Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình dạng2. Công thức nghiệm.[r]
(1)1 3.1 HÀM DELTA
3.1.1 Khái niệm hàm delta
Hàm delta gọi hàm Dirac (hoặc hàm xung đơn vị), hàm số suy rộng
Hàm delta , ký hiệu , thỏa mãn hai điều kiện sautt0 t0( )t
0 0: t ( ) 0
t t t
0( ) 1 t t dt
2 Có hai cách khác để xây dựng hàm delta:
• Cách thứ xem hàm delta giới hạn dãy hàm trơn theo nghĩa thơng thường
• Cách thứ hai xem hàm delta phiếm hàm tuyến tính khơng gian hàm thích hợp
Chẳng hạn xét dãy hàm thỏa mãn hai điều kiện 2
( )
(1 )
n
n g t
n t
0
lim ( )
0
n n
t g t
t
nÕu nÕu 1
( ) arctan 1
n t
g t dt n t
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
3 Hình 3.1: Đồ thị hàmg tn( )
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
4 Vì vậy, cách hình thức ta đồng giới hạn dãy hàm
là hàm delta tập trung gốc
( ) n
g t t0
0 lim n( ) ( ) ( ) ng t t t
Hàm delta có giá trị tập trung nhận từ hàm cách tịnh tiến0
( ) t t
t0
( )t
0( ) ( 0)
t t t t
0 2
0 ( ) lim ( ); ( ) ( )
1 ( )
t n n n n
n
t g t g t g t t
n t t
Hoặc
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
5
Tích chập hàm delta
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f t t f tt t dt f t
3.1.2 Đạo hàm tích phân hàm delta Với hàm liên tục x(t)
0
( ) 0
( ) ( ) 0 l
v
x v v l
t x t dt
nếunếu ngược lại
Do 1
( ) ( )
0 t
v
t v u du t v
t v
nÕunÕu
Vậy xem hàm bước nhảy nguyên hàm hàm delta, đạo hàm hàm bước nhảy hàm delta
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
6 2
1
( ) ( ) arctan +
2
t t
n n
n
f t g u du du nt
n u
1
lim ( ) ( ) 1/
0
n n
t
f t t t
t
nÕu nÕu nÕu
Đồ thị hàm bước nhảy như giới hạn dãy hàm f tn( )
Vậy coi d ( )t ( )t
dt
(2)7 Giả sửx(t) hàm khả vi (theo nghĩa thông thường) mọit
ngoại trừ điểm gián đoạn với bước nhảy, ta biểu diễn lại hàmx(t) dạng0
t
( ) ( ) ( )
x t y t t t
trong y(t) hàm liên tục điểm khả vi điểm trừ điểm gián đoạn Do có đạo hàm
0 '( ) '( ) ( ) x t y t tt
Ví dụ 3.1: Xét hàm số
2
1 ( ) 1
1 5
t t
x t
t t
nÕu nÕu
8
1
( ) ( ) ( 1) ; ( )
5
5
t t
x t y t t y t
t t
nÕu nÕu
1
6
'( ) '( ) ( 1) , '( )
5
5 t
x t y t t y t
t t
nÕu nÕu
Đồ thị hàm x(t)
Đồ thị hàm x’(t)
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
9 Ví dụ 3.2: Xét hàm số
0
( ) 1
2 t
t t
x t t t
e t
nÕu nÕu nÕu
1
2
'( ) ( ) ( 1)
2 t
t
x t t t t t
e
e t
nÕu nÕu nÕu
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
10 Ví dụ 3.3: Hàm phân bố biến ngẫu nhiênXxác định công thức
( ) ,
X
F x P Xx x
Nếu hàm mật độ xác suất thìfX( )x
Nếu biến ngẫu nhiên Xrời rạc có hàm khối lượng xác suất ( ) ( )
x
X X
F x f t dt
( )
X k k
p x P Xx ( ) ( )
k
X X k
x x
F x P X x p x
thì
( ) ( ) ( ) ( )
k k
x
X X k X k k
x x x
F x p x p x t x dt
( ) ( ) ( )
k
X X k k
x
f x p x x x
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT 3.1.3 Khai triển Fourier hàm delta
Các hệ số Fourier
-
-1 1 1
( ) cos cos , ( ) sin sin 0
n n
a t ntdt n b t ntdt n
1 1
( ) cos cos 2 cos 3
2
t t t t
Chuỗi Fourier
ik 2
1
( )
2
t it it it it
k
t e e e e e
Tổng riêng chuỗi Fourier ik
1 sin
1
1
2 sin
2
n t n
k n
n t
s e
t
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
(3)13 3.1.4 Biến đổi Fourier hàm delta
( )t ( )t ei2ftdt 1
F 1
( )t 1 eiftdf
F
là hàm chẵn,
) (t
( )t ( t) ei2ftdf
Tính đồng dạng biến đổi Fourier ( ) 1 (t) a
at
( ) ( ) 1 ( )
2
t
t d f
i f
F F
0
1
sgn( ) ( ) ( )
1 t t
t t t
nÕu
nÕu
1 sgn( )t
i f
F
14 3.2 CÁC HÀM SỐ TÍCH PHÂN
3.2.1 Cơng thức xác định hàm số tích phân
Hàm tích phân mũ Ei ( ) , 0
u
t e
t du t
u
Hàm tích phân sin
0 sin
Si ( ) , 0
t u
t du t
u
Hàm tích phân cosin Ci ( ) cos , 0 t
u
t du t
u
sin
si( ) ;
t u
t du
u
Si( ) si( ) t t
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
15
Hàm lỗi (error function)
2
0 2
erf( )t te udu t, 0
erf t 2 2t 1 ,
2 ( )
2
u t
t e du
3.2.2 Khai triển hàm tích phân thành chuỗi luỹ thừa
2
0 sin
Si ( ) ( 1)
(2 1)!(2 1)
t n
n n
u t
t du
u n n
2
1
1 ln
Ci( ) ln ( 1)
2 (2 )!2
n n n
s t
t t
s n n
L
3
2
erf ( ) ( 1)
1!3 2!5 !(2 1)
n n
t t t
t t
n n
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
16 Hình 3.9: Đồ thị hàm Si(t)vàCi(t)
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
17
3.3 HÀM GAMMA, HÀM BETA
3.3.1 Định nghĩa hàm Gamma (Gauss) !
( ) lim , 0, 1, 2,
( 1)( 2) ( ) z m
m m
z z
z z z z m
Công thức Weierstrass
1
( )
z
z m
m
z
ze e
z m
Công thức Euler
1
( )z e tt z dt, Rez
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
18 3.3.2 Các tính chất hàm Gamma
z 1 z z , z 0, 1, 2,
(1) 1; n 1 n! 1 n!, z n
1 , 0, 1, 2, sin
z z z
z
1 1 1 3
, , ,
2 2 cos 2 2
z z z
z
2
1 1 (2 1)!!
,
2 2n
n
n z n
1 ( 2) , (2 1)!!
n
n z n
n
(4)19 20 3.3.5 Hàm Beta
dx x x q p
B p q
1
0
1(1 )
) ,
(
Xác định với mọip,q0
Tính chất
pq Bq p
B , ,
2
2
( , ) 2 cosp sin q
B p q d
( ) ( ) ( , )
( )
p q
B p q
p q
2
2
( ) ( )
cos sin
2 ( )
p q d p q
p q
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
21 Ví dụ 3.5: Tính tích phân
2
0 tan d I
1
2
2
0
cos sin tan
d
I d
2
0
3
2 4
2
tan 2sin
4 d
I
3 5 2! 5
16
2 2
11 9 5 5 315
2 2 2 2
Ví dụ 3.4:
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
22 3.4 CÁC HÀM BESSEL
3.4.1 Các hàm Bessel loại loại 2 Phương trình Bessel cấp , 0
2
2
1
(1 ) 0
d y dy
y z dz
dz z
Nếu hai nghiệm độc lập tuyến tính nghiệm tổng qt phương trình có dạng
z J Y z
z AJ z BY z Z z
y
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
3.4.1.2 Hàm Bessel loại 1
Tìm nghiệm phương trình theo phương pháp Frobenius cách xét nghiệm dạng
0
( ) k k,
k
y z z a z a
Thay vào phương trình đồng hệ số suy
2 2
1 2
2
2 2
( )
( 1)
( 2)
( ) k k ;
a a
a a
r a a k
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT Từ điều kiện ta đượca00 , 0
Với ta hàm Bessel loại 1 J( )z
( 1) ( )
2 ! ( 1) 2
k k k
z z
J z
k k
Với ta hàm Bessel loại 1 J( )z
( 1) ( )
2 ! ( )
k k k
z z
J z
k k
2
( 1) ( )
2 !( )!
n k k
n
k
z z
J z
k k n
2
0
0 ( 1)
2 ( !)
k k k
z J
k
(5)25 Định lý 3.2: Nếu J z ,J z độc lập
n
Nếu Jn z ( 1)nJn z
26
3.4.1.3 Hàm Bessel loại 2
(cos ) ( ) ( ) sin
lim ( )
n
J z J z
n Y z
Y z n
nÕu nÕu
n z J n
z J z
Y n n n
n 1
1
Hàm Weber
2
( ) ( )
( )
n n
n dz
I z J z A B
zJ z
Hàm Neumann ( ) ( ) (ln ) ( )
2
N z Y z J z
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
27
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
28 3.4.2 Các cơng thức truy tốn hàm Bessel
1
2
J z J z J z
z
1
'
zJ z J z zJ z 0J'0 z J1 z
1 1
1 '
2
J z J z J z
1
'
zJ z zJ z J z
1
d
z J z z J z
dz
0
0
1
z z z
z
z z
d
z J z dz z J z dz z J z
dz
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
29
1 3 1
0
2 2
z
k k
J z dz J z J z J z
1
0
(2 1) z
m m
m m m m m
I z J z dzI z J z m I
, , 1,
0
( 1)
z
m m
m n n m n n m n
I z J z dzI z J z m n I
1
d
z J z z J z
dz
0
0
1
z z
z z
z z
d
z J z dz z J z dz z J z
dz
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
30 nghiệm dương phương trình
Ví dụ 3.6: Tính tích phân theo và,
0 I z J z dz
J1( )
0 0
J z
3
3,0 1( ) 22,1 1( ) 2 2( ) I z J z I z J z z J z
3
3,0 1
2
( ) 2 ( 4 ) ( ) 2
I z J z z J z J z z z J z z J z
z
3
3,0z ( ) 1( ) z ( ) ( )1
I I z z J z z J z J
(6)31 3.4.5 Khai triển theo chuỗi hàm Bessel
Chuỗi Fourier - Bessel
1
( ) i ( i )
i
f x a J x
các hệ số Fourier - Bessel
1
0
2
( ) ( ) ; 1, 2, ' ( )
i i
i
a xf x J x dx i
J
trong nghiệm phương trình1,,i, J x 0
32
3.4.6 Các hàm Bessel loại loại với cấp bán nguyên
z z z J12() 2sin
2 ( ) cos
J z z
z
1 2 2
2
( ) ( ) cos ; ( ) ( ) sin
Y z J z z Y z J z z
z z
3
2 sin
( ) z cos
J z z
z z
2 cos
( ) sin z
J z z
z z
5 2
2 3 3
( ) 1 sin cos
J z z z
z z z
5 2
2 3 3
( ) sin 1 cos
J z z z
z z z
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
33
3.4.11 Các phương trình vi phân đưa phương trình Bessel
0 1
2 2
2
y
x k dx dy x dx
y
d
n kx
BY kx AJ
n kx
BJ kx AJ kx Z
nÕu nÕu Phương trình dạng
Cơng thức nghiệm
2 Phương trình dạng
2 1
'' 2 ' a 0
y a y b y
x x x
Công thức nghiệm
, ax
ye Z ba x nÕu ba
,
ax
ye AxBx nÕuba
( ln ) ,
ax
y e A B x b a
nÕu
CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
34 Phương trình dạng
Cơng thức nghiệm
4 Phương trình dạng
Cơng thức nghiệm
2 2
1 ( )
'' 2 ( ) ' 1 ( ) '( ) g x 0
y g x y g x g x y
x x x
( ) ( ) g x dx ye Z x
2
1 cot
'' 2 cot ' x 0
y x y y
x x x
1 ( ) sin
y Z x
x