Giáo trình Cơ học kết cấu: Phần 2

[r]

CHƯƠNG

TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC

5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH 5.1.1 Định nghĩa

Trong chương trước ta làm quen với hệ tĩnh định, hệ cần dùng phương trình cân tĩnh học đủđể xác định hết phản lực nội lực hệ Trong thực tế ta thường gặp hệ mà sử dụng phương trình cân tĩnh học chưa đủđể xác định hết thành phần phản lực nội lực Để tính hệđó, cần bổ sung thêm phương trình thường phương trình biến dạng, hệ gọi hệ siêu tĩnh

Hệđược gọi siêu tĩnh toàn hệ vài phần hệ ta không thể dùng phương trình cân tĩnh học để xác định tất phản lực nội lực

Về mặt cấu tạo hình học, hệ siêu tĩnh hệ bất biến hình thừa liên kết Số liên kết thừa đặc trưng hệ siêu tĩnh, song liên kết thừa liên kết khơng cần thiết cho cấu tạo hình học hệ cần cho làm việc cơng trình

Ví dụ dầm khung hình 5.1a, b hệ tĩnh định Các hệ dầm, khung, dàn, vịm hình 5.1c,d,g,h hệ siêu tĩnh từ ba phương trình cân tĩnh học ta chưa thể xác định hết phản lực

Hình 5.1

a) b)

c)

d) g)

h)

Hệ siêu tĩnh sử dụng rộng rãi cơng trình thực tế cầu giao thông, nhà dân dụng công nghiệp, đập ngăn, cống, cầu máng, trạm thuỷ điện v v

5.1.2 Đặc điểm hệ siêu tĩnh

Đối chiếu với hệ tĩnh định hệ siêu tĩnh có đặc điểm sau:

1. Chuyển vị, biến dạng nội lực hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hệ tĩnh định có kích thước tải trọng

Bảng 5-1 Dầm

q EJ

l

q EJ

l

Độ võng nhịp Y 3845qEJ

4

max = l

EJ 384

q Ymax = l4

Giá trị mô men uốn lớn Tại nhịp M q8

2

l

= Tại ngàm

12 q M

2

l

=

Vì dùng hệ siêu tĩnh tiết kiệm vật liệu so với hệ tĩnh định tương ứng Đây ưu điểm hệ siêu tĩnh

2. Trong hệ siêu tĩnh phát sinh nội lực thay đổi mhiệt độ, chuyển vị gối tựa, chế tạo lắp ráp khơng xác gây (những nguyên nhân không gây nội lực hệ tĩnh định)

Để thấy rõ tính chất này, ta xét vài ví dụ:

• So sánh dầm đơn hình 5.2a với dầm siêu tĩnh nhịp hình 5.2b chịu thay đổi nhiệt độ không đều, t1, t2 với t2 > t1 ta thấy:

Dưới tác dụng nhiệt độ dầm có khuynh hướng bị uốn cong, dầm tĩnh định liên kết không ngăn cản biến dạng dầm nên không phát sinh phản lực nội lực, ngược lại dầm siêu tĩnh, liên kết (ngàm) cản trở không cho phép dầm biến dạng tự do, phát sinh phản lực nội lực

c) a)

t2

t1

Δ

• Khi liên kết có chuyển vị cưỡng (bị lún) dầm tĩnh định cho hình 5.2c bị nghiêng đi, liên kết không ngăn cản cho phép chuyển vị tự nên không phát sinh nội lực Ngược lại, gối phải dầm siêu tĩnh hình 5.2d bị lún, gối tựa không cho phép dầm chuyển vị tự trường hợp trên, dầm bị uốn cong theo đường đứt nét, dầm phát sinh nội lực

• Khi chế tạo, lắp ráp khơng xác (hình 5.3) Giả sử chiều dài CD hệ siêu tĩnh bị ngắn so với chiều dài thiết kế đoạn Δ Sau lắp ráp, CD bị dãn đồng thời dầm AB bị uốn cong, hệ tồn nội lực ban đầu

Hình 5.2

d) b)

Δ

A B

C D

Δ

t1

t2

Khi thiết kế kết cấu siêu tĩnh ta cần đặc biệt lưu ý đến nguyên nhân gây nội lực kể Đơi sử dụng tính chất để tạo sẵn hệ nội lực biến dạng ban đầu ngược chiều với nội lực biến dạng tải trọng gây Biện pháp làm cho phân phối nội lực cấu kiện cơng trình hợp lý tiết kiệm vật liệu

3. Nội lực hệ siêu tĩnh phụ thuộc vật liệu, kích thước hình dạng tiết diện

Sau ta thấy, để tính hệ siêu tĩnh ta phải dựa vào điều kiện biến dạng mà biến dạng lại phụ thuộc độ cứng EJ, EF nên nội lực hệ siêu tĩnh phụ thuộc EJ, EF

Ba đặc điểm thấy rõ trình tính hệ siêu tĩnh sau

5.1.3 Bậc siêu tĩnh

Với giả thiết chấp nhận học kết cấu, ta đưa khái niệm bậc siêu tĩnh sau:

Bậc siêu tĩnh hệ siêu tĩnh số lượng liên kết thừa qui đổi liên kết ngoài số liên kết cần thiết đủđể cho hệ bất biến hình

Có thể tính bậc siêu tĩnh (ký hiệu n) theo ba cách sau:

1 Theo định nghĩa

Ta dùng công thức (1-2), (1-3), liên hệ số lượng miếng cứng số lượng liên kết nghiên cứu chương để suy công thức xác định bậc siêu tĩnh n hệ:

n = (T + 2K + 3H) - (D - 1) Hệ không nối đất

n = T + 2K + 3H + C - 3D Hệ nối đất Trong đó:

D - số miếng cứng tĩnh định (miếng cứng có chu vi hở) T, K, H - số liên kết thanh, liên kết khớp, liên

kết hàn dùng để nối D miếng cứng (đã qui đổi liên kết đơn giản)

Trái đất

a)

b)

A B C D

Hình 5.4 C - số liên kết tựa nối với đất qui liên

kết

2 Loại bỏ dần liên kết

Ví dụ 5-1:Xác định bậc siêu tĩnh hệ hình 5.4

Khung siêu tĩnh hình 5.4a bỏ ngàm hệ trở thành tĩnh định Do n = 3.3 = 9, hệ siêu tĩnh bậc

Dầm siêu tĩnh tên hình 5.4b bỏ liên kết A, B, C có dầm cơng sơn quen thuộc nên n = 1.2 +1 + = Nếu bỏ liên kết B D ta có dầm đơn giản có đầu thừa nên n = + 1.3 = dầm siêu tĩnh bậc

3 Theo công thức đơn giản

Trước thiết lập công thức ta khảo sát ví dụ sau:

Xét khung có chu vi hở (hình 5.5a) Khung tĩnh định, thực mặt cắt hình vẽ ta cần sử dụng phương trình cân tĩnh học xác định nội lực tiết diện thuộc hệ

Nếu đặt thêm vào chu vi hởđó liên kết loại (liên kết thanh), hệ thừa liên kết (hình 5.5b) Vậy hệ có bậc siêu tĩnh (n = 1)

Nếu đặt thêm vào chu vi hởđó liên kết loại hai ( liên kết khớp ) hệ thừa hai liên kết tương đương loại (hình 5.5c) Vậy hệ có bậc siêu tĩnh hai (n = 2)

Nếu đặt thêm vào chu vi hở mối hàn (liên kết loại ba) hệ thừa ba liên kết tương đương loại (hình 5.5d) Vậy hệ có bậc siêu tĩnh ba (n = 3)

Qua ví dụ ta có: Một chu vi kín có bậc siêu tĩnh ba, thêm vào chu vi kín khớp đơn giản bậc siêu tĩnh giảm xuống đơn vị Bởi vậy, với hệ siêu tĩnh có V chu vi kín K khớp đơn giản bậc siêu tĩnh ncủa hệđược xác định theo công thức:

n = 3V - K (5-1) Chú thích: Khi sử dụng công thức (5-1) cần quan niệm trái đất miếng cứng hở Ví dụ, xét hệ hình 5.4a số chu vi kín trường hợp 3 khơng phải 4 phải quan niệm trái đất miếng cứng hở hình vẽ Bậc siêu tĩnh hệ n = 3.3 - =

Ví dụ 5-2:Xác định bậc siêu tĩnh khung hình 5.6 Coi đất miếng cứng hởđi qua A, C, D Ta thấy hệ có chu vi kín (V = 4), số khớp đơn giản (K = 5) khớp đơn A, B, C khớp phức tạp qui đổi thành khớp đơn giản E Vậy n = 3.4 - = Hệ siêu tĩnh bậc

Hình 5.5

P P

a) b)

P P

P P

c)

P P

d)

E

A B

C

D

5.1.4 Các phương pháp tính hệ siêu tĩnh

So với hệ tĩnh định biết, việc tính tốn hệ siêu tĩnh thường phức tạp khối lượng tính tốn lớn Có nhiều phương pháp tính hệ siêu tĩnh, có hai phương pháp phương pháp lực phương pháp chuyển vị

1 Phương pháp lực (được đề cập Chương này), phương pháp tổng quát áp dụng cho kết cấu dạng với nguyên nhân khác Hệ có bậc siêu tĩnh cao việc tính tốn phức tạp

2 Phương pháp chuyển vị(được đề cập Chương 6), thường dùng để tính cho hệ dầm, khung Việc tính tốn thuận tiện có khả tựđộng hoá cao

Nhược điểm hai phương pháp phải giải hệ phương trình nhiều ẩn số Để khắc phục nhược điểm phương pháp giải dần dựa sở phương pháp chuyển vị đời Một phương pháp phương pháp phân phối mô men (được đề cập Chương 7)

Trong năm gần đây, với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng rộng rãi hiệu quảđối với toán học mơi trường liên tục nói chung học vật rắn biến dạng nói riêng Ta nghiên cứu phương pháp môn học phương pháp số

5.2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC TÍNH HỆ SIÊU TĨNH 5.2.1 Nội dung phương pháp

Từ định nghĩa ta thấy khơng thể tính phản lực, nội lực trực tiếp hệ siêu tĩnh cho mà phải tính thơng qua hệ khác cho phép dễ dàng xác định phản lực, nội lực Hệ suy từ hệ siêu tĩnh cho cách loại bớt liên kết thừa gọi hệ bản Để bảo đảm cho hệ làm việc giống hệ siêu tĩnh cho ta cần phải bổ sung thêm điều kiện phụ Đó nội dung tóm tắt phương pháp lực

Hệ phương pháp lực hệ bất biến hình suy từ hệ siêu tĩnh cho cách loại bỏ tất hay số liên kết thừa

Nếu loại bỏ tất liên kết thừa hệ tĩnh định, loại bỏ số liên kết thừa hệ siêu tĩnh có bậc thấp

Điều quan trọng hệ phải bất biến hình cho phép ta xác định nội lực cách dễ dàng Bởi đa số trường hợp, ta thường dùng hệ tĩnh định

Đối với hệ siêu tĩnh hình 5.7a, chọn hệ theo nhiều cách khác Ví dụ hình 5.7b,c,d,e cho ta ba cách chọn hệ tĩnh định từ hệ siêu tĩnh cho hình 5.7a

Để thiết lập điều kiện phụ ta so sánh khác hệ siêu tĩnh cho (hình 5.7a) với hệ (giả sử dùng hệ hình 5.7b) Ta nhận thấy:

a)

P

XB

YB

B

A

b)

P

B

A

B

A

d)

P

B

A A

B P

e)

P

c)

Hình 5.7

♦ Trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị theo phương liên kết bị loại bỏ khơng, cịn hệ chuyển vị tồn

Như vậy, muốn cho hệ làm việc giống hệ siêu tĩnh cho, ta cần:

P

X1

X2

B

A

♦Trong hệ bản, đặt lực X1, X2, , Xn tương ứng với vị trí phương liên kết bị loại bỏ Những lực chưa biết giữ vai trị ẩn số (hình 5.8) Vì ẩn số lực (lực tập trung mô men tập trung) nên phương pháp mang tên phương pháp lực

Hình 5.8

♦Thiết lập điều kiện bổ sung là buộcchuyển vị hệ tương ứng với vị trí phương liên kết bị loại bỏ phải với chuyển vị thực tương ứng hệ siêu tĩnh (thường chuyển vị khơng) Nói khác đi, chuyển vị hệ tương ứng với vị trí phương ẩn số X1, X2, ,Xn lực X1, X2, ,Xn nguyên nhân bên (tải trọng P, thay đổi nhiệt độ t, chế tạo lắp ráp khơng xác chuyển vị gối tựa Δ) gây phải khơng

Trên hình 5.8, với nguyên nhân tải trọng ta có hai chuyển vị ngang đứng B là: X(X,X ,P)

2

1 =

Δ

X (X ,X ,P)

2

2 =

Δ

Nếu hệ có bậc siêu tĩnh hệ tĩnh định ta có n điều kiện:

ΔXk(X1,X2, Xn,P,t,Δ) =0 với k = 1, 2, n (5-2) Các điều kiện (5-2) gọi phương trình phương pháp lực

Với hệ có n bậc siêu tĩnh ta thiết lập n phương trình đủđể xác định n ẩn số X1, X2, Xn Sau tìm lực X1, X2, Xn ta xem chúng ngoại lực tác

dụng hệ (hình 5.8) Lúc lực tác dụng hệ biết, ta dễ dàng tìm nội lực biến dạng hệ bản, nội lực biến dạng hệ siêu tĩnh cho, lực Xi thỏa mãn hệ phương trình tức thỏa mãn

Chú ý:

1. Khi chọn hệ cho hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng Δ gối tựa Để vế phải phương trình ln khơng trường hợp tải trọng nhiệt độ tác dụng ta cắt liên kết có chuyển vị cưỡng mà khơng loại bỏ

Thật vậy, giả sử xét hệ siêu tĩnh cho hình 5.9a chọn hệ cách loại bỏ liên kết A có chuyển vị cưỡng (Hình 5.9b) điều kiện biến dạng theo phương ẩn số X1sẽ khác khơng:

Hình 5.9

a)

A

Δ X1

b)

X1

X1

m n

c)

A

a

ΔX1(X1,Δ)= - a

Nếu chọn hệ cách cắt liên kết có chuyển vị điều kiện biến dạng khơng (Hình 5.9c) lúc chuyển vị tương ứng với cặp ẩn số X1 chuyển vị

tương đối, gối A có chuyển vị cưỡng chuyển vị tương đối hai điểm cắt mvà n không

ΔX1(X1,Δ)=

2. Khi chọn hệ cho hệ dàn siêu tĩnh hệ siêu tĩnh có hai đầu khớp với độ cứng hữu hạn (EF ≠∞) tải trọng không tác dụng thanh, ta quy định phép cắt thay cặp lực XK ngược chiều mà không phép loại

bỏ.

Hình 5.10

a) P

A B

EJ EF ≠∞

X1

b) P

A B

EJ X1

m n X1

c) P

A X1 B

Với hệ hình 5.10a: chọn hệ cách loại bỏ căng AB (Hình 5.10b) phương trình biểu thị chuyển vị tương đối A B theo phương AB, chuyển vị khác khơng AB có biến dạng dọc trục; chọn hệ cách cắt AB (Hình 5.10c) chuyển vị tương đối hai điểm m n khơng phương trình ln khơng

5.2.2 Hệ phương trình tắc 1 Thành lập hệ phương trình tắc

X (X,X , X ,P,t, ,z)=

n

k Δ

Δ Δ +Δ + +Δ + +Δ +

n k k

k

k

kX X X X X X X

X

+ΔXkP +ΔXkt +ΔXkΔ= Để cho gọn, ta bỏ bớt số X:

Δk1 + Δk2 + + Δkk + + Δkn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = Trong đó:

Δkm- chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực XK lực Xmgây

hệ bản;

ΔkP, Δkt, ΔkΔ - chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực XK riêng tải

trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị gối tựa gây hệ

Nếu gọi δkm chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực XK riêng lực

Xm=1 gây hệ bản, ta có:

Δkm = δkm.Xm

Do phương trình thứ k có dạng:

δk1.X1 + δk2.X2 + + δkk.Xk + + δkn.Xn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ =

Với hệ có n bậc siêu tĩnh sau cho k = 1, 2, , n ta có hệ n phương trình phương pháp lực

Hệ phương trình (5-3) sau gọi hệ phương trình tắc phương pháp lực. Các hệ sốδkm (với k ≠ m) phương trình tắc gọi hệ số phụ Các hệ số

δkk gọi hệ số chính Các số hạng ΔkP, Δkt, ΔkΔ gọi số hạng tự do δ11X1 + δ12X2 + + δ1kXk + + δ1nXn + Δ1P + Δ1t + Δ1Δ = δ21X1 + δ22X2 + + δ2kXk + + δ2nXn + Δ2P + Δ2t + Δ2Δ =

δk1X1 + δk2X2 + + δkkXk + + δknXn + ΔkP + Δkt + ΔkΔ = (5-3)

δn1X1 + δn2X2 + + δnkXk + + δnnXn + ΔnP + Δnt + ΔnΔ = Hệ phương trình (5-3) viết dạng ma trận sau: [F].{X} + {Δ} = Trong đó:

[F] - ma trận hệ số {X}- véc tơẩn lực

{Δ}- véc tơ số hạng tự

Ý nghĩa vật lý phương trình tắc thứ k tổng chuyển vị điểm đặt lực Xk

theo phương Xk ẩn X1, X2, Xn tải trọng, thay đổi nhiệt độ chuyển vị gối

2 Cách tính hệ số số hạng

Về chất, hệ số số hạng tự (5-3) chuyển vị nên xác định theo công thức Măc xoen - Mo:

δkm = ds

EF N N ds

GF Q Q μ ds

EJ M

Mk m k m k m

∑∫ ∑∫

∑∫ + + (5-4)

Trong đó: (Mk,Qk,Nk), (Mm,Qm,Nm) - biểu thức mơ men, lực cắt, lực

dọc riêng Xk = 1, Xm = gây hệ

Đối với hệ áp dụng phép “nhân” biểu đồ theo Vêrêsaghin, ta có: δkm = M k Mm + Nk Nm + Qk Qm ;

Trong đó: M , k Qk , Nk , Mm , Qm , Nm - biểu đồ mô men, lực cắt, lực

dọc Xk = 1, Xm=1 gây hệ

Các hệ số δkk ln dương, hệ số phụδkmcó thể dương, âm khơng - Các số hạng tự do:

ΔkP= ds

GF Q Q μ ds

EF N N ds

EJ M

M o

P k o

P k o

P

k ∑∫

∑∫ +∑∫ + (5-5)

Trong đó: - Biểu thức giải tích mơ men uốn, lực dọc lực cắt riêng tải trọng gây hệ

o P o P o P, N , Q

M

Trong trường hợp áp dụng cách “nhân” biểu đồ ta có: ΔkP = MoP M + k NoP Nk +

o P Q Qk

Trong đó:

o , , - Các biểu đồ nội lực riêng tải trọng gây hệ P

M o

P

N o

P Q

Δkt =∑∫ α Δ ds+∑∫N αt .ds h

M t k c

k (5-6)

Với hệ gồm thẳng có tiết diện khơng đổi đoạn nhiệt độ thay đổi dọc theo chiều dài đoạn thanh, ta dùng công thức thực hành sau:

Δkt = ( ) ( )

k

k M

t N

c

h α

t

α Ω +∑± Δ Ω

∑

Trong đó: (

k

N

Ω )và (

k

M

Ω ) - diện tích biểu đồ lực dọc biểu đồ mơ men uốn lực Xk =1 gây hệ

ΔkΔ = −∑ Δi m i k

R (5-7)

Trong đó: i -là chuyển vị cưỡng liên kết thứ i hệ siêu tĩnh;

m

Δ i

k

R phản lực liên kết thứ i lực Xk=1 gây hệ

5.2.3 Cách tìm nội lực hệ siêu tĩnh

Giải hệ phương trình tắc (5-3) xác định giá trị ẩn lực X1, X2, Xn

và từđây ta vẽ biểu đồ nội lực theo hai cách sau:

1 Cách tính trực tiếp

Đặt tất ẩn lực chiều trị số vào hệ với tải trọng cho.Vì hệ thường tĩnh định nên biểu đồ nội lực xác định dễ dàng trình bày chương

2 Cách dùng nguyên lý cộng tác dụng

Mô men uốn, lực cắt, lực dọc hệ siêu tĩnh P, t, Δ gây xác định theo biểu thức cộng tác dụng (xem Chương mởđầu) Với mô men uốn ta có:

Mcc = M1.X1 + M2.X2 + + Mn.Xn +MPo +Mto+MΔo (5-8)

Trong đó:

Mcc - biểu đồ mơ men hệ siêu tĩnh P, t, Δ gây

1

M , M2 , Mn - biểu đồ mô men hệ riêng X1 = 1, Xn= gây - biểu đồ mô men hệ tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng liên kết tựa gây Trong trường hợp hệ hệ tĩnh định =

o

Δ

o t o

P,M ,M

M

o

Δ

o t M

M =

Biểu thức (5-8) hay áp dụng để vẽ biểu đồ mơ men uốn biểu đồ M1 , M2, Mn , xây dựng q trình tính hệ số, số hạng tự hệ phương trình tắc Biểu đồ lực cắt, lực dọc thường xác định theo cách sau

o P M

3 Cách vẽ biểu đồ lực cắt, lực dọc

Ta vẽ biểu đồ lực cắt từ biểu đồ mô men biết xác định biểu đồ lực dọc từ biểu đồ lực cắt biết

a Xác định giá trị lực cắt đầu đoạn theo công thức: QAB =

AB AB o

AB

M

Q (5-9) l

Δ ±

Trong đó:

QAB - giá trị lực cắt tiết diện A AB hệ siêu tĩnh

- giá trị lực cắt tiết diện A AB tải trọng tác dụng đoạn AB gây coi dầm đơn giản hai đầu khớp

o AB

Q

⏐ΔMAB⏐- lấy dấu dương từ trục quay góc nhỏ 90o phương đường nối hai tung độ mô men hai đầu thuận chiều kim đồng hồ lấy dấu âm quay ngược chiều kim đồng hồ

Ta chứng minh cơng thức (5-9) sau:

Giả sử biết biểu đồ mơ men MP nhưhình 5.11a Tách AB để xét, tiết

diện bị cắt đặt thêm nội lực M, Q, N nhưhình 5.11b Sau thay tác dụng lực cắt lực dọc liên kết nhưhình 5.11c

b) c)

Hình 5.11

MAB

lAB

NAB Q NBA

BA

QAB

MBA

q

MP

P

a)

q

B

A

M

lAB

B A

MA

NBA

MB

q

2 ql lAB

MB

lAB

MA

Để xác định lực cắt đoạn AB ta cần tìm lực cắt sơđồ dầm đơn quen thuộc (hình 5.11c) Tại gối tựa phản lực có ba ảnh hưởng MA, MB q Dùng

phương pháp mặt cắt A, xét cân phần trái ta có:

AB AB BA o

AB AB

AB BA AB

AB

M -M Q

M -M q Q

l l

l + = +

=

Để tránh phiền phức qui ước dấu mơ men số hạng thứ hai, ta viết công thức dạng trị tuyệt đối (5-9)

b Xác định giá trị lực dọc từ lực cắt:

Cách vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt biết dựa sở khảo sát cân lực nút phần hệ tách khỏi hệ (thơng qua phương trình cân hình chiếu)

5.3 CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG

5.3.1 Hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động

Ví dụ 5-3:Vẽ biểu đồ nội lực khung cho hình 5.12a Q trình tính tốn thực theo thứ tự sau:

1 Xác định bậc siêu tĩnh Hệđã cho có bậc siêu tĩnh

Ta có hai phương trình tắc: a

a) b)

δ11X1 + δ12X2 + Δ1P =

δ21X1 + δ22X2 + Δ2P =

(a) Khi xác định hệ số số hạng tự hệ phương trình tắc khung dầm, ta bỏ qua ảnh hưởng lực dọc lực cắt tính chuyển vị Ta cần vẽ biểu đồ mô men uốn đơn vị X1 = 1; X2 = biểu đồ mô men

uốn tải trọng gây hệ (hình 5.13a, b, c) Ta có:

δ11 = M 1 M = 1

EJ a a a a 2 a J E

1 2 =

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ δ22 = M 2 M = 2

EJ a a 2 a J E

1 ⋅ 2⋅ =

δ12 = δ21 = M .1 M = 2

EJ a a a J E

1 ⋅ ⋅ =

Δ1P = M oP M = 1

EJ qa a a qa a a qa 3 a a qa J E

1 2

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ Δ2P = o

P

M M = 2

EJ qa a a qa J E

1

− = ⋅ ⋅ ⋅ −

Thay kết vào hệ phương trình tắc, ta được:

EJ

a

X1 - EJ

a3 X2 +

EJ qa = - EJ a3

X1 + EJ

a3 X2 +

EJ qa4

=

EJ = const q X2 X1 Hình 5.12 q a qa2 Hình 5.13 a a)

X1= M1

b)

a

X2= M2

c)

q

2

MPo

Hay:

X1 -

X2 +

qa = 0 -

2

X1 +

X2 -4

qa = 0

4. Giải hệ phương trình tắc để xác định ẩn sốX1, X2 Kết quả: X1 = -

7

qa; X2 = 28

3 qa

5.Vẽ biểu đồ mô men uốn Trong ví dụ ta vẽ biểu đồ mơ men uốn theo nguyên lý cộng tác dụng Với hệ chịu tải trọng ta có:

MP = M .X1 + 1 M .X2 +2 o P M

Từ biểu thức ta xác định giá trị mô men đầu áp dụng cách treo biểu đồ dầm đơn vẽđược biểu đồ MP hệ siêu tĩnh cho hình 5.14a

6. Vẽ biểu đồ lực cắttheo biểu đồ mơ men uốn:

• Trên ngang AB: biểu đồ lực cắt số, có dạng đường thẳng song song với đường chuẩn có giá trị:

QBA =

28 qa 14 qa 28 qa a

1 2 =+

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

• Trên đứng BC: biểu đồ lực cắt có dạng bậc nhất, ta cần xác định giá trị lực cắt đầu QCB QBC nối lại với đường thẳng ta có:

QCB = Qtr =

7 qa qa 14 qa a + = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

QBC = Qph =

7 qa qa 14 qa a

1 − =+

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

Biểu đồ lực cắt vẽ hình 5.14b Hình 5.14 A B C 14 qa2 a) MP qa2 28 qa2

QBA=

NBA

NBC

B QBC=

c) 4qa 28 3qa A B C b) 4qa QP 3qa 28 3qa

+ B A

7 Vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt cách tách nút:

Vì tải trọng vng góc với trục nên lực dọc khơng thay đổi thanh, cần xác định giá trị lực dọc tiết diện đủđể vẽ biểu đồ

Tách nút B(hình 5.14c), sau đặt tiết diện bị cắt lực cắt có giá trị chiều biết theo biểu đồ Q đồng thời đặt lực dọc NAB NBC chưa biết (giả thiết dương hướng ngồi mặt cắt), ta viết phương trình cân hình chiếu:

∑X=NAB + qa

= 0, suy ra NAB = -7 qa

∑Y = - NBC -28

qa

= 0, suy ra NBC = -28

qa Biểu đồ lực dọc vẽ hình 5.14d

Ví dụ 5-4:Vẽ biểu đồ nội lực khung cho hình 5.15a Hệ cho có bậc siêu tĩnh

một Chọn hệ hình 5.15b

b)

P

X1 X1

a)

A

C D

P

2J

J J

Phương trình tắc:

δ11X1 + Δ1P =

Để xác định δ11 Δ1P ta cần vẽ biểu đồ

M biểu đồ o (Hình 5.15c,d) P

M

Ngồi ra, phải xét đến ảnh hưởng lực dọc hai đầu khớp AB, nên ta cần xác định thêm lực dọc AB X1 = tải trọng gây hệ bản, kết ghi hình 5.15c,d

Xác định hệ sốδ11 số hạng tự Δ1P:

δ11= M M + N N =

EJ 67 1 EF

1 EJ 2

EJ

1

3

l l

l l l

l ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ Δ1P= M oP M = 1

EJ 12

P 2 P EJ

1

P EJ

1 2 l3

l l l

l ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

Thay trị số vào phương trình tắc giải ta được: X1 = -134

P Hình 5.15

B l l

10l2 J F =

d)

NP o =0

Pl

A B

MP

P

o

c)

l

X1=1

N1=+1

l

A B

Cũng thực bước tương tự ví dụ trên, ta dễ dàng vẽ biểu đồ mô men uốn, lực cắt lực dọc hình 5.16a,b,c

5.3.2 Hệ siêu tĩnh chịu thay đổi nhiệt độ

Ví dụ 5-5:Vẽ biểu đồ mơ men uốn khung chịu thay đổi nhiệt độ có kích thước sơđồ nhưhình 5.17a Cho biết chiều cao h tiết diện không đổi, h = a/10 EJ = const Vật liệu có hệ số dãn nở nhiệt α

Hệđã cho có bậc siêu tĩnh Chọn hệ nhưhình 5.17b Phương trình tắc có dạng: δ11X1 + Δ1t =

Biểu đồ M N v1 ẽ hình 5.17c,d Tính hệ số:

δ11 = M 1 M = 1

EJ

a 2 a 2

a a EJ

1

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Δ1t = ( ) ( )

1 c N

M

t . α.t h

α.Δ Ω + Ω

± ∑

∑

= - (1 a)

2 t t

a a h

t t

α ⎟ +α + ⋅ ⋅

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ −

= -13αat

Thay vào phương trình tắc giải phương trình ta được: X1 = 19,5EJ 2

a t

α

Biểu đồ mô men uốn xác định theo biểu thức: Mt = M X1 K1 ết vẽ hình 5.18

a) P

l

MP

134 127 Pl

134

Hình 5.16

b) P

QP

134 127 P

134

P

+ +

c)

P 134 127

P 134

7 P

+ N

P

P

Hình 5.17 a

+2to

a)

+to

+to

a +2to

b)

+to

+to

X1

M1

1

c)

1

a X

1=1

1

N1

1

d)

X1=1

1

19,5

Mt

a EJαt (× )

5.3.3 Hệ siêu tĩnh có chế tạo chiều dài khơng xác

Ví dụ 5-6: Vẽ biểu đồ mô men uốn khung siêu tĩnh cho hình 5.19a AB có chiều dài chế tạo bị hụt đoạn Δ

c)

a

Δ a)

A l 2J J

Hệđã cho có bậc siêu tĩnh Chọn hệ nhưhình 5.19b Phương trình tắc có dạng:

δ11X1 + Δ1Δ =

Hệ khảo sát ví dụ 5-4 hệ chịu tải trọng, ta sử dụng số số liệu có Biểu đồ M nh1 hình 5.15c

Hệ số có giá trị: δ11= EJ 67

l

Số hạng tự Δ1Δ biểu thị chuyển vị tương ứng với vị trí phương lực X1 độ hụt Δ ABgây hệ

ΔkΔ = ∑ ⋅Δ

i

im ik N

Trong trường hợp i = 1; Δ1m = - Δ; N = Do 11 đó:Δ1Δ=1.(-Δ)= - Δ Nghiệm phương trình tắc: X1 = 3

67 EJ

l Δ

Biểu đồ mô men uốn hệ siêu tĩnh xác định theo công thức MΔ = M X1 1

Kết hình 5.19c

5.3.4 Hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng liên kết tựa

Ví dụ 5-7: Vẽ biểu đồ mô men uốn dầm liên tục cho hình 5.20a, ngàm A bị xoay thuận chiều kim đồng hồ góc ϕ =

l

Δ

gối tựa C bị lún xuống đoạn Δ Cho biết EJ = const

Hệđã cho dầm siêu tĩnh bậc hai Chọn hệ nhưhình 5.20b Hình 5.19

B

b)

X1 X1

J l

10l2 J F =

a

A B

MΔ

6EJΔ

Hệ phương trình tắc có dạng: a)

δ11X1 + δ12X2 + Δ1Δ =

δ21X1 + δ22X2 + Δ2Δ = - Δ Xác định hệ số số hạng tự do:

δ11 = M M

= ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⋅ ⋅ ⋅ l l

3 2 EJ

1

= EJ

3 l

δ22 = M 2 M =2 ⋅⎡⎢⎣ l l⋅ ⋅2l⎤⎥⎦ 2

2 EJ

1

= EJ 8l3

δ12 = δ21 = M 1 M =2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + ⋅

⋅ l l l

3 2

EJ

1

= EJ

5l3

Δ1Δ = - l.ϕ = - Δ Δ2Δ = - 2l.ϕ = - 2Δ

Thay hệ sốđã tính vào hệ phương trình tắc giải ta ẩn lực: X1 = 9,43EJ3

l Δ

; X2 = - 2,57EJ3 l

Δ

Biểu đồ mơ menuốn tính theo biểu thức cộng tác dụng: MΔ = M .X1 + M .X2

Kết vẽ hìmh 5.21

5.3.5 Dàn siêu tĩnh

Ví dụ 5-7: Cho dàn chịu tải trọng nhưhình 5.22a Xác định lực dọc dàn Biết EF = const

Trình tự tính sau:

1. Bậc siêu tĩnh Với hệ dàn nối đất ta có:

n = D + C - 2M = + - 2.4 = ⇒ Dàn siêu tĩnh bậc 2. Hệ Cắt 2-3hệ chọn nhưhình 5.22b

3.Phương trình tắc. δ11X1 + Δ1P =

♦Tính hệ sốδ11 số hạng tự Δ1P:

Hình 5.20

X1

Δ

l l

ϕ= l

Δ c)

b)

X2

X1=

l

l M1

d)

X2=

2l

2l M2

Hình 5.21

30

18

MΔ EJΔ

Cần tính lực dọc dàn hệ cặp ẩn lực X1 = (hình 5.22c) tải trọng (hình 5.22d) gây Kết tính ghi cột 3, bảng 5-2

d)

δkm = ∑ i i i im ik ) EF ( N N

l ; suy δ11 =

EF ) ( a N N EF i i i i + = ∑ = l

ΔkP =∑

i i i o iP ik ) EF ( N N

l ; suy Δ1P =

EF ) 2 ( Pa N N EF i i o iP i + = ∑ = l

♦ Giải phương trình tắc ta được:

11 P i X δ Δ −

= = - 0,707P 4. Xác định lực dọc dàn siêu tĩnh Vận dụng nguyên lý cộng tác dụng o

iP 1 i

iP N X N

N = + ta tính lực dọc dàn siêu tĩnh cho Kết quảđược ghi cột bảng 5-2

Bảng 5-2 Thanh li N i1 oi

P

N N i1 N i1 li N i1 N oiP li NP 1-2 a -

2

0

2 a

0 + 0,499P

1-3 a -

0

2 a

0 + 0,499P

1-4 a P a 2Pa + 0,703P

3-4 a - - P a Pa - 0,5P

3-2 a a - 0,707P

4-2 a - - P a Pa - 0,5P

∑ 2a(1 + 2) Pa(2 + 2)

Hình 5.22

a)

1 2

3 4

P

a

b) c)

a

1 2

3 4

P

X1

X1

1 2

3 4

X1=1

X1=1

0

1

2

3

P

P

Ví dụ: = -P N −

2

(-0,707P) + (-P) = - 0,5P; 2= - P N−

2

(-0,707P) + = + 0,499P

5.4 CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH 5.4.1 Cách tính chuyển vị

Cơng thức tính chuyển vị Măcxoen - Mo (4-6) tổng quát, áp dụng cho hệ siêu tĩnh tĩnh định Khi sử dụng cơng thức ta cần phải tính hệ hai trạng thái, trạng thái “m” trạng thái thực hệ, trạng thái “k” trạng thái khả dĩđược tạo cách đặt lực Pk = có vị trí phương tương ứng với chuyển vị cần tìm vào hệ ban đầu

Nếu tính chuyển vị trực tiếp hệ siêu tĩnh cho, ta phải giải hệ siêu tĩnh hai lần với hai nguyên nhân khác Như khối lượng tính tốn nặng nề

Song lưu ý nội lực chuyển vị hệ siêu tĩnh nguyên nhân “m” gây nội lực chuyển vị hệ tĩnh định tương đương chịu tác dụng ẩn lực nguyên nhân “m”, tính chuyển vị hệ tương đương sẽđơn giản nhiều Vì ta phải giải hệ siêu tĩnh lần trạng thái thực “m”, cịn trạng thái phụ “k” sẽđược tính hệ tĩnh định suy từ hệ siêu tĩnh cho cách loại bỏ liên kết thừa

Để dễ hiểu ta xét khung siêu tĩnh hình 5.23a Giả sử cần tính chuyển vị ngang k nguyên nhân “m” gây (tải trọng P, thay đổi nhiệt độ t, chế tạo khơng xác chuyển vị cưỡng liên kết tựa Δ)

Thay việc lập trạng thái phụ “k” từ hệ siêu tĩnh (hình 5.23a) ta lập trạng thái “k” từ hệ tương đương (hình 5.23b), ta có:

Δkm =Δok(X1,X2,P,t,Δ)=Δok(X1,X2,P)+Δokt+ΔokΔ (5-10) Trong đó:

- chuyển vị ngang k ẩn lực tải trọng cho gây hệ tĩnh định Nếu biểu diễn dạng nhân biểu đồ ta có:

o

) P , X , X ( k 1 2

Δ

o = Mm

) P , X , X ( k 1 2

Δ o

k

M + Qm Q + Nm ko N ok (5-11) Hình 5.23

a)

“m”

k

2a 2a

X1

X2

b)

“m”

k

Pk=1

c)

k M

k o

a

Pk=1

d)

k Qko

1

Pk=1

e)

k Nko

o kt

Δ , - chuyển vị tương ứng k nhiệt độ, chuyển vị cưỡng liên kết tựa gây hệ tĩnh định chọn làm trạng thái phụ “k” chúng xác định:

o kΔ

Δ

o = kt

Δ ( ) (

k k c N

M

t . α.t h

α.Δ Ω + Ω

± ∑

∑ Mk c N )

t . α.t h

α.Δ Ω + Ω

± ∑

∑ (5-12)(5-12)

=

o =

kΔ

Δo kΔ

Δ −∑ ⋅Δ

i im o ik

R (5-13)

Trong đó:

Mm , Qm , Nm - biểu đồ nội lực nguyên nhân (P, t, Δ) gây hệ siêu tĩnh (có sau vận dụng phương pháp giải hệ siêu tĩnh)

M , ok Q , ko N - biko ểu đồ nội lực trạng thái phụ “k” hệ tĩnh định bất biến hình suy từ hệ siêu tĩnh cho (hình 5.23c,d,e)

( )o k

M

Ω , ( o

k

N

Ω ) - diện tích biểu đồ mơ men lực dọc trạng thái phụ “k” chọn

o ik

R - phản lực liên kết có chuyển vị cưỡng Δi trạng thái phụ “k” Xét trường hợp riêng hay gặp (hệ dầm, khung)

♦ Hệ có tải trọng tác dụng:

ΔkP = MP M ko (5-14)

♦ Hệ chịu tác dụng nhiệt độ:

Δkt = Mt M + ok Δokt (5-15) ♦ Hệ chịu chuyển vị liên kết tựa:

ΔkΔ = MΔ M +ok ΔokΔ (5-16) Từ ví dụ khung siêu tĩnh hình 5.23 ta suy cơng thức tính chuyển vị cho hệ phẳng có độ cong nhỏ sau:

Δkm =∑∫ +∑∫μ +∑∫ ds

EF N N ds

GF Q Q ds

EJ M

Mko m ko m ok m

+

+ ( ) ( )o

k o

k c N

M

t . α.t h

α.Δ Ω + Ω

± ∑

∑ -∑ ⋅Δ

i

i o ik

R (5-17)

5.4.2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 5-8:Cho hệ siêu tĩnh chịu tác dụng đồng thời ba nguyên nhân P, t, Δ hình 5.24

Yêu cầu: Xác định góc xoay nút B (ϕB=?) Cho biết biểu đồ mô men uốn