Cơ học 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG Khoa Sư Phạm Lê Đỗ Huy CƠ HỌC An giang, năm 2006 Lời Nói Đâu Giáo trình Cơ Học gồm phần Cơ học chất điểm, hệ chất điểm, học vật rắn thuyết tương đối hẹp Einstein Đây giáo trình dùng cho sinh viên năm thứ ngành Sư phạm Vật lý Thời lượng giảng dạy giáo trình bốn đơn vị học trình Dù cố gắng nhiều biên soạn lần đầu nên giáo trình khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp anh chị đồng nghiệp bạn sinh viên CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy MỤC LỤC Lời nói đầu Mục Lục Trang Chương I: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM §1 Chuyển động chất điểm §2 Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo §3 Vận tốc §4 Gia tốc §5 Một số dạng chuyển động đơn giản §6 Đơn vị thứ nguyên Bài tập chương I 10 14 15 Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM §1.Hệ qui chiếu qn tính Định luật I Newton §2.Ngun lý tương đối Galiléo §3 Động lượng §4 Khối tâm §5 Lực §6 Định luật II Newton §7 Biên thiên động lượng hệ chất điểm định luật III Newton §8 Chuyển động phản lực Bài tập chương II 19 20 21 23 26 28 29 31 32 Chương III : CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG §1 Cơng cơng suất §.2 Động §.3 Lực Thế §4 Cơ Định luật bảo tồn §5 Va chạm §6 Biến thiên mơmen động lượng §7 Định luật bảo tồn momen động lượng §8 Chuyển động trường xuyên tâm Bài tập chương III 35 37 38 40 41 44 45 46 50 Chương IV : TRƯỜNG HẤP DẪN §.1 Định luật vạn vật hấp dẫn § Cường độ trường hấp dẫn Thế hấp dẫn §.3 Chuyển động trường hấp dẫn Trái đất §4 Các định luật Kepler Bài tập chương IV 53 54 56 59 60 CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy Chương V : LỰC QN TÍNH §1 Lực qn tính §2 Lực Coriolis §3 Chuyển động hệ qui chiếu khơng qn tính Bài tập chương V 62 64 67 68 Chương VI : ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN §1 Chuyển động vật rắn §2 Phương trình chuyển động vật rắn §3 Ma sát chuyển động lăn vật rắn §4 Năng lượng chuyển động vật rắn §5 Cân vật rắn §6 Hợp lực Hệ lực cân Bài tập chương VI 70 73 76 78 80 81 83 Chương VII : SƠ LƯỢC VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN §1 Thí Nghiệm Michelson thuyết tương đối Einstein §2 Các phép biến đổi Lorentz §3 Các hệ phép biến đổi Lorentz §4 Phép biến đổi vận tốc §5 Động lực học tương đối tính Bài tập chương VII 85 86 88 91 93 95 Tài liệu tham khảo 97 CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy CHƯƠNG I : ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Mục tiêu Nắm được: - Tính tương đối chuyển động - Các khái niệm định nghĩa vận tốc, gia tốc - Phương trình chuyển động đồ thị chuyển động - Giải tập chuyển động chất điểm - Khái niệm đơn vị thứ nguyên §1 CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 1.1 Chuyển động học Cơ học phần vật lý học khảo sát dạng chuyển động đơn giản vật chất chuyển động Chuyển động bao gồm chuyển dời vị trí vật với vật khác hay phần khác vật Chuyển động học đối tượng môn học Trong học, phần nghiên cứu tính chất chuyển động mà không xét đến nguyên nhân gây chuyển động gọi động học Động học nghiên cứu tính chất hình học chuyển động, thay đổi vị trí tương đối vật mà Khi vật thực chuyển dời vị trí khơng gian khoảng cách từ tới vật thể khác yếu tố quan trọng để xác định chuyển động Khoảng cách khó xác định vật thể có kích thước đáng kể ( so với khoảng cách cần xác định ) Mặt khác chuyển động vật có kích thước lớn thường chuyển động phức tạp ( tổng hợp nhiều dạng chuyển động chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay) Khi vật chuyển động, quan sát vật hệ gắn với hai vật mốc khác thấy hai chuyển động khác Vì chuyển động có tính tương đối 1.2 Chất điểm Để đơn giản, nhiều trường hợp khảo sát chuyển động, người ta khơng tính đến kích thước vật coi chất điểm Chẳng hạn, nghiên cứu chuyển động Trái Đất quanh Mặt Trời xem Trái Đất chất điểm Nhưng nghiên cứu chuyển động tự quay Trái Đất quanh trục khơng thể coi Trái Đất chất điểm Chất điểm vật thể có khối lượng có kích thước khơng đáng kể so với khoảng cách từ đến vật thể khác, so với đoạn đường chuyển động Một tập hợp chất điểm gọi hệ chất điểm 1.3 Hệ qui chiếu Chuyển động học có tính tương đối nên xét chuyển động điểm, ta cần phải xác định rõ điểm chuyển động so với vật xem đứng yên Một vật hay hệ thống vật mà ta qui ước đứng yên dùng làm mốc để xác định vị trí điểm chuyển động gọi hệ qui chiếu Thay đổi hệ qui chiếu tính chất chuyển động vật thay đổi Trong học chất điểm, vật làm mốc vật chuyển động coi chất điểm Khi xét chuyển CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy động cụ thể, người ta thường chọn hệ qui chiếu cho việc mô tả nghiên cứu tính chất chuyển động đơn giản Để xác định vị trí chất điểm khơng gian, người ta gắn vào hệ qui chiếu hệ trục toạ độ Hệ trục tọa độ thường gặp hệ tọa độ vng góc Descartes Oxyz Trong hệ này, vị trí chất điểm M khơng gian xác định toạ độ x,y,z §2 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUỸ ĐẠO 2.1 Phương trình chuyển động Trong hệ toạ độ Descartes, vị trí chất điểm M thời điểm cho trước r xác định toạ độ x,y,z bán kính vectơ r ( cịn gọi vectơ tia ) kẻ từ gốc toạ độ đến điểm M Khi chất điểm M chuyển động, tọa độ x,y,z thay đổi theo thời gian t Khi r x,y,z r hàm thời gian x = x(t) y =y(t) (1-1) z = z(t) r r Hoặc r = r (t) (1-2) Ba phương trình (1-1) mô tả ba chuyển động thẳng dọc theo ba trục toạ độ Ox,Oy,Oz Vì vậy, hệ toạ độ Descartes chuyển động phân tích thành ba chuyển động thẳng dọc theo ba trục toạ độ Các phương trình (1-1) (1-2) gọi phương trình chuyển động chất điểm Z z r r O y M x X Y Hình 1.1 2.2 Phương trình quỹ đạo Trong trình chuyển động, vị trí chất điểm ln thay đổi vạch thành đường liên tục không gian, quỹ đạo chất điểm chuyển động Khữ t hệ phương trình chuyển động ta phương trình quỹ đạo chất điểm F(x,y,z) = (1-3) Tùy theo quỹ đạo chất điểm có dạng cong hay thẳng, chuyển động chất điểm chuyển động cong hay chuyển động thẳng Trong trường hợp chất điểm chuyển động quỹ đạo đường cong (c) vị trí chất điểm M thuộc đường cong (c) xác định phương trình hồnh độ cong s = s(t) (1-4) Trong chuyển động thẳng hồnh độ cong s trở thành hồnh độ thẳng x chất điểm x = x(t) (1-5) Cần ý chuyển động quỹ đạo chất điểm chuyển động theo qui luật khác Khi chuyển động, thời điểm khác CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy nhau, chất điểm tồn vị trí khác quỹ đạo Do bên cạnh phương trình quỹ đạo ta cần phải biết qui luật chuyển động chất điểm Ví dụ : Tìm phương trình quỹ đạo chất điểm chuyển động mặt phẳng xOy có phương trình chuyển động sau : x = v0 cosα t gt y = v0sinα t Khữ t phương trình đầu thay vào phương trình sau ta phương trình quỹ đạo g y=- x2 + tgα.x 2v0 cos α Phương trình quỹ đạo chất điểm đường parabol phẳng §3 VẬN TỐC M 3.1 Vận tốc trung bình • Giả sử chất điểm chuyển động quỹ r ∆r • M’ đạo (C) không gian Tại thời điểm t, chất điểm r r r vị trí M xác định vectơ tia r Tại thời r r' (C ) điểm t’, chất điểm vị trí M’ xác định r r vectơ tia r ' Vectơ dịch chuyển ∆r khoảng O thời gian ∆t = t’- t chất điểm : r r r Hình – (1 - 6) ∆r = r ' - r Vận tốc trung bình chất điểm r khoảng thời gian ∆t xác định tỉ số vectơ dịch chuyển ∆r khoảng thời gian ∆t xảy dịch chuyển r r ∆r vtb = (1 – 7) ∆t r r Vì ∆t vơ hướng nên hướng vtb hướng ∆r 3.2 Vận tốc tức thời Nếu khoảng thời gian ∆t vô nhỏ (∆t → 0) thì đại lương vật lý : r r r ∆r dr v = lim = (1-8) ∆t → ∆t dt gọi vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t Vậy vận tốc tức thời chất điểm đạo hàm vectơ tia theo thời gian Trong hệ SI, đơn vị vận tốc mét/giây ( m/s ) r r r dr Khi ∆t → dr tiếp tuyến quỹ đạo ≡ ds Ở dt CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy Z r ds r r r v r r r +∆ r O X Y Hình 1.3 r ds vectơ vi phân quãng đường : r r ds = ds τ (1 – 9) r τ vectơ phương chuyển động chất điểm thời điểm khảo sát Ta viết lại r r r dr ds v = = (1 – 10) dt dt Vậy vectơ vận tốc tức thời thời có : Phương trùng với tiếp tuyến quỹ đạo Chiều trùng với chiều chuyển động chất điểm ds Độ lớn v = dt r Trong hệ toạ độ vng góc Oxyz, v có thành phần vx, vy ,vz xác định sau : r r r r v = vx i + vy j + vz k (1-11) dx dy dz , vy = vz = (1-12) Suy : vx = dt dt dt Độ lớn vectơ vận tốc r v= v = 2 vx + v y + vz = ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ (1-13) 3.4 Vận tốc góc Xét chuyển động quay chất điểm M quanh trục cố ∆ định ∆ Giả sử khoảng cách từ M đến trục quay không đổi Chất điểm M vạch nên đường trịn nằm mặt phẳng r dϕ vng góc với trục quay có tâm nằm trục quay Vị trí r O M xác định từ góc φ = φ(t) bán kính vectơ r qt r r thời gian t dφ Giả sử khoảng thời gian vô bé dt, chất điểm M quay góc dφ Ta biểu diễn quay r r dr vectơ dϕ có: - Phương nằm trục quay ∆ Hình 1.4 - Chiều theo qui tắc đinh ốc “ quay đinh ốc theo chiều r M, chiều tiến đinh ốc chiều dϕ ” r Trong khoảng thời gian dt, chất điểm M dịch chuyển đoạn dr Ta có dr = r.dφ ( hình 1.3) Viết dạng vectơ : r r r dr = dϕ × r ( – 14 ) Để đặc trưng cho mức độ quay chất điểm M, người ta đưa đại lượng vectơ gọi vectơ vận tốc góc định nghĩa sau: r r dϕ ω= ( – 15 ) dt r r Vectơ ω hướng với vectơ dϕ Chia hai vế (1-14) cho dt ta được: CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy r r dr d ϕ r = ×r dt dt r r r v = ì r ( 16 ) Đ4 GIA TỐC 4.1 Gia tốc trung bình Giả sử chất điểm chuyển động quỹ đạo (c) Tại thời điểm t chất điểm vị trí M, r có vận tốc v1 Sau khoảng thời gian ∆ t, chất điểm r v1 M2 r vị trí M’ có vận tốc v r r M1 • ∆v • v2 Độ biến thiên vectơ vận tốc khoảng thời r v2 gian ∆t : r r r ∆v = v1 - v (1-17) Hình 1.5 Độ biến thiên vec tơ vận tốc khoảng thời gian ∆ t gọi gia tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian ∆ t r r ∆v atb = (1-18) ∆t 4.2 Gia tốc tức thời r ∆v Khi ∆ t → giới hạn lim gọi vectơ gia tốc tức thời chất điểm ∆t → ∆t thời điểm khảo sát r r r ∆v dv a = lim = (1-19) ∆t → ∆t dt r r d 2r a= hay (1-20) dt Vectơ gia tốc đạo hàm vectơ vận tốc theo thời gian đạo hàm bậc r r vectơ vị trí theo thời gian Vectơ a có hướng trùng với vectơ dv 4.3 Vectơ gia tốc tiếp tuyến vectơ gia tốc pháp tuyến : Vectơ gia tốc đặc trưng cho thay đổi r v phương, chiều độ lớn vectơ vận tốc r r r r τ τ v’ r ds ds r v= τ = dt dt Gia tốc chất điểm r r r r τ dφ r dv d (v.τ ) dτ dv r r a= τ +v = = dτ dφ dt dt dt dt r dτ hướng theo pháp tuyến quỹ vectơ Hình 1.6 dt đạo nên ta viết r r r a = at + a n (1-21) CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy r dv r τ gọi gia tốc tiếp tuyến, đặc trưng cho thay đổi độ lớn at = dt vận tốc ( nhanh chậm chuyển động ) r r dτ a n = v gọi gia tốc pháp tuyến, đặc trưng cho thay đổi dt phương, chiều chuyển động chất điểm Ta làm rõ tính chất gia tốc pháp tuyến r r r dτ dτ ds dτ Ta có = =v dt ds dt ds r r dτ Do a n = v dsr r r Khi ds → dτ ⊥ τ Gọi n vectơ pháp tuyến đơn vị hướng vào tâm O, ta viết r r r dτ r dτ r dτ n = n = ds dt ds r dτ ds Lưu ý : dϕ = r = τ R r dτ r Vì τ = 1, ta = R ds R bán kính cong quỹ đạo điểm xét.Cuối ta r v2 r n an = (1-22) R Vectơ a n hướng tâm cong quỹ đạo nên a n gọi gia tốc hướng tâm Độ lớn gia tốc hướng tâm v2 (1-23) an = R r Độ lớn vectơ a 2 r r dv ⎛ dv x ⎞ ⎛ dv y ⎞ ⎛ dv z ⎞ 2 ⎟⎟ + ⎜ = ax + a y + az = ⎜ (1-24) a= a = ⎟ + ⎜⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ Hay a= at + a n 4.4 Gia tốc góc Đại lượng vật lý r r dω β = dt CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy = ⎛ dv ⎞ ⎛ v ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ R ⎠ (1-25) ( - 26 ) ... x − x1 u= t − t1 Thời điểm xảy biến cố A B hệ k’ là: v v t1 − x1 t − x2 c c t1’ = ; t2’ = v v2 1? ?? 1? ?? c c CƠ HỌC - Lê Đỗ Huy 89 v v ( x − x1 ) (t − t1 ) − u (t − t1 ) (t − t ) v c c t2’ – t1’ =... điểm t1 vt = v1 - ω1R = hay v1 = ω1R Lúc lực ma sát trượt biến mất, hình trụ lăn khơng trượt lăn với vận tốc góc ? ?1 = const, vận tốc chuyển động tịnh tiến v1 = ω1R = const ? ?1 v1 có giá trị CƠ HỌC... r1 r F2 = v v F1 F1 r2 CB v v v F2 F O Nếu F1 chiều F2 > Các vectơ AC , CB Hình 6 .11 F1 chiều Điểm C chia đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng tỉ lệ nghịch với lực F1, F2 ( hình – 11 ) v v F Nếu F1