Giả sử T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E,Z với đường tròn đường kính AD... Tìm tất cả các hàm rất lồi.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Mơn Tốn
Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010 ( Vòng )
Bài : Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2
a b b c c a a b b c c a
a c b a c b
a c b a c b
.
Bài : Gọi D trung điểm cạnh BC tam giác ABC E,Z hình chiếu D AB,AC Giả sử T giao điểm tiếp tuyến E,Z với đường tròn đường kính AD Chứng minh TB = TC
Bài : Tìm tất hàm f : thỏa mãn với số thực x y, th
( ( )) ( f ( )) f xf x y f y x x .
Bài : Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương ( , , , )x y z t thỏa mãn hai số chúng nguyên tố
x
3y3z2 t4Bài : Cho 2010 điểm A A1, , ,2 A2010 mặt phẳng đường trịn bán kính 1
tùy ý, chứng minh tồn điểm S đường trịn cho
1
SA
2SA
20102010
(2)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Mơn Tốn
Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010 ( Vòng )
Bài : Một hàm
f
gọi rất lồi thỏa mãn : ( ) ( )( ) | |
2
f x f y x y
f x y
với số thực
x y
,
Tìm tất hàm rất lồiBài : Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác lồi ABCD Phân giác góc ACD cắt cạnh BA K Nếu MA.MC + MA.CD = MB.MD, chứng minh góc BKC góc CDB
Bài : Tìm tất hàm f : (0, ) (0,) thỏa mãn với số dương w, , ,x y z
thỏa mãn
wx yz
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
f w f x w x
f y f z y z
.
Bài : Tìm giá trị nhỏ n cho tồn n số nguyên dương thỏa mãn tổng lũy thừa bậc chúng có giá trị 1998
(3)