câu V: 1) Tính thể tích khi quay (C): 2 2 2 ( )x a y b− + = (0 < b < a) quanh Oy C D B O A a x y b Ta có: 2 2 2 ( )x a y b− + = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) x a b y x a b y x a b y x a b y ⇔ − = − ⇔ − = ± −  = + −  ⇔  = − −  Gọi 1 2 ,V V lần lượt là thể tích của vật thể khi quay hình thang cong ABCO và ABDO quanh Oy. Suy ra thể tích cần tính là: 1 2 0 0 b 2 2 0 2 2 1 2 2( ) 2 2 8 (x x ) b b b V V V x dy x dy dy b y dy 2 2 1 2 0 = −   = π − π     = π = π − − ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt y = bsint cos .dy b t dt⇒ = Đổi cận : y b t π = ⇒ = 2 0 0y t= ⇒ = 2 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 8 sin . cos 8 cos 4 (1 cos2 ) 1 4 sin2 2 ( ) 2 V b b t b tdt b tdt b t dt b t t b đvtt 2 2 π 2 π 2 π 2 π 2 ⇒ = π − = π = π +   = π + = π     ∫ ∫ ∫ 2) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập thành từ 1, 3, 4, 5, 7, 8. Gọi số cần tìm có dạng: abcde Số có dạng: 1abcd có số 4 5 A = 120 số Tương tự có 120 số với hàng đơn vò là 3 , là 4 , là 5 , là 7, là 8 . Do đó tổng các chữ số hàng đơn vò của các số abcde là: 120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 ) = 3360. Tương tự : Tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn cũng là 3360. Do đó tổng tất cả các số abcde phải tính là: 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 37.332.960 . THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 Câu I :( 2,5 điểm) 1. Cho hàm số 2 1 1 x x y x − + = − a. Khảo sát hàm số đã cho. b. Xác đònh. tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập thành từ 1, 3, 4, 5, 7, 8. Gọi số cần tìm có dạng: abcde Số có dạng: 1abcd có số 4 5 A = 120 số Tương